专题13 几何最值问题-2026年中考数学专题复习与模拟预测卷

专题13 几何最值问题 专题13 几何最值问题 【学习要点】 动点运动轨迹为直线 利用“垂线短最短” 定点定长 单动点型 动点运动轨迹为圆或圆弧 利用三点共线 定弦定角 条线段最值 动点运动轨迹为其他曲线 构造三角形 双动点型 利用条件找出关系进行转化 两定一动 利用轴对称变换 两定两动 利用平移变换 PA+PB型 定两动 利用“两点之间线段最短”+“垂线段最短” 两条线段最值 三动点 PA+K·PB型 三条线段最值（如“费马点”模型） 利用旋转60°变换成折线+“两点之间线段最短” 【学习领航】 例1如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(8,8),点C在边AB上， 且哈S,点D为0B的中点，点P为边QA上的动点，当点P在QA B 上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 ( A(2,2) R(,引 c(》 D /1616 3,3 考点追踪：本题考查了最短路线问题以及坐标与图形性质、待定系数法求一次函数解析式，利 用轴对称进行线段的转化是本题解题的关键， 86 专题13 几何最值问题 试题精析：根据已知条件得到AB=OB=8,∠AOB=45°，求得BC=6,OD=BD=4,得到 D(4,0),C(8,6).作点D关于直线OA的对称，点E,连接EC交OA于点P,则此时，四边形 PDBC周长最小，E(0,4),求得直线EC的解析式为y=4x+4,解方程组即可得到结论 解题逻辑： AB=OB=8 A(8,8) ∠AOB=45° D(4,0) C(8,6) E(0,4) %=了，点D为0B 的中点 D关于直线OA 直线EC的解析 的对称点E 式为y=4+4 y=x 交点为P(9,9 例2如图，矩形ABCD中，AB=√3，BC=1,动点E,F分别从点A,C同 D、F 时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动，过点 E,F作直线l,过点A作直线l的垂线，垂足为G,则AG的最大值为 E ( A.√3 B③ 2 C.2 D.1 考点追踪：本题考查了矩形的性质、圆的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，找到点 G的运动轨迹是本道题目解题的关键. 试题精析：连接AC,交EF于点O,由勾股定理可求AC的长，由“AAS”可证△COF≌ △AOE,可得AO=CO=1.由AG⊥EF,可得点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径 时，AG有最大值为1，即可求解. 解题逻辑： AB=5, CF=AE AC-2 BC=1 AO=CO=1 AB∥CD ∠ACD=∠CAB H△COF≌△AOE(AAS) AG⊥EF ∠COF=∠AOE 点G在以AO为直径的圆上运动 AG最大值为1 87 专题13 几何最值问题 例3如图，在△ABC中，AB=2,∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线1经过点 D,AE⊥1，BF⊥I,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为 () A√6 B.2√2 C.2W3 D.3√2 考点追踪：本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形 是解答此题的关键， 试题精析：把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进 行计算即可， 解题逻辑： 过点C作CK⊥I于点K, 过点A作AH⊥BC于点H △BFD≌△CKD(AAS) BF=CK AE+BF=AE+CK D是BC的中点 延长AE,过点C作 =AE+EN=AN CN⊥AE于点N 在Rt△AHB中，∠ABC=60° BH=1,AH-3 AB=2 AC=6 当直线I⊥AC 在Rt△AHC中，∠ACB=45 时，AN最大 在Rt△ACW中 值为6 AN<AC 例4如图，□ABCD中，∠DAB=60°，AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则PB+ 吾PD的最小值等于 考点追踪：本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、锐角三角函数的性质。 试题精析：过点P作PELAD,交AD的延长线于点E.由锐角三角函鼓可得EP-5PD,即 9 PB4图 PD=PB+PE,则当点B,P,E三点共线且BE⊥AD时，PB十PE有最小值，即最 小值为BE 88 专题13 几何最值问题 解题逻辑： AB∥CD ∠EDP=∠DAB=60 EP-PD 过点P作PE⊥AD,交 AD的延长线于点E PB+PD-PB+PE 当点B,P,E三点共线且 BE⊥AD时，PB+PE有最 BE=33 小值，即最小值为BE 例5如图，已知∠BAC=60°，AB=4,AC=6,点P在△ABC内的一动 点，连接PA,PB,PC,求PA十PB+PC的最小值 考点追踪：本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的 判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角 B 形是解答本题的关键 试题精析：将△ABP绕着点A顺时针旋转60°，得到△AEH,连接EP,CH,过，点C作CN⊥ AH,交HA的延长线于N,可证△AEP是等边三角形，可得AE=AP=EP.当点H,E,P, C共线时，PA十PB十PC有最小值HC,由勾股定理可求解. 解题逻辑： 将△ABP绕着点A顺时针 旋转60得到△AEH,连 △ABP≌△AHE AP=AE 接EP,CH △AEP是等边三角形 ∠EAP=60° PB=HE AE=AP=EP 当点H,E,P,C共线时，PA+ AP+BP+PC=PC+EP+EH PB+PC有最小值HC 过点C作CN⊥AH,交HA的延长 线于N ∠ACN=30° AN=AC=3 ∠CAN=180°-∠BAH-∠BAC CH=2√19 =60° CN=√3AW=33 HN=AH+AN-7 89 专题13 几何最值问题 【学习实践】 1.如图，四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直，AC=4,BD=6,则AD十BC的最小 值是 2.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋 转得到AF,旋转角等于∠BAC,连接CF. (1)当点E在BC上时，作FM⊥AC,垂足为M,求证：AM=AB; (2)当AE=3√2时，求CF的长； (3)连接DF,点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值 B 3.【问题情境】 (1)如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是 小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大 正方形面积是小正方形面积的 倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效 策略。 图1 图2 90 专题13 几何最值问题 【操作实践】 (2)如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a,b,c,d之间存在某种数量关系. 小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出 图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系 ① ② 3 图3 图4 【探究应用】 (3)如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中 ∠DAP存在最大值.若PE=8,PF=5,当∠DAP最大时，求AD的长， 图5 图6 (4)如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在边AC和BC上，连接DE,AE,BD. 若AC+CD=5,BC+CE=8,求AE十BD的最小值. 91其对称辅为m且≥ ①当号<2≤3时，即-5<b<-2 由图2可知， D 当加-时取得最大值4， 设直线EC的解析式为y=kx十b, 解得b=-3或b=5(舍去). b-4, l8k+b=6, 1 k一4 解得： b=4. 1 ∴直线EC的解析式为y=x+4, ,直线OA的解析式为y=x, 图2 y=x, -号 ②当28时，得K5 联立 解得 y= 4x+4, 16 y=3 由图3可知， 当m=3时，t取得最大值4， P(侣)为 解得6=9合去》. 故选D. 例2解：如图，连接AC,交EF于点O. D、F 112 E 四边形ABCD是矩形， .AB∥CD,∠B=90° 图3 AB=√3，BC=1, 综上所述，b的值为一3. .AC=2. [学习实践] :动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单 1.D2.B 位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动， -x+70(22≤x≤30) 3.(1)y= ∴.CF=AE. (2)当销售价格为35 -2x+100(30<x≤≤45) .AB//CD, 元/kg时，利润最大为450元. .∠ACD=∠CAB. 专题13几何最值问题 又，∠COF=∠AOE, [学习领航] .△COF≌△AOE(AAS), 例1解：，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(8,8), .AO=C0=1. .AB=OB=8,∠AOB=45°. .AG⊥EF, “品-日点D为0B的中点， .点G在以AO为直径的圆上运动， ∴.AG为直径时，AG有最大值为1. ∴.BC=6,OD=BD=4, 故选D. ∴.D(4,0),C(8,6). 例3解：如图，过点C作CK⊥I于点K,过点A作AH⊥ 如图，作点D关于直线OA的对称点E,连接EC BC于点H. 交OA于点P,则此时，四边形PDBC周长最小， 在Rt△AHB中， E(0,4). :∠ABC=60°，AB=2, .BH=1,AH=3. Hs-.. .△ABP2△AHE, .∠BAP=∠HAE,AP=AE,AB=AH=4, 在Rt△AHC中，∠ACB=45°， ∠BAH=60°， ∴.AC=√AI2+CH=√(W3)2+(W3)2=√6. ∠HAB=∠EAP=6O, 点D为BC中点， ∴△AEP是等边三角形， ..BD=CD, ∴AE=AP=EP, 在△BFD与△CKD中， ..AP+BP+PC=PC+EP+EH, (∠BFD=∠CKD, 当点H,E,P,C共线时，PA十PB十PC有最小 ∠BDF=∠CDK, 值HC. BD-CD, '∠CAN=180°-∠BAH-∠BAC=60°， .△BFD≌△CKD(AAS), CN⊥AN, ..BF=CK. .∠ACN=30°， 延长AE,过点C作CN⊥AE于点N, AN-AC-3.CN-AN-35,HN- 可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN. AH+AN=7, 在Rt△ACN中，AN<AC, ∴.CH=√HN2+CNz=√49+27=2√/19. 当直线l⊥AC时，AN有最大值为W6. 学习实践] 综上所述，AE+BF的最大值为√6. 1.2/13 故选A. 2.(1)证明：如图1中，作FM⊥AC,垂足为M. 例4解：如图，过点P作PE⊥AD,交AD的延长线于 点E D 图1 A 四边形ABCD是矩形， .AB//CD, .∠B=90° ∴∠EDP=∠DAB=60°， ,FM⊥AC, n∠EDP-品-2， EP√3 ∴.∠B=∠AMF=90°. PD. '∠BAC=∠EAF, ∴∠BAE=∠MAF. PPD-PB1PE. 在△ABE和△AMF中， ∠B=∠AMF, ∴当点B,P,E三点共线且BE⊥AD时，PB十PE有 ∠BAE=∠MAF, 最小值，即最小值为BE. AE-AF, ∴.△ABE≌△AMF(AAS), aA-恶-BE=3v5. ..AB=AM. 故答案为：33. (2)解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB=4,AE= 例5解：如图，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°，得到 3√2， △AEH,连接EP,CH,过点C作CN⊥AH,交HA .BE=√AE2-AB2=√(3√2)2-42=√2. 的延长线于点N .'△ABE≌△AMF, 25 .AB=AM=4,FM=BE=√2 DF的最小值为号 在Rt△ABC中，AB=4,BC=3, 当点E在线段CD上时，如图4中，将线段AD绕点A顺 ∴.AC=√AB2+BC=√42+32=5， 时针旋转，旋转角为∠BAC,得到线段AR,连接FR,过 .CM=AC-AM=5-4=1. 点D作DQ⊥AR于点Q,DK⊥FR于点K. ∠CMF=90°， ∴.CF=√CM2+FM=√3. 当点E在CD上时，如图2，作FH⊥AC于点H,可证 DE=AD=AH-FH=3,CH=2. R &D 可得CF=√FH+CH=√I3. K 图4 :∠EAF=∠BAC,∠DAR=∠BAC, .∠DAE=∠RAF. .AE=AF,AD=AR, ∴.△ADE≌△ARF(SAS), 图2 .∴.∠ADE=∠ARF=90°， 综上所述，CF的值为√3或√I3 ∴点F在直线RF上运动，当点F与点K重合时，DF的 (3)解法一：当点E在BC上时，如图3中，过点D作DH 值最小 ⊥FM于点H,交DC于点J. DQ⊥AR,DK⊥RF, ∴∠R=∠DQR=∠DKR=90°， ∴.四边形DKRQ是矩形 ..DK=QR, AQ-AD:∠BAC-号 /H .AR=AD=3, 图3 ∴DK=QR=AR-AQ=号 '△AMF≌△ABE, .'.AM=AB=4. DF的最小值为号. ∠AMF=90, 点F在射线FM上运动，当点F与点H重合时，DF :311 5<5 的值最小 :∠CMW=∠ADC=90°，∠MCJ=∠DCA, DF的最小值为 ∴.△CMJ∽△CDA, 解法二：当点E在BC上时，如图5，将线段AD绕点A逆 00品， 时针旋转，旋转角的度数等于∠BAC,得到AT,连接 DT,ET,DF. gg M=,C1=, DI=cD-C=4号-共 :∠CMW=∠DHJ=90°，∠CJM=∠DJH, 图5 .CMADHJ..-哥 证明△DAF≌△TAE,推出DF=TE. 5 1 11 当TELC时，TE的值最小，可得DF的最小值为 Di-iDA= 4 当点E在CD上时，同法可得DF的最小值为. 26 ..AD2=AP2-PD2=PE2 +AE2-PF2-DF2=82- 52=39, :DF的最小值为， .AD=√39. 3.解：(1)如图1. (4)如图4，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1,将 △AEC沿AC对折，E的对应点为E1,连接D1E1. ..CD=CD,CE=CE1. G 图1 :正方形ABCD,EFGH及圆为正方形ABCD的内切 圆，为正方形EFGH的外接正方形， .AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF=m, ∠A=90°， E .AB=AD=2m,EF=√2m, 图4 .S正方形ACD=4m2,S正方形ErGH=(W2m)2=2m2. 再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图5， .大正方形面积是小正方形面积的2倍。 得△B1D1E2,连接E1E2,BE2. 故答案为：2. (2)如图2. B 6 D() 图2 图5 .EG⊥FH, ..a2=OF2+OE2,c2=0G2+0H2,d2=OE2+0H2, 由(2)可得：AE+BD=D1E2十BD. b2=0F2+0G2, 当E2,D,B三点共线时，AE十BD=D1E2十BD a2+c2=b2+d. 最短 结合图形变换可得：PA2十PC2=PB2+PD2. .AC+CD=5,BC+CE-8, (3)如图3，将△PDC绕点P逆时针旋转， .E1E2=5,BE1=8, 点D在以点P为圆心、PD为半径的圆上运动. ∴.BE2=√BE+E1E=V82+5=√89. AE+BD的最小值为√89. 专题14尺规作图 [学习领航] 例1解：如图，AD即为所求 图3 A为圆外一个定点， .当AD与⊙P相切时，∠DAP最大， .PD⊥AD, .∴.AD2=AP2-PD2 由(2)可得：AE=DF, .PE=8,PF=5, 例2解：(1)①如图1，直线1即为所求 27