圆 有关切线的证明高频考点归纳专项练2026年数学中考一轮复习备考

圆一有关切线的证明高频考点归纳专项练 1.如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙0上一点，且PA=PB ,延长B0分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点. (1)求证：PB是⊙O的切线： (2)QD为PB边上的中线，若AQ=4,CQ=2,求QD的值. 2.如图，P是⊙O外一点，PA是⊙0的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB ，延长B0分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点。 (I)求证：PB是⊙O的切线； (2)QD为PB边上的中线，若AQ=3,CQ=1,求QD的值 3.如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接OP,过点B作BC‖OP交 ⊙O于点C,连接PC和AC,AC交OP于点D. D B C (1)求证：PC是⊙0的切线： (2)若sin∠BAC=青，且AC=2V3,求切线PA的长. 4.如图，己知AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B,点D, 试卷第1页，共3页 F是ADB的三等分点，BA,CD的延长线相交于点E. (1)求证：DC是⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为1，求阴影部分面积 5.如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接0P,交⊙0于点D,连 接AD,过点B作BC‖OP交⊙O于点C,连接PC和AC,AC交OP于点E. E D B (1)求证：PC是⊙O切线： (②)若sin∠BAC=青，且AD=2W3,求切线PA的长。 6.如图，AB是⊙0的直径，PA是⊙0的切线，A为切点，连接0P,交⊙0于点D,连 接AD,过点B作BCIOP交⊙O于点C,连接PC和AC,AC交OP于点E. 4 D B C (1)求证：PC是⊙0切线， (2)若sin∠BAC=青，且AD=2W3,求切线PA的长. 7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于 点E,F点为BD上一点，连接EF. 试卷第1页，共3页 D (①)在不添加点和线的情况下，请添加一个条件，使EF为⊙O的切线并证明； (2)若EF为⊙0的切线，直径CD=13,CB=24,求DF的长 8.如图，A,B为⊙O上的两点，己知PB为⊙O的切线，切点为B,PA=PB. B (I)求证：AP是⊙O的切线； (2)若∠P=60°，⊙0的半径为2，求AB的长度 9.如图，MA是⊙O的切线，点A为切点，连接OM交⊙O于点D,过点A作AB‖OM 交⊙O于点B,连接BO并延长交⊙O于点C,连接MC,BD,CD B M C (I)求证：MC是⊙O的切线 (2)若tan∠CBD=,CD=2V5,求线段CM的长. 10.如图1，点A为⊙0外一点，过点A作⊙O的切线AC,切点为CCD是⊙0的直径， 过点D作DEAO交⊙O于点E,连接AE并分别延长AECD,两线交于点B: 试卷第1页，共3页 E I B D B D 图1 图2 (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若∠B=30°，BD=1,求图中阴影部分面积（结果保留π）： (3)如图2，若⊙0的半径为2，点I是△DEC的内心，连接EI并延长至点F,使得 FO⊥EF,垂足为F,连接DF.当点A运动时，求DF的最小值， 11.如图，PA为⊙0的切线，A为切点，连接A0并延长，与⊙0交于点C,直线P0交 ⊙O于点E,F,点B在⊙O上且PA=PB,连接AB交OP于点D,连接BC,AF,CE B (I)求证：直线PB为⊙O的切线； (2)若BC=6,tan∠ACE=专，求sin∠ACB的值和线段PE的长. 12.如图，P是⊙0外一点，PA是⊙0的切线，A是切点，B是⊙0上一点，且 PA=PB,延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点. B R 以 备用图 (1)求证：PB是⊙O的切线： (2D为PB的中点，QD交AB于点E,若AQ=4,CQ=2,求的值， 试卷第1页，共3页 13.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作OP的垂线AB,垂足为C,交⊙O于 点B,延长BO与⊙O交于点D,连接PD交AB于点E. D ()求证：PB为⊙0的切线： (2)求证：PB2=PCP0: (③)若∠BPD=3∠APD,求的值， 14.如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的切线，连接0C,过B作BDI川OC交⊙O于点D ,连接CD并延长，交AB延长线于点E. D B (I)求证：CE是⊙0的切线； (2)若BE=3,DE=6,求CD的长 15.如图，⊙0与边长为a的等边△ABC的边AC、AB分别交于点D、点E,AE是直径， 过点D作DF⊥BC于点F. (I)求证：DF是⊙O的切线： 试卷第1页，共3页 (2)连接EF,当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r. 试卷第1页，共3页 《圆--有关切线的证明高频考点归纳专项练2026年数学中考一轮复习备考》参考答案 1.(1)见解析 (2V73 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助 线是解题的关键， 1)连接OA,先证明△OBP兰△OAP(SSS),则∠0BP=∠OAP,继而求出 ∠0BP=90°，可推导出PB是⊙O的切线，即可解答： (2)设0A=r,得到r2+42=(r+2)2,求出r=3,则0A=3,BC=6,设BP=x ,则AP=x,得到x2+(6+2)2=(x+4)2,解得x=6,则 QD=VBQ+BD2=73,即可解答. 【详解】(1)证明：连接0A, 0 在△OBP和△OAP中， PA-PB OB=0A OP=OP .△OBP≌△OAP(SSS), .∠OBP=∠OAP, :PA是⊙O的切线，A是切点， .∠0AP=90°， ∠0BP=90°， :OB是半径， PB是⊙O的切线； (2)解：：AQ=4,CQ=2,∠0AP=90°， .∠0AQ=90°， 设⊙0的半径为r, 答案第1页，共2页 则0A=r,Q0=0C+CQ=r+2, :0A2+AQ2=0Q2, r2+42=(r+2)2, 解得r=3, 0A=3,BC=2r=6, ..BQ=BC+CQ=8, 设BP=x,则AP=x, ..PQ=AP+AQ=x+4, ∠0BP=90°， :BP2+B02=PQ2, ∴x2+(6+2)2=(x+4)2, 解得x=6, ÷BP=6, :QD为PB边上的中线， :.BD=BP=3, :QD=BQ2+BD2=73, 即QD的值是73. 2.(1)证明见解析 (2)QD=3V13 【分析】本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形判定与性质、勾股定理及相似三角形 的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键， (1)连接0A,根据切线性质得出∠OAP=90°，证明△OAP兰△OBP得出 ∠OBP=90°，即可证明结论； (2)在Rt△AOQ中，设⊙0半径0A=OC=OB=r,根据勾股定理求出半径r,证明 △QAO∽△QBP求出BP=12,再根据勾股定理求出结论即可. 【详解】(1)证明：连接0A, :PA是⊙O的切线， ·OA⊥PA, 答案第1页，共2页 ·∠0AP=90°， 在⊙0中，0A=0B, PA=PB,OP=OP, ·△OAP≌△OBP, :∠0AP=∠0BP=90°， ÷OB⊥BP, ·PB是⊙O的切线： (2)解：在Rt△A0Q中，0A2+AQ2=0Q2, 设⊙0半径0A=0C=0B=r, :AQ=3,CQ=1, r2+32=(r+1)2, 解得：r=4, 则0A=0C=0B=4, :∠QA0=∠QBP=90°，∠AQ0=∠BQP, △QA0△QBP, …器-器， “品=+， 解得：BP=12, :QD为PB边上的中线， :.BD=BP=6, 在Rt△QBD中， QD=VQB2+BD2=V(1+4+4)2+62=3V13, 3.(1)见解析： 答案第1页，共2页 (②)PA=35. 【分析】本题考查切线的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂 径定理，锐角三角函数，掌握切线的判定和性质，垂径定理以及锐角三角函数的定义是解题 的关键 （1)根据等腰三角形的性质，平行线的性质以及全等三角形的判定和性质可证出 △A0P=△C0P,进而得出∠OAP=∠OCP,由切线的性质得出∠OAP=90·,进 而得出OC⊥PC即可； (2)利用锐角三角函数的定义以及垂径定理进行计算即可； 【详解】(1)证明：连接0C, ○ D B :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， BCOP, .∠AD0=∠ACB=90°， 即0P⊥AC AD=CD, .OP垂直平分AC, :AP=CP, :OA=0C,0P=0P, .△OAP≌△OCP(SSS), .∠OCP=∠0AP, :AP是⊙O的切线， ∠0AP=90°=∠0CP, 0C是⊙0的半径， PC是⊙O的切线； 答案第1页，共2页 (2)解：：AC=2V5,由(1)可知0P垂直平分AC, AD=专AC=5, :∠BAC+∠PAD=90°，∠AP0+∠PAD=90°， ∠BAC=∠AP0, :sin∠BAC=sim∠AP0=青， 在Rt△ADP中，AP=m”0-5=3N5 4.(1)见解析 ②S明6=号-吾 【分析】(1)连接0D由点D,F是ADB,的三等分点可知AD=DP,DP=BP,进而可 知∠A0D=∠D0F=∠B0F=吉∠A0B=60°，则可证△OBC兰△ODC由此可知 ∠ODC=∠0BC,根据BC是⊙O的切线，则OB⊥BC则可证∠0DC=∠0BC=90° OD⊥CD,OD是⊙O的半径，则可证DC是⊙O的切线； (2)由OD⊥EC,可知在Rt△DOE中，∠OED+∠D0E=90·,根据 ∠D0E=60°，∠DE0=30°进而可知在Rt△D0E中，0E=20D=2,由勾股定理 得DE=V,进而可求△D0E的面积，进而可求扇形D0E的面积，用割补法可求出阴影 部分面积. 【详解】(1)证明：如图，连接OD, :点D,F是ADB的三等分点， :AD=DF=BF ∠A0D=∠DOF=∠B0F=∠A0B=60°， OD=OB 在△OBC和△ODC中 ∠D0C=∠B0C=60 0C=0C △OBC≌△ODC(SAS), 答案第1页，共2页 ∴∠ODC=∠OBC(全等三角形对应角相等) 又BC是⊙O的切线， OB⊥BC, .∠0DC=∠0BC=90o, .OD⊥CD,OD是⊙O的半径， .DC是⊙O的切线； (2)解：：OD1EC(已证)， :∠ED0=90°， :在Rt△DOE中，∠OED+∠DOE=90°， 又：∠D0E=60°， :∠DE0=30。, :在Rt△D0E中，OE=20D=2, 由勾股定理得：DE=V0E2-0D2=22-1=3, SaD0E=×1×5-9,S用形A0D=g器=号， S阴影=SaD0e-S用程0o=9-吉 【点晴】本题考查全等三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长，圆的切线证明，勾股定理， 割补法求面积，能够熟练掌握割补法是解决本题的关键 5.(1)见解析 26V2 【分析】(1)连接OC,由BCOP得到∠A0P=∠OBC,∠COP=∠OCB,再由 ∠OBC=∠OCB得到∠A0P=∠C0P,通过证明△A0P兰△COP(SAS)即可得到 ∠0CP=∠0AP=90°，从而即可得证： (2)设OE=x,则OA=OD=3x,DE=2x,在Rt△ADE中，由勾股定理得， AD2=AE2+DE2,即(2V5)=(22x)+(2x)2,求出 0E=1,0A=3,AE=2V2,再证得∠BAC=∠AP0,通过 sin∠BAC=sim∠APE=青=器即可求得答案， 【详解】(1)证明：如图所示，连接0C, 答案第1页，共2页 E D B BCOP, :∠A0P=∠OBC,∠C0P=∠0CB, :∠OBC=∠OCB, ÷∠A0P=∠C0P, 在△A0P和△C0P中， 10A=0C ∠A0P=∠C0P OP=OP ·△A0P≌△C0P(SAS), .∠0CP=∠0AP=90°， :0C为半径， ·PC是⊙0切线： (2)解：：OA=OC,∠A0P=∠C0P, ÷OE⊥AC, 在Rt△A0E中，sin∠0AE=sin∠BAC=器=青， 设0E=x,则0A=0D=3x,DE=2x, AE=V0A2-0E=V(3x)2-x2=2W2x, 在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2=AE2+DE2, 即(25)2=(2W2x)2+(2x)2, 解得：x=1或x=-1(不符合题意，舍去)， :0E=1,0A=3,AE=22, :PA是⊙0的切线， ·PA⊥OA,即∠0AP=90°， ÷∠BAC+∠BAP=90°，∠AP0+∠PAE=90°， ·∠BAC=∠APO, 答案第1页，共2页 :sinBAC=sim∠APE=青=号， PA=3AE=6V2 【点晴】本题主要考查了切线长定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是 学会利用参数构建方程解决问题。 6.(①)见解析 PA-62 【分析】(I)连接OC,推出∠OBC=∠OCB,由BC‖OP,推出∠A0P=∠C0P,得到 △AOP兰△C0P(SAS),得到OC⊥PC,OC=OA,即可证明结论： (2)证明∠AE0=∠ACB=90°，由sinzBAC=器=青，设0E=x,则A0=2x, AE=V5x,在Rt△ADE中，利用勾股定理列式计算求得x=V3,得到AE=3,由 sin∠BAC=sin∠APE,进一步计算即可求解 【详解】(1)证明：连接0C, B :.0B=0C, ∠OBC=∠OCB, BCOP, ∠OBC=∠OCB=∠AOP=∠C0P, :0A=0C,0P=0P, :△A0P≌△COP(SAS), .∠0CP=∠0AP=90°，OC=0A, .OC⊥PC, PC是⊙0切线； (2)解：：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， 答案第1页，共2页 BC‖OP, ∠AE0=∠ACB=90°， :sinBAC=器=青， :设0E=x,则A0=3x,AE=NA02-0E=2W2x, .DE=0D-0E=2x, 在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2+DE2=AD2,即(2W2x)+(2x2-(25)2, 解得x=1, AE=2V2×1=2V2, :PA是⊙O的切线， ∠0AP=90°， ∠0AE=90°-∠A0E=∠APE, :sin∠BAC=sin∠APE=贳=青， .PA=6v2. 【点晴】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，第2问证明∠OAE=∠APE是解 题的关键 7.(I)添加EF上AB,理由见详解 2器 【分析】(I)添加EF⊥AB,可使EF为⊙O的切线.连接0E,根据直角三角形性质及 OC=OE可得出∠OEC=∠B,则OE‖DB,再根据EF⊥AB得OE⊥EF,然后根据切 线的判定可得出结论； (2)根据直角三角形的性质可得DB=CD=13,AB=2CD=26,再证0E‖DB,进 而可得器=需=1，则可得EB=12,再证△EFB∽△ACB,则器=需，求得 FB=器，进而可得DF= 【详解】(1)解：添加EF⊥AB,可使EF为⊙O的切线，理由如下： 连接0E, :Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边中线， 答案第1页，共2页 :CD=AB=DB, ∠DCB=∠B, :0C=0E, .∠OCE=∠0EC, ∠0EC=∠B ..OE DB, EF⊥AB, OE⊥EF, 0E是⊙0的半径， ∴EF为⊙0的切线。 D F (2)解：：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边中线，且CD=13, :DB=CD=13,AB=2CD=26, ∠DCB=∠B, 0C=0E, .∠OCE=∠OEC, ∠OEC=∠B, :OE DB, :器=需=1， .CE=EB=CB=12, :EF为⊙O的切线， EF⊥OE, EF⊥DB, .∠EFB=90o, :∠EFB=∠ACB=90°，∠B=∠B, .△EFBM△ACB, 答案第1页，共2页 器=器， 器=弟， 解得FB=等， DF=DB-FB=13-特=， 【点睛】此题主要考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似 三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键.遇切线，连半径是常用的作辅 助线方法。 8.(1)见解析 22W5 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点.要 证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可. (1)连接0P,根据SSS证明△A0P兰△B0P,得出∠0AP=∠0BP=90·,从而得 出结论； (2)证明∠0PB=30°，得出P0=20B=2×2=4,由勾股定理得出PB=23即可. 【详解】(1)证明：连接OP, B :PB是⊙O的切线， ∠0BP=90°， OA=0B,PA=PB,OP=OP, ÷△AOP≌△BOP(SSS), ∠0AP=∠0BP=90°. 又：0A是⊙0的半径， ·AP是⊙O的切线， (2)解：：AP=BP,∠APB=60°， ·△APB为等边三角形， ·AB=PB 答案第1页，共2页 由(1)得，∠0PB=∠0PA=专×60°=30°， 在Rt△0BP中，P0=20B=2×2=4, .PB=VP02-B02=V42-22=25. ÷AB=PB=2V5. 9.(1)见解析 29 【分析】(1)先由MA是⊙O的切线，得∠OAM=90°，结合平行线的性质得 ∠AB0=∠M0C,∠BA0=∠MOA,整理得∠MOC=∠MOA,证明 △MOC兰△MOA(SAS),得∠MC0=∠OAM=90°，因为0C是⊙O的半径，故 MC是⊙O的切线.即可作答， (2)过点D作DN⊥CM于点N,运用圆周角定理得∠BDC=90°，根据 tan∠CBD=器=专得出BD=45,根据勾股定理得BC=10,证明 △DcN△c8D,则器=語= a, 代入数值得CN=4,DN=2,证明 △DMN△OMC,则号=，即可作答. 【详解】(1)解：连接0A,如图所示： B M C :MA是⊙O的切线， .∠0AM=90°， ABIIOM, ∠ABO=∠MOC,∠BA0=∠MOA, 0A=0B, .∠ABO=∠BAO, ∠MOC=∠MOA, 答案第1页，共2页 又：0A=0C,0M=0M △M0C≌△MOA(SAS), :∠MC0=∠0AM=90°， .OC⊥MC, 又：0C是⊙0的半径， .MC是⊙O的切线. (2)解：过点D作DN⊥CM于点N, 则∠DNC=90°， :BC是⊙O的直径， .∠BDC=90°， :在Rt△BCD中，tan∠CBD=器=，CD=25, :.BD=4V5. 由勾股定理得，Bc2=452+(2月°=100 .BC=10, .0C=5, :∠BDC=∠BCM=90o, .∠DBC+∠DCB=90°， 则∠DCM+∠DCB=90°， ∠DCM=∠DBC, 又：∠BDC=∠DNC, .△DCNM△CBD, --器 :.45 CN=4,DN=2, ∠DNM=∠OCM=90°，∠DMN=∠OMC, .△DMN∽△OMC, :哭=器， =导， 答案第1页，共2页 cM=9. 【点晴】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性 质，解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 10.(1)证明见解析 a9-π 3)DF的最小值5-1 【分析】本题考查切线的性质与判定，扇形面积计算，三角形内心： (1)连接0E,证明△A0E兰△A0C(SAS),结合⊙0的切线AC,得到 ∠AE0=∠AC0=90°，即可得到AB是⊙O的切线； (2)由∠B=30,得到0B=20E,∠B0E=60,BE=V30B,结合BD=1,得到 OD=OE=1,BE=V30E=V3,然后根据图中阴影部分面积S△B0E一S扇形BoE计算即 可； (3)延长EF交⊙O于M,连接OM,取OM中点N,连接FN,DN,由点I是△DEC的 内心，得到∠DEM=专∠DEC=45°，由F0⊥EF,得到∠OFM=90·,根据斜边中 线的性质得到FV=OM=1,即可得到DF≥DN-FN=V5-1,当F在DN上时， DF=5-1最小. 【详解】(1)解：连接0E, E 图1 :0E=0D, ∴∠OED=∠ODE, DELAO, ∴∠OED=∠AOE,∠ODE=∠AOC, 答案第1页，共2页 ·∠A0E=∠AOC, △A0E≌△A0C(SAS), ∠AE0=∠AC0, :⊙0的切线AC, .∠AE0=∠AC0=90°， ∴AB是QO的切线； (2)解：：∠AE0=∠AC0=90°，∠B=30°， 0B=20E,∠B0E=60,BE=V30E, 设半径OD=OE=r,则OB=BD十OE=BD十r, :BD=1, .r+1=2r, 解得r=1, 0D=0E=1,BE=V30E=5, 图中阴影部分面积为S△50E-S用阳0E=支×1×V5-器×π×12-与-言π： (3)解：延长EF交⊙O于M,连接OM,取OM中点N,连接FN,DN, D N M 图2 :直径CD, ∠DEC=90°， :点I是△DEC的内心， EF平分∠DEC=90°， 、∠DEM=号∠DEC=45°， ∠D0M=2∠DEM=90°， :⊙0的半径为2， 答案第1页，共2页 ∴.0D=OM=2, :OM中点N, :.ON=MN=0M=1, DN=V0D2+0w2=12+22=5, F0⊥EF, ∴∠0FM=90°， .FN=0M=1, :DF≥DN-FN=5-1, :当F在DN上时，DF=5-1最小. 11.(1)见解析 2号，9 【分析】(1)连接OB,根据切线性质得出OA⊥PA,证明∠PAB=∠PBA, ∠OBA十∠PBA=90°，即可得出OB⊥PB,得出答案； (2)证明P0垂直平分AB,得出∠PA0=∠PDA=∠0DA=90°，证明 △OAD△OPA,得出器=器，求出0D=专BC=3,设AD=x,得出 DF=2AD=2x,0A=0F=2x-3,根据勾股定理得出(2x-3)2=x2+32,求出 X2=4,根据AC=20A=10,BC=6,AC是⊙0的直径，得出∠ABC=90°， AB=8,根据三角形函数定义求出sin∠ACB=是=品=号，根据0A2=OD0P,求 出0P=罗，即可得出答案 【详解】(1)证明：连接0B,如图所示： “PA为⊙0的切线， OA⊥PA, 答案第1页，共2页 ∠PA0=90°，即∠PAB+∠BA0=90°， PA=PB, ∴∠PAB=∠PBA, 又0A=0B, .∠OAB=∠OBA, ∠0BA+∠PBA=90°，即∠0BP=90°， .OB⊥PB, :OB是⊙0的半径， .直线PB为⊙O的切线： (2)解：“PA=PB,OA=0B, P0垂直平分AB, ∠PA0=∠PDA=∠ODA=90°， ∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， .∠2=∠3， .△OAD△OPA, :器=器， 即0A2=0D·0P, 0A=OC,AD=BD,BC=6, .OD=专BC=3, :tanACE=青，∠ACE=∠F, tanF=支， 设AD=X: 在Rt△ADF中，tanF=支， DF=2AD=2x,0A=OF=2x-3, 在Rt△A0D中，0A2=0D2+AD2, (2x-3)2=x2+32, 解得X1=0(不合题意，舍去)，X2=4, 即AD=4,0A=2x-3=5, 答案第1页，共2页 :AC=20A=10,BC=6, AC是⊙O的直径， ∠ABC=90°，AB=8, .sinACB-=是=品=是， :0A2=0D0P, :0P=9, PE=9-5=9. 【点晴】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角 定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质. 12.(1)证明见解析 2号 【分析】(1)连接OA,根据切线的性质得∠OAP=90°，再根据“SSS证明△POA≌△POB, 进而得出∠OBP=∠OAP=90°，即可得出答案； (2)对图形标注，如图.由切线的性质，再结合勾股定理，在Rt△OOA中求出OA,然后 在Rt△PBQ中，根据勾股定理求出PA,PB,再说明OP垂直平分AB,可得DH是△BAP 的中位线，求出DH,并得出DHIIAQ,可知△DHE~△QEA,得出器=船=专.设 AE=4t,HE=3t,可表示BE,进而得出答案. 【详解】(1)连接OA,如图. E A :PA是⊙O的切线， OA⊥PA, ∴.∠OAP=90°. 在△POA和△POB中， 答案第1页，共2页 PA-PB OA-=OB P0=P0 .△POA≌△POB(SSS), .∠OBP=∠OAP=90°， .OB⊥PB. :OB是⊙0的半径， PB是⊙O的切线： (2)AB与OP交于H,连接DH,OA,如图. B PA,PB是⊙O的切线， .∠OAP=90°，∠PBQ=90° 在Rt△OQA中，AQ=4,CQ=2, 则OQ=OC+CQ=OA+2, 根据勾股定理，得(0A+2)2=0A2+42 解得OA=3. 设PA=x,则PB=,PQ=4+x. 在Rt△PBQ中，BQ2+BP2=PQ2,BQ-BC+CQ-6+2=8, 82+x2=(x+4)2, 解得x=6, :PA=PB=6. :PA与PB为⊙O的切线， :.PA=PB OA=OB, .OP垂直平分AB,即点H为AB的中点. :D为PB的中点， 答案第1页，共2页 DH是△BAP的中位线， :DH=PA=3,DH‖PA. :DH‖AQ, △DHEN△QEA, 器=船= 设AE=4t,HE=3t,则BE=BH+HE=AH+HE-7t+3F10t, “能="=。 【点晴】这是一道关于圆的综合问题，考查了切线的性质和判定，三角形中位线的性质和判 定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线长定理，全等三角形的判定和性质等. 13.(1)见解析 (2)见解析 3)7+ 4 【分析】(1)连接OA,可推出∠PAO=90·,OP是AB的垂直平分线，从而PB=PA, 进而推出△POB兰△POA,从而∠PB0=∠PA0=90°，进一步得出PB是⊙O的切 线； (2)可证明△PBC∽△POB,进而推出PB2=PC,PO; (3)可推出∠DPO=∠APD,ADIIOP,从而∠DPO=∠ADG,△PCE∽△DAE, 器=器=1，进而推出0C=AD,器=器，∠DP0=∠DPA,从而 AD=AP=PB,设0C=a,则PB=AD=2a.,PC=x,根据PB2=PC,OP列出方 程(2a)=xx+a,求得x的值，进一步得出结果. 【详解】(1)证明：如图，连接OA, B D :PA为⊙0的切线， ·OA⊥AP, 答案第1页，共2页 ·∠PA0=90°， :OP⊥AB, ·BC=AC :OP是AB的垂直平分线， :PB=PA 0A=0B,OP=OP, ·△POB≌△POA(SSS, :∠PB0=∠PA0=90°， ÷OB⊥PB, ·PB是⊙O的切线： (2)证明：由(1)得， ∠PB0=90°，OP⊥AB :∠PCB=∠PB0=90°， :∠BPC=∠OPB, ÷△PBCM△POB, 器=脂， ÷PB2=PC·P0; (3)解：如图，连接AD, B D 由(1)知：△P0B≌△POA, ·∠BP0=∠APO, :∠BPD=3∠APD, :∠BPC+∠CPE=3∠APD, ·∠APC+(∠APC-∠APD)=3∠APD, ·∠APC=2∠APD, 答案第1页，共2页 ·∠DPO=∠APD, :BD是⊙O的直径， ÷∠BAD=90°， :AD⊥AB, 由(2)知：OP⊥AB, :AD IOP, A∠DP0=∠ADB,△PCE∽△DAB,=器=1， 0C=3AD,器=器， :∠DPO=∠DPA, ·∠ADE=∠DPA, :AD=AP =PB, 设0C=a,则PB=AD=2a,PC=x, 由(2)得：PB2=PC·0P, :.(2a)=x(x+a). “名=X=可3（舍去 2 PC=7-1 22, 空=7+ 器-提- 4 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定，垂径定理，全等三角形的判定 与性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是设未知 数，列出一元二次方程. 14.(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查圆切线的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理； (1)连接OD,利用SAS求证△CDO兰△CAO即可求证OD⊥CE即得证； (2)通过勾股定理0D2+DE2=0E2,再通过勾股定理CE2=AC2+AE2即可求出CD的 长 【详解】(1)解：证明：如图，连接OD 答案第1页，共2页 D E B BDIOC ·∠AOC=∠OBD,∠C0D=∠ODB 0B=0D :∠OBD=∠ODB ·∠A0C=∠C0D 在△A0C与△D0C中 OA=OD ∠AOC=∠DOC 0C=0C ·△A0C≌△DOC(SAS :∠0AC=∠0DC :AC是⊙0切线. :∠0DC=∠0AC=90 :CE⊥OD :点D在⊙0上，OD为⊙0半径，且CE⊥OD :CE是⊙O的切线 (2)解：：CE是⊙O的切线 ÷∠0DE=90o 设⊙O半径为r,在Rt△ODE中，∠ODE=90°，由勾股定理得： 0E2=0D2+DE2 :BE=3,DE=6 3+r)2=62+r2 解得：r=号，则AB=2r=9, :△A0C≌△D0C AC=DC 设AC=DC=x,在Rt△ACE中，∠CAE=90°，由勾股定理得： 答案第1页，共2页 CE2=AC2+AE2 :(6+x)2=x2+(9+3)2 解得：x=9 :CD的长为9 15.(1)见解析 (②)r=号 【分析】(1)连接OD,证明OD⊥DF即可证明DF是⊙O的切线； (2)连接DB,得到AD=AE=r先计算DE=VAE2-AD=Vr,再计算 CD=AC-AD=a-r,结合∠CDP=30·,计算DF=DCcos30°=号(a-r), 接着利用切线长定理，证明△DEF是等边三角形，得到气(a-r)=V5r解答即可. 【详解】(1)证明：连接0D, ·等边△ABC, ∠A=∠C=60°， OA=OD,DF⊥BC, .△AOD是等边三角形，∠CDF=30°， ∠AD0=60°， ∠0DF=180°-∠AD0-∠CDF=90°， OD⊥DF, DF是⊙O的切线， (2)解：连接DE “AE是⊙0的直径， ∠ADE=90°， :∠A=600,0A=0D, 答案第1页，共2页 ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=A0=0D=r,∠A0D=60o, DE=AE2-AD2=3r, .CD=AC-AD=a-r, :∠CDF=30o, :DP=DCos30°=9(a-r) :DF,EF是⊙O的切线， ∴DF=EF :∠A0D=60°， .∠E0D=120°， .∠EFD=60°， .△DEF是等边三角形， DE=DF, :9(a-)=5r 解得r=号 D 【点晴】本题考查了切线的证明，勾股定理，等边三角形的判定和性质，切线长定理，三角 形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键， 答案第1页，共2页