圆--有关切线的证明高频考点归纳专项练2026年中考数学一轮复习备考

**基本信息** 聚焦圆的切线证明专项，分层设计基础巩固、能力提升、综合应用三阶训练，通过“证明+计算+综合”梯度路径强化逻辑推理与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|切线判定基本方法|单切线证明（如第4题证切线），强化“连半径证垂直”核心思路| |能力提升|切线性质与几何计算结合|切线证明+线段长度计算（如第1题结合全等与勾股定理）| |综合应用|多知识点交叉（相似、扇形面积等）|切线证明+阴影面积+动态几何（如第3题结合等边三角形与扇形面积计算）|

圆--有关切线的证明 高频考点归纳 专项练 1．如图，是的直径，是的切线，连结，过点作交于点，延长，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为2，求EF的长． 3．如图，△ABC中．∠BCA＝90°，以AB为直径的⊙O与∠BAC的平分线交于点D，作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠B＝30°，⊙O的半径为4，求弧CD，线段CE及切线DE围成的阴影部分面积． 4．如图，中，，，点A在以为直径的上． (1)求度数； (2)求证：是的切线． 5．如图，是的直径，交的中点于， (1)求证：； (2)求证：是的切线． 6．如图，是的直径，点在的延长线上，点为上一点，且． （1）求证：是的切线、 （2）过点作的切线，交的延长线于点，若，求的长． 7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．    8．如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 9．如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 10．如图，在中，，以为直径的分别交于点，点在的延长线上，且，延长交的切线于点，过点作于点，交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长度． 11．如图，为的直径，弦与交于点，过点的直线，． (1)求证：是的切线；． (2)若，求的长． 12．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是弧AB上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC． （1）若BD＝8，求线段AC的长度； （2）求证：EC是⊙O的切线； （3）当∠D＝30°时，求图中阴影部分面积． 13．如图①，已知点是以为直径的圆上一点，直线与过点的切线相交于点，是的中点，连接． （1）求证：是圆的切线； （2）如图②，，垂足为，若的半径为3，，求的长； （3）如图③，连接交于点，求证：点是的中点． 14．如图，在中，是的直径，是过上一点C的直线，且于点D，，E是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 15．如图，是四边形的外接圆，为直径，，与直径相交于点，作交的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《圆--有关切线的证明 高频考点归纳 专项练 2026年数学中考一轮复习备考》参考答案 1．（1）见解析；（2）CD=12． 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得到∠OAC=90°，通过分析证明△CDO≌△CAO，可得OD⊥CE，即可得到结果； （2）在Rt△ODE中，根据勾股定理可得圆的半径，根据平行线成比例得，即可得到结果； 【详解】（1）证明：连接OD， ∵AC为⊙O的切线， ∴AC⊥AB． ∴∠OAC=90°． ∵BD∥OC， ∴∠OBD=∠AOC，∠ODB=∠COD． ∵OB、OD为⊙O的半径， ∴OB=OD． ∴∠OBD=∠ODB． ∴∠AOC=∠DOC． 在△CDO和△CAO中， ∴△CDO≌△CAO（SAS） ∴∠CDO=∠CAO=90°． ∴OD⊥CE于D，且OD是半径， ∴CE是⊙O的切线． （2）解：在Rt△ODE中，∠ODE=90°， ∵， ∴， ∴， ∵BD∥OC， ∴， 又BE=4，DE=8，BO=， ∴， ∴２． 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定和性质综合，结合三角形全等、勾股定理和平行线分线段成比例进行求解． 2．（1）见解析；（2） 【分析】（1）连结OD，证明四边形AOCD是菱形，得到和都是等边三角形，证明，即可得解； （2）根据30°所对直角边是斜边的一半进行求解即可； 【详解】（1）连结OD，如图， 四边形AOCD是平行四边形，而， 四边形AOCD是菱形， 和都是等边三角形， ，， EF为切线，，， 在和中， ，， ，， BF是⊙O的切线； （2）在中，， ，，． ，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线证明，结合三角形全等、直角三角形30°角所对直角边是斜边一半计算即可． 3．（1）见解析  （2） 【分析】（1）连接OD，证明，结合，可得，即可证得DE为⊙O的切线； （2）先证明为等边三角形，结合，得出CD长度及的角度，进而得到，，然后表示出阴影面积为S阴影＝S△DCE﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）代入数值进行运算即可． 【详解】解：（1）如图，连接OD， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE，OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）连接DC、OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝∠OCA＝60°， ∵OD∥AC， ∴∠DOC＝∠OCA＝60°， ∵OC＝OD， ∴△COD是等边三角形， ∴DC＝OD＝4，∠ODC＝60°， ∵∠ODE＝90°， ∴∠CDE＝30°， ∴CE＝2，DE＝， ∴S阴影＝S△DCE﹣（S扇形OCD﹣S△OCD） ＝CE•DE﹣（﹣OD•DE） ＝2×﹣+4× ＝ 答：弧CD，线段CE及切线DE围成的阴影部分面积为（6﹣π）． 【点睛】本题考查了圆中切线的证明，及阴影面积的求法，熟知其中涉及的角平分线的性质，平行线的判定，等边三角形的性质，直角三角形的计算等基础证明与计算是解题的关键． 4．(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理和切线的判定定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“直径所对的圆周角是直角”得，计算即可求解； （2）连接，根据角之间的关系，易求，根据切线的判定定理即可求证． 【详解】（1）解： 为的直径， ，即是直角三角形， ， ； （2）证明：如图，连接， ，， ， ， ， ，即， 又 是半径， 是的切线． 5．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用直径所对的圆周角是直角，得到，再结合是中点，推出，从而得到，最后结合得到的直角，通过两角对应相等证明三角形相似． （2）连接，利用三角形中位线定理得到，再结合推出，从而根据切线的判定定理证明是切线． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴； （2）证明：连接， ∵，， 是的中位线， ∴， 又∵， ∴， 所以是的切线． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定、三角形中位线定理、切线的判定定理，熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定条件及切线的判定方法是解题的关键． 6．（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，根据是的直径，可得，即，再根据等边对等角可得，根据，可得，即，即可证明是的切线． （2）先求出DE的长度，再通过证明，可得，求得，再利用勾股定理即可求出CE的长度． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴ ∴． ∵是的切线， ∴． ∵， ∴ ∵是的切线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆和三角形的问题，掌握圆的切线的性质以及判定定理、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键． 7．（1）见解析；（2）EF=4；（3） 【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切； （2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答； （3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用代入数值即可求解． 【详解】（1）证明：连接OC，如图， ∵OD⊥BC， ∴CD=BD， ∴OE为BC的垂直平分线， ∴EB=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE， ∵CE为⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90°， ∴∠OBE=90°， ∴OB⊥BE， ∴BE与⊙O相切． （2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R， 在Rt△OBD中，BD=BC= ∵OD2+BD2=OB2， ∴，解得R=4， ∴OD=2，OB=4， ∴∠OBD=30°， ∴∠BOD=60°， ∴在Rt△OBE中，∠BEO=30º，OE=2OB=8， ∴EF=OE-OF=8-4=4， 即EF=4； （3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60º， ∴∠BOC=120º，又BC=，OE=8， ∴ = ,        【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30º角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键． 8．(1)见解析； (2)3． 【分析】（1）证明即，即可得到是的切线； （2）连接，利用角平分线的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， 是半径，， 是的切线； （2）解：如图，连接， 四边形内接于，， ， ， 平分， ， ， 在中，． 9．(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． 【详解】（1）证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 10．（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接AN，通过角度的转化，得到∠ABN+∠HBC=90°，即∠ABH=90°，又OB为半径，所以BH是的切线；（2）连接OD，通过切线的性质，OA=OD，推导出，从而得到cos∠AED=，即可得到EF与DE之间的数量关系，在直角三角形EFD中，通过勾股定理即可求出ED的长. 【详解】证明：连接 为直径 , 即 为的切线; 解：连接 为的切线 ∴cos∠AED=， 解得 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、勾股定理的应用、等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识点． 11．(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再利用平行线的性质求得，据此即可证明是的切线； （2）延长交于点F，连接，推出垂直平分，得到，求得，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵经过点C，且， ∴， ∵是的半径，且于点C， ∴是的切线； （2）解：延长交于点F，连接， ∵是的直径， ∴， 由（1）得，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 12．（1）AC＝；（2）见解析；（3）4﹣ 【分析】（1）连接BC，如图，连接BC，根据切线的性质得到∠ABD＝90°，根据勾股定理得到AD＝＝4，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论； （2）连接OC，OE，由E是BD的中点，可得CE＝BE，证明△OCE≌△OBE，得∠OCE＝∠OBE＝90°，则结论得证； （3）阴影部分的面积即为四边形OBED的面积减去扇形COB的面积． 【详解】解：（1）如图，连接BC， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠ABD＝90°， ∵AB＝4，BD＝8， ∴AD＝＝4， ∵AB为⊙O的直径， ∴BC⊥AD， ∴BC＝＝＝， ∴AC＝＝； （2）连接OC，OE， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△BDC中， ∵BE＝ED， ∴DE＝EC＝BE， ∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△OCE≌△OBE（SSS）， ∴∠OCE＝∠OBE， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠ABD＝90°， ∴∠OCE＝∠ABD＝90°， ∵OC为半径， ∴EC是⊙O的切线； （3）∵OA＝OB，BE＝DE， ∴AD∥OE， ∴∠D＝∠OEB， ∵∠D＝30°， ∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵AB＝4， ∴OB＝2， ∴BE＝2． ∴四边形OBEC的面积为2S△OBE＝2××2×2＝4， ∴阴影部分面积为S四边形OBEC﹣S扇形BOC＝4﹣＝4﹣． 【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆的性质定理的扇形的面积公式是解决本题的关键. 13．（1）详见解析；（2）；（3）详见解析 【分析】（１）连接，，通过为的直径得出，再根据为斜边上的中线得出，从而转化角得出，得证； （２）先通过得出，再通过勾股定理计算，通过计算，再利用得出，从而计算； （３）由（2）得从而得出，，再利用对应边成比例进行转化即可． 【详解】（1）证明：连接，． 为的直径 为斜边上的中线 ，即 是的切线 （2）解： 在中， ，即 ，即 （3）证明：是的切线 ， ， 为的中点 ∴点是的中点 【点睛】本题考查圆的与相似的综合题目，难度中等，掌握相关的线段与角度转化是解题关键． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由得；结合直径所对圆周角为，及，推得，由切线判定定理证得是的切线； （2）由垂径定理得，勾股定理求得半径，判定为等边三角形；再计算、与扇形的面积，用割补法即可求解阴影面积． 【详解】（1）证明：连接，如图． ， ． 是的直径， ，即， ． ， ，即． 点在上， 是的切线； （2）解：过作于，如图， 是的中点，， ， ， ，． ，， ． 又， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ； ∵是等边三角形，且， ∴是的中点， ∴， 在中，， ∴； ． 【点睛】本题核心是切线判定与割补法求阴影面积，关键是“连半径、证垂直”证明切线，再结合垂径定理、等边三角形性质，将阴影面积转化为三角形与扇形的面积差计算． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆的内接四边形的性质以及邻补角互补可得，再结合等边对等角可得；根据圆周角定理可得，即，；再利用同角的余角相等、等边对等角、同弧所对的圆周角相等以及等量代换可得，再根据切线的判定定理即可证明结论； （2）设，则，根据切线的性质、平行线的判定与性质、等边对等角以及等量代换可得，易得，即；据此列方程组求得和，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵为的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线. （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴，, ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $