内蒙古呼和浩特市2026年中考数学模拟卷（二）

2026年初中学业水平考试中考模拟卷 数学学科中考备考资料 2025-2026学年内蒙古呼和浩特市九年级（下）段考 数 学 学 科 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果把向东走米记作米，那么向西走米记作(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2.下列运算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是(    ) A. B. C. D. 4.如图，该几何体的俯视图是(    ) A. B. C. D. 5.如图，点，，，均在上，连接，，，，于点，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象，如图，且与之间的函数关系式为，则变阻器消耗的电功率最大是(    ) A. B. C. D. 7.已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是(    ) A. 无论实数取什么值，都有 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到实数，使得 D. 可以找到实数，使得 8.我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是(    ) A. 小明买了支钢笔花了元，买支同样的钢笔花了元，计算每支钢笔的单价 B. 配制一种盐水，盐和水的质量比是：，现在往盐水中再加入克盐和克水，判断新盐水的浓度是否不变 C. 一辆汽车小时行驶千米，照这样的速度，计算行驶千米需要的时间 D. 一个长方形的长和宽的比是：，若长增加厘米、宽增加厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图是被撕掉一块的正多边形纸片，其中两条边的延长线交于点，且，则该正多边形的边数是        ． 10.我国古代著作九章算术中记载了一首古算诗：“邻舍蚕娘分蜀锦，不知人数不知缯每人四匹多八匹，每人六匹恰无剩”其大意是：邻居家的养蚕妇人分蜀地织成的锦缎，不知道有多少人和多少匹锦缎若每人分匹锦缎，会多出匹；若每人分匹锦缎，恰好能分完所有锦缎则有        匹锦缎． 11.如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接若，且，则的长度是        ． 12.如图，是中边上的一点，将沿着对折，点的对应点恰好落在上，连结，若，，则的长为        ． 第9题图 第11题图 第12题图 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算与化简： 计算：； 化简：． 14.本小题分某书法协会的创意节目墨韵以人工智能演绎传统水墨画为核心亮点，收获广泛关注演出结束后，李老师用科学的抽样方法随机抽取部分现场观众给节目评分，收集到评分满分分，且评分均是不低于分的整数后，李老师将这些数据进行整理，绘制如下统计图． 根据以上信息，解答下列问题： 现场观众评分的中位数为______分；并将条形统计图补充完整； 求这批现场观众的评分的平均数； 若此次演出现场观众人均给节目评分，则估计评分是分及以上有多少人？ 15.本小题分某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出个甲种驱蚊手环和个乙种驱蚊手环，收入元；另一天，以同样的价格卖出个甲种驱蚊手环和个乙种驱蚊手环，收入元． 每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？ 某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共个，总费用不超过元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？ 16.本小题分 如图，点，，均在上，连接，，，且经过圆心过点作的切线，连接，分别交于点，交于点，且． 求证：； 若，，求的长． 17.本小题分 某林区消防大队利用无人机进行消防演练，无人机升空后在点所在高度水平匀速飞行，到达指定位置时，空投一枚模拟灭火干粉罐干粉罐灭火弹离开无人机后，在空中做平抛运动，轨迹为一段抛物线，如图所示，空投点即为抛物线的最高点若无人机程序设计空投点坐标，投放目标点坐标． 求抛物线的函数关系式； 如果在距离空投点水平距离米处有一棵高米的树木请通过计算判断干粉罐是否会撞到树木；如果干粉罐会碰到树木，保持无人机原有速度不变即平抛运动轨迹抛物线形状不变且水平位置不变，仅调整无人机空投点高度，求调整后空投点的高度至少为多少米时，干粉罐才能避开树木结果保留整数． 18.本小题分 解决下列问题 如图，在正方形中，点是边上一点，为延长线上一点，且，则线段与线段之间的数量关系是______，位置关系是______； 【类比迁移】 如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，延长和的延长线相交于点当时，求的长； 【拓展提升】 如图，在菱形中，，点是边上一点，且，为延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，请直接写出的值． 2025-2026学年内蒙古呼和浩特市九年级（下）段考 数 学 学 科 评 分 标 准 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C B D C B 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.   10.  11.   12.   三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.解：原式 .....................................................3分 .........................................................................5分 .....................................................3分 ........................................................................5分 先化简二次根式、计算特殊角三角函数值和负整数指数幂以及零指数幂，再将上述结果依次加减即可； 先通分括号内的分式，再利用平方差公式进行因式分解后运算除法即可得出结果． 本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 14. 解：由题意得，参与评分的观众人数为人， 把这人的评分按照从低到高的顺序排列，第个数据为分，第个数据为分， 现场观众评分的中位数为分； 评分为分的人数为人， 补全统计图如下： 故答案为：；.....................................................2分 分， 答：这批现场观众的评分的平均数为分.....................................................4分 若此次演出现场观众人均给节目评分，则： 人， 答：估计评分是分及以上有人.....................................................7分 用评分为分的人数除以其人数占比可得到参与评分的观众数，根据中位数的定义求出中位数，再求出评分为分的人数，最后补全统计图即可； 根据平均数的定义求解即可； 用乘以样本中评分是分及以上的人数占比即可得到答案． 本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 15.解：设每个甲种驱蚊手环的售价是元，每个乙种驱蚊手环的售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个甲种驱蚊手环的售价是元，每个乙种驱蚊手环的售价是元............................................5分 设购买甲种驱蚊手环个，则购买乙种驱蚊手环个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为． 答：最多可购买甲种驱蚊手环个.............................................10分 【解析】设每个甲种驱蚊手环的售价是元，每个乙种驱蚊手环的售价是元，根据“卖出个甲种驱蚊手环和个乙种驱蚊手环，收入元；卖出个甲种驱蚊手环和个乙种驱蚊手环，收入元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购买甲种驱蚊手环个，则购买乙种驱蚊手环个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 16.证明：由题意可得：， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，， .....................................................6分 解：如图：连接， ， ，，，即， ， ， 设，则，即，， ，， ， 解得：负值不符合题意，已舍去负值， ，.....................................................9分 ， ，即， ， 解得：， .....................................................12分 由切线的性质、圆周角定理可得、，进而得到、，再根据等边对等角、对顶角相等以及等量代换可得，再根据同角的余角相等即可证明结论； 如图：连接，由圆周角定理可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得；设，则，即，，根据余弦定义列方程可求得已舍去负值，即、；由可知，再根据余弦的定义列方程可求得，最后运用勾股定理求解即可． 本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键． 17.解：设抛物线的函数关系式为， 抛物线过点， ， 解得， .....................................................6分 距离空投点水平距离米的位置，则该点的横坐标为， 当时， ， 干粉罐会撞到树木．.....................................................8分 设调整后空投点的高度为米， 平抛运动轨迹抛物线形状不变， ， 由题意可得，， 解得， 调整后空投点的高度至少为米，干粉罐才能避开树木.....................................................12分 根据抛物线的顶点为，设抛物线的函数关系式为，再把点代入，求出的值，即可解答； 距离空投点水平距离米的位置，则该点的横坐标为，把代入函数关系式，求出函数值，与树高米比较即可判断干粉罐是否会撞到树木．设调整后空投点的高度为米，设调整后空投轨迹抛物线的函数关系式为，将点代入，求出的值即可解答． 本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键． 18.解：如图，延长交于点， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 故答案为：；；.....................................................5分 如图，延长交于点， 在矩形中，，，， ，，， ，，， 由折叠得到， ， ，， ， 又， ∽， ， 即， 解得；.....................................................9分 的值为或理由如下： 当线段与射线所夹的锐角为时，则或； 当时，如图，过点作交于点，延长交延长线于点， 在菱形中，， ，，， ， 令，，则， 在中，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ，， ，， ∽， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得：经检验，是分式方程的根，且符合题意， ，， ， ； 当时，如图，， 由知，， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得：经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， ， ， ； 综上所述，的值为或．.....................................................13分 延长交于点，结合正方形的性质利用证明≌，和，证明即可； 延长交于点，证明∽，即可求出的长； 当线段与射线所夹的锐角为时，则或；当时，过点作交于点，延长交延长线于点，结合菱形的性质得，，，令，，则，在中，利用勾股定理求得，在中求得结合平行线得到和，求得和，进一步证明∽和∽，有求得，即可求得和，结合即可；当时，，由知和，则有∽和∽得到，求得和、，利用即可． 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转对称性质及勾股定理的计算等知识点，熟练掌握全等与相似三角形的性质是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $