精品解析：福建福州第八中学2025-2026学年九年级第七次适应性练习 数学 试卷

福州八中2025-2026学年九年级第七次适应性练习 数学试卷 一、选择题（每题4分，共10小题，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得亿用户，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若一种机器零部件如图所示，则该零部件的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 2026年马年吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，组委会制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物名称．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下名称后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字（即“驰驰”）的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两？（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 10. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是______． 13. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_________． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则________． 15. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则a的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2）解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 19. 已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 四边形如图所示． （1）尺规作图：分别在，，边上作点E，F，G，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，，求菱形的面积． 21. 为了响应“全民全运，同心同行”的号召，某学校要求学生积极参与体育运动，为了解学生身体素质，某班对20名女生一分钟跳绳个数进行了统计和分析： 数据收集（单位：个）150，199，160，152，182，162，176，194，182，178，151，175，161，163，167，179，182，185，192，198 数据整理： 数量/个 频数 3 a 4 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 174.4 b c 问题解决： （1） ， ， ； （2）根据福建省中考体育细则规定，女生跳绳每分钟不低于170个为满分，若该校九年级毕业生中女生有360人，请估计该校九年级毕业生中女生跳绳满分的人数； （3）体育老师考虑到学生考场心态等问题，最终确定一半女生本次成绩为“稳满分”．敏敏同学跳了175个，她认为自己的成绩高于平均数，所以她应该也是“稳满分”，敏敏同学的说法是否正确，请说明理由． 22. 如图，是的直径，与相切于B，C为上点，，与相交于点E，交于F． （1）求证：与相切； （2），，求的长． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求证：； （2）若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 24. “智能引领未来，科技赋能生活”，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下： 机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息； 系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时； 系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作． 由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队． 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为平方米，第二层需清扫的面积为平方米，其中． 任务一 计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积． 任务二 比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务． 任务三 设计人工清洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算． 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min） 观众席 甲 75 比赛场地 乙 40 出入通道 甲、乙合作 35 内场角落 乙 70 表2 团队 基础收费（元） 工时费（元/小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计） （要求：每个任务包由系统分配的团队完成；每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；甲乙合作的任务需两个团队同时开始；设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；所有的任务包的任务都要完成）． 25. 在中，，点D是上一点，点E是左侧一点，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）若，当，时，求线段的长； （3）如图2，将线段平移至线段，点B的对应点为点E，连接，若．且，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州八中2025-2026学年九年级第七次适应性练习 数学试卷 一、选择题（每题4分，共10小题，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得亿用户，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 若一种机器零部件如图所示，则该零部件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图进行判断即可． 【详解】解：该零部件的主视图是． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于幂的运算法则逐项计算，根据计算的结果进行判断． 【详解】解：A选项：，故A选项计算错误； B选项：，故B选项计算正确； C选项：，故C选项计算错误； D选项：，故D选项计算错误． 故选：B． 5. 如图，，，都是的半径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，再由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 6. 2026年马年吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，组委会制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物名称．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下名称后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字（即“驰驰”）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”分别编号为， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的结果有7种， 两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的概率为． 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可知与的位似比为，且图形位于原点两侧，故对应点坐标互为相反数且倍数关系为． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， ∴与的相似比为，由图可知，与关于原点对称 ∴点与点是对应点，且点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的倍， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 8. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两？（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题目中的两种分银情况建立方程组，每人分7两剩余4两，即总银两数等于分出的两加上剩余4两；每人分9两差8两，即总银两数比需要的两少8两，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：每人分7两，剩余4两，总银两数等于分出的两加上剩余的4两，即，变形后为， 每人分9两，差8两，总银两数比需要的两少8两，即， 将两个方程组合，得到． 故选：A． 9. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项． 【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC， 由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形； C选项添加OA=OC， 由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD， ∵OA=OC， ∴BD也垂直平分AC， ∴AB=BC， ∴AB=AD=BC=DC， 所以四边形ABCD是菱形； D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ， 由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 由AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通． 10. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出正多边形的中心角，利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵十二边形是正十二边形， ∴， ∵于M，又， ∴， ∵正边形的周长， ∴圆内接正十二边形的周长， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查实际问题中的求角度，涉及平行线性质、邻补角、三角形外角性质等知识，先由邻补角定义，再由平行线性质得到中的两个内角，再根据图形中是的一个外角，利用外角性质即可得到答案，熟练掌握平行线性质及外角性质求角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ， 一束平行于主光轴的光线， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 13. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_________． 【答案】C点 【解析】 【分析】分别连接两个三角形的对应点，再分别作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点，即为旋转中心，据此进行作答即可，本题考查了旋转中心，旋转性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解，连接，分别作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点在点，如图所示： 故点C为旋转中心， 故答案为：C点 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴于D，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则a的取值范围是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当有， 可得或， ∴或 ， 解得； 综上，或． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、特殊角的三角函数值和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减； （2）分别计算两个一元一次不等式，再根据大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到求出不等式组的解集即可． 熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解①得：， 解②得： ， 不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则计算即可化简，然后把符合题意的a的值代入化简式计算即可． 【详解】解： ， ∵，且为整数， ∴当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 19. 已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】略 20. 四边形如图所示． （1）尺规作图：分别在，，边上作点E，F，G，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，，求菱形的面积． 【答案】（1）如图所示，四边形为所求作： （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，再作线段的垂直平分线，分别交于、于、于，顺次连接A、E、F、G，由垂直平分线性质得四边相等，故四边形为所求菱形； （2）在菱形中，平分，故，再利用三角函数求出和，进而即可得，则可求出菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ，， ， 又， ， ， 又，， ∴， 在中，， 同理可计算得：， ， ． 【点睛】本题融合尺规作菱形、菱形性质与解直角三角形，以四边形为载体，通过角平分线、垂直平分线构造菱形，结合直角三角形计算面积，考查几何作图与计算能力，体现转化与化归、数形结合的数学思想． 21. 为了响应“全民全运，同心同行”的号召，某学校要求学生积极参与体育运动，为了解学生身体素质，某班对20名女生一分钟跳绳个数进行了统计和分析： 数据收集（单位：个）150，199，160，152，182，162，176，194，182，178，151，175，161，163，167，179，182，185，192，198 数据整理： 数量/个 频数 3 a 4 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 174.4 b c 问题解决： （1） ， ， ； （2）根据福建省中考体育细则规定，女生跳绳每分钟不低于170个为满分，若该校九年级毕业生中女生有360人，请估计该校九年级毕业生中女生跳绳满分的人数； （3）体育老师考虑到学生考场心态等问题，最终确定一半女生本次成绩为“稳满分”．敏敏同学跳了175个，她认为自己的成绩高于平均数，所以她应该也是“稳满分”，敏敏同学的说法是否正确，请说明理由． 【答案】（1）5；182；177 （2）216人 （3） 解：敏敏同学说法不正确，理由如下： 一半女生本次成绩为“稳满分”，则“稳满分”学生的成绩应该大于或等于中位数， 因为敏敏同学的成绩高于平均数，但还是低于中位数， 所以敏敏同学的成绩不是“稳满分”， 故敏敏同学说法不正确． 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表得到，再根据众数、中位数的定义即可得到； （2）先求出20名女生一分钟跳绳个数中不低于170个的人数占比，再乘以360即可求解； （3）一半女生确定为“稳满分”，则“稳满分”学生的成绩应该大于或等于中位数，再比较敏敏同学的成绩和中位数的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：由数据可得，， 20名女生一分钟跳绳个数中，出现最多的是182，共3次， ， 将20名女生一分钟跳绳个数从小到大顺序排列，中位数为第10位和第11位的平均数， ； 【小问2详解】 解：由题意得，20名女生一分钟跳绳个数中，不低于170个的有12人， （人）， 答：估计该校九年级毕业生中女生跳绳满分的人数为216人． 【小问3详解】 略 22. 如图，是的直径，与相切于B，C为上点，，与相交于点E，交于F． （1）求证：与相切； （2），，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，与交于点， ， ，即垂直平分线段， ， ， ， ， ， 是切线， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明是线段的垂直平分线，推出，推出，由，推出，推出，由是切线，推出，推出，推出，即可解决问题； （2）由，得，设，则，，，，，，，在中，根据，列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直径， ， ， ， ，, ， 设，则，， , ， ， ，，， 在中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求证：； （2）若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 【答案】（1） 证明：二次函数的图象经过点， ， ； （2）①； ②证明：点在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 由题意可知，点，关于直线对称， ，， ． 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式，求出即可； （2）①利用配方法得到顶点，再列式求解即可； ②根据题意可得，利用二次函数的对称性得到，再代入计算即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：， ， 该二次函数的最小值为， ，且， 解得，（舍去）， 该二次函数的表达式为； ②略 24. “智能引领未来，科技赋能生活”，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下： 机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息； 系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时； 系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作． 由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队． 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为平方米，第二层需清扫的面积为平方米，其中． 任务一 计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积． 任务二 比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务． 任务三 设计人工清洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算． 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min） 观众席 甲 75 比赛场地 乙 40 出入通道 甲、乙合作 35 内场角落 乙 70 表2 团队 基础收费（元） 工时费（元/小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计） （要求：每个任务包由系统分配的团队完成；每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；甲乙合作的任务需两个团队同时开始；设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；所有的任务包的任务都要完成）． 【答案】 任务一：原购置的机器人每小时清洁平方米； 任务二：原机器人先完成基础清洁任务； 任务三： 解：依据完成时间最少为优先原则，最佳人工清洁方案为： 清扫流程：甲乙两个团队先合作完成任务包后，甲团队完成任务包，乙团队完成和任务包； 完成时间： ；甲工时为，乙工时为； 外包费用： ，，（元） 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，不等式的实际应用，方案选择问题． 任务一：设原购置的机器人每小时清洁平方米，根据题意列方程求解即可； 任务二：通过比较各楼层的清扫面积，可得新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层，设原机器人的工作效率为，新购置的机器人的工作效率为，比较清扫时间即可； 任务三：依据完成时间最少为优先原则，尽量减少费用，先合作，再分工，减少等待时间，可确定最佳方案，计算完成时间和外包费用即可． 【详解】任务一： 解：设原购置的机器人每小时清洁平方米， 根据题意可得 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原购置的机器人每小时清洁平方米． 任务二： 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层， 设原机器人的工作效率为，新购置的机器人的工作效率为， 根据题意可得， 又∵， ∴， ∵ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴原机器人先完成基础清洁任务． 任务三：略 25. 在中，，点D是上一点，点E是左侧一点，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）若，当，时，求线段的长； （3）如图2，将线段平移至线段，点B的对应点为点E，连接，若．且，请求出的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，再证明，即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，，证明，得到；则可证明，得到；进而可推出，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）在上取一点M，连接，使得，设，则；设，根据相似三角形的性质得到，则可证明，得到；证明B、E、C、D四点共圆，得到，则；证明，得到，则可证明M、C、F三点共线；过点E作交的延长线于点L，解直角三角形得到，， ，则，据此可得，则；求出，得到；解直角三角形得到，，则可得到，由，得到则． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ∴，， ， ， ，， ； ∵， ∴， ∵， ∴， ； ∴， ， 由勾股定理得， ， 解得或（舍去）； 【小问3详解】 解：如图所示，在上取一点M，连接，使得， 由（1）（2）可得； ∵， ∴， 设，则； ∵， ∴可设； ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴B、E、C、D四点共圆， ∴， ∴； ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M、C、F三点共线； 如图所示，过点E作交的延长线于点L， 在中，，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $