精品解析：湖北襄阳市第三十五中学等校2025-2026学年八年级下学期阶段性学情评估（数学）

阶段性学情评估（数学） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 3、5、8 D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺(丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为(　　) A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别与AD，BC交于点E，F，连接OD，OC．以下结论：①；②点O是EF的中点；③四边形CDEF的周长是四边形ABFE的周长的2倍；④，其中正确的结论有_________．（填序号） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：_______． 12. 如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为__________． 13. 如图，在中，的平分线交于点E．若，则的周长是_______． 14. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 15. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为______． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16. 计算 （1） （2） 17. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 18. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯AB，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙角C的距离为7米． （1）求这个梯子的顶端距地面的高度AC是多少？ （2）如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑 动后停在DE的位置上（云梯长度不变），测得BD长为8米，那么云梯的顶部在下滑了多少米？ 20. 如图，在中，点D是边的中点，平分，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． （1）直接写出线段AC、CD、AD的长； （2）求∠ACD的度数； （3）求四边形ABCD的面积． 22. 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． （1）若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， _________． 根据海伦公式可得_________． （2）请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． （3）如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 23. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算：； （3）若，求的值． 24. （1）如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数 小明通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在AB上截取．造出全等三角形，从而便问题得以解决．请按照小明的思路完整解答．求出的度数 （2）如图2，在四边形中，，，求证： （3）如图3，在中，，，射线于点．若点E，F分别是射线AD，边AC上的动点，，连接BE，BF，直接写出最小值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段性学情评估（数学） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴二次根式的被开方数需满足非负条件，即， 解得． 2. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 3、5、8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、∵，，， ∴2、3、4不能作为直角三角形三边，A不符合题意； B、∵， ∴满足勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边，B符合题意； C、， ∴3、5、8不能构成三角形，故C不符合题意； D、∵，设，，，最长边的平方为， ∴，不能作为直角三角形三边，D不符合题意． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项逐一判断即可； 【详解】解：，故不是最简二次根式； 是最简二次根式，故符合题意； ，故不是最简二次根式； ，故不是最简二次根式． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，A错误； B、，B正确； C、二次根式的被开方数必须为非负数，无意义，C错误； D、，D错误． 5. 若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，掌握内角和公式是解题的关键．根据任何多边形的外角和都是，可以求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式，就得到多边形的内角和． 【详解】解：根据题意得：该多边形的边数为：， 该正多边形的内角和为：． 故选：A． 6. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺(丈尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由竹子的原长及折断处离地面的高度，可得出折断处到竹梢触地面处的长度为尺，再利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原高丈(丈尺)，且折断处离地面的高度为尺， ∴折断处到竹梢触地面处的长度为尺． 根据题意得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 7. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形；一个四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；一个四边形有一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；一个四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形． 【详解】解：A、，， 四边形的对角线互相平分，是平行四边形； B、，， 四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形， 则不能判断四边形是平行四边形； C、，， 四边形的两组对边分别平行，是平行四边形； D、，， 四边形的两组对边分别相等，是平行四边形． 8. 如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出吸管露在杯子外面的长度的最短距离，再求出吸管露在杯子外面的长度的最长距离，进而可得出结论． 【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，吸管露在杯子外面的长度最短， 此时， 故吸管露在杯子外面的长度的最短距离； 当吸管垂直杯子底面时，吸管露在杯子外面的长度为， 即吸管在杯子外端的长度范围是， 选项D不符合题意， 故选：D 9. 如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形内角和求出的度数，再根据平行四边形对角线互相平分及中点定义判定为的中位线，从而得出，利用平行线的性质即可求解； 【详解】解：在中，，，  ， 四边形是平行四边形， ， 是边的中点， 是的中位线， ，  ． 10. 如图，在中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别与AD，BC交于点E，F，连接OD，OC．以下结论：①；②点O是EF的中点；③四边形CDEF的周长是四边形ABFE的周长的2倍；④，其中正确的结论有_________．（填序号） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形邻角互补及角平分线的定义可判断结论①；先利用平行线的性质、角平分线的定义可证明、是等腰三角形，然后进一步结合平行四边形的性质可以判断结论②；结合已知条件及前面的结论可判断结论③；利用平行四边形与三角形的面积公式可判断结论④． 【详解】解：结论①：四边形是平行四边形， 、分别平分， ， ． ，即．故结论①符合题意； 结论②：，  ． 由条件易知， ． ． ， 四边形，均为平行四边形， ． ，即点O是的中点．故结论②符合题意； 结论③：设， ，． 由前面得到的结论易知． 的周长为． 进而可知．   的周长为．故结论③不符合题意； 结论④：在和中，由平行四边形和三角形的面积公式可知 ． ． 在中，设边上的高为h，则边上的高为2h． ． ． 故结论④符合题意． 综上所述，正确的结论是①②④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行四边形及三角形的面积等知识．解题的关键是在复杂的图形中，能准确识别一些常见的图形结构及其结论． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，判断的符号，再去掉绝对值化简，即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 12. 如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，根据点在数轴正半轴即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴点表示的实数为． 13. 如图，在中，的平分线交于点E．若，则的周长是_______． 【答案】24 【解析】 【分析】在中，，，，则，结合平分，得出，则，求出，即可求出平行四边形周长； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 平行四边形周长． 14. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面密铺的问题．正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故答案为：． 15. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】44 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用和勾股定理的应用，解题的关键是理解题意． 设直角三角形的两直角边为，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，斜边为， ∵图1中大正方形的面积是24， ， ∵小正方形的面积是4， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积， 故答案为：44． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得解 （2）先计算二次根式的乘除以及化简二次根式，再计算加减即可得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 18. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把原式化为的形式，再代入进行计算即可； （2）先通分，再把与的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， ； 【小问2详解】 解：，， ． 19. 在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯AB，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙角C的距离为7米． （1）求这个梯子的顶端距地面的高度AC是多少？ （2）如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑 动后停在DE的位置上（云梯长度不变），测得BD长为8米，那么云梯的顶部在下滑了多少米？ 【答案】（1）24 （2）4 【解析】 【分析】（1）由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，即梯子为斜边，梯子底部到墙的距离线段为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为，所以梯子顶端到地为24米． （2）当梯子底端平滑8米后，梯子底部到墙的距离变为7+8=15米， EC=米，所以，梯子顶部向下滑动EA=24-20=4米． 【详解】解：（1）在中 ∵AB=25，BC=7，∠C=90°， ∴（米）， （2）在中 ∵DE=25，CD=CB+BD=7+8=15，∠C=90°， ∴， ∴． 即云梯的顶部下滑了4米． 20. 如图，在中，点D是边的中点，平分，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，即点是的中点， ∵点D是边的中点， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）3． 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明，再利用三角形中位线定理证明是解决问题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质可得到，再利用三角形的中位线定理证明，再加上条件可证出结论； （2）先证明，再证明，可得到，即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． （1）直接写出线段AC、CD、AD的长； （2）求∠ACD的度数； （3）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）AC=，CD=，AD=5 （2）∠ACD=90° （3）13 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求； （2）根据勾股定理逆定理可判断； （3）由S四边形ABCD=可求． 【小问1详解】 解：根据题意，得： AC=， CD=， AD==5． 【小问2详解】 解：∵AC+CD=+=25=5=AD． ∴∠ACD=90°． 【小问3详解】 解：．S四边形ABCD==8+5=13． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的关键． 22. 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． （1）若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， _________． 根据海伦公式可得_________． （2）请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． （3）如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中的实数的运算法则求解； （2）代入公式求解； （3）先根据题中的公式求出面积，再根据列方程求解． 【小问1详解】 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， ． 根据海伦公式可得； 【小问2详解】 解：根据题意可得，，， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ． 23. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差和完全平方公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （）直接进行分母有理化即可得出答案； （）将要求的式子各项进行分母有理化，再进行二次根式加减即可得出答案； （）根据题意得出的值，再把要求的式子变形为，再代入计算得出答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 24. （1）如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数 小明通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在AB上截取．造出全等三角形，从而便问题得以解决．请按照小明的思路完整解答．求出的度数 （2）如图2，在四边形中，，，求证： （3）如图3，在中，，，射线于点．若点E，F分别是射线AD，边AC上的动点，，连接BE，BF，直接写出最小值______． 【答案】（1） （2）如图：延长到点G，使得， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据是等腰直角三角形得到，作辅助线，构建全等三角形，证明，则，，设，则，，根据列方程可求的值，根据三角形内角和得，最后由周角得出结论； （2）延长到点G，使得，通过角的等量代换，得证，得，再通过等角对等边，即可作答． （3）过点C作直线，在直线上截取，连接,得知，得，运用勾股定理得出的值，即可作答． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， ， ， ， ， 在上取一点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）如图：过点C作直线，在直线上截取，连接, ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴最小值为 在中， ∵ ∴ ∴最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，全等三角形的判定与性质，等角对等边，三角形内角和性质，勾股定理，难度较大，解题的关键是正确作出辅助线证明三角形全等， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $