第10讲 因式分解（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 因式分解（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】因式分解 因式分解：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作 因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。 说明： 【知识点02】因式分解和整式的乘法的关系 辨析：因式分解与整式乘法的区别 因式分解 整式乘法 （1） 由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式（和差化积）。 （2）一种恒等变形。 （1）由整式的积的形式转化成和差形式（多项式）（积化和差）。 （2）一种乘法运算。 【知识点03】公因式 1.公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫作这个多项式各项的公因式。如m是多项式ma+mb 各项的公因式。 2.确定公因式的方法： 公因式是各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 示例 确定公因式 【知识点04】提取公因式法分解因式 1.提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法，叫作提取公因式法。（提取公因式法的依据是乘法分配律） 2.提取公因式法的一般步骤： 注意：提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。 【知识点05】添括号法则 括号前的符号 变号情况 括号前面是“+ ”号 括到括号里的各项都不变号 括号前面是“-”号 括到括号里的各项都变号 【知识点06】用平方差公式分解因式 公式 𝑎²−𝑏²=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) 。 语言叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 能用平方差公式分解因式的多项式的特征 （1）只有两项（或两个整体）； （2）两项都能用完全平方表示，即字母的指数是偶数，系数是完全平方数； （3）两项符号相反（一项为正，一项为负）。 注意：公式中的a，b 可以是单项式，也可以是多项式。 示例1 用平方差公式分解因式 指的是𝑎,𝑏  =(4𝑥)²（𝑎²）−3²（𝑏²） =(4𝑥+3)(4𝑥−3) 。 【知识点07】用完全平方公式分解因式 1.完全平方式：我们把多项式a²+2ab+b²及a²−2ab+b² 叫作完全平方式。 简记为： ①首²+2×首×尾+尾²; ②首²−2×首×尾+尾² 2. 公式 𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²=(𝑎+𝑏)² ； 𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²=(𝑎−𝑏)² 。 语言叙述 两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。 能用完全平方公式分解因式的多项式的特征 符合完全平方式，即（1）多项式是三项； （2）要有两个符号相同的平方项和一个交叉项； （3）交叉项要等于两个平方项底数的积的2倍。 示例2 用完全平方公式分解因式 3.公式法：一般地，利用公式a²−b²=(a−b)(a+b) ，或a²±2ab+b²=(a±b)² 把一个多项式分解因式的方法，叫作公 式法。公式中的a,b 可以是数，也可以是整式。 【题型一】判断是否是因式分解 例1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，且变形后左右两边相等，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、从左到右是整式乘法，是将乘积化为多项式，故不属于因式分解； B、等式右边不是几个整式乘积的形式，故不属于因式分解； C、等式右边的是分式，不是整式，不符合因式分解定义中分解为整式乘积的形式，故不属于因式分解； D、符合因式分解的所有要求，属于因式分解； 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键． 根据因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，即可求解． 【详解】解：A． ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B． ，是因式分解，符合题意， C． ，等式的右边不是整式的乘积形式，故该选项不符合题意；     D． ， 等式的右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：B． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由． (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1)是整式的乘法，不是因式分解 (2)一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解 (3)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解 (4)等式的左边不是多项式，不是因式分解 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此即可作答； （2）根据因式分解的定义判断即可得答案； （3）根据因式分解的定义判断即可得答案； （4）根据因式分解的定义判断即可得答案． 【详解】（1）是整式的乘法，故（1）不是因式分解； （2），一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）是因式分解； （3），没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）不是因式分解； （4），等式的左边不是多项式，故（4）不是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 例2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 【答案】C 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解．将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，求出参数的值即可． 【详解】解：， ∵多项式因式分解后的结果是， ∴，， ∴， 故选：C． 例3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式有一个因式为，则的值为__________． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出a和b的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∵， ∴， ， 解得：． 故答案为：3 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解．设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应求解即可． 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∴， ∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是， ∴， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选：D 变式2．完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 【题型三】公因式 例4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【详解】解：多项式为 ，其两项分别为 和， 的系数为1， 的系数为，故公因式的系数部分为1； 含字母的2次幂， 含字母的1次幂，取公共字母的最低次幂为1，即 ， ∴多项式中各项的公因式是， 故选：C． 变式1．单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可． 【详解】解：单项式与的公因式是． 故选：C． 变式2．（23-24七年级下·浙江绍兴·月考）把多项式因式分解时，应提取的公因式是_______． 【答案】/ 【知识点】公因式 【分析】本题考查公因式的确定方法，根据公因式确定的方法：“①系数：取各项系数的最大公约数；②字母：取各项都含有的相同的字母；③指数：取各项相同字母的最低次幂”进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型四】提公因式法分解因式 例5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法是关键． 通过提取公因式将原式分解因式，再对比系数确定参数值即可得． 【详解】解： 由题意可得，， ∴，. ∴． 故选：B． 例6．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）因式分解：______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】通过变号将多项式转化为具备公因式的形式，再利用提取公因式法进行分解． 【详解】解： ． 变式1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．24 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了求整式的值，先进行因式分解化为，代入计算即可求解；掌握因式分解及整体代入法是解题的关键． 【详解】解：原式， 当，时， 原式 ； 故答案：D． 变式2．（2025七年级下·浙江·专题练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）用提取公因式法分解即可； （2）用提取公因式法分解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【题型五】添括号 例7．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）下列多项式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添括号 【分析】提取负号添括号时，每一项都需要变号． 【详解】解：A：，A选项正确； B：，B选项错误； C：，C选项错误； D：，D选项错误． 故选A 【点睛】本题考查添括号．括号前面是负号，则括号里面每一项都需要变号．这是解决本题的关键． 例8．（22-23七年级下·浙江衢州·期中）添括号：（___________）． 【答案】． 【知识点】添括号 【分析】本题主要考查添括号，根据添括号的方法直接进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 变式1．（22-23七年级下·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、添括号 【分析】把化为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选A 【点睛】本题考查的是已知式子的值求解代数式的值，添括号的应用，熟练的利用整体代入求解代数式的值是解本题的关键． 变式2．阅读理解：已知，求代数式的值． 解：因为，所以原式． 仿照以上解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、添括号 【分析】（1）仿照例题，可得，将，整体代入求解即可； （2）仿照例题，可得，将，，，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以原式 ． （2）解：因为，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键． 【题型六】判断能否用公式法分解因式 例9．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】根据完全平方式的结构逐项分析判断即可 【详解】解：A. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，能用完全平方公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方式的结构熟练掌握是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·浙江丽水·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 【详解】解：A．不能使用平方差公式分解因式，不符合题意； B．不能使用平方差公式分解因式，不符合题意； C． 不能使用平方差公式分解因式，不符合题意； D．能使用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平方差公式分解因式，关键是正确把握平方差公式的特点：． 变式2．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 【题型七】平方差公式分解因式 例10．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【详解】解：设所求代数式为， 由题意得，， ∵， ∴， ， ∴与的乘积等于的代数式是． 例11．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则___________． 【答案】200 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用图形面积可得，再利用平方差公式可得答案； 【详解】解：由题意得，， ∴． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）因式分解：，则代数式等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查用平方差公式因式分解．先将用平方差公式因式分解得，再结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、提公因式法分解因式 【分析】本题考查分解因式，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）利用提公因式法，求解即可； （2）利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型八】完全平方公式分解因式 例12．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）下列选项中的式子，不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可得到答案． 【详解】解：∵不具有两个平方和项， ∴A选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意； ∵， ∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵， ∴C选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵， ∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：A． 例13．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式_____________ 【答案】（答案不唯一） 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了利用公式法分解因式．运用公式法进行分解，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】分式的求值、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 【题型九】综合运用公式法分解因式 例14．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∴ 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键． 变式1．在实数范围内将分解因式可得______． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了公式法分解因式：综合运用公式法分解因式，把一个多项式通过因式分解法为几个整式乘积的形式，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意， 故答案为： 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可； （2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十】综合提公因式和公式法分解因式 例15．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提取公因式3，然后对括号内的表达式应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故选：A． 例16．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（2024七年级下·浙江·专题练习）下列各式中，不能分解因式的有（   ） ①；②； ③；④；  ⑤；⑥． A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是因式分解的意义，解答此题的关键是熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 根据因式分解的意义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①，故本小题不符合题意； ②，故本小题不符合题意； ③不能分解因式，故本小题符合题意； ④，故本小题不符合题意； ⑤，故本小题不符合题意； ⑥，故本小题不符合题意． 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）因式分解：___________ 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·浙江温州·月考）材料：多项式：因式分解后的结果是，当取时，各个因式的值是，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码． 任务一： （1）分解因式： 任务二： （2）当取时，请确定产生的六位数密码？ 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）代入到（1）中的各个因式，即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2）当取时， ， ， ， 所以这六位数密码为101525． 一、单选题 1．下列可以用完全平方公式因式分解的是（    ） A．4a2﹣4a﹣1 B．4a2＋2a＋1 C．1﹣4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1 【答案】C 【分析】对于前三项，根据完全平方公式的特点可知4a2和1是平方项，中间项是±4a，即可判断；最后一项2a2和1是平方项，不能因式分解判断即可． 【详解】解：A．4a2﹣4a﹣1不能用完全平方公式分解因式，故错误； B．4a2+2a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误； C．1﹣4a+4a2＝(1﹣2a)2，能用完全平方公式分解因式，故正确； D．2a2+4a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的概念，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．等式从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．，等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 3．已知，则代数式应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据平方差公式把原式变形为，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 4．如果，那么的值为（   ） A．16 B．64 C．32 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选B． 5．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查多项式的公因式判断，通过因式分解检查各组是否有公因式即可． 【详解】解：A：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； B：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； C：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； D：∵，，且与无公因式， ∴没有公因式，故此选项符合题意． 故选：D． 6．已知，则的值是（    ）． A． B．12 C． D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知等式求代数式的值，正确对已知等式和代数式进行变形是解题的关键． 由可得；由可得，然后将整体代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 7．小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解方法，先把多项式因式分解，再根据密码信息确定即可． 【详解】解：， ， ， 分别对应汉字我、爱、新、余， 呈现的密码信息可能是我爱新余， 故选：C． 8．若a，b，c为实数，则方程组解的情况为（        ） A．恰有1组解 B．恰有2组解 C．有无数组解 D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查的是方程组的解法，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，分两种情况讨论：当时，方程有1组解；当时，方程化为，再把三个方程相加，结合完全平方公式进一步解答即可． 【详解】解：当时，方程有1组解； 当时， ∵，则， ∴， ∴三个方程相加：， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； 综上：方程有2组解； 故选：B． 二、填空题 9．多项式的公因式是______． 【答案】 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，的公因式为， 故答案为：． 10．分解因式：______． 【答案】 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11．已知，则____． 【答案】33 【分析】由得出，再把变形为即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：33． 【点睛】本题主要考查代数式求值问题，关键是要能把变形为的形式． 12．若实数，，，满足，，则___． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 把和合并，利用完全平方公式化简后求解即可． 【详解】解：∵， ∴可得：， 整理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是完全平方公式和平方差公式，根据完全平方公式进行计算，然后再用平方差公式进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．因式分解：=_______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式 ．　 【详解】解：原式= =． 故答案为： ． 【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键． 15．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 三、解答题 16．分解因式：． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 17．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，利用完全平方公式和提公因式法分解因式是解题的关键． （1）利用提取公因式法分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可； （2）先提取公因式，利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 19．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用． （1）利用提公因式法进行分解，即可解答； （2）利用平方差公式分解即可解答； （3）原式先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （4）原式先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】（1） ； （2） ； （3） （4） 20．已知整数，，，．满足，． (1)求证：为正数； (2)若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)不可以，理由见详解 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由，，，为整数，为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵，则 ∴为正数． （2）不可以，理由如下： ∵，，，为整数，为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴，同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， 若为奇数，则为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数与为偶数矛盾， ∴不可以为奇数． 21．阅读下列材料，并解答相应问题： 对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，例如：___________． (1)用平方差公式补全上面算式最后一步． (2)用上述方法把分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据平方差公式法因式分解即可进行求解即可； （2）根据配方法因式分解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题考查因式分解．理解并掌握题干中给出的因式分解的方法，是解题的关键． 22．现有甲、乙、丙三种卡片，如图所示．某同学从中取出若干张卡片，拼成如图和图的图形，如图所示． (1)若图的面积为，图的面积为，求和；（用代数式表示） (2)已知卡片乙的周长为，若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的面积公式，用含，的代数式分别表示出和即可； （2）根据卡片乙的周长为得出，再根据，进行整式的加减运算，再因式分解，结合整体思想进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ； （2）解：卡片乙的周长为， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ． 23．（1）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其它方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： 上述解题运用了转化的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】请说明无论x取何值，多项式的值小于． 【答案】（1），过程见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为，即可进行解答． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ， ∵， ∴， 故无论x取何值，多项式 的值小于． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 因式分解（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】因式分解 因式分解：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作 因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式。 说明： 【知识点02】因式分解和整式的乘法的关系 辨析：因式分解与整式乘法的区别 因式分解 整式乘法 （1） 由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式（和差化积）。 （2）一种恒等变形。 （1）由整式的积的形式转化成和差形式（多项式）（积化和差）。 （2）一种乘法运算。 【知识点03】公因式 1.公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫作这个多项式各项的公因式。如m是多项式ma+mb 各项的公因式。 2.确定公因式的方法： 公因式是各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 示例 确定公因式 【知识点04】提取公因式法分解因式 1.提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法，叫作提取公因式法。（提取公因式法的依据是乘法分配律） 2.提取公因式法的一般步骤： 注意：提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。 【知识点05】添括号法则 括号前的符号 变号情况 括号前面是“+ ”号 括到括号里的各项都不变号 括号前面是“-”号 括到括号里的各项都变号 【知识点06】用平方差公式分解因式 公式 𝑎²−𝑏²=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) 。 语言叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 能用平方差公式分解因式的多项式的特征 （1）只有两项（或两个整体）； （2）两项都能用完全平方表示，即字母的指数是偶数，系数是完全平方数； （3）两项符号相反（一项为正，一项为负）。 注意：公式中的a，b 可以是单项式，也可以是多项式。 示例1 用平方差公式分解因式 指的是𝑎,𝑏  =(4𝑥)²（𝑎²）−3²（𝑏²） =(4𝑥+3)(4𝑥−3) 。 【知识点07】用完全平方公式分解因式 1.完全平方式：我们把多项式a²+2ab+b²及a²−2ab+b² 叫作完全平方式。 简记为： ①首²+2×首×尾+尾²; ②首²−2×首×尾+尾² 2. 公式 𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²=(𝑎+𝑏)² ； 𝑎²−2𝑎𝑏+𝑏²=(𝑎−𝑏)² 。 语言叙述 两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。 能用完全平方公式分解因式的多项式的特征 符合完全平方式，即（1）多项式是三项； （2）要有两个符号相同的平方项和一个交叉项； （3）交叉项要等于两个平方项底数的积的2倍。 示例2 用完全平方公式分解因式 3.公式法：一般地，利用公式a²−b²=(a−b)(a+b) ，或a²±2ab+b²=(a±b)² 把一个多项式分解因式的方法，叫作公 式法。公式中的a,b 可以是数，也可以是整式。 【题型一】判断是否是因式分解 例1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由． (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 例2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 例3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式有一个因式为，则的值为__________． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 变式2．完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【题型三】公因式 例4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 变式1．单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级下·浙江绍兴·月考）把多项式因式分解时，应提取的公因式是_______． 【题型四】提公因式法分解因式 例5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 例6．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）因式分解：______． 变式1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．24 变式2．（2025七年级下·浙江·专题练习）因式分解： (1)； (2)． 【题型五】添括号 例7．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）下列多项式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 例8．（22-23七年级下·浙江衢州·期中）添括号：（___________）． 变式1．（22-23七年级下·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 变式2．阅读理解：已知，求代数式的值． 解：因为，所以原式． 仿照以上解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【题型六】判断能否用公式法分解因式 例9．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·浙江丽水·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 变式2．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型七】平方差公式分解因式 例10．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 例11．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则___________． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）因式分解：，则代数式等于（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）分解因式： (1)； (2) 【题型八】完全平方公式分解因式 例12．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）下列选项中的式子，不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 例13．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式_____________ 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【题型九】综合运用公式法分解因式 例14．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式1．在实数范围内将分解因式可得______． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【题型十】综合提公因式和公式法分解因式 例15．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 例16．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）因式分解： (1)； (2)． 变式1．（2024七年级下·浙江·专题练习）下列各式中，不能分解因式的有（   ） ①；②； ③；④；  ⑤；⑥． A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）因式分解：___________ 变式3．（24-25七年级下·浙江温州·月考）材料：多项式：因式分解后的结果是，当取时，各个因式的值是，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码． 任务一： （1）分解因式： 任务二： （2）当取时，请确定产生的六位数密码？ 一、单选题 1．下列可以用完全平方公式因式分解的是（    ） A．4a2﹣4a﹣1 B．4a2＋2a＋1 C．1﹣4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则代数式应为（    ） A． B． C． D． 4．如果，那么的值为（   ） A．16 B．64 C．32 D．8 5．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 6．已知，则的值是（    ）． A． B．12 C． D．7 7．小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学 8．若a，b，c为实数，则方程组解的情况为（        ） A．恰有1组解 B．恰有2组解 C．有无数组解 D．无实数解 二、填空题 9．多项式的公因式是______． 10．分解因式：______． 11．已知，则____． 12．若实数，，，满足，，则___． 13．因式分解：______． 14．因式分解：=_______． 15．分解因式：______． 三、解答题 16．分解因式：． 17．因式分解： (1) (2) 18．分解因式： (1)； (2)． 19．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．已知整数，，，．满足，． (1)求证：为正数； (2)若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 21．阅读下列材料，并解答相应问题： 对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，例如：___________． (1)用平方差公式补全上面算式最后一步． (2)用上述方法把分解因式． 22．现有甲、乙、丙三种卡片，如图所示．某同学从中取出若干张卡片，拼成如图和图的图形，如图所示． (1)若图的面积为，图的面积为，求和；（用代数式表示） (2)已知卡片乙的周长为，若，求的值． 23．（1）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其它方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： 上述解题运用了转化的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】请说明无论x取何值，多项式的值小于． 1 学科网（北京）股份有限公司 $