专题04因式分解（期中复习专项训练，全章12大题型）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

专题04 因式分解 （期中复习专项训练，全章12大题型） 题型导览 题型01 判断是否是因式分解 题型07 综合运用公式法分解因式 题型02 已知结果求参数 题型08 综合提公因式和公式法分解因式 题型03 公因式 题型09 因式分解与有理数简算 题型04 提公因式法分解因式 题型10 十字相乘法 题型05 平方差公式分解因式 题型11 分组分解法 题型06 完全平方公式分解因式 题型12 因式分解的应用 题型汇总 题型01 判断是否是因式分解 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型02 已知结果求参数 5．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 6．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 7．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 8．如果因式分解的结果为，那么_________． 题型03 公因式 9．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 10．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 11．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 12．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 题型04 提公因式法分解因式 13．因式分解：____． 14．已知，则的值为_______ ． 15．分解因式：． 16．因式分解： (1)； (2)． 题型05 平方差公式分解因式 17．因式分解：_____． 18．因式分解：________． 19．因式分解：__________． 20．因式分解：_________． 题型06 完全平方公式分解因式 21．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 22．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 23．如果因式分解的结果为____． 24．因式分解：________． 题型07 综合运用公式法分解因式 25．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 26．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 27．分解因式：______． 28．把因式分解的结果是________． 题型08 综合提公因式和公式法分解因式 29．因式分解： (1)； (2)． 30．在实数范围内分解因式： (1) (2) (3) 31．因式分解 (1)； (2)． 32．因式分解 (1) (2) (3) 题型09 因式分解与有理数简算 33．利用因式分解计算：． 34．利用因式分解计算： (1)； (2)． 35．利用因式分解计算：． 36．综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 题型10 十字相乘法 37．若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 38．下列因式分解最后结果正确的是（   ） A． B． C． D． 39．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 40．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 题型11 分组分解法 41．我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 42．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 43．阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 44．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 题型12 因式分解的应用 45．按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 46．数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 47．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（，均为自然数）”的问题． 指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______ 按上表规律，完成下列问题： (1)（ⅰ）（________）（________）； （ⅱ）________； (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，…… ③若x，y一个是奇数一个是偶数，…… 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②，情形③的证明． 48．综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】步骤一：分解因式； 步骤二：取，，则有，，，其中13，17，11分别为因式码； 步骤三：将这三个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码111317． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推． (1)【理解】①已知多项式，当取，时，则生成的密码是_______． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是______． (2)【拓展】①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为04，08，则第三个因式码为_______． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是050517，请写出满足条件的x和y，并说明理由． (3)【提升】小亮在整理书架时发现，某本书的总页码数是一个完全平方数．若从第1页开始，连续往后翻到第99页，剩下的页数仍然是一个完全平方数．已知这本书的总页码数大于100，且小于1000，求这本书的总页码数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 （期中复习专项训练，全章12大题型） 题型导览 题型01 判断是否是因式分解 题型07 综合运用公式法分解因式 题型02 已知结果求参数 题型08 综合提公因式和公式法分解因式 题型03 公因式 题型09 因式分解与有理数简算 题型04 提公因式法分解因式 题型10 十字相乘法 题型05 平方差公式分解因式 题型11 分组分解法 题型06 完全平方公式分解因式 题型12 因式分解的应用 题型汇总 题型01 判断是否是因式分解 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的变形，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A、左边是整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误； B、右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C、左侧是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误； D、左侧是多项式，右侧是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确． 2．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵ 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式 ∴ A选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； B选项，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； C选项 ，是整式乘法运算，是将乘积化为多项式，不属于因式分解； D选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解． 3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念，把一个多项式化成几个整式的积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A．，等式右边不是整式积的形式，故此项不合题意． B．，是整式的乘法，不是因式分解，故此项不合题意． C．，符合因式分解的定义，故此项符合题意． D．，是整式的乘法，不是因式分解，故此项不合题意． 4．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．从左到右是整式乘法，不是因式分解； B．右边变形后出现分式，不是整式，不是因式分解； C．左边是多项式，右边是整式的乘积，是因式分解； D．右边是乘积与多项式的和，不是几个整式乘积的形式，不是因式分解． 题型02 已知结果求参数 5．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 6．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 7．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 8．如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 题型03 公因式 9．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题按照公因式的求解方法，先计算各项系数的最大公约数，再确定各项共有的相同字母，取相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，，，三者的最大公约数是， 各项共有的相同字母为和， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， ∴该多项式的公因式为． 10．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 11．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 12．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式． 【详解】解：的公因式是． 题型04 提公因式法分解因式 13．因式分解：____． 【答案】 【详解】解：． 14．已知，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】先将所求代数式进行因式分解，再将已知条件代入计算即可． 【详解】解：． 15．分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 16．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型05 平方差公式分解因式 17．因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 18．因式分解：________． 【答案】 【分析】观察原式，可将原式变形为平方差的形式，利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 19．因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：． 20．因式分解：_________． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可. 【详解】解：原式. 题型06 完全平方公式分解因式 21．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、∵不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，故 A错误． B、不符合完全平方公式结构，无法用完全平方公式因式分解，故B错误． C、的一次项不是两个平方项底数乘积的倍，不符合完全平方公式结构，故C错误． D、，符合完全平方和公式结构，可分解为，故 D正确． 22．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构，判断各选项是否符合该公式结构即可． 【详解】解：A ，常数项为，是负数，不满足公式结构，不符合要求； B ，若符合公式结构，中间项，对应常数项应为，不是，不匹配，不符合要求； C ，只有两项，缺少常数项，无法构成完全平方的结构，不符合要求； D ，首项，末项，中间项，符合完全平方公式结构，分解得，符合要求． 23．如果因式分解的结果为____． 【答案】 【分析】利用完全平方公式解答即可． 【详解】解： 24．因式分解：________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 题型07 综合运用公式法分解因式 25．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 26．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 27．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，根据完全平方公式和平方差公式逐步对原式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 28．把因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，将原式视为平方差形式，应用平方差公式分解，再对所得式子分别应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 题型08 综合提公因式和公式法分解因式 29．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 30．在实数范围内分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 31．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据提公因式法和平方差公式，进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2） （3） 题型09 因式分解与有理数简算 33．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】先把原式化成完全平方公式的形式，然后再按照完全平方公式分解后求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键． 34．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 36．综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为． （3）解： ． 题型10 十字相乘法 37．若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 38．下列因式分解最后结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的公式法，十字相乘法提公因式法是解决本题的关键．根据因式分解的定义及分解方法，逐个判断得结论． 【详解】解：A、，故选项A分解不正确； B、，故选项B分解正确； C、，故选项C分解不正确； D、，故选项D分解不彻底，不正确． 故选：B． 39．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 40．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 题型11 分组分解法 41．我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①，② (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）①将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； ②将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将整理得到，再结合，b，c均为正数，分析求解，即可解题． 熟练掌握因式分解方法，以及正确理解新方法是解题的关键． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：为等腰三角形．理由如下： ． 的三边长a，b，c ，b，c均为正数， ， ， 为等腰三角形． 42．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 题型12 因式分解的应用 43．阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形或直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ∵、、是的三边长， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 44．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 45．按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 46．数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)k所有可能的取值为7或8或13． 【详解】（1）解：根据图形得：； （2）解：画出图形如下： ∴； （3）解：设，其中、是4的正因数，、是3的正因数， ∴，； ，； ，； 综上，k所有可能的取值为7或8或13． 47．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（，均为自然数）”的问题． 指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______ 按上表规律，完成下列问题： (1)（ⅰ）（________）（________）； （ⅱ）________； (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，…… ③若x，y一个是奇数一个是偶数，…… 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②，情形③的证明． 【答案】(1)（ⅰ）7，5；（ⅱ）． (2)见解析 【分析】（1）（ⅰ）根据规律即可求解；（ⅱ）根据规律即可求解； （2）②先利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； ③利用因式分解和奇偶数的性质即可求证． 【详解】（1）解：（ⅰ）由规律可得，； （ⅱ）由规律可得，． （2）解：②若x，y均为奇数， 设，，其中k，m均为自然数． 所以 ． ∵为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾， ∴x，y不可能均为奇数； ③若x，y一个是奇数一个是偶数， 则和均为奇数． 所以为奇数， 而是偶数，矛盾， 故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 48．综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】步骤一：分解因式； 步骤二：取，，则有，，，其中13，17，11分别为因式码； 步骤三：将这三个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码111317． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推． (1)【理解】①已知多项式，当取，时，则生成的密码是_______． ②已知多项式，当时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是______． (2)【拓展】①已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为04，08，则第三个因式码为_______． ②若多项式，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是050517，请写出满足条件的x和y，并说明理由． (3)【提升】小亮在整理书架时发现，某本书的总页码数是一个完全平方数．若从第1页开始，连续往后翻到第99页，剩下的页数仍然是一个完全平方数．已知这本书的总页码数大于100，且小于1000，求这本书的总页码数． 【答案】(1)①1131；② (2)①40；②，理由见解析 (3)324 【分析】（1）①利用平方差公式分解因式，再根据a、b的值求出和的值即可得到答案；②先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式，再根据x的值求出三个因式的值即可得到答案； （2）①利用平方差公式分解因式，根据因式赋值生成正整数或0的因式码，得到，都是非负整数，进而得到是非负整数，是整数， 是非负整数，是非负整数；可证明x为整数，y为整数；可证明当时，不符合题意；可证明当时，存在两种情况：当时，满足，此时；当时，满足，此时；当且时，则或，解方程组即可得到答案； （3）设总页码数为，从第1页开始，连续往后翻到第99页，剩下的页码数为（a、b为正整数），由题意得，可证明都是正整数，则或或，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：①， 当取，时，， ∴生成的密码是1131； ② ， 当时，， ∴生成的密码是； （2）解： ， ∵因式赋值生成正整数或0的因式码， ∴，都是非负整数， ∴是非负整数，是整数， 是非负整数， ∴是非负整数 当x不是整数时，设（t为整数）， ∴， ∵t为整数， ∴为整数， ∴一定不是整数，这与是非负整数矛盾， ∴x为整数， ∴同理：y为整数； 当时，当时，，则， 此时，不满足有因式码为08，不符合题意； 当时，，则，， 此时，不满足有因式码为08，不符合题意； 当时，只存在这种情况， 此时，，则或或或， 或或或， ∴当时，满足，此时，此时密码为000408，不符合题意； 当时，满足，此时，此时密码为000408，不符合题意； 当且时， 则或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴第三个因式码为40； 综上所述，第三个因式码为40； ②，理由如下： ， ∵当取x，y某一组值时，生成的密码是050517， ∴， ∴； （3）解：设总页码数为，从第1页开始，连续往后翻到第99页，剩下的页码数为（a、b为正整数）， 由题意得，， ∴， ∵a、b都是正整数，且， ∴都是正整数， ∵， ∴或或， 解得或或， ∵这本书的总页码数大于100，且小于1000， ∴， ∵， ∴只有符合题意， ∴这本书的总页码数为324． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $