第二十章 勾股定理 检测（二）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步单元卷(人教版·新教材)

班级： 姓名： 学号： 2025-2026学年八年级数学人教版下册 第二十章 勾股定理检测（二） (说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分120分) 三 题号 二 总分 16 17 18 19 20 21 22 23 得分 第I卷 选择题（共30分） 一选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题意，请将其字 母标号填入下表相应题号的空格内) 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1下列各组数中，属于勾股数的是 A.2,3,4 B.5,6,11 C.5,12,13 D.0.6,0.8,1 2小明从家出发先向东走800m,再向南走1500m到达学校，那么学校与小明家之间的距 离是 A.1700m B.2300m C.2200m D.1600m 3△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:3:2 C.a=2,b=3,c=4 D.(b+c)(b-c)=a2 4如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形.已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是 100,则半圆C的面积是 A.36 B.4.5m C.9π D.18m 5如图是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口D所 在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感应装置.已知出水口D到，点C的距离为15cm, 出水口D到，点E的距离为17cm,CD LAB,则红外线感应装置到洗手台面的高度BE为 A.8 cm B.12 cm C.15 cm D.17 cm C D E B B 洗手台面 ① ② 第5题图 第6题图 第7题图 6如图，将一根长为16cm的橡皮筋水平放置，固定两端点A,B,然后把中点C竖直向上拉 升6cm至点D,则这根橡皮筋被拉长了 A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8cm 7在如图①所示的一段5级台阶上铺地毯，各个台阶的水平宽度和垂直高度均相等，其截面示 意图如图②所示，其中一个台阶的水平宽度和垂直高度之比b:α=4：3，斜面的长度（图②中粗 线)为15m,那么需要的地毯长度是 A.10m B.22m C.25m D.21m 8 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅 图中能证明勾股定理的是 ② ③ (④ A.②③ B.①②③ C.①②③④ D.②③④ 9 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=3,AC的垂直平分线交AB于点M,交AC于点N,则 BM的长为 A. B.2 6 3 08 B M 第9题图 第10题图 10如图是一个长12cm,宽5cm,高8cm的长方体，一只蚂蚁从一条侧棱的中点A沿长方体表 面爬行到顶点B的最短路程是 A.13 cm B.15 cm C.21 cm D.25 cm 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将正确答案填在题中横线上） 11如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=1,直角边AB落在数轴上，点A表示的数为-1，以点 A为圆心，以AC的长为半径画弧，交数轴正半轴于点D,则，点D表示的数是 D -101B B4 D 第11题图 第12题图 12如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,则底边BC上的高AD的长为 13如图，一条高速公路的某个隧道的入口是一个半径为4的半圆形，且只能单向行驶，一辆 集装箱货车可以视为宽3m、高3m的长方体，那么它 通过该隧道.（填“能”或“不能”） 4 B 第13题图 第14题图 4如图，牧童在A处放牛，救童家在B处，A,B两处到河岸的距离4C,BD的长分别为500 700m,且C,D两地间的距离为500m.天黑前，牧童需从A处将牛牵到河边饮水再回家，那 么牧童最少要走 m. 15如图，在正方形网格中，点A,B,P都在格点上，则∠APB的度数是 三解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16(本题6分)如图，在△ABC中，CD LAB于点D,BC=20,AC=15,BD=16,求AB的长. 17(本题8分)如图，甲、乙两艘船从港口A同时出发，甲船以16海里时的速度沿北偏东40°方 向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若B,C两岛 相距20海里，求乙船的航行速度. 个北 东 18(本题8分)综合与实践 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边AD是否垂直于底边AB. 素材：雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边AD和底边AB的长度，并测量出B,D两，点之间的距离； 步骤2：通过计算验证. 解决问题： (1)通过测量得到AD的长是60cm,AB的长是80cm,BD的长是100cm,AD垂直于AB吗？ 为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为30cm的刻度尺，你能有办法检验AD是否垂直于AB吗？ 如果能，请写出你的方法 9(本题9分)如图，某景区内有一块四边形空地ABCD,管理人员想在这块空地上铺满草坪. 经测量，∠ABC=90°，AB=20m,BC=15m,CD=7m,AD=24m. (1)求AC的长； (2)求这块空地的面积； (3)草坪的价格是30元/m,请你计算购买草坪需要花费多少元. 20 (本题9分)数学兴趣小组利用所学的数学知识解决实际问题，形成实践报告如下： 活动课题风筝离地面的垂直高度的探究 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成 问题背景木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.我们在放风筝时想测量风筝离地面的垂直 高度 我们测量了相关数据，并画出了某时刻的示意图，测得放风筝的手与风筝的水平距离BC 为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，手到地面的距离为1.5米 A 测量数据 抽象模型 D 经过讨论，得出以下问题： 问题产生 (1)运用所学勾股定理的相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度， (2)如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 问题解决 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题， 21（本题10分)请阅读下面材料，并完成相应任务. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理 之一，大约有五百多种证明方法.下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证 明方法】 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图①所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a,b和c分别 表示直角三角形的两条直角边和斜边的长，四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形. 达·芬奇用如图②所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角 形组成，面积记为S,;剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为S, A 剪开 右边部分 上下翻转 ① ② 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整 解：由图①，知SE方形me=4SAc+SE方形cam,正方形CFGH的边长为 因为SE方形ABm=C2,S△Ac= ,S正方形cFGH一 所以c2=4x + 整理，得a2+b2=c2 (2)请你利用图②及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程， 22(本题12分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC的延长线上一点，连接AD. (1)若AC=13,AB=12,AD=15,求CD的长； (2)若AC平分∠BAD,BC=9,CD=15,求AB的长. 智想 23(本题13分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围形成极端气候，有极强的 破坏力.如图，监测中心监测到有一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向 西移动，点C为一海港，与A,B两点的距离分别为300km和400km,且∠ACB=90°，过点C 作CE⊥AB于点E.已知以台风中心为圆心，周围260km以内为受影响区域. (1)求监测点A与监测，点B之间的距离. (2)若台风的速度为25kmh,此次台风对海港C有影响吗？若有，请求出该海港受台风 影响持续的时间；若没有，请说明理由. 东 E B 卓育 参考答案及详解 13.75. 因为13.75>32，所以该货车能通过隧道 2025-2026学年八年级数学人教版下册 14.如图，作点A关于河岸CD的对称点A',连接BA'交河岸CD 于点P,连接AP,则此时牧童所走的路程最短，为BA'的 9.如图.连接MC. 第二十章勾股定理检测（二） 长 过点A'作A'B'⊥BD,交BD的延长线于点B',则DB'=CA'= 一、1-5.CACBB 6~10.ADDDB CA=500m,A'B'=CD=500m. 解析： 2.因为8002+15002=2890000,1700=2890000，所以学校与 小明家之间的距离是1700m. 3.A.因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠C=90°，故△ABC是直角三角形： 因为MW是AC的垂直平分线，所以MA=MC. 所以BB'=BD+DB'=1200m. B.因为∠A:∠B:∠C=1:3:2 设BM=x,则MA=MC=4-x. 在Rt△BB'A'中，BA'2=A'B2+BB2=500+1200= 3 所以LB=1+3+2180=90,所以△ABC是直角三角能： 在Rt△BCM中，MC2=BC+BMP, 1690000 7 C.因为2+3≠42，所以△ABC不是直角三角形， 即(4-x尸=3+2，解得 所以BA'=1300,所以牧童至少要走1300m. D.因为(b+c)(b-c)=a2, 15.如图，延长AP交格点于点D,连接BD. 所以b2-c2=a2,即a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形. 所以BM的长为g 4.根据题意，可知对于半圆C,有(2r)2=100-64=36, 10.若蚂蚁从点A经长方体的正面和上面爬到点B,则所爬行 所以=3，所以半圆C的面积是 2r-4.5m. 的银宽路程份平方为2+引235。 5.如图，连接DE 若蚂蚁从点A经长方体的左侧面和上面爬到点B,则爬行 设小正方形的边长均为1。 的最短路程的平方为侣+12+5-281： 由勾股定理，得PD2=BD=1+22=5,PB2=1P+32=10, 所以PD+BD=PB. 若蚂蚁从点A经长方体的正面和右侧面爬到点B,则爬行 所以△PBD是直角三角形，且∠PDB=90° 的最短路程的平方为(12+5)2+ 8 305 以∠DPB=∠PBD=45° B 洗手台面 所以∠APB=180°-∠DPB=135°. 因为225<281<305 因为CD⊥AB, 三、16.解：因为CD LAB. 所以蚂蚁爬行的最短路程是15cm 所以∠DCE=90 所以∠ADC=∠BDC=90° (1分) 二、11.V10-112.813.能14.130015.135 在Rt△DCE中，由勾股定理，得CE2+CD=DE2,即CE+152= 在Rt△BCD中，根据勾股定理，得CD+BD=BC.即CD+ 解析： 172,所以CE=8. 162=202,所以CD=12. (3分) 11.在Rt△ABC中，AC=WAB2+BC2=V32+12=V10 所以BE=BC-CE=20-8=12(cm), 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD+AD2=AC,即12+ 由作图知AD=AC=V10. 所以红外线感应装置到洗手台面的高度BE为12cm. AD=152,所以AD=9 (5分) 所以点D表示的数是V10-1. 6.因为点C是AB的中点，所以AC=BC=AB=8cm 所以AB=AD+BD=9+16=25 (6分) 12.因为AB=AC,AD为底边BC上的高， 17.解：因为甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方 由题意，得∠ACD=∠BCD=90°，所以CD⊥AB, 向航行， 所以CD是AB的垂直平分线，所以AD=BD. 所以∠A0c=90,cD-8C=6 在Rt△ADC中，AD+CD2=AC,即AD+6=10,所以AD=8. 所以∠BAC=180°-40°-50°=90° (2分) 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC+CD,即AD2=82+6 13.根据题意可画出如图所示的图形，其中点0为半圆的圆 由题意，得AC=16×1=16(海里)，BC=20海里 所以AD=10. 在Rt△ABC中，AB2=BC2-AC=202-16=144, (5分) 所以AD+BD-AB=10+10-16=4(cm), 心，集装箱货车的横切面为长方形ABCD,OB=3, 2 m.ABL 所以AB=12, (7分) 所以这根橡皮筋被拉长了4cm. 0B,0A=4m. 所以乙船的航行速度是12÷1=12（海里/时）. (8分) 7.因为b:a=4:3,所以设a=3x,则b=4x. 18.解：(1)AD⊥AB (1分) 由题意，得(3x)2+(4x)2= 15)2 理由：因为AD2+AB2=60+80=10000.BD2=1002=-10000. 5 所以AD+AB2=BD2, (3分) 匠以所以需要的地毯长度是 0 所以△ABD是直角三角形，且∠A=90°，所以ADLAB. 5a+6)=53×2 (5分) =21(m) 在Rt△AB0中，由勾股定理，得AB2=OA2-0B2=4 5 (2)答案不唯一，如在AD上取AE=3cm,在AB上取AF=4 cm,连接EF,测量出EF=5cm,则AD⊥AB. (8分) 19.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理.得AB2+BC=AC.即 20+152=AC2.所以AC=25m. (2分) (2)因为AD2+CD2=242+72=625,4C=625 所以AD+CD2=AC. (4分) 所以△ACD是直角三角形，且∠ADC=90 (6分) 1 所以Smcw=Sauc+5a4uc2X20x15+2X24x7=234m). (7分) (3)234×30=7020(元). (8分) 所以购买草坪需要花费7020元. (9分) 20.解：(1)由题意，得CD=1.5米，∠ACB=90° 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+BC=AB2,即AC2+152 172,所以AC=8米. (2分) 所以AD=AC+CD=8+1.5=9.5(米). (3分) 所以风筝离地面的垂直高度为9.5米 (4分) (2)如图，当风筝沿DA方向再上升12米时，A'C=AC+12=20 米 (5分) A D 在Rt△A'BC中.由勾股定理，得BC+A'C2=A'B2,即152+20 =A'B2, 所以A'B=25米 (7分) 25-17=8(米). (8分) 所以应再放出8米风筝线 (9分) 21.解：(1)a-b (2分) (3分) (a-b)2 (4分) 1 36 (5分) (a-b)2 (6分) (2)根据题意，得S,=a2+b+2×ab=a+b+ab,S,=c+2×2ab= c2+ab. (8分) 因为S=S2, 所以a2+b2+ab=c2+ab (9分) 整理.得a2+b-c2. (10分) 22.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC+AB2=AC,即 BC+122=132,所以BC=5. (1分) 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD+AB=AD2,即BD+122= 152.所以BD=9. (2分) 所以CD=BD-BC=4. (3分) (2)如图.过点C作CE⊥AD于点E (4分) 因为∠ABC=90°，AC平分∠BAD 所以CE=BC=9. (5分 在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE+CE=CD,即DE+9= 152.所以DE=12. (6分) 在Rt△ABC中，AB2=AC2-BC 在Rt△ACE中，AE=AC-CE. 所以AB2=AE,所以AB=AE. (8分) 设AB=AE=x,则AD=x+12. (9分) 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2+BD=AD2,即x2+(9+ 15)2=(x+12)2,解得x=18. (11分) 所以AB的长为18. (12分) 23.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+BC=AB,即 300+400=AB2. 所以AB=500km (2分) 所以监测点A与监测点B之间的距离为500km. (3分) (2)此次台风对海港C有影响 (4分) 1 因为Sac24B.CB=2AC-BC. 所以CE=A4C.BC_300×400=240. (6分) AB 500 因为240<260. 所以此次台风对海港C有影响 (7分)》 因为CE=240km,所以可在直线AB上取两点P,Q,使CP= CQ=260km,如图所示： (8分) AP 由题意，可知台风中心从点Q移动到点P的这段时间内对 海港C有影响. (9分) 在Rt△CEP中，CE+PE=CP2.即240+PE=260 所以PE=100km. (10分) 同理，QE=100km. (11分) (100+100)÷25=8(h), (12分) 所以该海港受台风影响持续的时间为8h (13分)