第一章 三角形的证明及其应用 检测（二）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步单元卷(北师大版·新教材)

班级： 姓名： 学号： 2025-2026学年八年级北师版下册 第一章三角形的证明及其应用检测（二） (说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分120分) 三 题号 二 总分 16 17 18 19 20 21 22 23 得分 第I卷 选择题（共30分） 一选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题意，请将其字 母标号填入下表相应题号的空格内) 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1如图，∠ACD是△ABC的外角，∠A=75°，∠ACD=135°，则∠B的度数为 A.60 B.50 C.459 D.40 智想 0135 45 B ② 第1题图 第2题图 2如图①，应县木塔位于山西省朔州市应县县城，是我国现存最古老最高大的纯木结构楼阁式 建筑.经测量，木塔建造在约四米之高的台基上，台基底层设计呈正多边形.如图②是台基底 层正多边形的部分示意图，其外角为45°，则该正多边形是 A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 3如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,还需添加的一个条件是 A.AB=DC B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AE=DF 4如图是屋架设计图的一部分，已知AB=AC,点D在BC上.下列条件不能说明ADLBC的是 A.BD=CD B.∠BAD=∠CAD C.∠B=∠C D.∠ADB=∠ADC 5下列各命题的逆命题成立的是 A.等边三角形的三条边都相等 B.全等三角形的对应角相等 C.对顶角相等 D.若x=y,则x2=y2 6如图，A,B,C三个居民小区的位置组成三角形，现决定在三个小区之间修建一个超市，使超 市到三个小区的距离相等，则超市应建在 A.AC,BC两边上高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处 C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A,∠B平分线的交点处 E 第6题图 第7题图 如图，在△ABC中，∠A=90°，点E是AC上一点，过点E作DE⊥BC于点D.若AE=DE,∠ABE= 28°，则∠C的度数为 A.30 B.34 C.369 D.44 8如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点 D,E.若AB=8,AC=6,则△ADE的周长是 A.7 B.10 C.14 D.20 D B 第8题图 第9题图 9如图，在△ABC中，点D是BC上一点，已知AC=AD=BD,∠C=70°，则∠BAC的度数为 A.709 B.759 C.40° D.35° 10如图，等腰三角形ABC的面积为30，底边BC的长为6，AC的垂直平分线分别交AC,AB于点 E,F.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 A.6 B.8 C.10 M D.13 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将正确答案填在题中横线上） 11如图，在△ABC中，AB=AC,∠APB≠∠APC,求证：PB≠PC.用反证法证明时，第一步应先假设 D C B 第11题图 第12题图 12如图，在△ABC中，∠ACB=90°，ED垂直平分AC,分别交AB,AC于点E,D.若∠A=54°，则 ∠ECB的度数为 13如图是古建筑中的房梁三角架的示意图.在△ABC中，AB=AC,ADLBC于点D,点E是AC上 一点，且AD=DE.若∠BAC=110°，则∠ADE的度数为 14如图，在△ABC中，∠B=30,G=45,4D平分BMC交BC于点D,过点D作DB1B手点E不日 D 若DE=1,则BC的长为 H E A B 第14题图 第15题图 15如图，在△ABC中，CDLAB于点D,过点B作BELBC,且BE=BC,过，点E作EF∥CD交BA的延 长线于点F,连接EA并延长交CD于点H.若EF=HD,CH=3,则AF的长为 目解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16(本题6分)若一个n边形的内角和的二比它的外角和少150°，求n的值. 7(本题8分)“垂直”是平面几何中的一个重要概念，也是生活中必不可缺的重要元素 问题1：下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图过程 已知：直线l和直线外的一点P,如图a所示. 求作：过点P且与直线垂直的直线PQ,垂足为点Q, 作法：①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线于A,B两点； ②连接PA,PB,作∠APB的平分线，交直线l于点Q; ③直线PQ即为所求作的垂线， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） (2)判断PQ口的数学依据是 问题2：利用垂直可以作出一些特殊的几何图形。 已知：线段AB,如图b所示 求作：等腰直角三角形ABC,使AB=AC,∠BAC=90°. (3)使用直尺和圆规，作出问题2中要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）. ●p B B 18（本题8分)如图，在△ABC中，AB=AC,ADBC于点D,点E在边AB上，过点E作EF∥AC交 AD的延长线于点F.求证：AE=FE 19(本题8分)如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,BE=CF.求证： AD平分∠BAC. 20（本题9分)研学实践：学校组织研学活动，同学们来到物理实验室，在了解棱镜的特征后， 利用工具采集了棱镜的相关数据 只不已 数据采集：一块光学直角棱镜（如图①）的截面是如图②所示的Rt△ABC,AB所在的面为不 透光的磨砂面，其中∠ACB=90°，∠A=30°.现有一束单色光线从BC边的点E处垂直射入，到 达AB边的点D,恰有CDLAB,经过反射后（即∠CDE=∠CDF)从AC边的点F处射出，光线在 棱镜内部经过的路径DF=4.5cm. 数据应用：已知图中各点都在同一平面内，求这块棱镜的高AC. ① ② 21（本题11分)如图，点0是等边三角形ABC内一点，分别以点A,C为圆心，以0B,OC的长为 半径作弧，两弧交于点D,连接AD,CD,OD,OA.若OB=3,OC=4,OA=5,求∠B0C的度数 育 22(本题12分)如图①，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°，点D是CB的中点，将△ACD沿AD 折叠得到△AED,过点B作BF∥AC,交AE的延长线于点F. (1)操作发现：线段BF和EF的数量关系是 (2)类比思考：若将图①中“AC=BC”改成“AC≠BC”,其他条件不变，如图②，那么(1)中的发 现是否仍然成立？请说明理由 (3)拓展探究：若将图①中“在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°”改为“在△ABC中”，其他条件不 变，如图③，那么(1)中的发现是否仍然成立？请说明理由 D ① ③ 智想 23（本题13分)(1)问题发现： 如图①，在△CAB中，AC=BC,点D,E分别在AC,BC上.若CD=CE,则△CDE和△CAB是 顶角相等的等腰三角形，连接AE,BD,则∠AEB,∠C和∠CAE之间的数量关系是 ,AD与BE的数量关系是 (2)类比探究： 如图②，△CAB和△CDE均为等边三角形，A,D,E三点在同一条直线上，连接BE.求 ∠AEB的度数及AD与BE之间的数量关系. (3)拓展延伸： 如图③，△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，A,D,E三点在同一 条直线上，CMLDE于点M,连接BE.求∠AEB的度数及CM,AE,BE之间的数量关系. 卓育 ① ③ 参考答案及详解 2025-2026学年八年级数学北师版下册 .AD=10. 第一章三角形的证明及其应用（检测二） .AD+CD=10+3=13. 一、15.ADACA 6~10.CBCBD ..△CDM的周长的最小值为13. 解析： 二11.PB=PC12.36°13.70°14.2+V215. 2 7.∠A=90°， 解析： ∴.AE⊥AB 12..ED垂直平分AC,∴.EA=EC 又DE⊥BC,AE=DE .·.∠ECA=∠A=54° .BE平分∠ABC .∠ECB=90°-∠ECA=36° .∴∠ABC=2∠ABE=56°」 ∴∠C=90°-∠ABC=34° 13..AB=AC,AD⊥BC 8.B0平分LABC, 六∠CAD=2BAC=55 .∠DBO=∠CBO .AD=DE. DE∥BC .∠AED=∠CAD=55°. .∠CBO=∠DOB. .·.∠ADE=180°-∠AED-∠CAD=70° ∴.∠DBO=∠DOB 14.如图，过点D作DFLAC于点F ..OD=BD. 同理，可得OE=CE. E .·△ADE的周长为AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+ CE+AE=AB+AC=8+6=14. 9..AC=AD=BD .AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC ∴.∠ADC=∠C=70°，∠B=∠BAD. .·.DE=DF=1,∠BED=∠CFD=90 '∠ADC=∠B+∠BAD .∠B=30°， .∠B=∠BAD=35° ·.BD=2DE=2. .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-70°=75 .·∠C=45°. 10.如图，连接AM,AD. .∠FDC=45°. .·.∠C=∠FDC. ..CF=DF=1. .CD=VCF2+DF=√P+1下=V2. A ..BC=BD+CD=2+V2 :EF是AC的垂直平分线， 15..CD LAB,.∠ADH=∠BDC=90° ..AM=CM. .∴.∠BCD+∠CBF=90° 当A,M,D三点在同一条直线上时，△CDM的周长最 .EF∥CD,∴.∠F=∠ADH=90° 小，为AD+CD的长 ∴.∠F=∠BDC :等腰三角形ABC的底边BC的长为6，点D为BC边的中 BE⊥BC,∴∠CBE=90°，即∠EBF+LCBF=90° 点 ∴.∠EBF=∠BCD .AD⊥BC,BD=CD=3. 在△EBF和△BCD中 Sac=2BCAD=2×61D=30. ·,'∠F=∠BDC,∠EBF=∠BCD,BE=CB .∴.△EBF≌△BCD(AAS). ∴.EF=BD,BF=CD. ∵EF=HD,.BD=HD. ..BF-BD=CD-HD,DF=CH=3 在△AEF和△AHD中， .·∠EAF=∠HAD,∠F=∠ADH,EF=HD .△AEF≌△AHD(AAS) ..AF=AD. AF-2DF-2 三、16.解：根据题意，得(n-2)×180°×二=360°-150° 6 解得n=9. 17.解：(1)补全图形如图所示： (2)等腰三角形的三线合一 （3)如图，△ABC即为所求作 B 18.证明：.：AB=AC,AD⊥BC ·.∠BAD=∠CAD .:EF∥AC ∴.∠F=∠CAD ∴.∠BAD=∠F ·.AE=FE 19.证明：.AD是△ABC的中线 ..BD=CD. .DE⊥AB,DF⊥AC .∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ·BD=CD,BE=CF, .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) .DE=DF. 又.DE⊥AB,DF⊥AC .AD平分∠BAC. 20.解：，∠ACB=90°，∴.∠B=90°-∠A=60°. (1分) .CD⊥AB,∴.∠BDC=∠ADC=90°. ..∠ACD=90°-∠A=60 (2分) DE⊥BC,.∠BED=90° .∴.∠BDE=90°-∠B=30° (3分) .·.∠CDE=∠CDF=∠BDC-∠BDE=60° (4分) ∠CFD=180°-∠CDF-∠ACD=60°， (5分) ∴.∠CDF=∠CFD=∠ACD. (6分) ∴△FCD是等边三角形. (7分) ∴.CD=DF=4.5cm. (8分) (4分) :∠A=30°，.AC=2CD=9cm. (9分) (6分) 21.解：.△ABC是等边三角形 (3分) .AC=BC,∠BCA=60° (1分) 由题意可知AD=OB=3,CD=OC=4. .△ADC≌△BOC(SSS). (3分) ,∴.∠ACD=∠BC0,∠ADC=∠BOC (4分) ∴.∠ACD+∠OCA=∠BCO+∠OCA,即∠OCD=∠BCA=60° (5分) (5分) ∴.△OCD是等边三角形 (7分) (8分) ∴.∠0DC=60°，0D=0C=4. (8分) 在△AD0中，AD2+0D2=9+16=25=0A2 ·.△AD0是直角三角形，且∠ADO=90° (9分) .∠ADC=∠AD0+∠ODC=150 (10分) ∴.∠B0C=150° (11分) 22.解：(1)BF=EF (2分) (2)成立. (3分) 理由：如图②，连接DF 点D是CB的中点， (5分) .CD=BD. (3分) (6分) 由折叠.得CD=ED,∠AED=∠C=90° (4分) (8分) .BD=ED,∠DEF=90° (5分) .BF∥AC,∠C=90°， (1分) ∴.∠DBF=180°-∠C=90°. ·.∠DBF=∠DEF=90° (6分) (2分) 在Rt△DBF和Rt△DEF中， DF=DF,BD=ED. .Rt△DBF≌Rt△DEF(HL) (7分) (4分) .BF=EF (8分) (6分) (8分) 即∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， .'CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE ∴.△ACD≌△BCE(SAS). ∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC=1209 (3)成立 ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60 理由：如图③，连接BE (3)·△CAB和△CDE均为等腰直角三角形！ :点D是CB的中点， ∴.CA=CB,CD=CE,∠CDE=∠CED=45° ∴.CD=BD. ·.∠ADC=180°-∠CDE=135° 由折叠，得CD=ED.∠AED=∠C. .·∠ACB=∠DCE :BD=ED. ∴.∠ACB-∠DCB=LDCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE. .∠DBE=∠DEB. (9分) 在△ACD和△BCE中， .BF∥AC .CA=CB.∠ACD=∠BCE,CD=CE. .∠DBF=180°-∠C .△ACD≌△BCE(SAS) 又·∠DEF=180°-∠AED,∠AED=∠C ∴.AD=BE,ADC=∠BEC=1359 ∴.∠DBF=∠DEF (10分) ·.∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90° .∴.∠DBF-∠DBE=∠DEF-∠DEB.即∠EBF=∠BEF. (11分) .·∠DCE-90°，CD=CE.CM⊥DE ..BF=EF. (12分) DM-EM.ZDCM=LECM-2/DCE-45 23.解：(1)∠AEB=∠C+∠CAE (1分) ∴.∠DCM=∠CDE,∠ECM=∠CED. AD=BE (2分) ∴.CM=DM.CM=EM. (2)·△CAB和△CDE均为等边三角形 ∴.DE=DM+EM=2CM ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60° ∴.AE=AD+DE=BE+2CM. ∴.∠ADC=180°-∠CDE=120°，∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB. (4分) (5分) (6分) (7分) (8分) (9分)》 (10分) (12分) (13分)