专题9.1-9.2 二元一次方程组的概念和解法（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题9.1-9.2 二元一次方程组的概念和解法 教学目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解及相关概念，会辨析一对数值是不是二元一次方程（组）的解； 2.掌握二元一次方程组的解法，会用代入法、加减法解标准（含分数、小数系数）二元一次方程组； 教学重难点 1.重点 二元一次方程组的解法； 2.难点 消元思想的理解与灵活应用. 知识点01 二元一次方程组的概念 问题 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡、兔各几何？ 分析 根据“上有三十五头”可得：鸡的数量+兔的数量=35；再根据“下有九十四足"可得：鸡脚的总数+兔脚的总数=94（只）. 方法一（算术法） 假设笼子里全都是鸡，则脚应有2×35=70(只),比已知的94只减少了24只.当一只兔被假设成一只鸡后，脚的数量会减少_____只，所以共有_____________兔被假设成了鸡， 即兔有____只，鸡有_____________只. 方法二（列一元一次方程） 设笼中有鸡x只.根据“头”的条件，可知兔有_________只 . 再根据“脚”的条件，可列出方程____+________=94. 方法三（列二元一次方程） 设笼中有鸡x 只、兔y 只.根据“上有三十五头”可得方程x+y=35 ①； 根据“下有九十四足”可得方程_____________② 1. 二元一次方程的概念 像“x+y=35、2x+4y=94”含有两个未知数的一次方程叫作_____________． 2. 二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组.如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作_____________. 3. 二元一次方程组的解 一般地，在二元一次方程组中，使每个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫作此_____________. 【即学即练】 1. 下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组满足两个条件：（1）方程组中共含有两个未知数．（2）含未知数的项都是一次项． 【解析】解：A，该方程组中含有______个未知数，属于三元一次方程组，故此选项不符合题意； B，是______次项，所以方程组属于二元二次方程组，故此选项不符合题意； C，该方程组中的xy是______次项，所以此方程组属于二元二次方程组，故此选项不符合题意； D，该方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【分析】将未知数的值代入方程组的每一个方程，使每个方程的左右两边都相等的未知数的值就是方程组的解． 【解析】解：将代入中得：，方程左右两边相等， 将代入中得：，方程左右两边相等， ∴是方程组的解， 故选：A． 知识点02 二元一次方程组的解法 1. 消元法 在解二元一次方程组的过程中，用适当的方法消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，这种方法叫作_____________. 2. 代入消元 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“______”的方法实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 3. 加减消元 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中有一个未知数的系数______或互为______，就可以用“______”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解. 【即学即练】 例1 解方程组： 【分析】由①可知，x=2y，将方程②中的x用______代替，得到关于y的一元一次方程. 解:由①得，x=2y, 把 x=2y代入② , 得 5×2y+2y=24. 解得 y=2. 把 y=2 代入①,得 x=4. 所以方程组的解为： 【点睛】用代入法解二元一次方程组的“核心”是选择一个“简单”的方程进行适当变形，把一个未知数用__________________来表示，就可以用“______”的方法实现______。 例2用加减法解方程组 【分析】将①式乘以4，②式乘以3，两个方程中x的系数______，就可以用______法进行消元. 【解析】解： ，得：， 解得： ； 把，代入，得：， 解得： ； ∴方程组的解为：． 【点睛】用加减法解二元一次方程组的“核心”是考虑对两个方程都进行适当变形，使两个方程中同一个未知数的系数______或互为______，即可用______法消元. 题型01 二元一次方程组的概念辨析 【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 二元一次方程（组）的解 【典例1】下列方程组中，解为的是（   ） A． B． C． D． 故选：D 【变式1】已知是二元一次方程的一个解，则 ． 【变式2】请写出二元一次方程的一个正整数解： ． 【变式3】如果是方程的一组解，那么代数式 ． 【变式4】已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 所以④是方程组的解． 题型03 用含一个字母的代数式表示另一个字母 【典例1】已知方程，用含有的式子表示，则 ． 【变式1】已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【变式2】用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【变式3】用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知用含的式子表示，则＝ ． 题型04 用代入法解二元一次方程组 【典例1】解方程组：． 【变式1】解二元一次方程组过程中，下列变形正确的是（    ） ． A．由①得代入②消去x B．由①得代入②消去x C．由②得代入①消去y D．由②得代入①消去y 【变式2】解方程组： 【变式3】下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【变式4】阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 题型05 用加减法解二元一次方程组 【典例1】解方程组 【变式1】甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解对了，得，乙看错了，得试求出原方程组中的，，的值． 【变式2】解方程组：（用加减消元法） 【变式3】解方程组：． 【变式4】若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 题型06 用合适的方法解二元一次方程组 【典例1】解方程组： 【变式1】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【变式2】定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程，解得 ； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求与的值（写出用轮换对称解法解方程的过程）． (3) 【变式3】小红遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【变式4】解方程组 题型07 含参数的二元一次方程组 【典例1】若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值和这个方程组的解． 【变式1】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知关于x，y的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 【变式4】已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 题型08 遮盖、错解问题 【典例1】甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解对了，得，乙看错了，得试求出原方程组中的，，的值． 【变式1】在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 故选：D． 【变式2】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则 ． 故答案为：3． 【变式3】丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【变式4】已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于，的二元一次方程组的解． 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．如果是二元一次方程的解，则m的值是（   ） A． B． C． D．2 4．在等式中，当时，；当时，，则b与c的值分别为（　　） A．   B．   C．   D．   5．已知关于的二元一次方程组的解适合方程，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．已知，，则当时， ． 7．方程组：的解为 ． 8．二元一次方程的正整数解有 ． 9．已知x，y满足我们可以不解这个方程组，用求出的值，则的值是 ． 10．已知关于x，y的二元一次方程组，若，则m的值是 ． 11．已知方程组与方程组的解相同．则（2a+b）2004的值为 ． 三、解答题 12．按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1)； (2) 13．分别利用代入消元法和加减消元法解方程组：． 14．解方程组 (1) (2) 15．若关于x、y的二元一次方程组的解满足4x+y=15，求k的值． 16．若和都是关于，的二元一次方程的解，试求与的值，并通过计算验证不是这个方程的解． 17．新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 18．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 19.阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 20.【阅读材料】解二元一次方程组： 思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数， 可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x＋33y＝264，化简得x＋y＝8，所以x＝8－y  ③ 把③代入方程①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5， ∴原方程组的解是. 这样运算显得比较简单. 解答过程：由①＋②，得33x＋33y＝264，即x＋y＝8， ∴ x＝8－y  ③， 把③代入①，得10(8－y)＋23y＝119， 解得y＝3， 把y＝3代入③，得x＝5. ∴原方程组的解是. 【学以致用】 (1)填空：由二元一次方程组，可得x＋y＝__________； (2)解方程组： 【拓展提升】 (3)当m≠－时，解关于x，y的方程组. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1-9.2 二元一次方程组的概念和解法 教学目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解及相关概念，会辨析一对数值是不是二元一次方程（组）的解； 2.掌握二元一次方程组的解法，会用代入法、加减法解标准（含分数、小数系数）二元一次方程组； 教学重难点 1.重点 公共解的理解与二元一次方程组的解法； 2.难点 消元思想的理解与灵活应用. 知识点01 二元一次方程组的概念 问题 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡、兔各几何？ 分析 根据“上有三十五头”可得：鸡的数量+兔的数量=35；再根据“下有九十四足"可得：鸡脚的总数+兔脚的总数=94. 方法一（算术法直接列式） 假设笼子里全都是鸡，则脚应有2×35=70(只),比已知的94 只减少了24只.当一只兔被假设成一只鸡后，脚的数量会减少两只，所以共 有24÷2=12(只)兔被假设成了鸡，即兔有12只，鸡有35-12=23(只) 方法二（一元一次方程） 设笼中有鸡x只.根据“头”的条件，可知兔有(35-x) 只 . 再根据“脚”的条件，可列出方程2x+4(35-x)=94. 解得x=23. 所以 35-x=12. 答：鸡、兔分别有23只、12只. 方法二设一个未知量，先根据一个已知条件用代数式表示另一个未知量， 再由另一个已知条件列出方程求解，这比方法一在解题思路上要直接很多. 方法三（二元一次方程） 设笼中有鸡x 只、兔y 只.根据题意，可得方程 x+y=35, ① 2x+4y=94. ② 1. 二元一次方程的概念 像“x+y=35、2x+4y=94”含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程． 2. 二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组.如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作二元一次方程组. 3. 二元一次方程组的解 一般地，在二元一次方程组中，使每个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫作此二元一次方程组的解. 【即学即练】 1. 下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组满足两个条件：（1）方程组中共含有两个未知数．（2）含未知数的项都是一次项． 【解析】解：A，该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故此选项不符合题意； B，是二次项，所以方程组属于二元二次方程组，故此选项不符合题意； C，该方程组中的xys是二次项，所以此方程组属于二元二次方程组，故此选项不符合题意； D，该方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【分析】将未知数的值代入方程组的每一个方程，使每个方程的左右两边都相等的未知数的值就是方程组的解． 【解析】解：将代入中得：，方程左右两边相等， 将代入中得：，方程左右两边相等， ∴是方程组的解， 故选：A． 知识点02 二元一次方程组的解法 1. 消元法 在解二元一次方程组的过程中，用适当的方法消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程，这种方法叫作消元法. 2. 代入消元 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的方法实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解. 3. 加减消元 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中 有一个未知数的系数相等或互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解. 【即学即练】 例1 解方程组： 【分析】 由①可知， x=2y，将方程②中的x用2y代替，得到关于y的一元一次方程. 解:由①得，x=2y, 把 x=2y代入② , 得 5×2y+2y=24. 解得 y=2. 把 y=2 代入①,得 x=4. 所以方程组的解为： 【点睛】用代入法解二元一次方程组的“核心”是选择一个“简单”的方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数来表示，就可以用“代入”的方法实现消元。 例2用加减法解方程组 【分析】将①式乘以4，②式乘以3，两个方程中x的系数就相同，就可以用加减法进行消元. 【解析】解： ，得：， 解得： ； 把，代入，得：， 解得： ； ∴方程组的解为：． 【点睛】用加减法解二元一次方程组的“核心”是考虑对两个方程都进行适当变形，使两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，即可用加减法消元. 题型01 二元一次方程组的概念辨析 【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组即可． 【详解】解：二元一次方程组需满足：①有两个未知数；②每个方程都是整式方程且未知数的次数为. A、方程组含两个未知数和，且方程和均为一次方程，符合题意． B、方程中，为二次项，不符合一次方程条件，不符合题意； C．该方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程中，为分式，不符合一次方程条件，不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 【变式2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 【变式3】下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组需满足：两个整式一次方程，且只含两个未知数是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组由两个一次方程组成；②共含有两个未知数，且每个方程均为整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、第二个方程是二次方程，不符合一次方程要求，不符合题意； B、两个方程均为一次方程，且共含两个未知数和，符合定义，符合题意； C、第二个方程含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、方程组涉及三个未知数，不是二元方程组，不符合题意． 故选：B． 【变式4】在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有5个， 故选：D． 题型02 二元一次方程（组）的解 【典例1】下列方程组中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可． 【解析】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 【变式1】已知是二元一次方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解一元一次方程等知识点，熟练掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解决此题的关键．将 代入方程中得到关于的方程，解之即可． 【解析】 解：将 代入方程中得，， 解得， 故答案为：． 【变式2】请写出二元一次方程的一个正整数解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解 任意给定一个y的正整数值，然后求得对应的x值，确保x也是正整数即可． 【详解】解：x=7-2y>0 ∴y< ∴正整数y可以取1、2、3，从中任取一个值即可求到一组正整数解. 当时，， 解得， 因此是方程的一个正整数解． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】如果是方程的一组解，那么代数式 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据二元一次方程解的定义，将解代入方程得到等式，再整体代入代数式求值． 【详解】因为是方程 的解， 所以． 代数式． 故答案为：6． 【变式4】已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 【答案】(1)②④是方程的解． (2)③④是方程的解． (3)④是方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程的解和二元一次方程组的解，方程（组）的解是满足方程（组）的未知数的值，掌握该知识点是解题的关键． （1）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （2）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （3）两方程的公共解即为方程组的解，据此即可解答题目. 【解析】（1）解：将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 故②④是方程的解． （2）解：将代入，不成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，成立； ③④是方程的解． （3）解：由（1）（2），可知，④是两个方程公共解 所以④是方程组的解． 题型03 用含一个字母的代数式表示另一个字母 【典例1】已知方程，用含有的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 将看作已知数，求出即可． 【详解】解： 得到 ， 故答案为：． 【变式1】已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，将含x的项移到等号右边，再把等式两边同时除以3即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查了代入法解方程组．代入法解方程组时，优先选择系数为的未知数进行变形，可避免分数运算，简化计算．观察方程组，方程②中的系数为，最适合变形． 【详解】解：∵方程②中，的系数为，变形时无需引入分数，计算简便， ∴由②移项得，此变形最合适， 对比其他选项，A、B、C变形后均含有分数，计算相对繁琐， 故选：D． 【变式3】用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键． 根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用表示的形式，从而消去． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【变式4】已知用含的式子表示，则＝ ． 【答案】 【分析】通过消去参数 ，将方程组转化为用 表示 的形式． 【详解】解： ， 得：， 解得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，解决问题的关键是熟练掌握计算方法． 题型04 用代入法解二元一次方程组 【典例1】解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，利用代入消元法解二元一次方程组； 【详解】解： 由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③得， 则方程组的解为． 【变式1】解二元一次方程组过程中，下列变形正确的是（    ） ． A．由①得代入②消去x B．由①得代入②消去x C．由②得代入①消去y D．由②得代入①消去y 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握利用代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 通过对方程组进行变形，判断每个选项的表达式是否正确即可． 【详解】解：由②可得， 代入①可消去， 则选项D错误， 由①得， 则选项A、选项B错误； 故选：C． 【变式2】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据代入消元法求解即可． 【详解】解：由①得，③ 将③代入②，得， 解得， 将代入③，得， ∴原方程组的解为． 【变式3】下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 【变式4】阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题关键是通过观察方程的结构，将一个方程变形后得到的整体表达式代入另一个方程，从而实现消元，简化求解过程． 先从方程①中整理出的表达式，再将其整体代入方程②，从而消去一个未知数，简化计算． 【详解】解：由①，得③． 观察方程② ，可以将分子变形为， 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴这个方程组的解为 题型05 用加减法解二元一次方程组 【典例1】解方程组 【答案】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】， 得，， 解得， 把代入①得，， 解得 ∴方程组的解是． 【变式1】甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解对了，得，乙看错了，得试求出原方程组中的，，的值． 【答案】，，的值分别为： 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 把甲的结果代入方程组求出的值，得到关于与的方程，将乙结果代入第一个方程得到与的方程，联立求出与的值即可． 【详解】解：把代入方程组得：， 解得：， 把代入方程组中第二个方程得：，即， 联立得：， 整理得：得：， 把代入②得：． 答：，，的值分别为：． 【变式2】解方程组：（用加减消元法） 【答案】 【分析】得③，②得④，③+④求出，将代入①求出即可. 【详解】解： 得③ ②得④ ③+④得 解得 将代入①，得 原方程组的解是 【变式3】解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法求解即可． 【详解】， ①，得③， ②，得④， ③+④，得， 解得， 把代入①得：， 解得， 方程组的解为． 【变式4】若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是将方程组中的两个方程相加，结合建立关于的方程． 将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含与的等式，再代入求解． 【详解】解：已知方程组， 将两方程相加，得：， 整理得：， 两边同时除以5，得：． 又因为，所以， 解得． 故选：B． 题型06 用合适的方法解二元一次方程组 【典例1】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得，即③， 得，即④， 得， 解得， 把代入③得， 解得， 所以，方程组的解为． 【变式1】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 【变式2】定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程，解得 ； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求与的值（写出用轮换对称解法解方程的过程）． (3) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． 【变式3】小红遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 【变式4】解方程组 【答案】 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； 题型07 含参数的二元一次方程组 【典例1】若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值和这个方程组的解． 【答案】    【分析】本题考查二元一次方程组的解与方程的综合应用，掌握先解含参数的方程组，再代入另一方程求参数的方法是解题的关键． 先通过加减消元法解含参数的方程组，用表示出和；再将这个解代入方程，得到关于的一元一次方程，求出后回代即可得到方程组的解． 【详解】解： ①＋②，得，解得． ①－②，得，解得． ∴方程组的解为 将代入中，得， 解得， 方程组的解为． 【变式1】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解．方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知式子的值，求二元一次方程组的参数，将方程组转化为与相关的式子，代入计算即可． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得， 故选B． 【变式3】已知关于x，y的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解二元一次方程组是解决问题的关键．根据题意，解方程组，再由求值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 联立方程组， 解得， ， 故选：C． 【变式4】已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键． 设由①﹣②得，代入②，可求得，x，y代入方程，计算求解即可． 【详解】解：， ①﹣②得， 代入②，得， 解得， 代入方程， 得， 解得． 题型08 遮盖、错解问题 【典例1】甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解对了，得，乙看错了，得试求出原方程组中的，，的值． 【答案】，，的值分别为： 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 把甲的结果代入方程组求出的值，得到关于与的方程，将乙结果代入第一个方程得到与的方程，联立求出与的值即可． 【详解】解：把代入方程组得：， 解得：， 把代入方程组中第二个方程得：，即， 联立得：， 整理得：得：， 把代入②得：． 答：，，的值分别为：． 【变式1】在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．甲看错了，则甲的结果满足方程②，乙看错了，则乙的结果满足方程①，由此建立关于、的方程求解即可． 【解析】解：∵解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，， ∴把，代入②式，得， 解得：； 把，代入①式，得， 解得：； 故选：D． 【变式2】甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值相加求解即可． 【解析】解：根据题意可得出：，， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【变式3】丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 【解析】解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 【变式4】已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程组的关系是解决本题的关键． （1）将代入求出， 将代入求出； （2）按照加减消元的方法解方程组即可； （3）由（2）得出，再按照加减消元的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：， ． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为； （3）解：由（2）可知， 得， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为． 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，①含有两个不同的未知数；②未知数的次数为1，且为整式方程．根据二元一次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A.：含项，次数为2，不符合一次条件； B.：仅含一个未知数，不满足二元要求； C.：含和两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合条件； D.：含分式，非整式方程，不符合要求； 故选：C． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组是二元一次方程组，二元一次方程组中的各个方程应是整式方程，根据定义解答． 【详解】解：A．，方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B．，是二元一次方程组，故符合题意； C．，含有二次项，不是二元一次方程组，故不符合题意； D．，不是整式方程，不是二元一次方程组，故不符合题意． 故选：B． 3．如果是二元一次方程的解，则m的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意把代入，得，再解得，即可作答． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， 解得， 故选：B 4．在等式中，当时，；当时，，则b与c的值分别为（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，， ∴，解得：； 故选A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出二元一次方程组，是解题的关键． 5．已知关于的二元一次方程组的解适合方程，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，通过消元与代入求解，关键是将参数m消去后联立已知条件． 通过将原方程组中的m用x和y表示，代入另一个方程消去m，得到关于x和y的方程，再与给定的联立求解x和y，最后代入求m． 【详解】解：∵ 方程组且解适合， 由方程②得：， 代入方程①：， 即， 整理得：，即， 两边乘以：， ∴ 得， 联立方程： 由③得：， 代入：， ， ， ， ， ∴， 代入， 故选：A． 二、填空题 6．已知，，则当时， ． 【答案】1 【分析】将带入原方程即可求解． 【详解】解：将带入，得：， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的意义是解题的关键． 7．方程组：的解为 ． 【答案】/ 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①+②得：3x＝15， 解得：x＝5， 把x＝5代入①得：5﹣y＝3， 解得：y＝2， 则方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 8．二元一次方程的正整数解有 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，先求出的范围，再求出答案即可，能求出的范围是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵是正整数， ∴ 解得：， ∴， ∴的正整数解为， 代入， ∴二元一次方程的正整数解为， 故答案为：． 9．已知x，y满足我们可以不解这个方程组，用求出的值，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，得，根据题意可得，然后求出的值即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：得，， ∵用求出的值， ∴， 得，， 得，， 得，，解得：， 把代入得，，解得：， ∴， 故答案为：． 10．已知关于x，y的二元一次方程组，若，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．利用方程①减去方程②，进行计算即可求出的值，即可解答． 【详解】解：， ①②得：， ， ， ， ， 故答案为：6． 11．已知方程组与方程组的解相同．则（2a+b）2004的值为 ． 【答案】1 【分析】因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可，最后求出的值． 【详解】解：∵两个方程组的解相同， ∴解方程组，得， 代入另两个方程，得， 解得， ∴=1    ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解，再把x和y的值代入求出a和b的值． 三、解答题 12．按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得，， 解得， 把代入③得，， ∴方程组的解是； （2）解：， 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解是． 13．分别利用代入消元法和加减消元法解方程组：． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了利用代入消元法和加减消元法分别解二元一次方程组，根据各自的运算法则求解即可． 【详解】解：原方程整理得， 代入消元法：由①，得 ③， 将③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为； 加减消元法：，得， 解得， 将代入②，得， 解得， 故原方程组的解为． 14．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，，掌握解方程组的方法与步骤是解本题的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可． （2）先将方程组整理变形，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ②-①，得． ∴． 把代入①，解得． ∴原方程组的解是； （2）解： 方程组整理为 ①+②得． ∴． 把代入②，解得． ∴原方程组的解是 15．若关于x、y的二元一次方程组的解满足4x+y=15，求k的值． 【答案】 【分析】先利用加减消元法解含参数的二元一次方程组，再将求出的x，y代入2x+y＝3可得关于k的方程，解方程即可求解． 【详解】解： ，得，解得： ， 把代入，得， 解得：y． 把，y代入方程4x+y＝15， 得， 解得：k=． 【点睛】本题主要考查含参数的二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的二元一次方程组的方法． 16．若和都是关于，的二元一次方程的解，试求与的值，并通过计算验证不是这个方程的解． 【答案】，不是这个方程的解 【分析】此题考查了二元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 把与的两对值代入方程得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，代入检验即可． 【详解】解：把和代入方程， 得 解得 方程为． 当，时，， 不是这个方程的解． 17．新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 【答案】(1)答案不唯一，如等 (2)方程组的解具有“邻好关系” (3)或6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据“邻好关系”的定义求解即可； （2）利用代入消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （3）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：具有“邻好关系”的二元一次方程组为（答案不唯一）； （2）解：具有“邻好关系”.理由如下： 解方程组， 解得， 再代入，符合条件， 所以方程组的解具有“邻好关系”； （3）解：解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或6． 18．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 19.阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用换元法进行变形得，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【解析】解：设，， 方程组变形得： 整理得： 得：， 即， 把代入①得：， ∴， ，得， 解得， 把代入，解得， 解得：． 20.【阅读材料】解二元一次方程组： 思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数， 可以看出，若先把两个方程相加可得到：33x＋33y＝264，化简得x＋y＝8，所以x＝8－y  ③ 把③代入方程①，得10(8－y)＋23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5， ∴原方程组的解是. 这样运算显得比较简单. 解答过程：由①＋②，得33x＋33y＝264，即x＋y＝8， ∴ x＝8－y  ③， 把③代入①，得10(8－y)＋23y＝119， 解得y＝3， 把y＝3代入③，得x＝5. ∴原方程组的解是. 【学以致用】 (1)填空：由二元一次方程组，可得x＋y＝__________； (2)解方程组： 【拓展提升】 (3)当m≠－时，解关于x，y的方程组. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据材料中介绍的方法，解二元一次方程组，通过①+②得：． （2）观察原方程组，发现两式相加不能简化，所以将两式相减．解二元一次方程组，通过①-②，化简可得：，所以．将③代入①中，即可解出，则．所以原方程组的解为 （3）观察原方程组，选择两式相减．解二元一次方程组，通过①-②，化简可得：，所以．将③代入①中，整理可得：．当时，即可解出，则．所以原方程组的解为 【解析】（1）解： 由①+②得：，即 故答案为：2． （2）解： 由①-②得： 把③代入①得： 解得： 把代入③得： 原方程组的解为 （3）解： 由①-②得：，即： 把③代入①中得： 即 当时，可解得 把代入③得： 原方程组的解为 【点睛】本题主要考查知识点为：二元一次方程组的解法，分为代入消元法和加减消元法．同时，本题的关键要仔细阅读材料，理解材料中的做题思路和方法．只有在理解材料中的方法之后，才能更有效快捷的做出后面的问题．所以掌握二元一次方程组的解法、认真审题，认真思考材料中的方法，是解决此类题的关键． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $