第9讲 二元一次方程(组)及其解法培优讲义 (12考点精讲+创新压轴题+课后巩固)2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级下册

本讲义聚焦二元一次方程（组）及其解法，从定义识别、解的概念入手，通过代入与加减消元法掌握基本解法，再进阶到整体换元、构造等特殊技巧，最终应用于错解复原、同解问题及参数求解，构建完整知识支架。 资料含思维导图总览知识体系，12大考点覆盖基础到创新压轴题，融入上海等地期末真题。通过错解复原训练推理能力，整体换元培养创新意识，分层课后巩固助力课中教学与学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第9讲 二元一次方程(组)及其解法 培优讲义 (12大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二元一次方程、二元一次方程组的定义，能准确识别。 · 掌握 二元一次方程的解的概念，会判断一组数是否为方程(组)的解。 · 熟练运用 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，步骤规范。 · 灵活应用 整体换元、构造等特殊技巧解决复杂方程组问题。 · 理解 错解复原问题的本质：将错解代入未看错的方程求参数。 · 掌握 同解方程组的处理方法：重新组合不含参数的方程求解。 · 会根据 方程组解的情况（唯一解、无数解、正整数解）求参数的值或范围。 · 体会 消元思想、整体思想、换元法在代数解题中的核心作用。 ✨ 核心思想：消元转化 · 整体代换 · 方程建模 知识梳理 · 核心概念与性质 ☆ 二元一次方程的定义与解 •定义： 含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。一般形式：（）。 •条件： 未知数系数不为零，未知数指数为1，分母不含未知数。 •二元一次方程的解： 使方程左右两边相等的一对未知数的值，记作 。通常有无数个解。 ☆ 二元一次方程组的定义与解 •定义： 由两个二元一次方程组成的方程组（方程组中可含相同未知数）。 •方程组的解： 同时满足方程组中所有方程的公共解。 •解的情况： 唯一解、无解（矛盾）、无数解（两个方程等价）。 ☆ 代入消元法 •步骤：将其中一个方程变形为 （或 ）的形式，代入另一个方程消去一个未知数，转化为一元一次方程求解，再回代求另一未知数。 •适用：某个未知数系数为±1时特别简便。 ☆ 加减消元法 •步骤：将两个方程适当变形，使同一未知数的系数相等或互为相反数，然后相加或相减消去该未知数，得一元一次方程，再回代。 •技巧：找系数的最小公倍数，灵活变形。 ☆ 特殊解法 •整体换元法： 当方程组中出现相同整体结构时，设辅助元简化计算（如 ）。 •构造法： 利用已知解构造新的方程组，求参数或代数式的值。 •同解变换法： 将多个方程组重新组合，利用公共解列新方程组。 ☆ 错解复原与同解问题 •错解复原： 看错某个方程的系数，所得解应满足未被看错的方程，据此求出正确系数。 •同解问题： 两个方程组解相同 ⇒ 先解不含参数的方程组得公共解，再代入含参方程求参数。 ☆ 已知解的情况求参数 •正整数解：先解出用参数表示的 ，再令其为正整数，求整数参数。 •无数解：对应方程变形后系数成比例且常数也成比例。 •整体思想：将方程组整体加减，构造出所求代数式。 ※知识方法速查表 类别 核心内容 常用方法/公式 二元一次方程 (, 次数为1) 判断条件：指数、系数、整式 二元一次方程的解 使方程成立的一对数值 通常用列举法或含参表示 二元一次方程组 两个二元一次方程联立 解为两个方程的公共解 代入消元法 用一个未知数表示另一个，代入消元 步骤：变形 → 代入 → 求解 → 回代 加减消元法 同系数相加(减)消元 找最小公倍数，同乘后加减 整体换元法 设辅助元代替复杂整体 简化运算，常见于分母含未知数 错解复原 将错解代入正确的未看错方程 得到关于参数的真方程 同解问题 先解公共部分，再代参数方程 重组不含参数的方程组 已知解的情况求参数 整数解、无数解、唯一解 转化为整除问题或比例关系 核心考点 · 12类题型方法精讲 【考点1】二元一次方程的定义（1-3题） ❤ 方法总结 •根据定义列方程组：未知数指数为1，系数不为0，整式方程。 •常见形式： 需满足 且 。 •注意绝对值与系数的同时约束。 1．（24-25六年级下·上海·期末）已知是关于，的二元一次方程，则________． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期末）若是关于、的二元一次方程，则的值为__________． 3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列叙述中错误的是（   ）． A．只含有两个未知数且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组 B．两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组 C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成 D．任意一对数都是二元一次方程的一组解 【考点2】二元一次方程的解（4-7题） ❤ 方法总结 •将解代入方程求参数或代数式的值，常用整体代入（如 ）。 •写一个以给定解为解的方程：直接构造 常数，代入解求系数。 •正整数解：将方程变形为用一个未知数表示另一个，取正整数。 •方程组的解一定是其中每一个方程的解。 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）若是方程的解，则______． 5．（24-25六年级下·上海松江·期末）写出一组解是的一个二元一次方程：_____． 6．（24-25六年级下·上海·期末）写出二元一次方程的正整数解______． 7．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【考点3】判断是否是二元一次方程组（8-10题） ❤ 方法总结 •必须同时满足：只含两个未知数；每个方程均为一次整式方程；两个方程有相同未知数。 •注意识别：含有 项（二次）、分式方程、三个未知数均不是二元一次方程组。 8．（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 9．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【考点4】判断是否是二元一次方程组的解（11-13题） ❤ 方法总结 •将数对分别代入方程组中的每一个方程，都成立才是方程组的解。 •可先代入一个方程检验，再代另一个，提高效率。 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 12．（25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 13．（18-19七年级下·山东淄博·月考）在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【考点5】二元一次方程组的错解复原问题（14-17题） ❤ 方法总结 •甲看错方程①，则甲的解满足方程②；乙看错②，则乙的解满足方程①。 •分别代入未看错的方程得到关于参数的方程组，求解即可。 •最后可还原原方程组求正确解。 14．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 17．（25-26七年级下·全国·周测）小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【考点6】方程组相同解问题（18-21题） ❤ 方法总结 •两个方程组解相同 ⇒ 它们公共的解同时满足四个方程。 •选取两个不含参数的方程联立，求出公共解，再代入含参方程求参数。 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解也是方程的解，求的值． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 20．（25-26八年级上·四川成都·期末）关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 21．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【考点7】代入消元法（22-25题） ❤ 方法总结 •关键：选择一个系数简单的方程，将其中一个未知数用另一个表示。 •注意整理方程时去分母、移项要正确。 22．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ____________． 23．（23-24六年级下·上海·月考）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 24．（2025七年级上·上海·专题练习）解方程组： (1) (2) 25．（24-25六年级下·上海·期末）解二元一次方程组． (1) (2) 【考点8】加减消元法（26-29题） ❤ 方法总结 •将两个方程适当乘以某个数，使同一未知数系数相反或相等，再加减消元。 •若方程组较复杂，先化简整理成标准形式 。 26．（2025七年级上·上海·专题练习）若方程的其中两个解是，，则a，b的值为（） A． B． C． D． 27．（25-26六年级上·上海普陀·月考）甲、乙两位同学解方程组，甲抄错了方程①，解得，乙把方程②抄错了，解得，求、的值及原方程组的解． 28．（25-26六年级上·上海普陀·月考）解二元一次方程组：． 29．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）解方程组： 【考点9】二元一次方程组的特殊解法（30-33题） ❤ 方法总结 •整体换元：当方程组结构相似时，设 等，转化为已知形式。 •整体加减：如将两个方程直接相加（减）得到 或 的整体值。 •换元法解分式型方程组：设 等，化为整式方程组。 30．（2025七年级上·上海·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 31．（2025七年级上·上海·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________ 32．（24-25八年级下·上海长宁·期中）用换元法解方程组． 33．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）已知方程组的解为，则方程组的解为__________． 【考点10】构造二元一次方程组求解（34-37题） ❤ 方法总结 •根据一元一次方程的定义、新定义的运算、或条件列方程组求参数。 •例如： 是一元一次方程 ⇒ 且 。 •按新定义运算转化为常规方程组。 34．（25-26七年级上·广东梅州·期末）已知是关于y的一元一次方程，则的值为______． 35．（25-26八年级上·安徽·月考）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 36．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 37．（2025八年级上·全国·专题练习）对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【考点11】已知二元一次方程组的解的情况求参数（38-40题） ❤ 方法总结 •解出用参数表示的解，再根据条件（如 ）列方程求参数。 •无数解条件：方程组化简后两个方程成比例（系数比相等且常数比相等）。 •正整数解：参数需使解为正整数，常需讨论整除性。 38．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）满足，且，则___________． 39．（24-25六年级下·上海·期末）关于的方程组有无数组解，则________． 40．（24-25七年级下·四川南充·期中）定义：当两个实数，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解与具有“友好关系”，试求出方程组的解及a，b的正整数值． 【考点12】创新及压轴题（41-46题） ❤ 方法总结 •新定义运算：按定义转化为常规方程组，再利用方程组的解整体代入。 •换元法解复杂方程组：材料题常给范例，模仿设辅助元。 •共轭方程组、对称方程等新定义：理解定义，列方程求解，注意分类讨论（如无数解条件）。 •整体思想求值：将所求式子与方程组整体加减关联。 41．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 42．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 43．（24-25六年级下·上海·期中）规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 44．（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．，得，所以③，，得④，，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请运用上述方法解方程组：； (2)请直接写出关于、的方程组（，是常数，）的解：______． 45．（24-25七年级下·山东烟台·期中）我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于，的“幸福”方程组的解，求的值 46．（24-25七年级下·北京·期中）定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 随堂检测 · 对应知识点 •题1 二元一次方程的解的概念，直接代入求值（）。 •题2 整体思想：由 , 求 的值（两式相加得 ）。 •题3 解较复杂的二元一次方程组（先去分母，再加减消元）。 •题4 同解方程组问题：先解不含参数的方程组，再代入求 。 1．（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知关于、的不定方程有一组解是，那么__________． 2．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）已知，则______． 3．（24-25六年级下·上海·期中）解方程组：． 4．（24-25六年级下·上海·期末）若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 课后巩固 · 核心作业知识点 •题1 二元一次方程组的识别（判断是否属于二元一次方程组）。 •题2 方程组的解与加减消元（代入验证哪个选项的解为 ）。 •题3 已知正整数解求参数范围（含参方程组，根据解为正整数确定 值）。 •题4 整体求值：利用方程组相加得 ，再求 。 •题5 含绝对值方程的转化（分类讨论解二元一次方程组）。 •题6 观察表格找公共解（从两组解中找出相同的一对数值）。 •题7 同解变换（已知一个方程组的解，求另一个相关方程组的解，换元法）。 •题8 简单加减消元解方程组。 •题9 先化简再求解（去分母转化为整式方程组）。 •题10 代入消元法解含分母方程组。 •题11 常规二元一次方程组求解（加减与代入）。 •题12 换元法解复杂方程组（材料阅读，模仿整体换元）。 •题13 整体换元思想在新情境中的应用（根据范例解新方程组）。 ✨ 复习建议：本专题涵盖二元一次方程组的全部核心题型，从定义到压轴创新。务必熟练掌握代入消元与加减消元的基本功，同时注重整体思想、换元法、错解复原和同解问题的解题套路。对于新定义问题，关键是理解定义，转化为常规方程组求解。 1．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 4．（24-25六年级下·上海·期末）已知方程组，则的值是__________． 5．（24-25九年级下·上海·自主招生）实数和满足，则_____． 6．（24-25六年级下·上海·月考）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为_______． 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为则方程组的解为_____． 8．（24-25六年级下·上海·期中）解方程组：． 9．（23-24六年级下·上海崇明·期末）解方程组： 10．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 11．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 12．（24-25六年级下·上海·月考）情境  小海在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组 尝试（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为_______，解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得_____； 迁移（2）利用上述方法解方程组 13．（24-25八年级上·山西运城·月考）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 二元一次方程(组)及其解法 培优讲义 (12大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二元一次方程、二元一次方程组的定义，能准确识别。 · 掌握 二元一次方程的解的概念，会判断一组数是否为方程(组)的解。 · 熟练运用 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，步骤规范。 · 灵活应用 整体换元、构造等特殊技巧解决复杂方程组问题。 · 理解 错解复原问题的本质：将错解代入未看错的方程求参数。 · 掌握 同解方程组的处理方法：重新组合不含参数的方程求解。 · 会根据 方程组解的情况（唯一解、无数解、正整数解）求参数的值或范围。 · 体会 消元思想、整体思想、换元法在代数解题中的核心作用。 ✨ 核心思想：消元转化 · 整体代换 · 方程建模 知识梳理 · 核心概念与性质 ☆ 二元一次方程的定义与解 •定义： 含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。一般形式：（）。 •条件： 未知数系数不为零，未知数指数为1，分母不含未知数。 •二元一次方程的解： 使方程左右两边相等的一对未知数的值，记作 。通常有无数个解。 ☆ 二元一次方程组的定义与解 •定义： 由两个二元一次方程组成的方程组（方程组中可含相同未知数）。 •方程组的解： 同时满足方程组中所有方程的公共解。 •解的情况： 唯一解、无解（矛盾）、无数解（两个方程等价）。 ☆ 代入消元法 •步骤：将其中一个方程变形为 （或 ）的形式，代入另一个方程消去一个未知数，转化为一元一次方程求解，再回代求另一未知数。 •适用：某个未知数系数为±1时特别简便。 ☆ 加减消元法 •步骤：将两个方程适当变形，使同一未知数的系数相等或互为相反数，然后相加或相减消去该未知数，得一元一次方程，再回代。 •技巧：找系数的最小公倍数，灵活变形。 ☆ 特殊解法 •整体换元法： 当方程组中出现相同整体结构时，设辅助元简化计算（如 ）。 •构造法： 利用已知解构造新的方程组，求参数或代数式的值。 •同解变换法： 将多个方程组重新组合，利用公共解列新方程组。 ☆ 错解复原与同解问题 •错解复原： 看错某个方程的系数，所得解应满足未被看错的方程，据此求出正确系数。 •同解问题： 两个方程组解相同 ⇒ 先解不含参数的方程组得公共解，再代入含参方程求参数。 ☆ 已知解的情况求参数 •正整数解：先解出用参数表示的 ，再令其为正整数，求整数参数。 •无数解：对应方程变形后系数成比例且常数也成比例。 •整体思想：将方程组整体加减，构造出所求代数式。 ※知识方法速查表 类别 核心内容 常用方法/公式 二元一次方程 (, 次数为1) 判断条件：指数、系数、整式 二元一次方程的解 使方程成立的一对数值 通常用列举法或含参表示 二元一次方程组 两个二元一次方程联立 解为两个方程的公共解 代入消元法 用一个未知数表示另一个，代入消元 步骤：变形 → 代入 → 求解 → 回代 加减消元法 同系数相加(减)消元 找最小公倍数，同乘后加减 整体换元法 设辅助元代替复杂整体 简化运算，常见于分母含未知数 错解复原 将错解代入正确的未看错方程 得到关于参数的真方程 同解问题 先解公共部分，再代参数方程 重组不含参数的方程组 已知解的情况求参数 整数解、无数解、唯一解 转化为整除问题或比例关系 核心考点 · 12类题型方法精讲 【考点1】二元一次方程的定义（1-3题） ❤ 方法总结 •根据定义列方程组：未知数指数为1，系数不为0，整式方程。 •常见形式： 需满足 且 。 •注意绝对值与系数的同时约束。 1．（24-25六年级下·上海·期末）已知是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须满足以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题可得， 解得， 故答案为：． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期末）若是关于、的二元一次方程，则的值为__________． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到， 解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故， ， 解得，且， 故， 故答案为：1． 3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列叙述中错误的是（   ）． A．只含有两个未知数且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组 B．两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组 C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成 D．任意一对数都是二元一次方程的一组解 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的定义、二元一次方程的解 【详解】解：A． 只含有两个未知数且未知数的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组，该选项正确，不符合题意； B．两个不同未知数的二元一次方程不能组成一个二元一次方程组，两个相同未知数的二元一次方程能组成一个二元一次方程组，即两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组，该选项正确，不符合题意； C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成，该选项正确，不符合题意； D．任意一对数不一定是二元一次方程的一组解，该选项错误，符合题意； 故选D． 【考点2】二元一次方程的解（4-7题） ❤ 方法总结 •将解代入方程求参数或代数式的值，常用整体代入（如 ）。 •写一个以给定解为解的方程：直接构造 常数，代入解求系数。 •正整数解：将方程变形为用一个未知数表示另一个，取正整数。 •方程组的解一定是其中每一个方程的解。 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）若是方程的解，则______． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式求值，解题的关键是利用方程的解得到的值，再对所求代数式变形． 先把方程的解代入方程，得出，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为是方程的解， 把代入方程中，可得． ， 所以， 故答案为3． 5．（24-25六年级下·上海松江·期末）写出一组解是的一个二元一次方程：_____． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此求解即可． 【详解】解；符合题意的二元一次方程可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（24-25六年级下·上海·期末）写出二元一次方程的正整数解______． 【答案】或． 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看做已知数求出x．把y看做已知数求出x，即可确定出正整数解． 【详解】解：方程， 变形得：， 当时，； 当时，； 则方程的正整数解为，． 故答案为：或． 7．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】二元一次方程的解、判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义（方程组的解是使方程组中所有方程都成立的未知数的值 ），熟练掌握该定义是解题的关键．根据方程组的解的定义，判断方程组的解与其中一个方程的解的关系，即方程组的解需同时满足方程组里的两个方程，所以必然满足其中一个方程． 【详解】解：对于方程组， ∵方程组的解是能使方程组中两个方程同时成立的未知数的值， ∴方程组的解一定满足其中的每一个方程， 而是方程组中的第一个方程， ∴方程组的解一定是方程的解． 故选：A ． 【考点3】判断是否是二元一次方程组（8-10题） ❤ 方法总结 •必须同时满足：只含两个未知数；每个方程均为一次整式方程；两个方程有相同未知数。 •注意识别：含有 项（二次）、分式方程、三个未知数均不是二元一次方程组。 8．（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 9．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含两个未知数；②每个方程均为一次整式方程；据此逐一分析各方程组即可； 【详解】解：方程组①含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，故不属于二元一次方程组； 方程组②含两个未知数x、y，且均为一次方程，属于二元一次方程组； 方程组③含两个未知数x、y，且均为一次方程，属于二元一次方程组； 方程组④中第一个方程含二次项，不符合“一次”条件，故不属于二元一次方程组； 综上，符合条件的为②和③，共2个； 故选：B． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 【考点4】判断是否是二元一次方程组的解（11-13题） ❤ 方法总结 •将数对分别代入方程组中的每一个方程，都成立才是方程组的解。 •可先代入一个方程检验，再代另一个，提高效率。 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解、判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 12．（25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 13．（18-19七年级下·山东淄博·月考）在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案． 【详解】解：① 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； ② 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ③ 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ④ 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； 综上可知，解是的有①和④， 故选：C． 【考点5】二元一次方程组的错解复原问题（14-17题） ❤ 方法总结 •甲看错方程①，则甲的解满足方程②；乙看错②，则乙的解满足方程①。 •分别代入未看错的方程得到关于参数的方程组，求解即可。 •最后可还原原方程组求正确解。 14．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 15．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将解代入没有抄错的方程，得到关于a，b的二元一次方程组，再进行求解即可． 【详解】解：将代入方程， 将代入方程，   可得， 解得． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，理解题意是解题的关键． 根据题意将代入②，将代入①即可求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：将代入方程②， 得，解得； 将代入方程①，得，解得， ． 17．（25-26七年级下·全国·周测）小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，；0 【难度】0.4 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】小明看错了方程①中的，但他的解对于方程②是成立的，因此可以代入方程②求出的值； 小红看错了方程②中的，但她的解对于方程①是成立的，因此可以代入方程①求出的值； 最后将、的值代入代数式计算结果． 【详解】解：将代入②，得，解得． 将代入①，得，解得． 故． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，解题关键是明确：看错某个方程的系数，意味着该解对于另一个未看错系数的方程是成立的，从而代入求解． 【考点6】方程组相同解问题（18-21题） ❤ 方法总结 •两个方程组解相同 ⇒ 它们公共的解同时满足四个方程。 •选取两个不含参数的方程联立，求出公共解，再代入含参方程求参数。 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】方程组相同解问题、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程组同解问题，解一元一次方程，解方程组得，将代入求解即可． 【详解】解：解方程组得， ， 解得． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、方程组相同解问题 【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 20．（25-26八年级上·四川成都·期末）关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【难度】0.5 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】方程组相同解问题 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出a与b的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， 把代入，得， ， 解得：， ∴． 即的值为1． 【考点7】代入消元法（22-25题） ❤ 方法总结 •关键：选择一个系数简单的方程，将其中一个未知数用另一个表示。 •注意整理方程时去分母、移项要正确。 22．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了用含一个未知数的代数式表示另一个未知数． 将x视为已知数，通过解方程求出y的表达式 【详解】解：解方程， 移项得， 两边同时除以2得． 故答案为：． 23．（23-24六年级下·上海·月考）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查用含的式子表示，需要通过移项和系数化为1来求解，正确移项是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∴（两边同时除以4）， 故选：C． 24．（2025七年级上·上海·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 由，得， 解得 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为； （2）解：， 方程①可化为，③ 由③，得④， 把④代入②，得， 解得．把代入③，得， 解得， 所以方程组的解为 25．（24-25六年级下·上海·期末）解二元一次方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）将第二个方程代入第一个方程，消去，解方程可得的值，再将的值代入第二个方程可得的值，由此即可得； （2）先将方程组整理为，再将方程①减去方程②可得的值，然后将的值代入方程②可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得， 将代入②得：， 所以方程组的解为． （2）解：整理为， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 【考点8】加减消元法（26-29题） ❤ 方法总结 •将两个方程适当乘以某个数，使同一未知数系数相反或相等，再加减消元。 •若方程组较复杂，先化简整理成标准形式 。 26．（2025七年级上·上海·专题练习）若方程的其中两个解是，，则a，b的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程的解及解二元一次方程组，将方程的两组解代入中，得到关于的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵方程的两个解是，， ∴代入得：， 即 两式相加得：， ∴， 代入第一式：， ∴． 故， 故选A． 27．（25-26六年级上·上海普陀·月考）甲、乙两位同学解方程组，甲抄错了方程①，解得，乙把方程②抄错了，解得，求、的值及原方程组的解． 【答案】，，原方程组的解为 【难度】0.65 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 首先根据甲看错了①得，然后根据乙看错了②得，进而解方程组求得a、b值，得到原方程组为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：根据题意，把代入中，得 把代入中，得 得，解得 将代入③，得，解得， ∴原方程组为 得，，解得 将代入②，得，解得 ∴原方程组的解为． 28．（25-26六年级上·上海普陀·月考）解二元一次方程组：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．利用加减消元法，进行求解即可． 【详解】解：， ，得，解得， 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为． 29．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）解方程组： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组；通过消元法求解，先把第一个方程的分母简化计算． 【详解】解：方程组 ， 将第一个方程乘以12得：， 即 ， ∴ 方程组化为 ． 将第二个方程乘以3得：， 即 ． ， 即 ， 即 ， ∴ ． 将 代入得， 解得 ． 因此，方程组的解为 ． 【考点9】二元一次方程组的特殊解法（30-33题） ❤ 方法总结 •整体换元：当方程组结构相似时，设 等，转化为已知形式。 •整体加减：如将两个方程直接相加（减）得到 或 的整体值。 •换元法解分式型方程组：设 等，化为整式方程组。 30．（2025七年级上·上海·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过变量代换，将新方程组转化为已知解的原方程组形式，进而求解． 【详解】解：设，， 则新方程组化为： ∵原方程组的解为， ∴，， 即：， 解得， 故选D． 31．（2025七年级上·上海·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________ 【答案】2024 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查二元一次方程组的整体思想． 通过将两个方程相加，得到与的关系式，进而求解的值． 【详解】解：， 得：， 即：， 两边同时除以6，得：， ， ， 解得：， 故答案为：2024． 32．（24-25八年级下·上海长宁·期中）用换元法解方程组． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握换元法解方程组是解答本题的关键．设，，方程组可化为，据此可得m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：设，， 方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 33．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）已知方程组的解为，则方程组的解为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出． 【详解】解：变形为， ∵方程组的解为， ∴， ∴． 故答案为： 【考点10】构造二元一次方程组求解（34-37题） ❤ 方法总结 •根据一元一次方程的定义、新定义的运算、或条件列方程组求参数。 •例如： 是一元一次方程 ⇒ 且 。 •按新定义运算转化为常规方程组。 34．（25-26七年级上·广东梅州·期末）已知是关于y的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】构造二元一次方程组求解、判断是否是一元一次方程 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，明确其定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，的系数必须为零，且y的指数必须为1，由此列出方程组求解． 【详解】由一元一次方程的定义，得， 解得， 所以． 故答案为：． 35．（25-26八年级上·安徽·月考）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】加减消元法、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 36．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】构造二元一次方程组求解、一元一次方程解的关系、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 37．（2025八年级上·全国·专题练习）对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【难度】0.65 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出方程是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于、的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于、的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得 （2）解：根据题意，得 解得 所以， 解得． 【考点11】已知二元一次方程组的解的情况求参数（38-40题） ❤ 方法总结 •解出用参数表示的解，再根据条件（如 ）列方程求参数。 •无数解条件：方程组化简后两个方程成比例（系数比相等且常数比相等）。 •正整数解：参数需使解为正整数，常需讨论整除性。 38．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）满足，且，则___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，先解方程求出方程的解，再根据建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把滴入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 39．（24-25六年级下·上海·期末）关于的方程组有无数组解，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，得，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 40．（24-25七年级下·四川南充·期中）定义：当两个实数，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解与具有“友好关系”，试求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)方程组的解与具有“友好关系”，理由见解析 (2)；，或， 【难度】0.65 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，熟知解二元一次方程组和解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）把方程组中两个方程相减即可证明，据此可得结论； （2）根据题意可得，解方程组求出x、y的值，再把x、y的值代入方程中，并解方程求出a、b的正整数值即可得到答案． 【详解】（1）解：方程组的解与具有“友好关系”，理由如下： 得， ∴方程组的解与具有“友好关系”； （2）解：∵方程组中方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴是正整数，即b为正偶数， ∴当时，；当，； 【考点12】创新及压轴题（41-46题） ❤ 方法总结 •新定义运算：按定义转化为常规方程组，再利用方程组的解整体代入。 •换元法解复杂方程组：材料题常给范例，模仿设辅助元。 •共轭方程组、对称方程等新定义：理解定义，列方程求解，注意分类讨论（如无数解条件）。 •整体思想求值：将所求式子与方程组整体加减关联。 41．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 42．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． （1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； 【详解】（1）解：∵， 设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵， 设， ∴原方程化为：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得； 43．（24-25六年级下·上海·期中）规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 【答案】(1) (2)共轭系数为， (3)，可取任意数或， 【难度】0.65 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，注意计算的准确性即可． （1）由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：，求解方程组即可； （2）由题意得：，据此即可求解； （3）由消去得③，由题意得方程③有无数个解，推出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：， 解方程组得：， 故答案为：； （2）解：由题意得：，解得， 故， 故共轭系数为，； （3）解：由消去得③， 原方程组有无数解，则方程③有无数个解，则， 则或． 44．（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．，得，所以③，，得④，，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请运用上述方法解方程组：； (2)请直接写出关于、的方程组（，是常数，）的解：______． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1），所得方程两边都除以 4 ，得：，再与方程①利用加减法求解即可；（2）所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 两边除以 4 ，得：③， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． （2）解：， 得：， 两边除以，得：③， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 45．（24-25七年级下·山东烟台·期中）我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于，的“幸福”方程组的解，求的值 【答案】(1)不是 (2)4 (3)5 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的定义、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，列出关于的方程组，求出的值，再解关于的方程组，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴方程不是“幸福”方程； 故答案为：不是； （2）由题意，得：， 解得：； 故答案为：4； （3）由题意，得：， 解得：， ∴原方程组化为：，解得：， ∴， ∴． 46．（24-25七年级下·北京·期中）定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)； (3)2025 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“对称方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”为， 联立得， 解得， 故答案为：，； （2）解：方程的“对称方程”为， 联立得， ∵方程组的解为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得，即， ∴ ， 随堂检测 · 对应知识点 •题1 二元一次方程的解的概念，直接代入求值（）。 •题2 整体思想：由 , 求 的值（两式相加得 ）。 •题3 解较复杂的二元一次方程组（先去分母，再加减消元）。 •题4 同解方程组问题：先解不含参数的方程组，再代入求 。 1．（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知关于、的不定方程有一组解是，那么__________． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，准确的计算是解决本题的关键． 将已知解代入不定方程，得到关于a和b的等式，通过简化等式直接求出的值即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 故答案为：3． 2．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）已知，则______． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组．将方程组的两个方程加起来，得到，进而得到． 【详解】解：由题意得， 将，得：， 则：． 故答案为：4． 3．（24-25六年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法． 先将原方程组进行化简整理，然后利用加减消元法进行计算即可解答． 【详解】解：将原方程组进行化简整理可得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 4．（24-25六年级下·上海·期末）若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题考查了同解方程组，解答此题的关键是要弄清题意，准确求解方程组的解．先根据关于m，n的方程组与有相同的解，得出关于m，n的方程组与有相同的解，然后解关于m、n的方程组，得出关于a、b的方程组，然后解关于a、b的方程组即可． 【详解】解：∵关于m，n的方程组与有相同的解， ∴关于m，n的方程组与有相同的解， 解关于m，n的方程组得：， 解关于m，n的方程组得：， ∵关于m，n的方程组与有相同的解， ∴， 由②得：， 把代入①得：， 解得：， ∴，． 课后巩固 · 核心作业知识点 •题1 二元一次方程组的识别（判断是否属于二元一次方程组）。 •题2 方程组的解与加减消元（代入验证哪个选项的解为 ）。 •题3 已知正整数解求参数范围（含参方程组，根据解为正整数确定 值）。 •题4 整体求值：利用方程组相加得 ，再求 。 •题5 含绝对值方程的转化（分类讨论解二元一次方程组）。 •题6 观察表格找公共解（从两组解中找出相同的一对数值）。 •题7 同解变换（已知一个方程组的解，求另一个相关方程组的解，换元法）。 •题8 简单加减消元解方程组。 •题9 先化简再求解（去分母转化为整式方程组）。 •题10 代入消元法解含分母方程组。 •题11 常规二元一次方程组求解（加减与代入）。 •题12 换元法解复杂方程组（材料阅读，模仿整体换元）。 •题13 整体换元思想在新情境中的应用（根据范例解新方程组）。 ✨ 复习建议：本专题涵盖二元一次方程组的全部核心题型，从定义到压轴创新。务必熟练掌握代入消元与加减消元的基本功，同时注重整体思想、换元法、错解复原和同解问题的解题套路。对于新定义问题，关键是理解定义，转化为常规方程组求解。 1．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含两个未知数；②每个方程均为一次整式方程，据此对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A. 方程组含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，选项错误； B. 第一个方程含二次项，且含三个未知数x、y、z，不符合“二元一次”条件，选项错误； C. 第一个方程为分式方程，非整式方程，不符合条件，选项错误； D. 方程组含两个未知数x、y，且两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，选项正确； 故选：D． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键． 逐一利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】A.， ①+②，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为； B.， ②①，得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； C.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； D.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 故选：B． 3．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知二元一次方程组的解的情况求参数、代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 4．（24-25六年级下·上海·期末）已知方程组，则的值是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，能选择适当的方法求出结果是解题关键．将方程组的两个方程相加，求出，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·上海·自主招生）实数和满足，则_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】加减消元法、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了解二元一次方程组．根据的取值范围分两种情况进行解答即可． 【详解】解：当时，则与，即， 则矛盾， 故不合题意，舍去， 当时，则，则 解得 ，符合题意， ． 故答案为： 6．（24-25六年级下·上海·月考）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为_______． 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．观察表格得知能使得两个方程都成立，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为则方程组的解为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的解、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，设，则方程组变为，再根据二元一次方程组的解的定义得出，继而得出，从而得到，即可求出的值，观察方程组的系数特点并准确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则方程组为， ∵方程组解为， ， ， ，， ，， ， ， ∴方程组的解为， 故答案为：． 8．（24-25六年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先把两个方程相加，消去y，求出x，再把x的值代入方程中求出y即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． 9．（23-24六年级下·上海崇明·期末）解方程组： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法．解二元一次方程组应根据题目特点，灵活选用加减消元法或代入消元法． 先将方程组变形，再利用加减消元法求解． 【详解】解：方程组变形为 ，得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 故该方程组的解为． 10．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是解题的关键． 用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由②得：③ 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 原方程组的解为：． 11．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得：， 解得：， 代入，得： ， 故原方程的解为：； （2）解： 去分母整理得：， 得：， 解得：， 代入，得： ， 故原方程的解为：． 12．（24-25六年级下·上海·月考）情境  小海在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组 尝试（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为_______，解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得_____； 迁移（2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得． 13．（24-25八年级上·山西运城·月考）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 【答案】(1)B； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． 根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， 仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； 首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． 第 1 页 共 56 页 学科网（北京）股份有限公司 $