专题13 动态几何中的函数关系建立与最值（3大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

**基本信息** 以四步解题法（设参-转化-建式-求解）为核心，系统构建动态几何与函数结合的最值问题解决体系，强化参数思想与几何转化的逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法总述|策略框架|四步解题法：精准设参（单参数优先）、几何转化建函数（化折为直/割补法）、依函数性质求最值（二次函数顶点/参数范围验证）、回代验证|从参数表示动态几何量到函数建模，形成“几何问题代数化”推理链| |压轴题型专练|3题型各5题|分题型提炼：线段用距离公式、周长拆分定动长、面积用定基动高/割补法，均转化为整式函数|针对线段/周长/面积最值，对应不同几何转化技巧与函数类型| |综合实战演练|10题|综合应用四步法，强化参数范围与函数性质结合|覆盖抛物线背景下动态问题高频考法，提升复杂情境推理能力|

专题13 动态几何中的函数关系建立与最值 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 利用动点参数的函数求动态几何中线段最值问题 题型02 利用动点参数的函数求动态几何中周长最值问题 题型03 利用动点参数的函数求动态几何中面积最值问题 模块三、综合实战演练 一、利用动点参数的函数求动态几何中最值问题的解题策略： 一、第一步：精准设参，用参数表示所有相关几何量 设参是基础，优先选单参数（减少运算量），根据动点轨迹选择设参方式，确保所有动态量都能由该参数表示，静态量直接代入。 1. 按动点轨迹设参（中考高频） · 动点在坐标轴/直线上：设动点横坐标为 ，代入直线解析式得纵坐标； · 动点在抛物线上：设动点横坐标为 ，代入二次函数解析式得纵坐标； · 动点在定线段/圆弧上：可设线段比例为参数。 2. 设参原则 · 不设多参数：同一问题中仅设 1 个核心参数，所有动态量均用其表示，避免未知数过多； · 参数范围明确：根据动点的几何边界，确定参数的取值范围（如动点在线段 上，参数 需满足 ），为后续求最值限定范围。 二、第二步：转化几何最值目标，建立参数函数关系式 将要求最值的几何量（线段长、面积、周长等），通过几何定理、公式转化为关于参数的函数，这是解题核心，建式时紧扣几何性质，保证推导无偏差。 1. 不同最值目标的建式方法 · 线段长最值：用两点间距离公式表示线段长，若为线段和/差，先通过几何模型（将军饮马、隐形圆）转化为单一线段，再用距离公式建式； 例：动点 到定点 的距离 ，化简为关于 的函数； · 面积最值：用割补法/公式法表示面积，将面积拆分为含参数的底和高的乘积； 例：三角形面积用 ，底为定长时，高用参数表示；不规则图形割补为三角形/矩形，再表示各边； · 周长/线段和最值：先通过几何转化（如将军饮马作对称）消去“折线段”，转化为单一线段或可表示的连续线段，再用参数表示各段长度求和。 2. 建式关键 · 几何转化优先：建式前先利用几何性质简化最值目标（如垂线段最短、化折为直），避免直接建式导致函数过于复杂； · 化简函数：将含根号、分式的函数化简为整式函数（如二次函数 ），方便后续求最值（二次函数为中考高频）。 三、第三步：根据函数类型，结合性质求最值（含参数范围验证） 建立关于参数 的函数 后，根据函数类型（一次、二次、反比例），结合函数性质 + 参数取值范围求最值，注意顶点是否在参数范围内，这是避免错解的关键。 中考高频函数类型及最值求法 1. 二次函数（，）—— 最核心 · 先求顶点横坐标：； · 最值判定： 0. 若顶点横坐标 在参数取值范围内： · 时，函数在顶点处取最小值 ； · 时，函数在顶点处取最大值 ； 0. 若顶点横坐标不在参数范围内： · 根据二次函数的增减性，在参数范围的端点处取最值（左端点或右端点）。 2. 一次函数（，） · 无顶点，根据斜率 的符号判断增减性： · ，函数随 增大而增大，在参数范围右端点取最大值，左端点取最小值； · ，函数随 增大而减小，在参数范围左端点取最大值，右端点取最小值。 3. 反比例函数（，） · 结合双曲线的增减性，在参数取值范围内的端点处取最值，注意反比例函数在单个区间内单调。 关键：参数范围的严格验证 所有最值均需在动点的几何边界对应的参数范围内求解，即使函数的顶点最值再优，若顶点参数超出范围，该最值无效，需取区间端点的最值。 四、第四步：回代参数，还原几何最值结果 求出函数的最值时的参数值 后，需做两步还原： 1. 将 回代到动点设参式中，得到动点的具体坐标（即几何最值的取点位置）； 1. 将 回代到函数关系式中，得到几何量的最值（如线段长的最小值、面积的最大值）； 最终作答时，需同时写出最值点坐标 + 几何量的最值，保证几何问题的完整性。 题型01 利用动点参数的函数求动态几何中线段最值问题 1．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求点与点的坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，求的最大值； (4)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成“”图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与“”图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点特征，求点、坐标．令直线中，可求得点的横坐标；令，可求得点的纵坐标． （2）将点、的坐标代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组即可求出抛物线的表达式． （3）先证明，将求的最大值转化为求的最大值．设点的坐标，根据轴得到点的坐标，进而用含的代数式表示出的长度，构造二次函数并求其最大值，从而得到的最大值． （4）先求出原抛物线沿轴翻折后的“”型函数解析式，再写出直线向上平移个单位后的直线解析式．通过分析直线过点、点的临界情况，以及直线与翻折后抛物线相切的临界情况，来确定的取值范围． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， 令，得， ， ， 直线与轴交于点， 令，得， ； （2）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （3）解：在中，，， 是等腰直角三角形， ， 轴，轴， ，， 是等腰直角三角形 ， ， 设，其中 轴，点在直线上， ， ， 二次函数的开口向下，对称轴为， 当时，， ； （4）解：令中，，得， 解得或， ∴点， 抛物线， 沿轴翻折后的解析式为（）， 设直线向上平移个单位得到直线：， 如图，当直线过点时， ， ， 如图，当直线过点时， ， ， 如图，当直线与翻折后的抛物线相切时， 联立方程得， ， ， ， 解得， 的取值范围为或． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，并与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，若点P是抛物线上一动点，且点P在第二象限内，过点P作轴于D，交于点E，当点P运动到什么位置时，线段最长？求此时的值． 【答案】(1) (2)当时，线段有最大值是4，此时 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后设，表示出点和的坐标，进而得到关于t的二次函数表达式，利用二次函数的性质即可求得最值． 【详解】（1）解：抛物线经过、两点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的函数表达式为， 将、两点代入，得， 解得， 直线的函数表达式为； 设， ，， ， 当时，线段有最大值是4，此时， ∴此时． 3．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【分析】（1）由得，得，把B的坐标代入得，求出a的值即可； （2）解：设，则，过E作于F，根据等腰直角三角形的性质可求出，，则，然后把E的坐标代入求解即可； （3）①根据相似三角形的判定与性质求出M的坐标，根据轴求出N的坐标，然后求出，分三种情况讨论即可； ②分或，讨论，分别求出抛物线于直线，的交点坐标，然后画出草图，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 过E作于F， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限的抛物线上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：当时，解得，， ∴， 当P和B重合时，， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴，此时M、N重合， 当P和C重合时，、都在y轴上，则P和N重合， 设， 当时，如图，过P作轴于H，设与x轴相交于G， 则轴， 又轴， ∴， ∴， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵轴， ∴N的横坐标为， ∵N在抛物线上， ∴N的纵坐标为， ∴， ∴； 当时，即或时，； 当时，即时，； 当时，（、重合）； 综上，； ②当或时，， 时，，解得， 时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 当时，， 时，，解得， 时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 综上，当或或或时，． 4．如图，已知抛物线顶点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及其与轴的交点，的坐标； (2)点是该抛物线上位于第一象限的点，线段交于点，是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在点，使得的值最大，点的坐标为 【分析】（1）根据顶点坐标设解析式为，把代入，求出可求出抛物线解析式，令，求出的值，即可求出与轴的交点，的坐标； （2）先求出直线的解析式为，设，则，可得，根据平行证明，可得，利用二次函数的性质即可求出的最大值和点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线点与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即． 当时，， 解得：，． ∵点在点的左侧， ∴点A，B的坐标为：，． （2）解：存在点，使得的值最大，理由如下： 如图，过点P作，交的延长线于点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：． 设点的坐标为：， ∵，且点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵时，， ∴此时点的坐标为． 5．如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； （3）求出直线的解析式为；证明，可推出；设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 1.设参：单参数表示动点坐标，明确参数取值范围； 2.转化：单线段直接用距离公式，和/差类先借将军饮马、隐形圆化折为直成单一线段； 3.建式：将线段长表示为参数函数（多为二次），化简消根号； 4.求解：依函数性质（二次看顶点、一次看增减），结合参数范围定最值，回代得动点坐标+线段最值。 题型02 利用动点参数的函数求动态几何中周长最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交x轴于点C，P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作，垂足为D，轴，交于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的周长取得最大值时，求点P的坐标和周长的最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式，即可解决问题； （2）求出直线的函数表达式，进而得到，设，根据轴可知P、E纵坐标相等，求出E点坐标，进而求出，证明，求出的周长，令的周长为l，根据相似三角形周长比等于线段比得到，进而得到l的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的函数表达式为， ∵，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，得， 解得，， ∴， 设，其中， ∵点E在直线上， ∴设 ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为， 令的周长为l， 则 ， ∵， ∴当时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 当时，， ∴此时点P的坐标为． 2．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，过点作，垂足为，设周长为C，请求出当周长C取最大值时的值； (3)点，在函数的图象上，它们的横坐标分别为，，以线段为对角线作矩形，且轴．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，当矩形的边长度为2时，请直接写出的值为________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，的坐标代入，得到关于、的方程组，进一步可得到抛物线的表达式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，可以得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，根据点、的坐标求出的周长为，利用可得它们的相似比为，根据相似三角形的周长比等于相似比可得，可得时，周长有最大值； （3）求解抛物线的对称轴为直线，分情况：如图，当，此时矩形与二次函数图象有三个交点，结合求解，如图，当与顶点重合或在对称轴的右侧时，此时不符合题意，如图，当，此时矩形与二次函数图象有三个交点，结合求解，当与顶点重合或在顶点的左边时，如图，可得时，不符合题意，当时不符合题意，进一步总结即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：如图所示， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把、代入， 得到：， 解得：， 直线的解析式为， 点的横坐标为，则点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， 在中， 在中， ， ， 在和中，，， ， ，， ， ，的周长为， ， ， 整理得：， ， ， ∴有最大值，此时． （3）解：∵点，在函数的图象上，它们的横坐标分别为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当且， ∴， 此时矩形与二次函数图象有三个交点， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意）， 如图，当与顶点重合或在对称轴的右侧时， ∴，此时不符合题意； 如图，当且， ∴， 此时矩形与二次函数图象有三个交点， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意）； 当与顶点重合或在顶点的左边时，如图， 此时， ∴， 当时，则， ∴时，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上：或． 3．抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q．过点P作轴于点H，过点Q作轴于点G．当点P位于何处时，四边形的周长最大？最大周长为多少？ 【答案】(1) (2)时，四边形的周长最大，最大周长为 【分析】本题考查了二次函数与几何，正确求出二次函数的解析式，熟练利用二次函数的性质找最值是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）设的横坐标为，则可用表示P的纵坐标，即可得到点的坐标，再表示出四边形的周长，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：当时，， , 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 直线的解析式为 设， 轴， 的纵坐标为， 代入直线可得， 解得， ， 轴，轴， , 四边形为矩形， 四边形的周长为， ， 当，即时，四边形的周长最大，最大周长为． 4．已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 【答案】(1) (2)当时，取最大值，此时 (3)N点横坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据交点式求函数的解析式即可； （2）延长交x轴于点F，可推导出是等腰直角三角形，则的周长，当最大时，的周长取最大值，设，则，，当时，取最大值，此时D点坐标为； （3）设，，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为． 【详解】（1）解：∵与x轴交于点两点， ∴； （2）解：延长交x轴于点F， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得-， ∴N点横坐标为； 综上所述：N点横坐标为或或． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2)①；②，当时，的周长最大，最大值是． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标用建立方程组求解即可； ②先表示出，然后建立三角形的周长和m的函数关系式，确定出最大值． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， 直线解析式为， 点在此直线上，点的横坐标为，则， 点的纵坐标为， ， 抛物线交于、两点， ， ， 抛物线解析式为． （2）解：∵点的横坐标为，则设， ∴， 过点作轴的平行线，与直线交于点，则点的纵坐标为， ∴，则， 点， ， ①当点在轴上方时， ，是钝角， ，， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 或舍， 当时，是等腰三角形； ②当点P在x轴下方时，， ， ，则，点， ，， ，， ∴的周长 ， ∵， 当时，， 当时，的周长最大，最大值是． 1.拆分：分离周长中的定长部分，仅求动线段和的最值； 2.简化：对动线段和用对称、化折为直等几何方法简化； 3.建式：单参表动点，用距离公式表示简化后的动长，建参数函数； 4.求解：求动长最值后叠加定长得周长最值，回代确定动点位置。 题型03 利用动点参数的函数求动态几何中面积最值问题 1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)的面积的最大值是，此时点坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，进而求出点D的坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）作轴交于，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； （3）利用两点间的距离公式得到；再分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． （3）解：由（1）得， ∴； 当时，则点P的横坐标为或， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则点D在的垂直平分线上， ∴的中点的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为； 当时，设，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 2．已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【详解】（1）解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 （2）解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ （3）解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 3．如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）可证明，则为定值，则可证明当有最大值时，有最大值；根据，推出，仿照（2）求出取得最大值时点E的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 4．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线与直线都经过轴上的点，可得，再由可得6和是的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解； （2）①由点，点是定点，可得当取得最小值时，周长取得最小值，利用点与点关于抛物线的对称轴对称，连接即可得点的坐标； ②过点作轴，交于点，先求得的最大值，再由四边形面积即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点既是抛物线与轴的交点，又是直线与抛物线的交点， ∴点是直线与轴的交点， 令，则， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， 令，则， ∴6和是的两个根， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由题意可得，当取得最小值时，周长取得最小值， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为点，此时的周长最小， 由（1）知，抛物线的表达式为，对称轴为直线，直线的解析式为， 把代入得，， ∴． ②联立， 解得或， ∴点坐标为， 设点的坐标为，过点作轴，交于点，则 ∴ ， ∴当时，取得最大值， ∴面积最大值， ∴四边形面积的最大值． 5．如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线与抛物线位似，它们的顶点是其中一对对应点，它们与轴的交点也是一对对应点，位似中心为坐标原点，位似比为． (1)求的值； (2)点P为抛物线上一点；且在点之间（包含点B、点D）． （ⅰ）直线将四边形分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据已知解析式求出点的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）（ⅰ）连接，证明，得出，确定当直线平分时，将四边形分为面积相等的两部分，求出直线的解析式为，联立解析式求解即可； （ⅱ）求出直线的解析式，过点P作轴，交于点Q，设，则，，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点， 当时，， ∴， ∴， ∵位似比为， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点式为， 将代入得， ， 解得， ∴， ∴； （2）解：（ⅰ）如图所示， 由（1）得，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∴当直线平分时，将四边形分为面积相等的两部分， 中点坐标为， 设直线的解析式为，将代入得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∵点在之间， ∴，此时， ∴； （ⅱ）设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点Q， 设，则， ∴， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为． 1.定基：优先定底动高/定高动底，无定基则割补拆分图形； 2.表量：单参表动点，用点到直线距离/坐标差表高，或参数表动底； 3.建式：依面积公式将面积转化为参数整式函数（多为二次）； 4.求解：结合参数范围，二次函数看顶点是否在范围、一次函数看增减，求面积最值并回代定动点。 1．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，且B，C两点间的距离为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是线段上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，交抛物线于点F，过点F作轴，交y轴于点G，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标． 【答案】(1) (2)，四边形周长最大值为 【分析】（1）根据B，C两点间的距离为，求得点坐标，由待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论，即点在线段上，或点在线段上，设，列出四边形周长的表达式，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得点在轴负半轴， 设， 根据勾股定理可得， 即， 解得（正数舍去）， ， 设抛物线的解析式为， 把代入可得 ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设点，则， 当点在线段上时， 四边形周长， 当时，取得最大值，此时无法组成四边形，故不符合题意； 当点在线段上时， 四边形周长， 当时，四边形周长取最大值，为． 即时，四边形周长最大值为． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或 【分析】（1）将A的坐标，点C的坐标代入，即可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴于D，交于Q，过P作于H，由可得，故，是等腰直角三角形，可证明是等腰直角三角形，即知，当最大时，最大，待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故当时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，，而，，分三种情况：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，分别根据中点坐标公式列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示： 在中，令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设，，而，， ①以、为对角线，则、的中点重合，如图： ∴， 解得：， ∴； ②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示： ∴， 解得， ∴； ③以、为对角线，则、中点重合，如图所示： ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为：或或． 3．如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)当点是的中点时，求线段的长； (3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，， (2) (3)存在一点D使得取得最大值，此时 【分析】（1）根据二次函数解析式即可求出交点坐标. （2）根据是的中点求出点坐标，进而求出点坐标，利用直线求出点坐标即可求解. （3）由直线和抛物线可知，当为，时，点坐标为点坐标为，即可求出，，从而得到关于的二次函数解析式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：在抛物线中， 令，解得，， 点坐标为，点坐标为 令，解得， 点的坐标为 （2）点是的中点， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得： 设直线的解析式为，当时，， 点的坐标为， 在抛物线中，当时，， 点的坐标为， （3）解：存在一点D使得取得最大值，此时 ， 点坐标为点坐标为， 由， ， ， 当时，有最大值为． 4．已知抛物线的对称轴在y轴左侧，若将此抛物线向上平移4个单位后，顶点刚好在x轴上． (1)求b的值； (2)当时，原函数y的最大值等于12，求m的值； (3)原抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AC，BP交于点D．判断：是否有最大值，如有请求出最大值，如没有请说明理由． 【答案】(1)1 (2)或1 (3)有最大值，最大值为，理由见解析 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴与顶点坐标，根据对称轴在y轴左侧得到b的取值范围．求出抛物线平移后顶点的坐标，根据顶点在x轴上列出方程，求解即可； （2）抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，相应的函数值越大，分两种情况：①若，即，当时，原函数y取得最大值为12；②若，即，当时，原函数y取得最大值为12，分别求解即可； （3）对于抛物线，分别令，，求得，，．运用待定系数法求出直线的解析式为．设，过点P作轴，交于点M，过点B作轴，交于点N，则，，得到，，根据 ，得到，根据相似三角形的性质，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵对称轴在y轴左侧， ∴，即． ∵将抛物线向上平移4个单位后，新抛物线顶点为，即， ∵平移后顶点在x轴上， ∴，解得，， ∵， ∴． （2）解：由（1）知，则抛物线为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，相应的函数值越大， ①若，即， 当时，原函数y取得最大值为12， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； ②若，即， 当时，原函数y取得最大值为12， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 综上所述，m的值为或1． （3）解：有最大值，最大值为．理由如下： 对于抛物线， 当时，，解得，， ∴，， 当时，， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵点P是第三象限抛物线上的一点， ∴设， 过点P作轴，交于点M，过点B作轴，交于点N， ∴， ∵把代入函数，得， ∴， ∴，， ∵轴， 轴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，当点P为抛物线的顶点时，求线段的长； (3)如图②，过点P作于点M，设点P的横坐标为t． ①用含t的代数式表示线段的长； ②连接，求四边形面积的最大值，并直接写出此时的长． 【答案】(1) (2) (3)①；②四边形面积的最大值为9， 【分析】（1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出顶点的坐标以及的解析式，进而求出点的坐标，即可得出结果； （3）①先求出的长，解直角 ；②利用分割法求出四边形面积，利用二次函数的性质求出最值，进而求出此时的值，代入①中代数式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且， ∴，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，，， ∴， ∴； ②由题意，四边形面积 ， ∴当时，四边形的面积最大为，此时． 6．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的性质、三角形面积计算、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的最值问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式、通过二次函数性质求最值的方法是解题的关键． （1）先根据点A坐标及对称轴得出点B坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）利用（1）得到的解析式，可设点P的坐标为，则点P到的距离为．然后依据列出关于a的方程，从而可求得a的值，继而得点P的坐标； （3）先求得直线的解析式，设点D的坐标为，则点Q的坐标为，然后可得到与x的函数的关系，最后利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴的交点，对称轴为直线， 抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入，得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：根据题意，设点P的坐标为，则点P到的距离为． ， 即， 解得． 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为． 点P的坐标为或． （3）解：设的解析式为，将点A的坐标代入得：，解得， 直线的解析式为． 设点D的坐标为，则点Q的坐标为． ， 当时，有最大值，的最大值为． 7．下面是小颖同学课后反思笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 2025年12月25日  晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过菱形的性质得到了菱形面积的新算法，如图1，在菱形中，对角线与相交于点，则菱形的面积为，基本思路如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ．      我们已经学习了三角函数，能否借助三角函数的相关知识，来探究一般四边形面积的类似算法？ 已知，如图2，在四边形中，对角线与相交于点，（为锐角），求四边形的面积（用、、表示）． 小颖给出了如下思路： 解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． …… 任务： (1)补全小颖的解题过程． (2)如图3，四边形中，对角线，，，则四边形的面积为______． (3)如图4，四边形的两条对角线与相交于点，，，求四边形面积的最大值，写出解题过程（直接用任务1中的发现）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)25 【分析】本题主要考查了运用锐角三角函数进行解三角形，求菱形的面积，二次函数的应用等，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作交于点，过点作交于点，可得，，利用即可求解； （2）同理（1）的方法即可求解； （3）设，则，将条件代入（1）中的式子可得四边形面积关于的二次函数，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 在中，， ∴， 同理：， ∴ ． （2）解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 在中，，∴， 同理：， ∴， ∴． （3）解：，则， ∴ ． ∴当时，有最大值，最大值为25． 8．【问题背景】 在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是、、，抛物线 经过A、B、C，点D坐标是，点P是抛物线上位于x轴上方一点． 【特殊化探究】 （1）若， ①求a、b、c的值； ②求面积的最大值． 【一般化思考】 （2）①对于每一个正数m，面积都存在最大值，试用含m的代数式表示最大面积S； ②在①的条件下，试探究：的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，，；②最大值为；（2）①；②存在，S的最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质的应用，一次函数的图象及性质等知识点， （1）①用待定系数法求函数的解析式即可；②求出直线与x轴的交点为，则，当时，面积的最大值为； （2）①先求抛物线的解析式为，设，再求直线与x轴的交点为，则，当时，的面积有最大值，即；②由，可求S的最小值为； 熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键． 【详解】解（1）①∵， ∴， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴，，； ②设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （2）①设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∵， 当时，的面积有最大值，即； ②的最大面积S存在最小值，理由如下： ∵ ∴， ∴， 此时，解得， ∴S的最小值为． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于，两点， 与y 轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； (2)连接，，求 的面积 (3)点P 是抛物线在第二象限图象上的一动点，连接，， 当的面积最大时，求点 P 的坐标及最大面积． 【答案】(1)； (2)3 (3)， 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、三角形面积，熟练掌握二次函数的图像，运用数形结合的思想方法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）令抛物线对称轴与交于点，求得点，进而求出直线的解析式，得到点的坐标，进而得到的长，利用求解即可； （3）过点向轴作垂线，与直线交于点，易得直线的解析式，设，则，进而得到当时，的面积最大，据此求出点的坐标． 【详解】（1）解：将、代入得 解得 则二次函数解析式为， 对称轴为， 将代入得：， 则顶点坐标为； （2）解：令抛物线对称轴与交于点， 令得， 则点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， 解得 则直线的解析式为， 将代入得， 则点的坐标为， ， 因此； （3）解：过点向轴作垂线，与直线交于点， 设直线的解析式为， 将点和代入得， 解得 则直线的解析式为， 设，则， 则， 即， 则当时，的面积最大为， 将代入函数得， 因此，当的面积最大时，点P的坐标为，最大面积为． 10．如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，交于点，连接． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)当时，求的面积． (3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)时，的面积最大，最大值为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）作轴于点，交于点，根据一次函数，反比例函数可得的值，根据勾股定理可得的值，由此可求出的值，根据相似三角形的判定和性质可得的值，由此可求出点的坐标，可得的长度，根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据题意可得，由此可用含的式子表示的面积，根据二次函数最大值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，把点代入直线得，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作轴于点，与轴交于点， 直线与轴交于点， 令，则， 解得，，即， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， ∵轴， ， ，即， ∴， ∴点的横坐标为， ∴当时，，即， ∴点的纵坐标为，且由（1）可得反比例函数解析式为， ∴当时，， 解得，，即， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：直线沿轴平移，设，则， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 动态几何中的函数关系建立与最值 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 利用动点参数的函数求动态几何中线段最值问题 题型02 利用动点参数的函数求动态几何中周长最值问题 题型03 利用动点参数的函数求动态几何中面积最值问题 模块三、综合实战演练 一、利用动点参数的函数求动态几何中最值问题的解题策略： 一、第一步：精准设参，用参数表示所有相关几何量 设参是基础，优先选单参数（减少运算量），根据动点轨迹选择设参方式，确保所有动态量都能由该参数表示，静态量直接代入。 1. 按动点轨迹设参（中考高频） · 动点在坐标轴/直线上：设动点横坐标为 ，代入直线解析式得纵坐标； · 动点在抛物线上：设动点横坐标为 ，代入二次函数解析式得纵坐标； · 动点在定线段/圆弧上：可设线段比例为参数。 2. 设参原则 · 不设多参数：同一问题中仅设 1 个核心参数，所有动态量均用其表示，避免未知数过多； · 参数范围明确：根据动点的几何边界，确定参数的取值范围（如动点在线段 上，参数 需满足 ），为后续求最值限定范围。 二、第二步：转化几何最值目标，建立参数函数关系式 将要求最值的几何量（线段长、面积、周长等），通过几何定理、公式转化为关于参数的函数，这是解题核心，建式时紧扣几何性质，保证推导无偏差。 1. 不同最值目标的建式方法 · 线段长最值：用两点间距离公式表示线段长，若为线段和/差，先通过几何模型（将军饮马、隐形圆）转化为单一线段，再用距离公式建式； 例：动点 到定点 的距离 ，化简为关于 的函数； · 面积最值：用割补法/公式法表示面积，将面积拆分为含参数的底和高的乘积； 例：三角形面积用 ，底为定长时，高用参数表示；不规则图形割补为三角形/矩形，再表示各边； · 周长/线段和最值：先通过几何转化（如将军饮马作对称）消去“折线段”，转化为单一线段或可表示的连续线段，再用参数表示各段长度求和。 2. 建式关键 · 几何转化优先：建式前先利用几何性质简化最值目标（如垂线段最短、化折为直），避免直接建式导致函数过于复杂； · 化简函数：将含根号、分式的函数化简为整式函数（如二次函数 ），方便后续求最值（二次函数为中考高频）。 三、第三步：根据函数类型，结合性质求最值（含参数范围验证） 建立关于参数 的函数 后，根据函数类型（一次、二次、反比例），结合函数性质 + 参数取值范围求最值，注意顶点是否在参数范围内，这是避免错解的关键。 中考高频函数类型及最值求法 1. 二次函数（，）—— 最核心 · 先求顶点横坐标：； · 最值判定： 0. 若顶点横坐标 在参数取值范围内： · 时，函数在顶点处取最小值 ； · 时，函数在顶点处取最大值 ； 0. 若顶点横坐标不在参数范围内： · 根据二次函数的增减性，在参数范围的端点处取最值（左端点或右端点）。 2. 一次函数（，） · 无顶点，根据斜率 的符号判断增减性： · ，函数随 增大而增大，在参数范围右端点取最大值，左端点取最小值； · ，函数随 增大而减小，在参数范围左端点取最大值，右端点取最小值。 3. 反比例函数（，） · 结合双曲线的增减性，在参数取值范围内的端点处取最值，注意反比例函数在单个区间内单调。 关键：参数范围的严格验证 所有最值均需在动点的几何边界对应的参数范围内求解，即使函数的顶点最值再优，若顶点参数超出范围，该最值无效，需取区间端点的最值。 四、第四步：回代参数，还原几何最值结果 求出函数的最值时的参数值 后，需做两步还原： 1. 将 回代到动点设参式中，得到动点的具体坐标（即几何最值的取点位置）； 1. 将 回代到函数关系式中，得到几何量的最值（如线段长的最小值、面积的最大值）； 最终作答时，需同时写出最值点坐标 + 几何量的最值，保证几何问题的完整性。 题型01 利用动点参数的函数求动态几何中线段最值问题 1．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求点与点的坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，求的最大值； (4)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成“”图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与“”图象有两个交点，直接写出的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，并与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，若点P是抛物线上一动点，且点P在第二象限内，过点P作轴于D，交于点E，当点P运动到什么位置时，线段最长？求此时的值． 3．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 4．如图，已知抛物线顶点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及其与轴的交点，的坐标； (2)点是该抛物线上位于第一象限的点，线段交于点，是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 1.设参：单参数表示动点坐标，明确参数取值范围； 2.转化：单线段直接用距离公式，和/差类先借将军饮马、隐形圆化折为直成单一线段； 3.建式：将线段长表示为参数函数（多为二次），化简消根号； 4.求解：依函数性质（二次看顶点、一次看增减），结合参数范围定最值，回代得动点坐标+线段最值。 题型02 利用动点参数的函数求动态几何中周长最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交x轴于点C，P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作，垂足为D，轴，交于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的周长取得最大值时，求点P的坐标和周长的最大值． 2．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，过点作，垂足为，设周长为C，请求出当周长C取最大值时的值； (3)点，在函数的图象上，它们的横坐标分别为，，以线段为对角线作矩形，且轴．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，当矩形的边长度为2时，请直接写出的值为________． 3．抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q．过点P作轴于点H，过点Q作轴于点G．当点P位于何处时，四边形的周长最大？最大周长为多少？ 4．已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； (3)在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 1.拆分：分离周长中的定长部分，仅求动线段和的最值； 2.简化：对动线段和用对称、化折为直等几何方法简化； 3.建式：单参表动点，用距离公式表示简化后的动长，建参数函数； 4.求解：求动长最值后叠加定长得周长最值，回代确定动点位置。 题型03 利用动点参数的函数求动态几何中面积最值问题 1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 2．已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 3．如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 4．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 5．如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线与抛物线位似，它们的顶点是其中一对对应点，它们与轴的交点也是一对对应点，位似中心为坐标原点，位似比为． (1)求的值； (2)点P为抛物线上一点；且在点之间（包含点B、点D）． （ⅰ）直线将四边形分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； （ⅱ）求面积的最小值． 1.定基：优先定底动高/定高动底，无定基则割补拆分图形； 2.表量：单参表动点，用点到直线距离/坐标差表高，或参数表动底； 3.建式：依面积公式将面积转化为参数整式函数（多为二次）； 4.求解：结合参数范围，二次函数看顶点是否在范围、一次函数看增减，求面积最值并回代定动点。 1．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，且B，C两点间的距离为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是线段上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，交抛物线于点F，过点F作轴，交y轴于点G，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)当点是的中点时，求线段的长； (3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； 4．已知抛物线的对称轴在y轴左侧，若将此抛物线向上平移4个单位后，顶点刚好在x轴上． (1)求b的值； (2)当时，原函数y的最大值等于12，求m的值； (3)原抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AC，BP交于点D．判断：是否有最大值，如有请求出最大值，如没有请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，当点P为抛物线的顶点时，求线段的长； (3)如图②，过点P作于点M，设点P的横坐标为t． ①用含t的代数式表示线段的长； ②连接，求四边形面积的最大值，并直接写出此时的长． 6．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 7．下面是小颖同学课后反思笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 2025年12月25日  晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过菱形的性质得到了菱形面积的新算法，如图1，在菱形中，对角线与相交于点，则菱形的面积为，基本思路如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ．      我们已经学习了三角函数，能否借助三角函数的相关知识，来探究一般四边形面积的类似算法？ 已知，如图2，在四边形中，对角线与相交于点，（为锐角），求四边形的面积（用、、表示）． 小颖给出了如下思路： 解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． …… 任务： (1)补全小颖的解题过程． (2)如图3，四边形中，对角线，，，则四边形的面积为______． (3)如图4，四边形的两条对角线与相交于点，，，求四边形面积的最大值，写出解题过程（直接用任务1中的发现）． 8．【问题背景】 在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是、、，抛物线 经过A、B、C，点D坐标是，点P是抛物线上位于x轴上方一点． 【特殊化探究】 （1）若， ①求a、b、c的值； ②求面积的最大值． 【一般化思考】 （2）①对于每一个正数m，面积都存在最大值，试用含m的代数式表示最大面积S； ②在①的条件下，试探究：的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于，两点， 与y 轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； (2)连接，，求 的面积 (3)点P 是抛物线在第二象限图象上的一动点，连接，， 当的面积最大时，求点 P 的坐标及最大面积． 10．如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，交于点，连接． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)当时，求的面积． (3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $