江西省九江第一中学2025-2026学年度下学期第二次模拟考试九年级（数学）试卷

江西省九江第一中学2025-2026学年度下学期第二次模拟考试 初三年级（数学）试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数字中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是 （ ） A. 了解神舟飞船发射前零部件的情况 B. 了解某班级学生的月考数学成绩 C. 订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 D. 了解生产的一批鞭炮的质量 4. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的部分图象如图，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的值随值的增大而增大；⑤当函数值时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：________． 8. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则______． 9. 如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 10. 若方程的两个根是和，则的值为______． 11. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______． 12. 如图，是等边三角形，边长为10，点D在延长线上，且，动点E从点A出发，沿着射线运动，连接，将线段绕点D逆时针旋转60°得到线段，连接．当时，则线段的长为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1）计算：． （2）化简：． 14. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过，，三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的圆上找一点，使得平分； （2）在图②中的圆上找一点，使得平分． 16. 云南九大高原湖泊是我国唯一不冰冻的湖区，是不可多得的“高原明珠”，被当地人亲切地称为“海子”，这些湖泊具有调节区域气候、维持区域生态系统平衡和生物多样性等重要功能．今年五一，小昆计划从九大湖泊中的异龙湖、泸沽湖、杞麓湖三个景点随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；小明准备从异龙湖、泸沽湖两个景点中随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；将异龙湖记为，泸沽湖记为，杞麓湖记为． （1）小明选择游玩杞麓湖属于______（填序号）． ①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件 （2）求小昆，小明两人选择游玩的景点互不相同的概率． 17. 如图，是的内接三角形，，，点D在的延长线上，交于点E，交于点F，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积． 19. 如图是一辆自卸式货车的主视示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转，货厢底部A，B两点在垂直方向上的距离与水平距离之比记作i，A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G可视为货厢的重心，测得．假设该车在平地上进行卸货作业（即为水平线）． （1）求货厢对角线的长； （2）卸货时发现，当两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：，，，，结果精确到） 20. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为践行“健康第一”教育理念，细化落实近视防控要求，某校积极开展第12个全国近视防控宣传教育月活动．为了解全校3600名学生“科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况，学校医务处随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况调查问卷 亲爱的同学： 您好！为进一步增强爱眼护眼意识，诚邀您参加本次匿名调查． 1．您在日常生活中践行了哪些“科学用眼•健康护眼”好习惯（ ）（可多选） A．每天户外活动2小时 B．保持“一尺一拳一寸”读写姿势 C．遵守“”护眼法则 D．每天睡眠不少于9小时 E．严控电子产品使用时间 F．定期进行视力检查 2．您平均每天使用电子产品的时间大约是（ ）（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．小时 B．小时 C．小时 D．3小时及以上 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的总人数为______人，的值为______，的值为______． （2）估计该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“小时”的人数． （3）除上述调查问卷中提到的六个“科学用眼•健康护眼”好习惯，请你给全校学生再提出一个“科学用眼•健康护眼”好习惯． 22. 定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”． （1）已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________； （2）直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接，以为直角边在其右侧作，使，其中与交于点，与交于点，连接． 【猜想证明】 （1）判断与的位置关系，并加以证明； 【深入探究】 （2）当时，求线段的长； （3）当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 江西省九江第一中学2025-2026学年度下学期第二次模拟考试 初三年级（数学）试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 ##度 【10题答案】 【答案】2025 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】7或3 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 【13题答案】 【答案】（1） （2） 【14题答案】 【答案】见解析 【15题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【16题答案】 【答案】（1）③ （2） 【17题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 【18题答案】 【答案】（1）；； （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）不会发生上述事故，理由见解析． 【20题答案】 【答案】（1）每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 （2）购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 【21题答案】 【答案】（1），， （2）估计该校对应人数为人 （3）见详解 【22题答案】 【答案】（1）， （2）①；②的坐标为或；③点不是点关于点的的“正旋点”，理由见解析 六、解答题（本大题共12分） 【23题答案】 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $