第18章 等腰三角形 章节（7知识详解+16典例分析） 2025-2026学年（沪教版五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第18章 等腰三角形 章节（7知识详解+16典例分析） 【知识点01】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【知识点02】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【知识点03】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【知识点04】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【知识点05】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【知识点06】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【知识点07】线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【题型一】等腰三角形的定义 1．（25-26七年级下·上海金山·期末）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（    ） A．两角对应相等 B．两腰对应相等 C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等腰三角形的定义 【分析】依据全等三角形的判定定理回答即可，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 【详解】解：A、两角对应相等，没有边的参与，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误，不符合题意； B、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误； C、一边一角对应相等，此条件未明确边角关系而不能保证全等。例如，若一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形的底边对应相等，顶角与另一个的底角对应相等，则无法判定两个等腰三角形全等，故本选项错误； D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用可以证得两个等腰三角形全等，故本选项正确． 2．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知是等腰三角形，，则边_________． 【答案】8 【知识点】等腰三角形的定义、构成三角形的条件 【分析】本题根据等腰三角形的定义分类讨论的可能取值，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合条件的结果即可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形，分两种情况讨论： ① 当时，三角形三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去； ② 当时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 故． 3．（25-26七年级下·上海宝山·月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【答案】，三边长为：7，7，4 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．分三种情况讨论． 【详解】解：∵等腰三角形边长分别为7、、， ∴①当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时能组成三角形； ②当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当时，解得：， 等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； 综上所述，，三角形三边长为7，7，4． 【题型二】等边对等角 4．（25-26七年级下·上海·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 【答案】 或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】需要对等腰三角形分类讨论，分为锐角等腰三角形与钝角等腰三角形两种情况，结合图形即可求解． 【详解】解: ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形外部， 此时， ∴， 所以它的顶角为或． 5．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将绕点A逆时针旋转至使．如果，那么旋转角___________度 【答案】40 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质与等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等． 根据旋转的性质可得出，然后根据，，可得出的度数，进而根据等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即旋转角度为， ∴， 故答案为40． 6．如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点．试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三线合一、根据平行线判定与性质证明、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形及其性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； （1）根据边相等得出角相等，根据垂直得到角度，则可求得的度数； （2）由（1）得角相等，再根据平行进而推出角相等． 【详解】（1）解：∵，， ，． 又∵， ． （2）解：由（1），得． ， ∴， ∴． 【题型三】三线合一 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【知识点】三线合一 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 8．（2023七年级下·上海青浦·期末）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（    ） A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高 C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分线 【答案】D 【知识点】三线合一 【分析】根据在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合对各选项进行判断即可． 【详解】解：等腰三角形中三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质．解题的关键在于熟练掌握三线合一中的三线分别指顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线． 9．（22-23七年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，于D，的周长为，那么______．    【答案】3 【知识点】三线合一 【分析】由已知可求得等腰三角形的底边长，等腰三角形的性质可得，即可求得结果． 【详解】解：∵，的周长为， ∴， 即； ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键． 【题型四】大（小）边对大（小）角定理 10．（2024七年级下·上海宝山·月考）等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 【答案】8，8 【知识点】大（小）边对大（小）角定理、三角形三边关系的应用、构成三角形的条件 【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x， 则有x+4×2=20， 解得：x=12， 此时，三角形的三边长为4，4，12， ∵4+4＜12， ∴不可以组成三角形； 若等腰三角形的底边为4，设腰长为x， 则有2x+4=20， 解得：x=8， ∵4+8＞8， ∴可以组成三角形； ∴三角形的另两边的长分别为8，8． 故答案为：8，8． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键． 11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【知识点】大（小）边对大（小）角定理、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 12．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【知识点】不等式的性质、大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 【题型五】根据等角对等边证明等腰三角形 13．（24-25七年级下·上海·月考）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 14．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边证明等腰三角形、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 【答案】等边对等角，等角对等边，全等三角形的对应角相等，等腰三角形三线合一 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边对等角、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：， （等边对等角）， ， ． 即． （等角对等边）， 在和中， ∵， （SSS）． （全等三角形的对应角相等）， ， （等腰三角形三线合一）． 【题型六】根据等角对等边证明 16．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和． 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，，故①正确； 与不一定相等，故②错误； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ， ，故③正确； 的周长为： ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 【答案】3 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴、为等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形共3个． 故答案为：3． 18．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；； 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明得到，同理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：平分， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （等角对等边）． 同理可得． 周长 ． 19．（23-24七年级下·上海宝山·期中）已知，，CE平分∠BCD． (1)求证：判断△DEC的形状，并证明； (2)求证：∠AEC＞∠ABC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等 【分析】（1）根据平行线的性质可知∠DEC=∠ECB，根据角平分线的定义可知∠ECB=∠DCE，等量代换即可得到∠DEC=∠DCE，最后根据等角对等边即可得出结论； （2）根据两直线平行，同旁内角互补，可得：∠AEC+∠ECB=180°，∠ABC+∠DCB=180°，比较∠ECB和∠DCB的度数即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠DEC=∠ECB， ∵CE平分∠BCD， ∴∠ECB=∠DCE， ∴∠DEC=∠DCE， ∴△DEC是等腰三角形． （2）∵， ∴∠AEC+∠ECB=180°， ∵， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∵CE平分∠BCD， ∴∠ECB<∠DCB， ∴∠AEC＞∠ABC． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【题型七】根据等角对等边求边长 20．（23-24七年级下·上海·月考）如图，小明家位于学校P的南偏东方向的M处，小明从家向正北方向走500米后到达位于学校的北偏东的图书馆N处，则图书馆N处与学校P的距离为________米． 【答案】500 【知识点】根据等角对等边求边长、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理．根据方向角的定义即可求得，则在中利用内角和定理求得的度数，证明三角形是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得，米， ∴，， ∴， ∴， ∴米， ∴图书馆N处与学校P的距离为500米． 故答案为：500． 21．（24-25七年级·上海普陀·月考）如图，为的角平分线，交于E，若，则_______． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、根据等角对等边求边长 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型八】等腰三角形的性质和判定 22．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，已知，的平分线交于点E，，点D在上，那么图中等腰三角形的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】根据，可得是等腰三角形，，再由，可得，即是等腰三角形，最后根据平分，，可得是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中有3个等腰三角形． 23．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为______． 【答案】10 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到，是解题的关键．由，分别是的和的平分线和，可推出，，根据的周长即为的长度，即可求解． 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 的周长， 故答案为： 24．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，D是上一点，且，过B作，分别交于点E，交于点F，如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】，证明见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】由与得和可得，由得，过D作于G，根据已知条件可证明．再证明，即可得解． 【详解】解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 过D作于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型九】等边三角形的性质 25．（25-26七年级下·上海静安·月考）一个等边三角形的周长为12，则这个等边三角形的边长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 等边三角形的三条边相等，周长是三条边的总和，因此边长可通过周长除以3得到． 【详解】解：∵等边三角形的周长边长， ∴边长=周长． 故选：C． 26．（24-25七年级下·上海虹口·期末）若线段是等边的中线，则的度数是________． 【答案】/30度 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据是等边三角形，得，再结合三线合一的性质得，即可作答． 【详解】解：∴是等边三角形， ∴， ∵线段是等边的中线， ∴， 故答案为：． 27．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为 ___________． 【答案】96 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题通过求解三角形的周长，考查了等边三角形的性质．利用等边三角形的性质和几何关系，证得为的中点，为的中点，，从而求得各等边三角形的边长，进而求得△周长． 【详解】解：，， ， ， ． 为的中点． 同理可证，为的中点，为的中点， ，，， ， 的周长为． 故答案为：96． 28．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【知识点】等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 【题型十】等边三角形的判定 29．（23-24七年级下·上海普陀·期末）下列条件中，不能判断是等边三角形的是（    ）． A．， B．， C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定 【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可． 【详解】解：A选项：∵AB=AC．∠B=60°． ∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意； B选项：∵∠B=∠A，∴AC=BC， ∵AB=AC，∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意； C选项：∵∠A=∠B=60°，∠C=180°−∠A−∠B=60°， ∴∠A=∠B=∠C，∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形，故C选项不符合题意； D选项：∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=60°，不能判断△ABC是等边三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 30．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】三线合一、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 31．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析 (2)的度数为或． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【题型十一】等边三角形的判定和性质 32．（22-23七年级上·上海闵行·月考）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到．再将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与点C重合，点的对应点是点，若，那么的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查平移，旋转，以及等边三角形的判定和性质．熟练掌握平移和旋转的性质：对应边和对应角相等，是解题的关键．根据平移和旋转的性质，对应边和对应角相等，得到，为等边三角形，进而得到，利用平角的定义，即可求出的度数． 【详解】解：将沿射线的方向平移，得到， ∴， 将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与点C重合，点的对应点是点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选：B． 33．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 【答案】 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了等腰三角形的性质． 连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 34．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段，利用直尺和圆规按以下要求作图：分别以点A、B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在的上方相交于点C，连接、．求证：的三条边都相等（要求保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】作图与证明见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握作一条线段等于已知线段，根据作图证明，是正确解答此题的关键． 按题设作法逐步作图，根据作图即得． 【详解】解：由作图知，， ∴． 【题型十二】线段垂直平分线的性质 35．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键．根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 36．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后等量代换得到的周长为，进而可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为：， 的周长为：． 37．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、作垂线(尺规作图)、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，则，再由平行线的性质即可得到答案； （2）作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； （3）过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E，则，可证明，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得，则，则， 再由可得； （3）解：如图所示，过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型十三】线段垂直平分线的判定 38．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论． 【详解】解：连接，． 由作图可知，， 垂直平分线段， ， ． 故选：C． 39．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__． 【答案】12 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】根据AB＝AC，OB＝OC，可知直线AO是线段BC的垂直平分线，由AO与BC交于点D，BD＝6，从而可以得到BC的长，本题得以解决． 【详解】解：∵AB＝AC，OB＝OC， ∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AO是线段BC的垂直平分线， ∵AO与BC交于点D， ∴BD＝CD， ∵BD＝6， ∴BC＝2BD＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 40．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边对等角、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明D在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 【题型十四】作已知线段的垂直平分线 41．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 42．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 【答案】线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． 43．（23-24七年级下·上海·期末）已知直角，． (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F． (2)连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质，直角三角形性质，等腰三角形的判断和性质，是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F，点E、F即为所求作； （2）根据线段垂直平分线性质得到，得到，根据直角三角形性质得到，，得到，得到，即得是等腰三角形． 【详解】（1）分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点， 作直线，分别交线段、与点E、F， E、F 即为所求作； （2）是等腰三角形，理由： 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【题型十五】尺规作图 44．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F． (2)过点M画出直线的平行线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （2）按照作一个角等于已知角的尺规作图法，过M点作，则直线平行于直线． 本题考查了基本的尺规作图，过直线外一点作已知直线的垂线和做一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 45．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、作等腰三角形(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，即可得出结果． 【详解】解：作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，则即为所求 46．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知和线段a． (1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、尺规作图——作三角形 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，尺规作线段等于已知线段，尺规作线段的垂直平分线， 对于（1），作射线，以点F为圆心，为半径画弧，再以点A为圆心，为半径画弧，再以点G为圆心，为半径画弧，两弧交于点H，作射线，然后在射线上截取，同理作，交于点C，可知即为所求作的三角形； 对于（2），以点A为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点I，J，再以点I，J为圆心，以为半径画弧，两弧交于点L，作射线，交的延长线于点D，则即为所求作． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示，即为所求作． 【题型十六】最短路径问题 47．（25-26七年级下·上海宝山·月考）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题、两点之间线段最短 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 48．（23-24七年级下·上海崇明·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是___________． 【答案】2 【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 49．（25-26七年级下·上海宝山·课后作业）如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小． (2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 【知识点】垂线段最短、两点之间线段最短、最短路径问题 【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接、交于，则为蓄水池位置； （2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直的线段． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，过点作，垂足为．沿线段开渠最短． 依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 【点睛】此题主要考查了线段的性质以及垂线段的性质，正确掌握相关线段的性质是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 等腰三角形 章节（7知识详解+16典例分析） 【知识点01】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【知识点02】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【知识点03】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【知识点04】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【知识点05】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【知识点06】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【知识点07】线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【题型一】等腰三角形的定义 1．（25-26七年级下·上海金山·期末）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（    ） A．两角对应相等 B．两腰对应相等 C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等 2．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知是等腰三角形，，则边_________． 3．（25-26七年级下·上海宝山·月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【题型二】等边对等角 4．（25-26七年级下·上海·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 5．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将绕点A逆时针旋转至使．如果，那么旋转角___________度 6．如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点．试说明：． 【题型三】三线合一 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 8．（2023七年级下·上海青浦·期末）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（    ） A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高 C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分线 9．（22-23七年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，于D，的周长为，那么______．    【题型四】大（小）边对大（小）角定理 10．（2024七年级下·上海宝山·月考）等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 12．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【题型五】根据等角对等边证明等腰三角形 13．（24-25七年级下·上海·月考）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 14．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 15．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 【题型六】根据等角对等边证明 16．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 17．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 18．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 19．（23-24七年级下·上海宝山·期中）已知，，CE平分∠BCD． (1)求证：判断△DEC的形状，并证明； (2)求证：∠AEC＞∠ABC． 【题型七】根据等角对等边求边长 20．（23-24七年级下·上海·月考）如图，小明家位于学校P的南偏东方向的M处，小明从家向正北方向走500米后到达位于学校的北偏东的图书馆N处，则图书馆N处与学校P的距离为________米． 21．（24-25七年级·上海普陀·月考）如图，为的角平分线，交于E，若，则_______． 【题型八】等腰三角形的性质和判定 22．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，已知，的平分线交于点E，，点D在上，那么图中等腰三角形的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 23．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为______． 24．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，D是上一点，且，过B作，分别交于点E，交于点F，如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【题型九】等边三角形的性质 25．（25-26七年级下·上海静安·月考）一个等边三角形的周长为12，则这个等边三角形的边长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 26．（24-25七年级下·上海虹口·期末）若线段是等边的中线，则的度数是________． 27．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为 ___________． 28．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【题型十】等边三角形的判定 29．（23-24七年级下·上海普陀·期末）下列条件中，不能判断是等边三角形的是（    ）． A．， B．， C． D． 30．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 31．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【题型十一】等边三角形的判定和性质 32．（22-23七年级上·上海闵行·月考）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到．再将绕点逆时针旋转一定角度后，恰使点与点C重合，点的对应点是点，若，那么的大小为（    ）． A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 34．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段，利用直尺和圆规按以下要求作图：分别以点A、B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在的上方相交于点C，连接、．求证：的三条边都相等（要求保留作图痕迹，不写作法）． 【题型十二】线段垂直平分线的性质 35．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 36．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 37．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 【题型十三】线段垂直平分线的判定 38．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 39．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__． 40．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【题型十四】作已知线段的垂直平分线 41．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 43．（23-24七年级下·上海·期末）已知直角，． (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F． (2)连接，判断的形状并说明理由． 【题型十五】尺规作图 44．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F． (2)过点M画出直线的平行线． 45．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 46．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，已知和线段a． (1)求作，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题所作的中，画出的边上的高． 【题型十六】最短路径问题 47．（25-26七年级下·上海宝山·月考）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 48．（23-24七年级下·上海崇明·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是___________． 49．（25-26七年级下·上海宝山·课后作业）如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小． (2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据． 1 学科网（北京）股份有限公司 $