第八章 圆柱与圆锥单元复习（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

第八章 圆柱与圆锥单元复习 圆柱的基本概念 1. 圆柱的形成 如图，将长方形OAA’O’以它的一条边OO’所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成的立体图形叫作圆柱体，简称圆柱. . 2. 圆柱的组成 核心概念： 底面：2个大小相等的圆形，互相平行； 侧面：1个曲面，围成圆柱的 “侧面部分”； 高：连接两底面圆心的线段（或两底面之间的垂直距离），所有高的长度相等. 母线：圆柱的母线长就等于圆柱的高. 圆柱的侧面展开图 1. 圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开是个长方形,它的长是底面圆的周长，它的宽是圆柱的高. 2. 圆柱的侧面面积公式： S侧=Cl=2πrl=2πrh. 其中，S侧表示圆柱的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高. 圆柱的表面积和体积 1. 圆柱的表面积 圆柱的表面由它的侧面和两个底面组成.因此，圆柱的表面积等于它的侧面积与两个底面积的和，即 S表=S侧+2S底=2h+2 2. 圆柱的体积 圆锥的基本概念 1. 圆锥的形成 如图，将直角三角形ACB以它的一条边CA所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成的立体图形叫作圆锥. . 2. 圆锥的组成 核心概念： 底面：1个圆形； 侧面：1个扇形，围成圆锥的 “侧面部分”； 高：连接底面圆心和圆锥顶点之间的距离； 母线：圆锥的顶点和底圆圆上任意一点之间的距离； 圆锥的侧面展开图 1. 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开是个扇形,它的弧长是底面圆的周长,它的半径是圆锥的母线. n 2. 圆锥的侧面面积公式 l n゜ l r C=2 圆锥侧面积等于它底面周长与母线长乘积的一半。 S侧===360=== 其中，S侧表示圆锥的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高. 圆锥的表面积与体积 1. 圆锥的表面积 圆锥的表面由它的侧面和1个底面组成.因此，圆锥的表面积等于它的侧面积与1个底面积的和，即 =+=πrl+πr² 2. 圆锥的体积 题型01 圆柱的基本概念 【典例1】如图，下面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体，据此分析。 【解析】 A． 绕轴旋转一周得到圆锥； B． 绕轴旋转一周得到圆柱； C． 绕轴旋转一周得到圆台； D． 绕轴旋转一周得到半球。 故答案为：B 【变式1】下图是一个长方形，沿着它的一条对称轴旋转一周得到的立体图形是一个（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．球 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的特征，熟练掌握圆柱的特征是解此题的关键． 根据圆柱的特征，圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆面，侧面是一个曲面，侧面展开是一个长方形，进行判断即可得到答案． 【详解】解：沿着长方形的一条对称轴旋转一周得到的立体图形是一个圆柱； 故选：B． 【变式2】沿长方形的一条边旋转一周，形成下面的两个圆柱． (1)圆柱①是以 边所在的直线为轴旋转而成的，高是 ，底面半径是 ． (2)圆柱②是以 边所在的直线为轴旋转而成的，高是 ，底面半径是 ． 【答案】(1)或，，3 (2)或，3 ， 【分析】本题考查了圆柱的认识及特征，圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体． （1）观察图形的特征，即可作答． （2）观察图形的特征，即可作答． 【详解】（1）解：圆柱①是以或边所在的直线为轴旋转而成的，高是，底面半径是； （2）解：圆柱②是以或边所在的直线为轴旋转而成的，高是，底面半径是． 【变式3】在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图． (1)该几何体的名称是________，其底面半径为________，上底面周长为________． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱；1； (2) 【分析】本题主要考查了圆柱的展开图，圆柱的底面周长和侧面积计算，熟知圆柱的展开图是解题的关键． （1）上下底面是圆，侧面是长方形，则该几何体是圆柱，再根据图中的数据可得底面半径和上底面周长； （2）圆柱侧面积等于底面周长乘以高，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得该几何体是圆柱，底面直径为2， 故其底面半径为1，上底面周长为； （2）解：， 故该几何体的侧面积为． 【变式4】一个圆柱形蛋糕盒的底面直径是，高是，用彩绳捆扎蛋糕盒，打结处需要彩绳（如图），捆扎这个蛋糕共需要 彩绳． 【答案】280 【分析】本题主要考查了圆柱的认识及特征，利用圆柱的特征，根据图示找出彩绳的长度包含哪几个部分是解题关键． 底面直径是，高是，打结部分长度是，根据彩绳的长度底面直径＋高打结部分长度，代入数据计算即可． 【详解】解： （）， 故答案为：280． 题型02 圆柱的侧面展开图 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）圆柱的侧面积为，母线长是，则它的底面半径是______． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了圆柱的计算，根据圆柱的侧面积等于底面周长乘母线长，进而得出底面半径． 【详解】解：设圆柱的底面半径为， 则有， ∴， ∴它的底面半径是． 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，把图柱的侧面沿虚线展开，得到的平行四边形的底是（   ）厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆柱的展开图，根据平行四边形的底等于圆柱的底面周长求解即可． 【详解】平行四边形的底． 故选：B． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期末）如图，一个高为的圆柱体的底面圆周在数轴上滚动，若滚动前圆柱体底面圆周上的点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置上，则这个圆柱体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，圆柱体的侧面积，解题的关键是借助数轴求出圆柱体的底面周长． 根据点的位置变化，可得圆柱体的底面圆周长，代入圆柱体的侧面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，圆柱体的底面圆周长为， ∵圆柱体的高为， ∴这个圆柱体的侧面积， 故选：． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）一个圆柱体的侧面积是，高是，它的底面周长是__________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆柱侧面积公式：底面圆的周长×圆柱的高=圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱体的侧面积公式是解题关键．根据圆柱的侧面展开图是个长方形，对应的面积是底面圆的周长乘以高．用侧面积为作为相等关系即可求得底面圆的半径． 【详解】解：设圆柱底面圆的半径为， ∴ ． 它的底面周长是 故答案为：． 【变式4】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作，侧面积分别记作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的体积和侧面积，掌握圆柱的体积和侧面积公式是解题关键．根据题意分别求出和，比较即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ，， 则， 故选：A． 题型03 圆柱的表面积与体积 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）现有一个长为7cm，宽为3cm的长方形，将该长方形绕着它的宽所在的直线旋转一周，得到的圆柱的表面积和体积分别是多少？（结果保留π） 【答案】圆柱的表面积和体积分别是平方里米和立方厘米． 【分析】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握长方形绕一边得到的几何体为圆柱体以及圆柱体的表面积和体积计算解题的关键． 长方形绕一边得到的几何体为圆柱体，根据旋转边为半径，旋转轴所在的边为高以及圆柱的表面积公式和体积公式即可求解． 【详解】解：绕宽所在的直线旋转一周得到底面半径为，高为的圆柱，那么其表面积为： 圆柱体积为： 答：圆柱的表面积和体积分别是平方里米和立方厘米． 【典例2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个圆柱，如果把它的高截短4厘米（如图1），表面积减少125.6平方厘米，圆柱的底面半径是________厘米；如果把原来的圆柱平均分成若干等份后拼成一个近似长方体（如图2），表面积比原来增加160平方厘米，则原来圆柱的体积是________立方厘米．（取3.14） 【答案】 5 1256 【分析】本题考查了圆柱的表面积和体积相关知识，解题的关键是理解高截短和拼成近似长方体时表面积变化与圆柱各部分的关系． 对于求底面半径，根据高截短后表面积减少量求出底面周长，进而得到半径；对于求圆柱体积，根据拼成近似长方体后表面积增加量求出圆柱的高，再结合半径求出体积． 【详解】 (厘米)； (厘米)； (立方厘米)； 故答案为：5；1256． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）如图，将一个半径为3分米，高为8分米的圆柱等分成若干份拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱体表面积增加______平方分米． 【答案】48 【分析】本题主要考查了圆柱和长方体的关系，根据几何体的变化情况求出长方体表面积比圆柱体表面积增加量即可． 【详解】解：由题意可得，长方体表面积比圆柱体表面积增加（平方分米）． 故答案为：48． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）小海的圆柱形水壶有一个布套(如图，含侧面和两个底面)，其底面直径为，母线长为．他做这个布套至少用的布料为________．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查了求圆柱体的表面积，根据圆柱底面积和侧面积的计算方法进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， ()， 答：做这个布套至少需要布料． 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是厘米，宽是2厘米，这个圆柱体的表面积是________厘米．（结果保留） 【答案】或 【分析】本题主要考查了圆柱的表面积计算，圆柱的侧面展开图，当圆柱的底面圆周长大于其高时，圆柱的侧面展开图的长为圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高；当圆柱的底面圆周长小于其高时，圆柱的侧面展开图的宽为圆柱底面圆的周长，长为圆柱的高，据此求出圆柱的底面圆半径，再根据圆柱表面积计算公式求解即可． 【详解】解：当圆柱的底面圆周长大于其高时： ∵把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是厘米，宽是2厘米， ∴这个圆柱的底面圆周长为厘米，高是2厘米， ∴这个圆柱的底面圆半径为厘米， ∴这个圆柱体的表面积是平方厘米； 当圆柱的底面圆周长小于其高时： ∵把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是厘米，宽是2厘米， ∴这个圆柱的底面圆周长为厘米，高是厘米， ∴这个圆柱的底面圆半径为厘米， ∴这个圆柱体的表面积是平方厘米； 综上所述，这个圆柱体的表面积是平方厘米或平方厘米 故答案为：或． 【变式4】（24-25六年级下·上海青浦·期末）一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则这个圆柱体的体积（   ） A．扩大到原来的12倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的18倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式是解题的关键．根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，则圆柱的底面积扩大到原来的4倍， 高扩大到原来的3倍，则这个圆柱体的体积扩大到原来的倍． 故选：A． 【变式5】（24-25六年级下·上海嘉定·期末）乐乐的叔叔一直在从事古建筑的修缮工作．在一次修缮中发现某扇门上的门栓已经损坏，经过复原如图1．他根据照片把一根半圆柱形木料锯成如图2所示的形状，请你帮忙计算锯成的这个物体的体积是__________（取3.14）． 【答案】 【分析】此题考查了圆柱体的体积．根据大圆柱体积的一半减去小圆柱体积的一半即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得这个物体的体积是， 故答案为： 题型04 圆锥的侧面积和表面积 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的底面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 设母线长为，底面圆半径为，根据扇形面积计算公式可求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出与的关系，进而求出底面积即可得到答案． 【详解】设母线长为，底面圆半径为，则圆锥的侧面积为 ， ∴底面积为， ∴ ∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍， 故选∶B． 【变式1】（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的全面积，解题的关键是熟记圆锥的侧面积公式：，其中是底面半径，是母线长． 根据圆锥的全面积等于圆锥的底面圆的面积与圆锥的侧面积之和即可得． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的底面圆的面积为， 这个圆锥的侧面积为， 则这个圆锥的全面积为， 故答案为：． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积底面周长母线长． 先求出圆锥的底面周长，然后根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：底面圆的直径为，则底面周长， 则圆锥侧面积为． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·云南临沧·期末）图是一种道路交通隔离警戒设施交通锥，将其抽象成几何图形，近似地看成圆锥（如图），测得底面半径，母线，则圆锥的侧面积是______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积．根据圆锥的侧面积解答即可． 【详解】解：圆锥的侧面积是 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海松江·期末）一个圆锥的底面半径为，母线长，这个圆锥侧面展开图的圆心角为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式4】（24-25六年级下·上海松江·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式，代入计算即可． 【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于 8 ，则， ∴半径为，弧长为， ∴这个圆锥的侧面积是． 故答案为：4． 题型05 求圆锥的底面半径 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的底面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 设母线长为，底面圆半径为，根据扇形面积计算公式可求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出与的关系，进而求出底面积即可得到答案． 【详解】设母线长为，底面圆半径为，则圆锥的侧面积为 ， ∴底面积为， ∴ ∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍， 故选∶B． 【变式1】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，扇形是一个圆锥的侧面展开图，，长为6cm，则该圆锥的底面半径为___________cm（结果保留）． 【答案】2 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，解题的关键是牢记圆锥的底面周长为圆锥侧面展开图的弧长． 首先求出圆锥的底面周长即侧面展开图的弧长，然后求得圆锥的底面半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， ∵，长为6cm， ∴扇形的弧长 ∴ 解得 故答案为：2． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．6 B．5 C．6π D．5π 【答案】A 【分析】设这个圆锥的底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的底面半径是6． 故选：A． 【变式3】（2025·广东梅州·二模）一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得． 【详解】解：这个圆锥的底面周长为 故选：C． 【变式4】一个圆锥的母线长为4，其侧面展开图扇形的圆心角的度数是，则圆锥的底面圆半径为______． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设底面圆的半径为， 则， 解得：， 故答案为：． 题型06 圆锥的体积与组合图形的体积 【典例1】（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 【典例2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）下面图形的体积（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的体积，圆柱的体积，熟练掌握圆锥的体积公式，圆柱的体积公式是解题的关键． 根据圆锥和圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：， 答：图形的体积为． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图所示，圆锥形容器中装有7升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水______升． 【答案】49 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，根据圆锥体积计算公式计算出，即这个容器一共能装56升水，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 所以， 所以， 所以这个容器一共能装56升水， 所以还可以装升水， 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，取3.14，结果精确到）？ (2)模型的最大注水量大约是多少（取3.14，结果精确到）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥与圆柱的计算，近似数与有效数字，解题的关键是理解题意，正确计算． （1）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积即可得出答案； （2）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． 【详解】（1）解：因为圆柱的底面积为， 所以由可得：， 所以， 圆锥侧面积：， ， 圆柱侧面积： ， 总面积； 答：至少需要的塑料． （2）解：圆柱体积：， 圆锥体积：． 注水量：， 答：最大注水量大约为． 【变式4】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米． (1)该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） (2)为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（结果保留）； (3)求这顶蒙古包的容积（结果保留）． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查圆柱的计算，认识立体图形． （1）根据蒙古包的横切面判断即可； （2）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积和即可； （3）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． 【详解】（1）解：该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第②幅图绕其轴旋转一周而成； 故答案为：②； （2）解：圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， ． 答：制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要毛毡； （3）解：这顶蒙古包的容积． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 圆柱与圆锥单元复习 圆柱的基本概念 1. 圆柱的形成 如图，将长方形OAA’O’以它的一条边OO’所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成的立体图形叫作圆柱体，简称圆柱. . 2. 圆柱的组成 核心概念： 底面：2个大小相等的圆形，互相平行； 侧面：1个曲面，围成圆柱的 “侧面部分”； 高：连接两底面圆心的线段（或两底面之间的垂直距离），所有高的长度相等. 母线：圆柱的母线长就等于圆柱的高. 圆柱的侧面展开图 1. 圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开是个长方形,它的长是底面圆的周长，它的宽是圆柱的高. 2. 圆柱的侧面面积公式： 其中，S侧表示圆柱的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高. 圆柱的表面积和体积 1. 圆柱的表面积 圆柱的表面由它的侧面和两个底面组成.因此，圆柱的表面积等于它的侧面积与两个底面积的和，即 2. 圆柱的体积 圆锥的基本概念 1. 圆锥的形成 如图，将直角三角形ACB以它的一条边CA所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成的立体图形叫作圆锥. . 2. 圆锥的组成 核心概念： 底面：1个圆形； 侧面：1个扇形，围成圆锥的 “侧面部分”； 高：连接底面圆心和圆锥顶点之间的距离； 母线：圆锥的顶点和底圆圆上任意一点之间的距离； 圆锥的侧面展开图 1. 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开是个扇形,它的弧长是底面圆的周长,它的半径是圆锥的母线. n 2. 圆锥的侧面面积公式 l n゜ l r C=2 圆锥侧面积等于它底面周长与母线长乘积的一半。 其中，S侧表示圆锥的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高. 圆锥的表面积与体积 1. 圆锥的表面积 圆锥的表面由它的侧面和1个底面组成.因此，圆锥的表面积等于它的侧面积与1个底面积的和，即 2. 圆锥的体积 题型01 圆柱的基本概念 【典例1】如图，下面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式1】下图是一个长方形，沿着它的一条对称轴旋转一周得到的立体图形是一个（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．球 【变式2】沿长方形的一条边旋转一周，形成下面的两个圆柱． (1)圆柱①是以 边所在的直线为轴旋转而成的，高是 ，底面半径是 ． (2)圆柱②是以 边所在的直线为轴旋转而成的，高是 ，底面半径是 ． 【变式3】在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图． (1)该几何体的名称是________，其底面半径为________，上底面周长为________． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积．（结果保留） 【变式4】一个圆柱形蛋糕盒的底面直径是，高是，用彩绳捆扎蛋糕盒，打结处需要彩绳（如图），捆扎这个蛋糕共需要 彩绳． 题型02 圆柱的侧面展开图 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）圆柱的侧面积为，母线长是，则它的底面半径是______． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，把图柱的侧面沿虚线展开，得到的平行四边形的底是（   ）厘米． A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期末）如图，一个高为的圆柱体的底面圆周在数轴上滚动，若滚动前圆柱体底面圆周上的点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置上，则这个圆柱体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）一个圆柱体的侧面积是，高是，它的底面周长是__________．（结果保留） 【变式4】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作，侧面积分别记作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03 圆柱的表面积与体积 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）现有一个长为7cm，宽为3cm的长方形，将该长方形绕着它的宽所在的直线旋转一周，得到的圆柱的表面积和体积分别是多少？（结果保留π） 【典例2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个圆柱，如果把它的高截短4厘米（如图1），表面积减少125.6平方厘米，圆柱的底面半径是________厘米；如果把原来的圆柱平均分成若干等份后拼成一个近似长方体（如图2），表面积比原来增加160平方厘米，则原来圆柱的体积是________立方厘米．（取3.14） 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）如图，将一个半径为3分米，高为8分米的圆柱等分成若干份拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱体表面积增加______平方分米． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）小海的圆柱形水壶有一个布套(如图，含侧面和两个底面)，其底面直径为，母线长为．他做这个布套至少用的布料为________．(结果保留) 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是厘米，宽是2厘米，这个圆柱体的表面积是________厘米．（结果保留） 【变式4】（24-25六年级下·上海青浦·期末）一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则这个圆柱体的体积（   ） A．扩大到原来的12倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的18倍 D．缩小到原来的 【变式5】（24-25六年级下·上海嘉定·期末）乐乐的叔叔一直在从事古建筑的修缮工作．在一次修缮中发现某扇门上的门栓已经损坏，经过复原如图1．他根据照片把一根半圆柱形木料锯成如图2所示的形状，请你帮忙计算锯成的这个物体的体积是__________（取3.14）． 题型04 圆锥的侧面积和表面积 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是______． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·云南临沧·期末）图是一种道路交通隔离警戒设施交通锥，将其抽象成几何图形，近似地看成圆锥（如图），测得底面半径，母线，则圆锥的侧面积是______．（结果保留） 【变式3】（24-25六年级下·上海松江·期末）一个圆锥的底面半径为，母线长，这个圆锥侧面展开图的圆心角为_____． 【变式4】（24-25六年级下·上海松江·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是_____． 题型05 求圆锥的底面半径 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，扇形是一个圆锥的侧面展开图，，长为6cm，则该圆锥的底面半径为___________cm（结果保留）． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．6 B．5 C．6π D．5π 【变式3】（2025·广东梅州·二模）一个扇形半径，圆心角，用它围成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为（   ） A． B． C． D． 【变式4】一个圆锥的母线长为4，其侧面展开图扇形的圆心角的度数是，则圆锥的底面圆半径为______． 题型06 圆锥的体积与组合图形的体积 【典例1】（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【典例2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）下面图形的体积（结果保留）． 【变式1】（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图所示，圆锥形容器中装有7升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水______升． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，取3.14，结果精确到）？ (2)模型的最大注水量大约是多少（取3.14，结果精确到）？ 【变式4】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米． (1)该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） (2)为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（结果保留）； (3)求这顶蒙古包的容积（结果保留）． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $