专题08 圆与相似三角形、四边形综合（3大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

专题08 圆与相似三角形、四边形综合 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 圆内接四边形性质 题型02 圆背景下的相似三角形判定与性质（母子型、旋转型） 题型03 与圆结合的线段比例、乘积关系的证明与计算 模块三、综合实战演练 一、圆背景下的相似三角形判定与性质处理思路： 一、判定相似：抓圆的等角，优先AA判定 1. 核心找角依据（圆的性质造等角，为相似铺垫） · 同弧/等弧所对的圆周角相等； · 圆内接四边形的外角等于内对角； · 公共角、对顶角直接相等； · 直径所对圆周角为直角，造直角相等。 1. 高频模型识别（圆背景典型相似，快速定角） · 母子型相似：含公共角+一组圆周角相等（如直径连弦作垂线、切线配割线、圆内共边三角形）； · 旋转型相似：含对顶角+一组圆周角相等（如圆内两弦相交、圆外双割线形成的三角形）。 二、应用性质：化相似为线段关系，结合圆求解 1. 基础推导：相似三角形对应边成比例，交叉相乘可直接得线段乘积式，替代复杂推导； 1. 设参计算：遇未知线段，设单参数表示相关线段，代入比例式列方程，求线段长/比值； 1. 联动圆定理：结合垂径定理、切线性质、圆幂定理，补全半径、弦长、切线长等关键量，适配相似比例计算。 三、通用关键步骤 1. 标图：锁定弧与圆周角的对应关系，标注已知角、公共角/对顶角； 1. 找等：用圆的性质推两组相等角，证AA相似； 1. 列比：根据相似写对应边比例式，按需化乘积； 1. 求解：结合圆的条件设参解方程，验证结果符合几何实际。 题型01 圆内接四边形性质 1．如图，点A、B、C、D在上，O点在的内部，四边形为平行四边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 3．如图，是内接三角形，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是的外接圆，为的中点，为延长线上一点，若，则________． 5．如图，四边形内接于，，，则________ ． 核心：紧扣对角互补、外角等于内对角两大结论，实现角的快速转化，为证全等/相似、求角度铺垫。 1. 基础应用：直接用性质推角度（如∠A+∠C=180°，外角∠DCE=∠A），结合三角形内角和、圆周角定理求未知角； 1. 进阶联动：遇垂直、角平分线时，结合性质证等角→等弦/等弧，或为相似三角形找等角条件； 1. 关键：标清对角、外角与内对角的对应关系，优先用性质简化角的推导，减少复杂计算。 题型02 圆背景下的相似三角形判定与性质（母子型、旋转型） 1．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与相切于点，点，，均在上，且为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点，，连接，，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，是的直径，点C在上，且点C为的中点，连接并延长交的延长线于点D． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)过点C作，垂足为点F，求证：是的切线； (3)在（2）的条件下，若的半径为6，，求的值． 3．如图，为的外接圆，的三边均不经过圆心，的直径，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点到的距离为，，，求的长． 4．如图1，的内接四边形对角线相互垂直，垂足为点，过点作，交于点． (1)若，，求； (2)如图2，连接并延长交于点，连接．证明四边形为平行四边形； (3)在（2）的条件下，若，，，求的直径． 5．如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点． (1)如图1，若，． ①求的度数． ②求证：． (2)如图2，，点为中点，若，，求的长． 核心：以圆的等角（同弧/等弧圆周角、圆内接四边形外角） 为相似判定核心，重点识别母子型、旋转型相似，用相似性质推线段比例/长度。 1. 找等角定相似：① 同弧/等弧对应圆周角相等；② 圆内接四边形外角=内对角；③ 公共角/对顶角，以此满足“AA”相似判定（圆背景最常用）； 2. 模型识别：① 母子型（如直径配垂线、切线配割线）：找公共角+一组圆周角相等；② 旋转型（如两弦相交、双割线）：找对顶角+一组圆周角相等； 3. 性质应用：相似成比例后，交叉相乘得线段乘积，或设参求未知线段长，结合圆的半径、弦长约束定范围。 题型03 与圆结合的线段比例、乘积关系的证明与计算 1．如图，四边形为的内接四边形，连结和，，在的延长线上取一点，连结，延长交于点． (1)若为的中点，求证：； (2)当切于点时， 求证：； 若，求证：． 2．如图所示，以的边为直径作，点C在上，是的弦，，过点C作于点F，交于点G，过C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求证：． 3．如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于． (1)求证：． (2)设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）． （2.1）求证：． （2.2）求证：． 4．如图，是圆O的直径，弦与交于点E，且，F是圆O上一点，，连接交于点N，过点D作圆O的切线交的延长线于点M，连接并延长交的延长线于点P．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 5．如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 核心：优先相似推导，特殊情况直接套圆幂定理，比例化乘积、乘积拆比例，结合圆的性质补全线段关系。 1.证明思路：① 证两组圆周角相等→三角形相似→推线段比例→交叉相乘得乘积；② 若为弦相交、切线割线模型，直接用圆幂定理（相交弦、切割线）写乘积等式，简化证明； 2.计算思路：① 设未知线段为x，用相似比例或圆幂定理列方程；② 结合垂径定理、勾股定理补全半径、弦长、弦心距等关键量，联立求解； 3.关键：比例/乘积先看线段是否共点/共弧，共点优先圆幂定理，无共点优先证相似；乘积式可反向推导需证的相似三角形。 1．如图，四边形内接于，，点为的中点，，，于，下面的四个结论中正确结论的选项为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，，，则的度数为_______． 5．如图，中，，平分，O是上一点，经过点A、点M的分别交，于点E、点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 6．如图，四边形是圆O的内接四边形，连结交于点E (1)求证： (2)若，． ①求证． ②当时，求的值． 7．如图，等腰三角形中，以腰为直径的交底边于点，过点作的切线交于点，连接交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求的值． 8．如图，是的直径，，是上两点，是的中点，过点作的垂线，垂足为，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的半径． 9． 已知：如图，内接于为直径，弦于是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，分别交于点． (1)求证：P是的外心； (2)若，，求的长； (3)求证：． 10．如图（1），内接于，，点在劣弧上运动．过点作，交延长线于，连接． (1)求证：． (2)求证： (3)当点运动到什么位置时，？请画出图，进行探索和证明． 11．如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，交于点，连接交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 12．如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分． (1)求证：． (2)若是的切线． ①求证：． ②若，，是的中点，则的半径为_____． 13．如图，在中，点在以为直径的半圆上，过点作半圆的切线交延长线于点，垂直于的延长线于点，交半圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，， 求半圆的半径； 若是上一点，连接，，求的最小值． 14．如图，在中，，经过点，与边，分别交于点，，且与相切，切点为点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08圆与相似三角形、四边形综合 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01圆内接四边形性质 题型02圆背景下的相似三角形判定与性质（母子型、旋转型） 题型03与圆结合的线段比例、乘积关系的证明与计算 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、圆背景下的相似三角形判定与性质处理思路： 一、判定相似：抓圆的等角，优先AA判定 1.核心找角依据（圆的性质造等角，为相似铺垫） ·同弧/等弧所对的圆周角相等： ·圆内接四边形的外角等于内对角； ·公共角、对顶角直接相等； ·直径所对圆周角为直角，造直角相等。 2.高频模型识别（圆背景典型相似，快速定角） ·母子型相似：含公共角+一组圆周角相等（如直径连弦作垂线、切线配割线、圆内共边三 角形)； ·旋转型相似：含对顶角+一组圆周角相等（如圆内两弦相交、圆外双割线形成的三角形）。 二、应用性质：化相似为线段关系，结合圆求解 1.基础推导：相似三角形对应边成比例，交叉相乘可直接得线段乘积式，替代复杂推导； 2.设参计算：遇未知线段，设单参数表示相关线段，代入比例式列方程，求线段长/比值： 3.联动圆定理：结合垂径定理、切线性质、圆幂定理，补全半径、弦长、切线长等关键量，适配相似 比例计算。 1/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 三、通用关键步骤 1.标图：锁定孤与圆周角的对应关系，标注已知角、公共角/对顶角； 2.找等：用圆的性质推两组相等角，证AA相似； 3.列比：根据相似写对应边比例式，按需化乘积； 4.求解：结合圆的条件设参解方程，验证结果符合几何实际。 压轴题型专练 模块二 题型01圆内接四边形性质 1.如图，点A、B、C、D在O0上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD的 度数为() D A.45 B.60 C.80° D.90° 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和圆内接四边形的性质求出∠D的度数，连接OD，利用等腰三角形的性 质将∠OAD+∠OCD转化为∠ADC即可求解. 【详解】解：：四边形OABC为平行四边形， .∠B=LAOC, 点A、B、C、D在OO上， 四边形ABCD为圆内接四边形， ∠B+∠ADC=180°， ZAOC =2ZADC ·2∠ADC+∠ADC=180°， .∠ADC=60°， 连接OD,如图： 2/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 O B :0A=0D=0C, .∠0AD=∠0DA,∠0CD=∠0DC, ·∠0AD+∠OCD=LODA+∠ODC=∠ADC=60°. 2.如图，EA,ED是⊙0的切线，切点为A,D,点B,C在圆O0上，若∠ABC+∠CDE=235°，则 ∠E=() A ·0 C A.55° B.65 C.70° D.78° 【答案】C 【分析】连接AD,则LABC+∠ADC=180°，而∠ABC+LCDE=235°，求得∠ADE=55°，由切线长定理 得EA=ED,则∠EDA=∠EAD=55°，所以∠E=180°-∠EDA-∠EAD=70°，于是得到问题的答案. 【详解】解：如图，连接AD, E D :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .LABC+LADC=180°. :∠ABC+LCDE=235°， LEDA=55°. :EA,ED是⊙O的切线， :EA=ED, ∠EDA=LEAD=55°， ∠E=180°-LEDA-∠EAD=180°-55°-55°=70°. 3/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 故选：C 3.如图， ABC是⊙0内接三角形，∠A=119°，过点C作日0的切线交BO的延长线于点P,则∠P的度 数为() A.28 B.32° C.40 D.48 【答案】B 【分析】连接OC,设DB交O0于点M,连接CM,切线的性质，得到LOCP=90°，圆内接四边形的性 质结合等边对等角，求出∠OMC,∠OCM的度数，再根据角的和差关系和三角形的外角的性质，进行求解即 可 【详解】解：连接OC,设PB交O0于点M,连接CM,则：OC=OM, :CP是O0的切线， ÷∠0CP=90°， :四边形ABMC为圆内接四边形，∠A=119°， .∠0MC=180°-119°=61°， :0C=0M, .∠0CM=∠0MC=61°， ∠MCP=∠0CP-∠0CM=90°-61°=29°， :∠BMC=∠MCP+∠P, .∠P=61°-29°=32°. 4.如图，在ABC中，AB=AC,O0是ABC的外接圆，D为AC的中点，E为BA延长线上一点，若 ∠DAE=111°，则∠ACD= D E O 【答案】37°37度 4/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【分析】先设∠DCA=x,∠ACB=y,根据同弧所对的圆周角相等，推出∠ABC=∠ACB=y, ∠CAD=∠DCA=x,根据三角形的内角和定理得到∠ADC=180°-2x,再根据四点共圆得到 ∠ADC=180°-y,∠DAE=∠DCB=111°，通过计算可推出y=2x,最后根据 ∠DCB=∠DCA+∠ACB=111°，列出方程计算即可. 【详解】解：设DCA=x,∠ACB=y, AB=AC, AB=AC,∠ABC=∠ACB=y, :D为AC的中点， AD=CD, ∠CAD=∠DCA=x, .∠ADC=180°-2x, :A、B、C、D四点共圆， ∠ADC=180°-y,∠DAE=∠DCB=111°， :180°-2x=180°-y,即y=2x, :∠DAB=∠DCA+∠ACB=x+y, .x+y=x+2x=3x=111°， 解得：x=37°， “DCA=37°， 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC=CD,∠ADC=100°，则LAOD= B 【答案】60° 【分析】连接OB、OC,根据圆内接四边形的性质求出∠ABC,根据圆周角定理求出∠AOC,计算即可. 【详解】解：如图，连接OB、OC, D 5/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :四边形ABCD内接于⊙O, .∠ADC+∠ABC=180°， .∠ABC=180°-100°=80°， .∠A0C=2LABC=160°， ∠A0B+∠B0C=360°-160°=200°， AB=BC=CD, AB=BC=CD ∠A0B=∠B0C=∠D0C=100°， ∠A0D=360°-100°×3=60°， 故答案为：60°. ●)类题点拔 核心：紧扣对角互补、外角等于内对角两大结论，实现角的快速转化，为证全等/相似、求角度铺垫， 5.基础应用：直接用性质推角度（如∠A+∠C=180°，外角∠DCE=∠A),结合三角形内角和、圆周 角定理求未知角； 6.进阶联动：遇垂直、角平分线时，结合性质证等角→等弦/等弧，或为相似三角形找等角条件； 7.关键：标清对角、外角与内对角的对应关系，优先用性质简化角的推导，减少复杂计算。 题型02圆背景下的相似三角形判定与性质（母子型、旋转型) 1.日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度. 小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察.如图，日晷的平面是以点0为圆心的圆，线 段DE为日晷的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与O0相切于点C,点A,B,F均在OO上，且 AB为直径，OA,OB,OF为不同时刻晷针的影长，OF,OB的延长线分别与DE相交于点E,D,连 接AC,BC,己知OE∥BC. (I)求证：OF⊥AC; (2)若0E=4,AB=2√万，求BC的长， 【答案】(1)证明见解析 6155 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【分析】1)由直径所得的圆周角为直角可得，AC⊥BC,结合OE∥BC可得OF⊥AC; (2)连接0C,由切线的性质可得∠EC0=90°=∠ACB,利用等腰三角形的性质和平行线的性质可得 C乙00B∠ABC,从而证明LABCE0C,因此OE-C,代入数值计算 【详解】(1)证明：：AB为OO的直径， ∠ACB=90°， AC⊥BC, :OE∥BC, AC⊥OE,即OF⊥AC; (2)解：如图，连接0C, A 0 :DE与O0相切于点C, .OC⊥DE, ∠EC0=90°=∠ACB, :0B=0C=0A, ∠0cB=∠4BC,0C=号AB=, :0E∥BC, ∠EOC=∠OCB=∠ABC, ∴△ABCAEOC, AB BC OEoC,即2y7BC 4=万 :BC=2 2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且点C为BE的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点D. 7/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B C D (I)试判断△ABD的形状，并说明理由； (2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,求证：CF是⊙O的切线； (3)在(2)的条件下，若⊙O的半径为6，DF=3,求sinB的值. 【答案】()等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 ③)3 【分析】(1)如图1，连接AC,由AB是OO的直径，得到AC⊥BD,根据BC=CE,得到 ∠BAC=∠DAC,求得AB=AD: (2)如图2，连接AC,OC,证明过半径的外端点垂直于这条半径的直线是圆的切线： (3)证明△ABC∽△CDF,由相似三角形的性质求得BC,根据勾股定理得到AC,再求得∠B的正弦即可. 【详解】(1)解：△ABD是等腰三角形，理由如下： 如图1，连接AC, E :AB是⊙O的直径， C D 图1 LACB=∠ACD=90°， BC=CE, .∠BAC=∠DAC, .∠B=∠D :AB=AD, ∴△ABD是等腰三角形： (2)证明：如图2，连接AC,0C, 8/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 E :0A=0C, 夕 D C 图2 :ZOAC Z0CA, :LDAC=∠OAC, ∠DAC=∠OCA, CF⊥AD, LAFC=90°， .∠DAC+∠ACF=90°， :∠0CA+∠ACF=90°， AC⊥CF, CF是⊙0的切线： (3)解：：∠ACB=∠CFD=90°，∠B=∠D, ∴△ABCACDF, AB BC CD DF' 12-BC CD 3 .BC=CD=6, 由题意，AB=2×6=12, :AC=AB2 -BC2 =63, ÷sinB=4C-V5 AB 2 3.如图，⊙0为△BCD的外接圆，△BCD的三边均不经过圆心O,OO的直径AB=12,∠C=∠DBE. (I)试判断BE与O0的位置关系，并说明理由； (2)若点A到BD的距离为8√2，BC=4√6，BE=42,求CD的长. 【答案】(I)BE是⊙O的切线，理由见解析 9/55 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 (2)CD=20V3 3 【分析】(1)连接AD,证明∠ABE=∠DBE+∠ABD=90°，即可证明BE是OO的切线； (2)利用勾股定理求得BD=4,证明△DEB∽△BEC,利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】(1)解：BE是OO的切线，理由如下： 连接AD, :AB是OO的直径， .LADB=90°， .∠A+∠ABD=90°， BD=BD, ∠A=∠C, ZC ZDBE .∠A=∠DBE, .∠ABE=∠DBE+∠ABD=90°，即BE⊥AB, :AB是OO的直径， :BE是OO的切线； (2)解：：点A到BD的距离为8√2， AD=8√5， :∠ADB=90°，AB=12, BD=AB2-AD2= 122-(82}=4, :LC=∠DBE,∠DEB=LBEC, △DEB∽△BEC, DEBEBD BE CE-BC 即DE=424 42 CE46 解得DE=4 ,CE=8√5， 3 CD=CE-DE=8-4320 3 3 4.如图1，OO的内接四边形ABCD对角线相互垂直，垂足为点E,过点B作BF⊥AD,交AC于点G. 10/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D 图1 图2 (I)若LBAD=50°，LABC=70°，求∠ACB的度数； (2)如图2，连接D0并延长交⊙0于点H,连接HB,HA.证明四边形AGBH为平行四边形： (3)在(2)的条件下，若AG=5,GE=1,DE=2,求O0的直径. 【答案】(1)75°： (2)见解析； (3)00的直径为5√2 【分析】(1)利用圆周角定理和四边形内角和定理即可求解； (2)利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形AGBH为平行四边形； (3)先证明BC=BG,CE=GE,证明△BEC∽△AED,求得BE=3,再利用平行四边形的性质即可求解 【详解】(1)解：：∠BAD=50°，∠ABC=70°， ·∠ADC+∠BCD=360°-50°-70°=240°， :BD⊥AC, :∠EDC+∠ECD=90°， ·∠ACB+∠BDA=240°-90°=150°， :∠ACB=∠BDA, :∠ACB=75°； (2)证明：HD为O0的直径， BH⊥BD,AH⊥AD, :AE⊥BD,BF⊥AD, BH∥AG,AH∥BG, :四边形AGBH为平行四边形： (3)解：：AE⊥BD,BF⊥AD, ·∠BGE=180°-∠EGF,∠BDA=360°-90°-90°-LEGF=180°-∠EGF, ∠BGE=∠BDA, :∠ACB=∠BDA, ∠ACB=∠BGE, :BC =BG, 11/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :AE⊥BD, ·CE=GE, ZACB=ZBDA,ZCBD=ZDAC ·△BEC∽△AED, BE EC AE ED ,即BE·ED=AE·EC, :AG=5,GE=1,DE=2, :(5+1×1=2×BE, ·BE=3,BD=5, :四边形AGBH为平行四边形， BH=AG=5, HD=52, :00的直径为5√2 5.如图，在口ABCD中，以AD为直径作OO,交BC于点E,F,交CD于点G,过点E作EH⊥AD于点 H,交OO于点P,连接PG,交AD于点Q. P B 图1 图2 (①)如图1，若AE=EF,FG=GD· ①求∠P的度数. ②求证：PQ=√3QG. ②血图2,40=20，点E为8C中点，若am∠EPG=号，CG=3,求PG的长 【答案】(1)①45°；②见解析 2②213 13 【分析】(1)①根据圆周角定理得到∠AOE=∠EOF、∠FOG=LD0G,进而得到LE0G=LAOE+∠D0G 从而求出∠EOG=90°，利用圆周角定理得到∠P=∠EOG,据此求解即可： 2 ②连接OE、PF、EQ、EG、AF,根据平行四边形和垂径定理易得到AE=EF=FD,进而得到 LEOF=60°，证得△EOF是等边三角形，根据圆周角定理得到∠QGE=60°，根据垂径定理得到PH=HE, 12/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 易证明PQ=EQ,在Rt△EQG中， =an60°，从而得出结论： GO (2)连接AE、OE、OC，易证四边形AEC0是平行四边形、四边形0ECD是菱形，进而得到QG‖OC、 OQ=CF=CG,根据tan∠EPG= 设H0=2a、PH=HE=3a,证明△AHE≌aQHP(ASA,进而得到 2 AH=2a、OE=4a-3及0H=2a-3,利用勾股定理求出a的值，根据QG‖OC证得△QDG∽△ODC,进而 得到9D-G 利用PG=PQ+QG求解即可. OD OC 【详解】(1)①解：连接OE、0F、0G, D AE EF,FG=GD, B 图1 :∠AOE=∠EOF、LFOG=LDOG, :∠E0F+LF0G=LA0E+∠D0G, 即LE0G=LAOE+LDOG, :∠E0G+∠A0E+∠D0G=180°， ∴.2∠E0G=180°， .∠E0G=90°， ∠P=∠E0G=x90°=45°： ②证明：连接OE、PF、EQEG、AF, D EH⊥BC, B 图1 ∠PEF=90°， ∴PF为O0的直径， :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, ∠DAF=∠AFE, 13/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 .DF=AE, .AE EF, AE=EF FD ∠AOE=∠EOF=∠FOD, :∠A0E+∠E0F+∠F0D=180°， :∠E0F=60°， :0E=0F, :EOF是等边三角形， ∴∠EF0=60°， :∠PGE=∠PFE, .∠PGE=60°， :EH⊥AD, :PH HE, 在POE中，QH⊥PE, ∴.△PQE是等腰三角形， ∴.PQ=EQ, 由①知，∠P=45°， ∴.∠P=∠HEQ=45°， ∴∠HQE=90°-∠HEQ=90°-45°=45°， ∴.∠PQH=90°-∠P=45°， ∴.∠GQH=180°-∠PQH=180°-45°=135°， .∠EQG=∠GQH-∠HQE=135°-45°=90°， 在RtAEOG中，∠QGE=60°， Eg=tan60°=5， “GQ .EO=30G, .P0=V30G: (2)解：连接AE、OE、OC、ED, 14/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D 四边形ABCD是平行四边形， 图2 :AD=BC、AB=DC, :O为AD的中点、E为BC的中点， A0-4D、c-c ·AO=EC, AD‖BC, 四边形AEC0是平行四边形， :AE=0C, AD =2AB, .:.OE=OD=CD=EC, 四边形OECD是菱形， .OC⊥ED、∠QDE=∠GDE, '∠EPG=∠EDG, .∠HPQ=∠QDE, :∠HPQ+∠HQP=90、∠HQP=∠DQG, ∴.∠QDE+∠DQG=90°， ,.∠QMD=180°-∠QDE+∠DQG)=90°， ∴QG⊥ED, ..OGOC, EC=CD, :ZDEC ZEDC .DF=EG, :EG=EF+FG、DF=DG+FG, :EF=DG, :EF=DG, :.CF=CG=3, 在△QDM和△GDM中， 15/55 ◎学科网 ww .zxxk.com 让教与学更高效 ∠QMD=∠GMD DM=DM ∠QDM=∠GDM ∴△QDM≅△GDM(ASA) ∴QD=GD， ∴OD-QD=CD-DG， ∴OQ=CG=3， $$\because \tan \angle E P G = \frac { 2 } { 3 }$$ ∴ 设 HQ=2a、PH=HE=3a， ∵AE∥PG， ∴∠AEP=∠QPE 在 △AHE 和 △QHP 中， ∠AHE=∠QHP EH=PH ∠AEH=∠QPH ∴△AHE≅△QHP(ASA) ∴AH=HQ=2a、PQ=AE ∴OC=PQ=AE， ∴OA=OE=4a-3、OH=2a-3， 在 Rt△OHE $$中 ， E H ^ { 2 } + O H ^ { 2 } = O E ^ { 2 } ，$$ $$\therefore \left( 3 a \right) ^ { 2 } + \left( 2 a - 3 \right) ^ { 2 } = \left( 4 a - 3 \right) ^ { 2 } ，$$ 解得 a =4 ∴AH=8、HE=12、OE=13， 在 Rt△AHE 中，由勾股定理得： $$A E = \sqrt { A H ^ { 2 } + H E ^ { 2 } } = \sqrt { 8 ^ { 2 } + 1 2 ^ { 2 } } = 4 \sqrt { 1 3 } ，$$ $$\therefore O C = P Q = 4 \sqrt { 1 3 } ，$$ ∵QG∥OC， ∴∠DQG=∠DOC， ∵∠QDG=∠ODC， ∴△QDG∼△ODC， $$\therefore \frac { Q D } { O D } = \frac { Q G } { O C }$$ 16/55 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 即133G 13=413' 解得QG= 40v13 13 PG=PQ+0G-43+403923 13 13 ●类题点拨 核心：以圆的等角（同弧等弧圆周角、圆内接四边形外角）为相似判定核心，重点识别母子型、旋转型相 似，用相似性质推线段比例/长度。 1.找等角定相似：①同弧/等弧对应圆周角相等；②圆内接四边形外角=内对角；③公共角对顶角， 以此满足“AA”相似判定（圆背景最常用）； 2.模型识别：①母子型（如直径配垂线、切线配割线）：找公共角+一组圆周角相等；②旋转型（如 两弦相交、双割线)：找对顶角+一组圆周角相等： 3.性质应用：相似成比例后，交叉相乘得线段乘积，或设参求未知线段长，结合圆的半径、弦长约束 定范围。 题型03与圆结合的线段比例、乘积关系的证明与计算 1.如图，四边形ABCD为OO的内接四边形，连结AC和BD,AD=BD,在AC的延长线上取一点E,连 结DE,延长BC交DE于点F· D B (I)若C为BD的中点，求证：LACD=2LBDC; (2)当DE切O0于点D时， ①求证：△DCF∽△BDF; ②若S△BDc=SAECB,求证：DB2=ABDE· 【答案】()见解析： (2)①见解析；②见解析. 【分析】本题主要考查了等弧或同弧所对的圆周角相等，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性 质等知识，掌握这些性质是解题的关键。 (1)根据BC=CD,等弧或同弧所对的圆周角相等，可得∠DAC=∠BAC=∠BDC,所以 17/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ∠BAD=2∠BAC=2∠BDC,根据AD=BD,可得∠ACD=∠ABD=∠BAD=2LBDC; (2)①连接D0并延长，交⊙0于点G.根据DE切O0于点D,可得∠EDG=∠CDE+∠CDG=90°.再 根据DG是OO的直径，可得∠G+∠CDG=90°，由同角的余角相等，可得LCDE=LG·根据CD=CD, 可得LCBD=∠CDE,则问题可解. -号cs.D82E为器且=…所 ②先证△ECD∽△EDA,得CE=CD DF=EF,根据DG⊥DE,DG⊥AB,可得AB‖DE,所以△ABC∽△EFC,可得 AC CE DE-CD 2CD BEEE,0接若证ACDDCF,容%光，所以2D-20FpD止4D 4 C ADAD 4B,迸而 推得AD2=AB,DE,则问题可解 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为圆O的内接四边形，C为BD的中点， :BC=CD, :∠DAC=LBAC=∠BDC, ∠BAD=2∠BAC=2∠BDC. AD BD, ∠ACD=∠ABD=∠BAD=2∠BDC; (2)证明：①连接D0并延长，交00于点G, :DE切OO于点D, ∴.∠EDG=∠CDE+∠CDG=90°. :DG是⊙0的直径， ∴.∠DCG=90°， ∴.∠G+∠CDG=90°， ∠CDE=LG. .CD=CD, :ZCBD ZG ∠CBD=∠CDE. :∠CFD=∠DFB, △DCF∽aBDF; D ②由①可知∠CBD=∠CDE, G B CD=CD. 18/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 .∠CBD=∠CAD, :∠CDE=∠CAD. 又：∠AED=∠DEC, △ECD∽△EDA, CE CD DE AD ,则CE=DE.CD AD SABDC=SADCE=D SAECB SAECF EF SARDC =SAECB ∴DF=EF,即DE=2EF. :AD=BD,DG是OO的直径， .DG⊥AB DE切OO于点D, DG⊥DE, .ABII DE, AABC∽aEFC, AC CE DE.CD 2CD AB EF EF·AD AB AC :四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴.∠DAB+∠DCB=180° 又：∠FCD+∠DCB=180°， ∠DAB=∠FCD. AD BD, ∠DAB=∠ACD, .∠ACD=∠FCD. :∠CDE=∠CAD, △ACD~△DCF, DF CD AD AC AD 2CD 2DF DE AB AC AD AD :AD2=AB.DE. AD =BD, :BD2=AB.DE. 2.如图所示，以ABC的边AB为直径作OO,点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD,过点C作 CF⊥AB于点F,交BD于点G,过C作CE∥BD交AB的延长线于点E. 19/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D F (I)求证：CE是O0的切线； (2)求证：CG=BG; (3)若LDBA=30°，求证：BC2=BG·CE. 【答案】()见解析 (②)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定以及三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形 是解题的关键. (I)连接OC,根据∠A=∠CBD可得DC=CB,从而证明OC⊥DB,再根据DB∥CE可得OC⊥CE,即 可得出结论； (2)根据AB为直径可知LACB=90°，然后进一步利用LACB=∠CFB=90°进行等量代换，从而得出 LCAB=∠BCG,据此进一步即可证明结论； (3)连接AD,根据圆周角定理得出∠ADB=90°，即可求得∠BAD=60°，根据圆周角定理得出 LDAC=∠BAC=30°，证明△CGB∽△CBE,然后根据三角形相似的性质即可证明， 【详解】(1)证明：连接0C, :LA=∠CBD, B E :DC=CB. :OC 1 DB, DB∥CE, 0C⊥CE, :0C是⊙0的半径， L0CE=90°， .CE是OO的切线. (2)证明：AB为直径， ∠ACB=90°， 20/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :CF⊥AB, ∠ACB=LCFB=90°， .ZABC+ZBCF =90=ZABC+ZCAB, .∠CAB=LBCF, :∠CAB=LCBD, ∠BCF=∠CBD, .CG=BG: (3)证明：连接AD, D G B :AB为直径， ∠ADB=90°， DC=DC, ∠DAC=∠CBD, :∠CAB=∠CBD, :ZDAC ZCAB, ∠DBA=30°， .∠DAB=90°-30°=60°， ∠DAC=∠BAC=30°， .∠DBC=30°=∠BCG, .△CGB中，∠CGB=120°=∠CBE, :CE∥BD, LE=LDBA=30°=∠CBG, △CGB∽△CBE, BC_BG即BC2=BG-CE, CE BC 3.如图，己知四边形ABCD内接于半径为r的圆O,且AC⊥BD于P,OE⊥CD于E. 21/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 H Q E Q求证：OE=)AB 2 (②)设Q是圆O上不同于四边形顶点的一点，过Q作QH1⊥AB于H,QH,⊥BC于H2,QH,⊥CD于H3, QH4⊥DA于H4(其中H2,H3,H4未画出)， (2.1)求证：QAQB=2rQH1, (22)求证：QH,·QH,=QH2·QH4. 【答案】(1)见详解： (2)(2.1)见详解；(2.2)见详解 【分析】(1)通过连接DO并延长，交⊙0于G,连接CG,OC,OA,OB,利用垂径定理和圆周角定理、 圆心角定理及三角形中位线的性质来证明0E=4B。 (2)(2.1)构造直径，利用圆周角定理得到直角三角形，再通过相似三角形的性质来证明△HBQ∽△QKA 进而可得QAQB=2r·QH1· (22,根据圆内接四边形的性质得到∠QDH,=∠CBQ,进而证明△QH,B△0H,D,符=5 0H,QD,同法 可证明△QH,B∽△QH,D,得 H02,从而得出Qh,Qh,=QH,-QH. OH,OH 【详解】(1)证明：连接D0并延长，交00于G,连接CG,0C,OA,OB, H 0 A D :DG是o0的直径， B E C .∠DCG=90°， 22/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 .∠G+L2=90°， :AC⊥BD, ∠APD=90°， :∠1+∠DAP=90°， ∠G=∠DAP, ∠1=∠2， ∠1=∠3,2=4， 21 2 ∠3=∠4， :AB=CG, :OE⊥CD, :CE=DE, 0D=0G, .OE是aCDG的中位线， 1 .OE=二CG, 0e-号， (2)(2.1)证明：连接A0并延长，交⊙0于K,连接QK, H 0 A D 、 AK是OO的直径， B E ∴.∠AQK=90°， QH1⊥AB, ∠BH,Q=90°， LBHQ=∠AQK, ∠HBQ=∠K, ∴△HBQn△QKA, 23/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :4=QB AQ AK' QAQB=AK·QH1, :00的半径为r, :.OA.OB=2r.OH; (2.2)证明：根据题意作图如下： H B 连接DQ, :四边形BCDQ是OO的内接四边形， .∠CDQ+∠CBQ=180°， ∠CDQ+∠QDH3=180°， ∠QDH3=∠CBQ, QH2⊥BC于H2,QH,⊥CD于H3, .∠QH,B=∠QH,D=90°， ∴△QH,B△QH3D, OH,OB OH,OD QH1⊥AB于H,QH4⊥DA于H4, ∴∠QHB=∠QH,D=90°， :∠QBH1=∠QDH4, ∴△QHB△QH,D, OHOB QH,OD oH.oH OH,OH. QH1·QH3=QH2QH4. 24/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 4.如图，AB是圆O的直径，弦CD与AB交于点E,且CD⊥AB,F是圆O上一点，AC=CF,连接 FB,FD,FD交AB于点N,过点D作圆O的切线交BA的延长线于点M,连接FC并延长交BA的延长线于 点P F (I)求证：AE·BE=CE·ED; (2)求证：LBNF=∠BFN; (3)求证：0N.0P=0E0M. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质等知识 山)连债C,4C，0,通过证明：CE0:G8E,可得瓷能利到5BE=CG,再结合垂径定 理得到CE=ED,即可得到AE·BE=CE·ED; (2)通过证明△ADE≌△NDE,可得∠DAW=∠DNA,即可证∠BNF=∠BFN; (3)通过证明a0DEna0MD,可得DO2=OE·OM,通过证明aPC0naCN0,可得CO2=PO·ON,即可 得结论， 【详解】(1)如图1，连接BC,AC,AD, F C B M :CD⊥AB,AB是直径， D 图1 AC=AD.CE=DE=ICD, :∠ACD=LABC,且LAEC=LCEB, △ACEACBE, AE CE CE BE ∴AE.BE=CE2, 25/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 CE=DE=-CD, 2 AE·BE=CE·ED; (2)4C=AD=CF. ∠ACD=∠ADC=∠CDF,且DE=DE,∠AED=∠NED=90°， △ADE≌△NDE, .∠DAN=LDNA,AE=EN, :∠DAB=∠DFB,∠AND=∠FNB, LBNF=∠BFN: (3)如图2，连接AC,CN,CO,D0,OF B :MD是切线， 图2 .MD⊥DO, LMD0=∠DE0=90°，∠D0E=∠D0E, △DDEA0MD OE OD OD OM .OD2=0E.0M, :AE=EN,CD⊥AO, .AC=CN, .∠ANC=∠CAN, :LCAP=∠CN0, AC=CF, ∠A0C=∠C0F=∠A0F :∠ABF=1 ∠AOF, .∠AOC=∠ABF, CO∥BF, ∠PCO=∠PFB, :四边形ACFB是圆内接四边形， 26/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :∠PAC=∠PFB, .∠PAC=∠PFB=∠PC0=LCN0,且∠P0C=∠C0E, ∴△PCOACN0, NO CO COPO C02=P0.N0, 0N.0P=0E.0M. 5.如图，点E是ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F,与ABC的外接圆相交于点D B D (I)求证：S△MBF:S△4CF=AB:AC; (2)求证：AB:AC=BF:CF; (3)求证：AF2=AB·AC-BF.CF; (4)猜想：线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系.（直接写出，不需证明.） 【答案】（①）见解析 2)见解析 (3)见解析 (4)DE2=DF·AD 【分析】(1)过点F作FH⊥AC,FG⊥AB,垂足分别为H,G,则FG=FH,进而表示出两个三角形的面 积，即可求解； (2)过点A作AM⊥BC于点M,表示出两三角形的面积，即可求解： (3)连接DB,DC,证明△BFD∽△AFC得出BF·CF=AF·DF,证明△ABF∽△ADC,得出 AB·AC=AD·AF,即可AB·AC=(AF+DF)AF,恒等式变形即可求解： (4)连接BE,证明AABD∽△BFD,得出DB=DA·DF,证明∠BED=∠DBE,得出DB=DE,即可求解， 【详解】(1)证明：如图所示，过点F作FH⊥AC,FG⊥AB,垂足分别为H,G, 27/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B D :点E是ABC的内心， :AD是∠BAC的角平分线， :FH⊥AC,FG⊥AB, .FG=FH, 1 S4a即=2B:fFG,SAr =I AC.FH, 2 SABF SAACF AB:AC (2)证明：如图所示，过点A作AM⊥BC于点M, E B FM D sw号aFAM,SgFC,AM, .S△ABF:S△ACF=BF:FC, 由(I)可得SAABF:S△MCr=AB:AC, .AB:AC=BF:CF (3)证明：连接DB,DC, E B - D AB=AB,DC=DC :∠ACF=∠BDF,∠FAC=∠FBD 28/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :△BFD∽AAFC BF DF AF CF' .BF.CF AF.DF AC=AC' .∠FBA=LADC, 又∠BAD=∠DAC, .△ABF∽△ADC, 4BAF AD AC ABAC=AD·AF; AB·AC=(AF+DF)·AF=AF2+AFDF, AF2=AB·AC-BF.CF, (4)解：如图所示，连接BE, F D :点E是ABC的内心， :BE是∠BAC的角平分线， .∠ABE=∠FBE, :∠CBD=∠CAD=∠BAD,∠ADB=∠BDF ∴.△ABD∽△BFD, DB DA DFDB :DB2 DA.DF :∠BED=∠BAE+∠ABE=∠BAC+∠ABC, 8E=∠DBC+∠FBE=∠DAC+∠FBE=∠BAC+5∠AB( .∠BED=∠DBE, :DB=DE, DE2 DA.DF. 29/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ●类题点拨 核心：优先相似推导，特殊情况直接套圆幂定理，比例化乘积、乘积拆比例，结合圆的性质补全线段关系。 1.证明思路：①证两组圆周角相等→三角形相似→推线段比例→交叉相乘得乘积；②若为弦相交、切 线割线模型，直接用圆幂定理（相交弦、切割线）写乘积等式，简化证明； 2计算思路：①设未知线段为X,用相似比例或圆幂定理列方程；②结合垂径定理、勾股定理补全半 径、弦长、弦心距等关键量，联立求解； 3.关键：比例/乘积先看线段是否共点共弧，共点优先圆幂定理，无共点优先证相似；乘积式可反向推 导需证的相似三角形。 综合实战演练 模块三 1.如图，四边形ABCD内接于⊙0，∠DAB=90°，点C为DB的中点，∠DCA=15°，AB+AD=4, CM⊥AB于M,下面的四个结论中正确结论的选项为() D M A.AM=1 B.S4c=2+ 3 C.BC= 3 D.sin∠ACB=V6+V2 4 【答案】D 【分析】连接BD,证明BD为OO的直径，得出∠BCD=90°，求得∠BDC=∠CBD=∠BAC=45°，从而可 求得LBCM=30°，∠ACM=∠BAC=45°，BC=2BM,AM=CM,设BM=x,则DC=BC=2x, AM=CM=√5x,BD=2√2x,AD=4-(3+x,然后在Rt△ABD中，由勾股定理建立方程，从而可求 青W=5x=2,可判定A根据5c=BCM=2+25可判定B:8C=245,可判定C,服据 3 ∠ADC=∠ACB,以及正弦的定义，可判定D. 【详解】解：连接BD, 30/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :∠DAB=90 BD为OO的直径， .LBCD=90° :点C为DB的中点 :BC DC :∠BDC=∠CBD=∠BAC=45° :∠DCA=15 .∠ABD=∠DCA=IS :∠ABC=∠ABD+∠CBD=60° :CM⊥AB ∴∠AMC=∠BMC=90° ∴.∠BCM=30°，∠ACM=∠BAC=45° .BC =2BM,AM =CM 设BM=x,则DC=BC=2x,AM=CM=V3x, BD=22x AB+AD=4 :AD=4-AB=4-(AM+BM)=4-(N5x+x=4-5+1x 在Ra4BD中，由勾股定理得：[4-(5+1小]+[5+小=(22x 解得：=2（舍去，5-25 :AM=V5x=2; 故A选项不符合题意； CM=4M-2.4B-AM+BM-(1)-2+25 3 5c=4B.CM=2t25 3 故B选项不符合题意： 8C=2x=4 故C选项不符合题意； BD=22x=46 3 AB=AB, .LADB=∠ACB 31/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 .sin∠ACB=sin∠ADC AB 2+2v5 3 √6+√2 BD 4W6 4 故D选项符合题意 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC,延长CD至点E,若∠BAC=42°，AB=AC,则 ∠ADE的度数为( O。 D 公 A.82° B.72° C.69° D.669 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键 结合∠BAC=42°，AB=AC,计算出∠ABC的度数，利用圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，最后得出 LADE的度数 【详解】解：：∠BAC=42°，AB=AC, ÷∠ABC=∠ACB=2 180°-∠BAC)=69°， :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， :∠ABC+∠ADC=180°，求得∠ADC=111°， ∠ADE=180°-∠ADC=69°， 故选C 3.如图，四边形ABCD内接于OO,∠BOD=108°，则∠BCD的度数是() A.127 B.108° C.126° D.72° 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理求得∠BAD=∠BOD=54,再利用圆内接四边形的对角互补求解即可. 【详解】解：：∠BOD=108°， 32/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ∠BAD= 2 ∠B0D=54°， 又四边形ABCD内接于OO, ∠BAD+LBCD=180°， .∠BCD=180°-∠BAD=180°-54°=126°. 4.如图，AB是O0的直径，BD=2BC,∠DBC=138°，则∠ACD的度数为 B 【答案】62 【分析】由四边形ADBC内接于⊙O,求出∠CAD,结合弧的倍数关系算出∠BAD,然后利用直径的圆周 角性质得∠ACB=90°，利用同弧圆周角相等求出∠BCD=∠BAD=28°，然后根据角的和差即可解答， 【详解】解：：四边形ADBC内接于⊙O, LDBC+∠CAD=180°， ∠DBC=138°， ∠CAD=∠CAB+∠BAD=42°， BD=2BC, .∠BAD=2LBAC=28°. :AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， BD=BD, ∠BCD=∠BAD=28°， LACD=LACB-LBCD=90°-28°=62°. 5.如图，ABC中，∠B=90°，AM平分∠BAC,O是AC上一点，经过点A、点M的O0分别交AB, AC于点E、点F. (I)求证：BC是⊙O的切线： (2)求证：CM2=CF.CA; ()若CF=4,smC-,求E的长。 33/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【答案】(1)见解析 (2)见解析 o 【分析】(1)连接OM,由角平分线的性质及等腰三角形的性质得OM∥AB,再由∠B=90°即可得 OM⊥BC,从而得BC与OO的位置关系是相切： (2)连接FM,证明ACFM△CMA即可： 连接0M,EF,在Rta0MC中，由sinC=,设0M=0F=30,则0C=7a,从而CP=4a=4, 得a的值，则可得AF,再由正弦函数关系即可求得AE的值. 【详解】(1)证明：如图，连接0M, ○ M :AM是∠BAC的平分线， ∠BAM=LOAM, :0A=0M, ∠OMA=∠0AM, ∴.∠OMA=∠BAM, OM∥AB, :∠B=90°， ∠0MC=∠B=90°， 即OM⊥BC, :OM为圆的半径， :BC与O0的位置关系是相切. (2)证明：如图，连接FM, :AF是圆的直径， ∠AMF=90°=∠B, :AM是∠BAC的平分线， ∠BAM=∠OAM, .LAMB=90°-∠BAM=90°-∠0AM=∠AFM, ∴.∠AMC=180°-∠AMB=180°-∠AFM=∠MFC, .△CFM∽△CMA, 34/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 CF_CM CM CA 即CM2=CF.CA: (3)解：如图，连接OM,EF, 由(1)知∠0MC=90°， 在RtOMC中，sinC=OM=3 0C7 设0M=0F=3a,则0C=7a, .CF=0C-0F=4a=4, 解得a=1, .0F=3,AF=20F=6, :AF为圆的直径， ∠AEF=90°， .∠B=∠AEF=90°， EF∥BC, .LAFE=∠C, sin∠AFE=sinC=3 ·sin∠AFE=AE、3 AF 7 6.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，连结AC、BD交于点E (I)求证：△ABE∽△CDE (②)若AB=AC,LAEB=90°. ①求证∠BAC=2∠CAD. 35/55 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 ②兴提时，把值， BC 2 【答案】()见解析 ②0见解析；②V2 【分析】(1)由同弧所对的圆周角相等得出∠BAE=∠CDE,由对顶角相等得出∠AEB=∠CED进而得出 △ABE∽△CDE; (2)①设∠CAD=a,过点A作AF⊥BC于点F,利用等腰三角形的性质与同弧所对圆周角相等可得： ∠ACD=∠ABD,∠ADE=90°-a,∠ABC=∠ADB=90°-a,再利用三角形的内角和定理即可求证： ②设AB=AC=V√6k,BC=2k(k>0),则BF=FC=k,由此可得AF=VAB2-BF2=√5k,由(1)可知 ®BE∞ACDE,设相似比为CE-设AE=1,EC=y,则r+=AC=V6k,由相似三角形的性质可得 A5=1E=,可解得CD=V6,在Ra4BE和Rt。CBE中，利用勾股定理可得x-y川x+月=23，则 CD CE y 6k x-y= ,联立方程解出xy,在RtA AED中，设DE=m,由aABE∽aCDE得：BE=2m,由勾股定 3 理可得 AD=14 ,由此即可求解 2 AD的值， CD 【详解】(1)证明：：BC=BC, ∠BAE=LCDE, 又：∠AEB=∠CED, △ABEACDE; (2)①证明：设∠CAD=a,过点A作AF⊥BC于点F, D AB=AC, :∠ABC=∠ACB,且AF平分∠BAC,BF=CF, :∠AEB=90°， .∠BAE+∠ABE=90°， ZCAD=a,AD=AD, .∠ACD=∠ABD,∠ADE=90°-a, AB=AB 36/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 LABC=LADB=90°-a, ∠BAC=180°-2∠ABC=180°-2(90°-a)=2a, :ZBAC 2ZCAD; ②解：当AB-6时，设AB=4C=V6,8C=2(k>0), BC 2 在等腰△ABC中，AF⊥BC,BF=FC=k, :4F=AB-BF-V6k)k2=5k 设AE=x,EC=y,则x+y=AC=√6k, 由△ABE∽△CDE可得： AB AEx CD CE y ∴CD=V6 在Rt△ABE和Rt△CBE中，由勾股定理得： BE2=AB2-AE2=6k2-x2, BE2=BC2-EC2=4k2-y2, 6k2-x2=4k2-y2, (x-y)(x+y)=2k2, x+y=6k, xy=V6k 3 x+y=6k 联立 x-r=V64 3 解得：x=26 y=V6h 3 AE =X=2, CE y :CD=16ky6k 2 在Rt AED中，设DE=m,由△ABE∽aCDE得：BE=2m, 在R4s中gE4E48,-2-64. m2=52 6 37/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 .AD2=AE2+DE2 2√6k 7k2 +m2= 3 2 14k ∴.AD= 2 14k AD =2 V14√21 CD√6k√63 2 7.如图，等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的OO交底边BC于点D,过点D作OO的切线交AC于点E ,连接BE交⊙O于点F,连接AF并延长交DE于点G, D (I)求证：∠BAC=2∠EDC; (2)求证：GE2=FG·AG; (3)当DE=2AF时，求 EG 的值。 AG 【答案】()证明见解析 (②)证明见解析 ③)5-1 2 【分析】(1)连接0D,设L0DB=a,由切线的性质可得∠0DE=90°，则LEDC=90°-a,根据等腰三 角形的性质可得∠OBD=∠ODB=∠C=a,则∠BAC=180°-2a,命题得证： (2)由圆周角定理可得∠AFB=90°，∠AFE=∠EFG=90°.由(1)可得，∠CED=90°，从而可证明 △4GEn△EGF,则GE=F ,命题得证 AG GE (3)连接0D、AD、FD,设EC =x,根据圆内接四边形的性质可得∠DFG=∠ABC,由等量代换可得 AG ∠ODB=∠ADG,结合∠ODB=∠ABC,则LDFG=∠ADG,从而证明△DFG∽△ADG,根据相似三角形的 性质可得DG=FG·AG,结合(2)的结论可得EG=DG,从而证明AF=EG,根据比例式构造方程并解 出x的值， 【详解】(1)证明：如图，连接0D,设LODB=a, 38/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B :DE是O0的切线， :OD I DE, ∠0DE=90°， :∠EDC+∠0DB=180°-∠0DE=90°， LEDC=90°-∠0DB=90°-a, OB=OD, ∠0BD=∠ODB=a, AB=AC, ∴∠ODB=∠C=∠B=a, ∠BAC=180°-∠0BD-∠C=180°-2a, :ZBAC=2ZEDC (2)证明：：AB是O0的直径， .∠AFB=90°， AG⊥BF, ∴∠AFE=∠EFG=90°， :∠EDC+∠0DB=90°， 又：∠ODB=∠0BD=∠C, ∠EDC+∠C=90°， LCED=180°-LEDC-∠C=90°， ∴∠AEG=180°-∠CED=90°， ∴.∠AEG=∠EFG, 又：∠AGE=LEGF, △AGEn△EGF, GE FG AG GE :GE2=FGAG; (3)解：如图，连接OD、AD、FD,设 EG =X, AG 39/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 E :四边形ABDF内接于⊙O, ∠AFD+LABC=180°， :∠AFD+∠DFG=180°， :.∠DFG=∠ABC, :AB是OO的直径， .∠ADB=90°， ∠AD0+∠0DB=90°， :∠ODE=∠AD0+∠ADG=90°， ∠ODB=∠ADG, :∠ODB=∠ABC, :ZDFG=ZADG :∠DGF=∠AGD, △DFG∽△ADG, FG DG ÷DGAG 即DG=FGAG, 由(2)可得，EG2=FG·AG, ∴.DG=EG, :.EG=DE, DE=2AF, .AF=EG, EG AG =X, .AF =EG=xAG .FG=AG-AF=(1-x)AG, :EG2=FG·AG, x2AG2=1-xAG·AG, 化简，得x2+x-1=0, 解得x=5-1或x=5-」（负值舍去， 2 2 40/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 EG5-1 AG2 8.如图，AB是OO的直径，C,D是OO上两点，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足为E,连 接AC交BD于点F. (I)求证：CE是O0的切线； (2)求证：△CDF∽△CAD; (3)若CF=3,DC=4,求00的半径. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 号 【分析】本题考查了垂径定理，直角所对的圆周角是直角，圆的切线判定定理，相似三角形的判定和性质： (1)连接OC交BD于点G,利用弧、弦关系得到BG=DG,再根据垂径定理的推论得到OC⊥BD,因为 直径所对的圆周角是直角，即∠ADB=90°，得到LEDB=90°，又∠E=90°，推出四边形EDGC是矩形， 得到∠ECG=90°，即可证明结论； (2)根据C是BD的中点，得出BC=CD得出LBAC=LDAC，根据同弧所对的圆周角相等可得 LBDC=∠BAC,即可得出∠CDF=LCAD,结合公共角∠DCF=∠ACD,即可证明△CDFn△CAD; (3)由(1)得BC=CD=4,根据勾股定理求得BF=5,进而证明△BCF∽△ACB,根据相似三角形的性 质，即可求解。 【详解】(1)证明：如图，连接OC交BD于点G, E :点C是BD的中点， B .BC CD, :BG=DG, 41/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :0C为半径， .OC⊥BD, :∠DGC=90°， :AB是O0的直径， ∠ADB=90°， ∠EDB=90°， :CE⊥AE, ∠E=90°， :四边形EDGC是矩形， .∠ECG=90°， CE⊥OC, CE是⊙O的切线； (2)证明：：C是BD的中点， :BC=CD .∠BAC=∠DAC 又：BC=BC .∠BDC=∠BAC .∠BDC=LDAC,即LCDF=LCAD 又：LDCF=∠ACD .△CDFACAD (3)解：设FG=x,OC=r, 由(1)得BC=CD=4, :AB是OO的直径， ∠ACB=90°， 在Rt△CBF中，CF=3 BF=VBC2+CF2=V42+32=5 :∠DAC=∠BAC,∠DAC=∠DBC ∠FBC=∠CAB 又，∠ACB=∠BCF .△BCF∽△ACB BF CF ABCB,即53 AB 4 解得：AB=20 42/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :00的半径为10 9.已知：如图，ABC内接于⊙O,AB为直径，弦CE⊥AB于F,C是AD的中点，连接BD并延长交EC的 延长线于点G,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q. D (1)求证：P是△ACQ的外心； ②若am∠4C-},cF=8,求CO的长， (3)求证：（FP+PQ)=FP.FG. 【答案】()见解析 @0-5: (3)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆的性质定理，熟练掌握相关知识是解题的 关键. (1)由互余证得LAQC=LPCQ,进而得到答案， (2)分别求得BC、F、AC的长，再证得△ACQ∽BCA,进而由相似比即可求得CQ的长. (3)根据圆周角定理得到LADB=90°，得到∠G=∠FAP,根据相似三角形的性质得到AF·BF=CF?,推出 △APF∽△GBF,于是得到结论 【详解】(1)解：：C是弧AD的中点，AB为OO的直径， LCAD=∠ABC,∠ACB=90°， :CE⊥AB, ∴.LCFB=LCFA=90°， ZCAD+ZAOC=ZABC+ZPCO=90 .ZAOC=ZPCO :.PC=PO, :LACP+LBCF=LCAP+LAQC=90°， 43/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 .ZACP ZCAP, .PC=AP, .PC=PO=AP, .P是△ACQ的外心： (2)解：：tan∠ABC=3=AC 4BC,∠ACB=90 设AC=3k,则BC=4k,则AB=5k ·sin∠ABC=3 5 由垂径定理得AC=AE=CD ·.LABC=LACE=LCAD CF=8, CF 40 .:BC sin∠ABC3, BF=BC2-CFT=32 8C-c=10, :∠CAD=LABC,∠ACB=90°， △ACQ∽ BCA, AC BC :COAC w-5 (3)解：由垂径定理得∠ACF=∠CBF :CE⊥AB ∴.∠AFC=∠CFB △ACF-CBF .AF CF =CF BF 即AF·BF=CF :∠PAF+∠APF=∠DBA+∠DAB=90 ∠APF=∠GBF :∠GFB=∠AFP=90 △APFAGBF ∴FP:FA=FB:FG FP·FG=FA·FB FC2=FP·FG. PC=PO=AP 44/55 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 .FC=FP+CP=FP+PO, .(FP+PO)=FP.FG 1O.如图(1)，ABC内接于O,AB=AC,点D在劣弧BC上运动.过点D作DE∥BC,交AB延长线 于E,连接BD, D (1) (2) (I)求证：∠ADB=∠E. (2)求证：AD2=AC·AE (3)当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE?请画出图，进行探索和证明 【答案】（①）见解析 (2)见解析 3)点D运动到BC中点时，△DBE∽△ADE,画图和证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关 知识是解题的关键 (1)由DE∥BC可得LABC=LE;由∠ADB,∠C都是B所对的圆周角得LADB=LC;又等边对等角 可得∠ABC=∠C,再运用等量代换即可证明结论： (2)先证明ADBAED得P=4E,即AD=AB-AB=ACAB。 AB AD (3)点D运动到BC中点时，△DBE∽AADE.由BD=CD得LBAD=LDBC;由DE∥BC得 ∠EDB=∠DBC;又∠BDE=∠BAD可得△DBE∽△ADE. 【详解】(1)证明：：DE∥BC, ∠ABC=LE, :∠ADB,∠C都是B所对的圆周角， .∠ADB=LC, 又：AB=AC, .∠ABC=∠C, .∠ADB=∠E. (2)证明：：∠ADB=∠E,∠BAD=∠DAE, △ADB∽△AED, 45/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 .ADAE AB AD ,即AD2=AB·AE, 又：AB=AC, AD2=AC·AE. (3)解：点D运动到BC中点时，△DBE∽△ADE, 画图如下： B D 图② 证明如下： “BD=CD, ∠BAD=∠DBC, :DE∥BC .∠EDB=∠DBC, ∠DBC=∠EAD, 又：∠DEB=∠AED, .△DBE∽△ADE. 11.如图1，在O0中，AB为00的直径，点C为00上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙0于点D,交 BC于点G,连接OD交BC于点E,点F在BC的延长线上，且LAFC=LBOD. E D (1)求证：AF为O0的切线： (2)求证：AF·BG=BF·CG; (3)若AD=2V35,DE=4,求DG的长 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 3)4v35 5 46/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【分析】本题考查了切线的判定及性质、圆周角定理、相似三角形性质与判定，掌握圆周角定理是解题的 关键. (1)根据圆周角定理得到OD∥AC,再根据平行线的性质得到∠BAF=90°，进而证明AF为O0O的切线即 可； (2)作CH⊥AB于点H,通过角度关系得到△AFB∽△HGB,利用相似三角形的性质得到比例关系即可； (3)连接BD,设OA=OB=OD=r,那么AB=2r,由圆的直径对应的圆周角是直角得到 ∠BED=∠BEO=90°，根据勾股定理得到半径长，利用tan∠DBG=tan∠BAD得到DG长即可. 【详解】(1)证明：：AD为∠CAB的平分线， ∠CAD=LBAD, 0A=0D, ∠0AD=∠0DA, ∠ODA=∠CAD, 0D∥AC. :AB是圆的直径， LACB=90°， ∠0EB=∠ACB=90°， .OD⊥BC, .∠BOD+∠B=90°， ZAFC=ZBOD, ∠F+LB=90°， ∠BAF=90°， AF⊥OA, AF为O0的切线. (2)证明：作CH⊥AB于点H,则∠GHB=90°， HO 由(1)知AF是切线，∠FAB=90°， .∠FAB=∠GHB, ∠ABF=∠HBG, ∴.△AFBn△HGB, 47/55 厨学科网 www zxxk com 让教与学更高效 AF HG BF BG :∠CAD=∠DAB,∠ACG=∠AHG=90° .CG=HG AF CG BF BG AF·BG=BF.CG. (3)解：连接BD,设0A=OB=OD=r,那么AB=2r,如图： B.:DE=4. .0E=r-4, AC=20E=2r-8, :AB是圆的直径， ∠ADB=90°， :BD2=AB2-AD2, 由(1)得∠BED=90°， .∠BED=∠BEO=90°， ..BE2 =OB2-OE2, BE2=BD2-DE2, .BD=AB2-AD=BE+DE2=OB-OE+DE, (2r)2-(235=r2-r-42+42, 解得r=7或r=-5（舍去)， AB=2r=14, .BD=VAB-AD=14-(235=24 .tan∠BAD= BD 10 AD 5 :∠DBG=∠CAG=∠BAD tam∠DBG=tan∠BAD=i0 ∴.DG=BD tan∠DBG= 4V35 5 48/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 12.如图，四边形ABCD内接于⊙O,直线AE交CD的延长线于点E,延长AD,BC相交于点F,DA平 分∠BDE. (I)求证：AB=AC. (2)若AE是⊙0的切线. ①求证：△ABF∽△EAC. ②若AE=2,DE=1,C是BF的中点，则OO的半径为· 【答案】(1)见解析 ②)0见解析：②4v15 5 【分析】(1)利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到∠ABC=∠ACB,再利用等腰 三角形的判定定理解答即可； (2)①连接AO并延长交BC于点G,利用等腰三角形的性质，垂径定理得到AG⊥BC,利用圆的切线的 性质定理得到AG⊥AE，则AE∥BC,利用平行线的性质，圆周角定理，弦切角定理和相似 三角形的判定定理解答即可； ②连接AO并延长交BC于点G,过点E作EH⊥BC于点H,连接OB,利用切割线定理求得EC,DC的长 度，利用相似三角形的判定与性质求得FC,利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到 BG=CG=号BC=3,利用矩形的判定与性质得到GH=6=24G=EH,利用勾股定理求得AG,设00 的半径为r,则OB=OA=r,利用勾股定理列出方程解答即可得出结论 【详解】(1)证明：：DA平分∠BDE, .∠ADE=∠ADB, :四边形ABCD为圆的内接四边形， .LADE=∠ABC, :∠ADB=∠ACB, .∠ABC=∠ACB, :AB=AC; (2)①证明：连接A0并延长交BC于点G,如图： 49/55 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 由(1)知：AB=AC, ∠ABC=∠ACB,AB=AC, ·AG⊥BC, :AE是OO的切线， AG⊥AE, AE∥BC, :∠F=∠EAD,∠EAC=∠ACB, .∠EAC=∠ABC, :AE是O0的切线， .∠EAD=∠ECA, .∠ECA=LF, ∴△ABF∽△EAC; ②连接AO并延长交BC于点G,过点E作EH⊥BC于点H,连接OB,如图： :AE是⊙0的切线， ∴.AE2=DE·EC, :AE=2,DE=1, EC=4. .CD=EC-ED =3, 由①知：AE∥BC, △AED∽aFCD, AE ED CF CD 21 CF3 CF=6. :C是BF的中点， 50/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :BC=CF=6, :AB=AC,AG⊥BC, 1 :.BG=CG=-BC=3, :AG⊥BC,EH⊥BC,AE∥BC, :四边形AGHE为矩形， :GH AE=2,AG=EH, .CH =CG-GH=1, :AG=EH=V√EC2-CH2=5, 设00的半径为P,则0B=0A=r, .0G=AG-0A=V15-r, :0G2+BG2=0B2, (15-r+32=r2, .r= 415 5 故答案为： 415 13.如图，在ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB延长线于点D, AE垂直于DC的延长线于点E,交半圆O于点F,连接CF, B D (I)求证：LBAC=∠ECF; (2)若AE=3,DE=4, ①求半圆0的半径： ②若P是AC上一点，连接PO,PB,求PO+PB的最小值. 【答案】()证明见解析 ②0半颗0的半径为号：②P0+P9的最小值是 8 【分析】(1)由AB是直径可得∠ACB=90°，由圆内接四边形的性质可得∠ABC=∠CFE,根据等角的余角 相等即可证明∠BAC=∠ECF; (2)①连接0C,由切线的性质可得∠0CD=90°=∠E,进而得到a0DCn△ADE,则 %5-结 51/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 合AD=5和0A=OC,计算出半径0C的值即可； ②作点O关于直线AC的对称点O,作O'H⊥AB于点H,由OA=OC和OC∥AE可得 ∠OAC=∠AC0=∠EAC,则点O在AE上，因此P0+PB=P0'+PB≥OB,当O、P、B三点共线时， P0:P8取到行最小值O8.使用三角函数计算出4H-}OH-多则BH=B-A-公，最后用勾股 8 8 定理计算出O'B, 【详解】(1)证明：：AB为半圆O的直径， ∠ACB=90°， ∠BAC+∠ABC=90°， :四边形ABCF内接于半圆O, ∠ABC+∠AFC=180°， :∠CFE+∠AFC=180°， .∠ABC=∠CFE, :AE⊥DE, .∠E=90°， ∴.∠CFE+LECF=90°， .LBAC=∠ECF; (2)解：①如图，连接0C, E A B D 在R1aADE中，AE=3,DE=4, AD=√AE2+DE2=V32+42=5, :CD是半圆O的切线， 0C⊥CD, ∴.∠0CD=90°=∠E, :∠D=∠D, aODC∽△ADE, OC OD AE AD 3 5 ÷00=50c, :AD=0A+0D=5, 52/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 0C+ 5 0C=5, 3 0c=5 即半圆0的半径为5与 ②如图，作点O关于直线AC的对称点O,作O'H⊥AB于点H, E H O :∠0CD=∠E=90°， OC∥AE, ·∠EAC=∠AC0, :0A=0C, :∠OAC=∠ACO=∠EAC,即AC是∠BAE的平分线， .点O在AE上， 由对称的性质可得，P0=P0', P0+PB=P0'+PB≥0B, :当O、P、B三点共线时，P0+PB取得最小值O'B, 在R1△ADE中，AE=3,DE=4,AD=5, AD=5'sin ZEAD=DE4 Cos ZEAD=AE3 AD=5 B在R1△4H0'电，AH=A0osZ0AH-40=40=9 g,0H=40sm∠0ah-号40- 5 03 ·BH=AB-AH=2 由勾股定理可得，OB=√BH?+0H 21237 3V65 8+2 81 ·PO+PB的最小值是3V6丽 8 14.如图，在ABC中，∠ABC=90°，⊙0经过点A,与边AB,AC分别交于点E,D,且BC与O0相 切，切点为点F. B D 0 53/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (I)求证：AF平分∠BAC; (2)若BE=1,CD=2,求AD的长 【答案】（①）见解析 (2)4 【分析】(1)连接OF,根据切线的性质可得∠OFC=∠ABC=90°，从而得到OF‖AB,进而得到 LOFA=LBAF,再结合等边对等角可得LBAF=LOAF,即可求证； (2)连接DE与OF相交于点M,设0A=OD=OF=x,则0C=2+x,AC=2+2x,根据平行证明 △DMO∽△DEA,得到EA=20M,从而可表示出AB,再次根据平行证明△CFOn△CBA,列式解方程即 可得解· 【详解】(1)证明：如图，连接0F, :BC与⊙0相切， OF⊥BC, :∠0FC=∠ABC=90°， ∴.OF|AB, ∠OFA=∠BAF, :0F=0A, .∠OFA=∠0AF, ∠BAF=∠OAF, .AF平分∠BAC; (2)解：如图，连接DE与0F相交于点M, B R M 设0A=0D=0F=x,则0C=CD+0D=2+x,AC=0C+0A=2+x+x=2+2x, :AD为O0的直径， ∠DEA=90°， LMEB=LEBF=LBFM=90°， 54/55 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :四边形BEMF为矩形， :FM BE =1, :.OM =OF-FM =x-1, OF‖AB, .△DMOm△DEA, EAD,即OM-1 OM OD EA2’ .EA=2OM=2(x-1), ∴.AB=BE+EA=1+2(x-1=2x-1, OF‖AB, :aCFO∽aCBA, 2+x 2x-12+2x 解得x=2, .AD=2x=4. 55/55