精品解析：江西省九江第一中学2025-2026学年度下学期第二次模拟考试九年级（数学）试卷

江西省九江第一中学2025-2026学年度下学期第二次模拟考试 初三年级（数学）试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数字中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值，比较有理数的大小关系．先求出绝对值，比较大小，即可． 【详解】解：∵，，，， ∵， ∴绝对值最小的数为， 故选：D． 2. 石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定 的值以及的值． 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 了解神舟飞船发射前零部件的情况 B. 了解某班级学生的月考数学成绩 C. 订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 D. 了解生产的一批鞭炮的质量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，正确掌握相关性质内容是解题的关键．抽样调查适用于总体数量大、具有破坏性或耗时的情况，而全面调查（普查）适用于总体数量小、需精确结果的情形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、神舟飞船零部件必须全部检查，否则隐患可能导致严重后果，需全面调查，故选项不符合题意； B、班级人数较少，直接统计所有学生成绩更准确，适合全面调查，故选项不符合题意； C、订购校服需每个学生的尺寸，否则无法保证合身，必须全面调查，故选项不符合题意； D、鞭炮质量检测具有破坏性（检测后无法销售），且数量庞大，适合通过抽样推断整体质量，故选项符合题意 故选:D． 4. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质，可得，由对顶角相等，可得，根据三角形外角的性质，即可得 的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 二次函数的部分图象如图，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③ ；④当时， 的值随值的增大而增大；⑤当函数值时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质、由图象与性质判断式子符号、利用图象解不等式等知识，根据查二次函数图象与性质、由图象与性质判断式子符号、利用图象解不等式的方法逐项验证即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解： 二次函数的对称轴为直线， ，即， ，故①正确； 如图所示，当 时，，则，故②错误； 二次函数的部分图像如图，图像过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点是，则抛物线与轴有两个交点， ，故③正确； 由图可知，抛物线开口向下、对称轴为， 当 时， 的值随值的增大而增大，故④错误； 抛物线与轴的交点是和， 当函数值时，是指抛物线在轴下方的图象对应的自变量x的取值范围，是或， 故⑤正确； 综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 8. 在平面直角坐标系中，若点与点关于 轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于 轴对称的点的特征，代数式求值． 关于 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出的值，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解： 点与点关于 轴对称， ，， 解得，， ， 故答案为：． 9. 如图， 、分别是的中线和角平分线．若，，则 的度数是______． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质求出 ，再结合等腰三角形两底角相等求出，最后根据角平分线的定义算出 的度数． 【详解】解：∵， 是的中线， ∴根据等腰三角形三线合一，可得 平分， ∴ ∴等腰中，底角 ∵是角平分线，平分 ， ∴． 10. 若方程的两个根是 和，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到与a的等量关系，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入化简即可求解． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴，即． ∴． ∵a，b是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得． ∴原式． 11. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、乘方及代数式求值，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由题意可得到关于m、n的两个方程，解方程即可求出的值，再把m、n的值代入计算即可求解． 【详解】解：设右上角数字为x，右下角数字为y， 由题意可得，， 解得，， ， 故答案为： ． 12. 如图，是等边三角形，边长为10，点D在延长线上，且 ，动点E从点A出发，沿着射线运动，连接 ，将线段 绕点D逆时针旋转60°得到线段 ，连接．当时，则线段的长为_________． 【答案】7或3 【解析】 【分析】分两种情况：当点E在线段上时，作 ，先说明是等边三角形可得，再结合旋转的性质说明，可得，然后得出，接下来求出，则此题可解；当点E在线段的延长线上时，作，交的延长线于点H，同理可得，根据全等三角形的对应边相等得出，进而求出，，再根据得出答案． 【详解】解：当点E在线段上时，过点D作 交的延长线于点G，如图所示， ∵是等边三角形， ∴． ∵ ， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 将线段 绕点D逆时针旋转得到 ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴； 当点E在线段的延长线上时，过点D作，交的延长下于点H，如图所示， 同理可得， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∴． 综上所述，的长为7或3． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先化简绝对值、算术平方根以及负整数指数幂，再算乘法，最后进行加减运算即可； （2）原式先算分式的除法，再算同分母分式的减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，在菱形 中，于点E，于点F．求证： ． 【答案】证明：四边形 是菱形， ∴ ， ∵于点E，于点F， ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，首先得到 ，然后得到，证明出，得到，进而证明即可． 【详解】略 15. 图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过 ， ， 三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的圆上找一点 ，使得平分； （2）在图②中的圆上找一点 ，使得 平分． 【答案】（1） 如答图①，点，即为所求． （2） 如答图②，点 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用垂径定理即可在图①中的圆上找一点 ，使得平分； （2）利用矩形的性质，垂径定理和同弧所对圆周角相等即可在图②中的圆上找一点 ，使得 平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 云南九大高原湖泊是我国唯一不冰冻的湖区，是不可多得的“高原明珠”，被当地人亲切地称为“海子”，这些湖泊具有调节区域气候、维持区域生态系统平衡和生物多样性等重要功能．今年五一，小昆计划从九大湖泊中的异龙湖、泸沽湖、杞麓湖三个景点随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；小明准备从异龙湖、泸沽湖两个景点中随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；将异龙湖记为 ，泸沽湖记为 ，杞麓湖记为 ． （1）小明选择游玩杞麓湖属于______（填序号）． ①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件 （2）求小昆，小明两人选择游玩的景点互不相同的概率 ． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】（）根据不可能事件的定义即可判断求解； （）画出树状图，再根据树状图解答即可求解； 本题考查了事件的分类，用树状图或列表法求概率，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵小明准备从异龙湖、泸沽湖两个景点中随机选择一个进行游玩， ∴小明选择游玩杞麓湖属于不可能事件， 故选：③； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有种，其中小昆，小明两位同学选择游玩的景点互不相同的情况有种， ∴小昆，小明两位同学选择游玩的景点互不相同的概率． 17. 如图，是的内接三角形，，，点D在的延长线上， 交于点E，交 于点F， ，连接． （1）求证： 是的切线； （2）求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又 为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可； （2）连接， 是直径，根据勾股定理，等腰三角形的性质，利用 解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于， 两点，与轴， 轴分别交于点 ，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知点 的横坐标为，求的面积． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）将点分别代入，求出 ， 的值即可得出答案； （2）确定得，再根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图像交 轴于点， 当时，得， ∴， ∴， ∵，点 的横坐标为， ∴点 到 轴的距离为，点 到 轴的距离为， ∴， 即的面积为． 19. 如图是一辆自卸式货车的主视示意图，矩形货厢 的长 ．卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转，货厢底部A，B两点在垂直方向上的距离与水平距离之比记作i，A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为 ．货厢对角线的交点G可视为货厢的重心，测得 ．假设该车在平地上进行卸货作业（即为水平线）． （1）求货厢对角线的长； （2）卸货时发现，当 两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若 ，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据： ， ， ， ，结果精确到 ） 【答案】（1） ； （2） 解：不会发生上述事故，理由如下： 作 ，垂足为K， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵在 中， ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴该货车不会发生上述事故． 【解析】 【分析】（1）在 中，利用三角函数，求出长即可； （2）求出 的度数，根据矩形的性质得到 ，在 中，利用三角函数，求出 长即可． 【小问1详解】 解：∵四边形 是矩形， ∴， ∵在 中， ， ， ∴， 答：货厢对角线的长为 ； 【小问2详解】 略 20. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 （2）购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【解析】 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． 【小问2详解】 解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为践行“健康第一”教育理念，细化落实近视防控要求，某校积极开展第12个全国近视防控宣传教育月活动．为了解全校3600名学生“科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况，学校医务处随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况调查问卷 亲爱的同学： 您好！为进一步增强爱眼护眼意识，诚邀您参加本次匿名调查． 1．您在日常生活中践行了哪些“科学用眼•健康护眼”好习惯（ ）（可多选） A．每天户外活动2小时 B．保持“一尺一拳一寸”读写姿势 C．遵守“ ”护眼法则 D．每天睡眠不少于9小时 E．严控电子产品使用时间 F．定期进行视力检查 2．您平均每天使用电子产品的时间大约是（ ）（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．小时 B． 小时 C． 小时 D．3小时及以上 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的总人数为______人， 的值为______，的值为______． （2）估计该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“ 小时”的人数． （3）除上述调查问卷中提到的六个“科学用眼•健康护眼”好习惯，请你给全校学生再提出一个“科学用眼•健康护眼”好习惯． 【答案】（1）， ， （2）估计该校对应人数为 人 （3） 解：建议：坚持每天做眼保健操（或“不在昏暗/强光下看书”“不躺着看书”等，合理即可）． 【解析】 【分析】（1）由条形图可知，选择F习惯的有30人，占总人数的，据此求出总人数；选择B习惯的人数为117，据此求出 ；选择C习惯的占比为 ，据此求出 ； （2）根据用样本估计总体的方法求解即可； （3）结合护眼常识，提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：总人数为  人， ∴  ，  ． 【小问2详解】 解：“ 小时”的占比： ， 该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“ 小时”的人数为： 人． 【小问3详解】 略 22. 定义：对于平面直角坐标系中的点和点 ，若将点 绕点顺时针旋转后得到对应点 ，则称对应点 为点 关于旋转的“正旋点”，特别的，当 时，点 为点 关于点的“正垂旋点”． （1）已知点的坐标为，若点 的坐标为，点 关于点的正垂旋点坐标是_________；点 关于点旋转的正旋点坐标是_________； （2）直线的图象与 轴交于点 ，与轴交于点 ． ①如图1，点 是该直线上一动点，若点 关于点 的“正垂旋点”横坐标为6，此时点 的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点 关于点 的“正垂旋点”为点 ，反比例函数的图象恰好经过点 ，请你求出此时点 的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线 的图象上存在一点 ，连接，当 时，请你判断点 是否为点 关于点 旋转 的“正旋点”，并说明理由． 【答案】（1）， （2）①； ② 的坐标为或； ③点 不是点 关于点 的 的“正旋点”，理由如下： 如图3，过点 作，且 ，连接 交抛物线于 ，过点 作 轴于点 ，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线 的解析式为，将代入得：， 解得：， ∴直线 的解析式为， 联立解析式得， 解得：（舍去），， ∴点 的坐标为． ∵，， ∴， ∴点 不是点 关于点 的 的“正旋点”． 【解析】 【分析】（1）根据新定义，利用旋转的性质得出相等的边，利用等边三角形的判定和性质以及勾股定理进行求解； （2）①假设点 关于点 的“正垂旋点”为点，过点作 轴于点 ， 根据直线解析式求出点的坐标，确定线段的长度，证明，根据对应边成比例求解； ②作 轴于点，轴于点 ，证明，得出，设点 的坐标是，则，表示出 的坐标为，然后代入反比例函数解析式求解即可； ③过点 作，且 ，连接 交抛物线于 ，过点 作 轴于点 ，则，证明，得出，求出直线 的解析式为，联立解析式求出点 的坐标为，然后根据勾股定理求出，，进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，若点 的坐标为，根据旋转的性质得， ∴点 关于点的正垂旋点坐标是； 如图所示，令点为点 关于点旋转的正旋点，过点作轴于点 ， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴点 关于点旋转的正旋点坐标是； 【小问2详解】 解：①如图1所示，假设点 关于点 的“正垂旋点”为点，过点作 轴于点 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， ∴； 当时，， 解得， ∴， ∴； ∵点的横坐标为6， ∴ ， ∴， ∴， ∵点 是直线上一动点， ∴点 的横坐标为， 将代入得， ， ∴点 的坐标为； ②如图所示，作 轴于点，轴于点 ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设点 的坐标是，则， ∴，， ∴ 的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过点 ， ∴， ∴， 解得：． ∴ 的坐标为或； ③略 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形 中，，，点 是 边上的一动点，连接，以为直角边在其右侧作，使，其中与交于点，与 交于点 ，连接 ． 【猜想证明】 （1）判断 与 的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 （2）当 时，求线段的长； （3）当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长. 【答案】（1）；证明如下： ∵， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在矩形 中，， ∴ ， ∴． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出， ，推得 ，根据相似三角形的判定和性质得出 ，结合矩形的性质即可证明； （2）根据相似三角形的性质求出 ，根据矩形的性质得出 ，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，即可求解； （3）根据正切的定义和相似三角形的性质得出，分两种情况讨论：当 时，，根据平行线的性质推得，结合正切的定义即可求解；当 时，，过点 作交于点，过点 作交于点 ，根据平行线的性质推得，结合正切的定义求得，根据勾股定理求得，结合正切的定义求出，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得． 由（1）得 ， ∴， 即 解得 ； ∵四边形 是矩形， ∴ ，， 在 中，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， 故． 【小问3详解】 在 中，， 又∵， ∴ ，∴． 分两种情况讨论． 情况一：当 时，，如图①， ∵ ， ∴， 故， ∴， 在 中，， 即 解得 ； 情况二：当 时，， 过点 作交于点，过点 作交于点 ，如图②， 则四边形是矩形， ，， ∴，， ∵ ， ∴， 故， ∴； 在中，， 即 解得； 在中，， ． ∵， ∴， 即， 解得； 在中，， 即， ∴． 综上所述， 的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江第一中学2025-2026学年度下学期第二次模拟考试 初三年级（数学）试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数字中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 了解神舟飞船发射前零部件的情况 B. 了解某班级学生的月考数学成绩 C. 订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 D. 了解生产的一批鞭炮的质量 4. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的部分图象如图，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③ ；④当时， 的值随 值的增大而增大；⑤当函数值时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：________． 8. 在平面直角坐标系中，若点与点关于 轴对称，则______． 9. 如图， 、分别是的中线和角平分线．若，，则 的度数是______． 10. 若方程的两个根是 和 ，则的值为______． 11. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______． 12. 如图，是等边三角形，边长为10，点D在 延长线上，且 ，动点E从点A出发，沿着射线运动，连接 ，将线段 绕点D逆时针旋转60°得到线段 ，连接 ．当时，则线段 的长为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1）计算：． （2）化简：． 14. 如图，在菱形 中， 于点E，于点F．求证： ． 15. 图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过，， 三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的圆上找一点 ，使得平分； （2）在图②中的圆上找一点，使得平分． 16. 云南九大高原湖泊是我国唯一不冰冻的湖区，是不可多得的“高原明珠”，被当地人亲切地称为“海子”，这些湖泊具有调节区域气候、维持区域生态系统平衡和生物多样性等重要功能．今年五一，小昆计划从九大湖泊中的异龙湖、泸沽湖、杞麓湖三个景点随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；小明准备从异龙湖、泸沽湖两个景点中随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；将异龙湖记为，泸沽湖记为，杞麓湖记为 ． （1）小明选择游玩杞麓湖属于______（填序号）． ①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件 （2）求小昆，小明两人选择游玩的景点互不相同的概率 ． 17. 如图，是的内接三角形，，，点D在的延长线上， 交于点E，交 于点F， ，连接． （1）求证： 是的切线； （2）求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与 轴， 轴分别交于点 ，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积． 19. 如图是一辆自卸式货车的主视示意图，矩形货厢 的长 ．卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转，货厢底部A，B两点在垂直方向上的距离与水平距离之比记作i，A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为 ．货厢对角线的交点G可视为货厢的重心，测得 ．假设该车在平地上进行卸货作业（即为水平线）． （1）求货厢对角线的长； （2）卸货时发现，当 两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若 ，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据： ， ， ， ，结果精确到 ） 20. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为践行“健康第一”教育理念，细化落实近视防控要求，某校积极开展第12个全国近视防控宣传教育月活动．为了解全校3600名学生“科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况，学校医务处随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况调查问卷 亲爱的同学： 您好！为进一步增强爱眼护眼意识，诚邀您参加本次匿名调查． 1．您在日常生活中践行了哪些“科学用眼•健康护眼”好习惯（ ）（可多选） A．每天户外活动2小时 B．保持“一尺一拳一寸”读写姿势 C．遵守“ ”护眼法则 D．每天睡眠不少于9小时 E．严控电子产品使用时间 F．定期进行视力检查 2．您平均每天使用电子产品的时间大约是（ ）（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．小时 B． 小时 C． 小时 D．3小时及以上 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的总人数为______人， 的值为______，的值为______． （2）估计该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“ 小时”的人数． （3）除上述调查问卷中提到的六个“科学用眼•健康护眼”好习惯，请你给全校学生再提出一个“科学用眼•健康护眼”好习惯． 22. 定义：对于平面直角坐标系中的点和点 ，若将点 绕点顺时针旋转后得到对应点 ，则称对应点 为点 关于旋转的“正旋点”，特别的，当 时，点 为点 关于点的“正垂旋点”． （1）已知点的坐标为，若点 的坐标为，点 关于点的正垂旋点坐标是_________；点 关于点旋转的正旋点坐标是_________； （2）直线的图象与 轴交于点，与 轴交于点． ①如图1，点 是该直线上一动点，若点 关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点 的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点 关于点的“正垂旋点”为点 ，反比例函数的图象恰好经过点 ，请你求出此时点 的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线 的图象上存在一点 ，连接 ，当 时，请你判断点是否为点 关于点旋转 的“正旋点”，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形 中，，，点 是 边上的一动点，连接 ，以 为直角边在其右侧作，使，其中与 交于点 ，与 交于点 ，连接． 【猜想证明】 （1）判断与 的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 （2）当 时，求线段 的长； （3）当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $