精品解析：广东省东莞市光明中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省东莞市光明中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（　　）平方米． A. 96 B. 204 C. 196 D. 304 5. 如图，小明从点出发，沿直线前进后向左转，又向左转，照这样走下去回到原点，共走路程为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 8. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中．，，为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 12. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 13. 下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的为__________填序号． ①，；②，ADBC；③，；④ABCD，∠A=∠C． 14. 如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是 ___________ 15. 如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是． （1）______，_____，______； （2）判断是不是直角三角形，并说明理由． 18. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 20. 如图，点、是对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的面积． 21. 下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，补全证明过程． 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，求证：． （1）证明：如图①，延长到点，使得，连接，． （2）证明：如图②，取的中点，连接． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题：观察下列等式： ；． 直接写出以下算式的结果：_______． （2）小明编的题：由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，，． 直接写出以下算式的结果：_______． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： ． 23. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省东莞市光明中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意； C.原式==，所以C选项错误，不符合题意； D.原式==2，所以D选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义． 依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）对各选项进行判断即可． 【详解】解：A选项：的被开方数是分数，不是最简二次根式； B选项：的被开方数5不含分母，且无开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； C选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D选项：，被开方数是分数，不是最简二次根式； 故选：B． 3. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，故D说法正确，符合题意； 根据现有条件无法得到，，，故A、B、C说法错误，不符合题意； 故选：D． 4. 如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（　　）平方米． A. 96 B. 204 C. 196 D. 304 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差． 【详解】连接AC， 则在中， ， ∴AC=15，在 中，， ， ∴ ， ∴ ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和三角形面积的应用，解题的关键是正确添加辅助线. 5. 如图，小明从点出发，沿直线前进后向左转，又向左转，照这样走下去回到原点，共走路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用多边形的外角和求出边数，进而即可求解． 【详解】解：由题意可知，小明每次向左转的角度为，这相当于正多边形的一个外角， ∵多边形的外角和为，  ∴该正多边形的边数 ， ∵每次前进的距离为，  ∴共走路程为 ． 6. 若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，点坐标的特点，先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入表达式求出y的值，最后依据平面直角坐标系各象限点的坐标特征判断点P所在象限． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数， ∴， 解得， 当时，， ∴点的坐标为， ∵第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 7. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 8. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，进而利用AAS可证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵a、b、c都是正方形， ∴AC=CD，∠ACD=∠ABC=∠DEC=90°， ∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CED中，， ∴△ACB≌△CDE（AAS）， ∴AB=CE，BC=DE； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2， 即Sb=Sa+Sc=1+9=10， ∴b的面积为10， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 9. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明再求解利用轴对称可得答案． 【详解】解：由对折可得： 矩形， BC=8 由对折得： 故选C． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图，四边形中．，，为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 如图：连接并延长交于G， ∵ ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，F是的中点， ∴． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义，可得：，所以， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键. 12. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可． 【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2， ∴a+1=3，解得：a=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 13. 下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的为__________填序号． ①，；②，ADBC；③，；④ABCD，∠A=∠C． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据所给条件结合平行四边形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：①AB＝CD，AD＝BC可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定； ②AD＝BC，ADBC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定； ③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形； ④ABCD，∠A＝∠C可证出∠B＝∠D，再根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定； 故答案为：③． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 14. 如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是 ___________ 【答案】6.5 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD＝AB． 【详解】解：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴AC＝2DE＝5，AC∥DE， AC2＋BC2＝52＋122＝169， AB2＝132＝169， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵AC∥DE， ∴∠DEB＝90° ，又∵E是BC的中点， ∴直线DE是线段BC的垂直平分线， ∴DC＝BD＝AB＝6.5， 故答案是：6.5． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式及平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是． （1）______，_____，______； （2）判断是不是直角三角形，并说明理由． 【答案】（1），， （2）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格特征，利用勾股定理求解即可； （2）利用（1）中数据，得出，利用勾股定理的逆定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵每个小正方形的边长都是， ∴，，． 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内，再把除法化为乘法，再化简得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时， 原式． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可． 【详解】解：如图所示： ∴，， 则原式 ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键． 20. 如图，点、是对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，可得，即可证明，得出，，，即可证明四边形是平行四边形； （2）过点作于，利用勾股定理求出，利用的面积求出，利用三角形面积公式求出的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴． 21. 下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，补全证明过程． 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，求证：． （1）证明：如图①，延长到点，使得，连接，． （2）证明：如图②，取的中点，连接． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）证明四边形是矩形，然后根据矩形的性质可进行求证； （）利用三角形中位线的性质可证，再根据线段垂直平分线的性质得，进而即可求证； 【小问1详解】 证明：延长至点，使得，连接，， ∵点为边上中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 证明：取的中点，连接， ∵点为边上中点，点为边上中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题：观察下列等式： ；． 直接写出以下算式的结果：_______． （2）小明编的题：由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，，． 直接写出以下算式的结果：_______． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简. （1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可. 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 23. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】 证明：（1）的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $