第21讲 等腰三角形的判定（二类知识点+十一大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第21讲 等腰三角形的判定（十一大题型） 学习目标 1. 知道定理：等角对等边，并学会几何应用； 2. 掌握几何中的一题多解，辅助线的初步构造方法； 3．熟悉三角形中的大角对大边及有关证明. 知识点1 等角对等边 等腰三角形的两底角相等的逆命题也是一个真命题，可以作为等腰三角形的判定定理. 定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 简单地说：等角对等边. 定理证明 如图18 -2 -1 , 已知：在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC. 证明（法一） 如图 18-2-2 , 作上BAC的平分线AD，有∠1=∠2. 又由于∠B= ∠C，AD是公共边，由“角角边”，得△ABD≌△ACD，从而AB＝AC. 其他证明上述定理的方法： 法二：作底边的中线AD，由“边边边”可证 法三：作底边的高AD，由“角角边”可证 例题分析 例1 如图 18-2-4, 已知：在△ABC中，D是边BC的中点，∠1=∠2.求证：AB＝AC. 分析 在△ABD和△ACD 中，虽然有∠1=∠2, AD＝AD，BD＝CD这三个条件，但不能直接推出△ABD和△ACD全等. 证明（法一） 如图18-2-5,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.在△ABD和△ECD中， ∵ ∴ △ABD≌△ECD(SAS). ∴ AB=EC,∠1=∠E(全等三角形的对应边相等，对应角相等). 又∵∠1=∠2, ∴ ∠2=∠E. ∴ AC=EC(等角对等边). ∴ AB=AC. 法二：过点D分别作AB、AC的平行线，并分别交AB于点E、交AC于点F,可证 思维拓展法三：过点D分别作AB、AC的垂线，并分别交AB于点M、交AC于点N,借助*角平分线的性质、*HL可证 知识点2 大角对大边 例2如图18-2-6,已知：在△ABC中，∠C>∠B.求证：AB>AC. 证明 如图18-2-7,由∠ACB>∠B,在∠ACB内部作∠BCD=∠B,CD交AB于点D.根据“等角对等边”,有DB=DC. 在△ACD中，根据三角不等式，有AD+DC>AC,所以AB=AD+DB=AD+DC>AC. 上述结论可以简述为：在三角形中，大角对大边. 反证法证明例2如下： 证明：假设AB≤AC，①当AB=AC时，根据等边对等角，由∠B=∠C,与已知∠C>∠B矛盾，所以AB=AC不成立.②当AB＜AC时，根据三角形中，大边对大角，有∠C＜∠B与已知∠C>∠B矛盾，所以AB＜AC不成立。综上假设AB≤AC不成立，故AB>AC. 【即学即练1】在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=4：5：6 C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C =1：1：2 【即学即练3】如图，在中，，AD平分，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【即学即练4】已知：如图，在中，D，E分别是上的点，，．求证：是等腰三角形． 【即学即练5】如图，为的角平分线，交于E，若，则 ． 题型1:等腰三角形的判定 【典例1】．在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70° C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14 【变式1-2】．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是 三角形． 【变式1-3】．下列能判定△ABC为等腰三角形的是(         ) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．∠A＝2∠B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为13 题型2:添加一个条件成为等腰三角形 【典例2】．△ABC中，∠A=50°，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形． 【变式2-1】．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是 ． 题型3:等角对等边及其综合应用 【典例3】．在中，，，则 ． 【变式3-1】．在中，，如果，那么 【变式3-2】．如图，在中，，点都在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】．如图，已知，，不正确的等式是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-4】．在中，平分，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】．如图，在中，，点D是上一点，连接，，，则长是 ．    【变式3-6】．如图，在中，是的角平分线，，若，则的长为 ． 【变式3-7】．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E．若，则的周长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 题型4:根据等角对等边证明等腰三角形 【典例4】．如图，平分，且，求证：为等腰三角形．请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 证明：， （ ）① 平分 （ ）② （ ）③ 为等腰三角形． 【变式4-1】．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC交AB于E，交AC于F．求证：△EBO为等腰三角形； 【变式4-2】．如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 【变式4-3】．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF． 求证：（1）EF⊥AB； （2）△ACF为等腰三角形．        题型5:根据等角对等边解答证明 【典例5】．如图，在与中，，，，求证：． 【变式5-1】．如图，中，，，． (1)求的度数； (2)在图中找出另一条与相等的线段，并说明理由． 【变式5-2】．如图，在中，，点分别在边上，连结，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型6:求等腰三角形的个数 【典例6】．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 题型7:作图题 【典例7】．如图：在下列三角形中，AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】．如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式7-2】．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法， 认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（    ） ①已知等腰三角形的底边和底边上的高； ②已知等腰三角形的底边和腰； ③已知等腰三角形的底边和一底角． A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③① 【变式7-3】．在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 【变式7-4】．（1）已知：如图（甲），等腰三角形的一个内角为锐角，腰为a，求作这个等腰三角形； （2）在（1）中，把锐角变成钝角，其他条件不变，求作这个等腰三角形． 题型8:等腰三角形判定有关的动点问题 【典例8】．如图，在中，，点P以每秒速度从B处向A处运动，同时点2以每秒速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为 秒． 【变式8-1】．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（    ）秒 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 题型9:格点问题 【典例9】．如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 【变式9-1】．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式9-2】．在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-3】．如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 题型10:等腰三角形的判定与性质综合 【典例10】．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点E． (1)求证：是等腰三角形 (2)求证：． 【变式10-1】．补充完下列推理过程：如图，点C在线段上，，，，交于点G，．求证． 证明：∵ ∴_____________________ 在和中， ∴ ∴_____________， 又∵ ∴_____________（等边对等角） ∴ 即 ∴_____________（等角对等边） 又∵ ∴．（三线合一） 【变式10-2】．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【变式10-3】．如图，在中，，，点为边上一动点（点与点B，C不重合）．以D为顶点作，射线交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)过点在右侧作，交射线于点，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 题型11:在三角形中，大角对大边 【典例11】.如图，已知：DC//AB,AC与BD相交于点O,且OA<OB.求证：OC<OD. 【变式11-1】.已知：在△ABC中，AB=AC,D是边BC延长线上一点，E是边AB上一点，DE交边AC于点F.求证：AE<AF. 一、单选题 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． ， D． 3．下列命题中，不正确的是（   ） A．两个外角相等的三角形是等腰三角形 B．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形 C．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形 D．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形 4．已知，，是的三边，且满足，则为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，将折叠，使点落在边上处，展开后得到折痕，则是的（    ） A．高 B．中线 C．角平分线 D．无法判断 6．下面是老师给出的一道尺规作图题．如图，已知，求作：，使．作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F；（2）以☆为圆心，的长为半径画弧，交于点C；（3）作射线，即为所求作的角，则下列结论正确的是（   ） A． B．☆表示点E C． D．是等腰三角形 7．如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 二、填空题 9．如图，一条船从海岛处出发，向正北方向航行8海里到达海岛处．从望海岛，在的南偏东方向上；从望灯塔，在的北偏西方向上．则海岛到灯塔的距离是 海里． 10．如图，和相交于点，且，，，则 ． 11．如图，在中，，平分，，，则的周长为 ． 12．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有 个． 13．如图，在中，，，的周长为150，则 ． 14．如图，中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为 ．    三、解答题 15．如图，在中，，．若的周长为17，求的长． 16．阅读并填空（在答题纸相应编号后的空格内直接填写答案）： 如图，已知中，BD平分，说明的理由． 解：因为BD平分（①） 所以（②） 因为（③） 所以（④） 所以（⑤） 所以（⑥） 17．如图，在中，，点C在上，平分交于点D，点F是线段的中点，连结，请说明的理由． 解：因为平分（已知） 所以______（角平分线的意义） 因为（已知） 所以______（等式性质） 而______（    ） 所以（等量代换） 所以（______） 又因为（线段中点的意义） 所以（______）． 18．已知：如图，AB=AC, AD= AE,∠BAE=∠CAD, BD与CE相交于点F． 求证： (1) ∠B=∠C；(2) FB=FC． 19．如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 20．如图1，已知中，平分，平分的外角． (1)若，求的度数； (2)如图2，过D点作，交于点F，交于点G，试猜想、与的数量关系，并证明． 21．如图1，在中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC交AC于点D． (1)求证：BD=CD． (2)如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE=AC． (3)如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 等腰三角形的判定（十一大题型） 学习目标 1. 知道定理：等角对等边，并学会几何应用； 2. 掌握几何中的一题多解，辅助线的初步构造方法； 3．熟悉三角形中的大角对大边及有关证明. 知识点1 等角对等边 等腰三角形的两底角相等的逆命题也是一个真命题，可以作为等腰三角形的判定定理. 定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 简单地说：等角对等边. 定理证明 如图18 -2 -1 , 已知：在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC. 证明（法一） 如图 18-2-2 , 作上BAC的平分线AD，有∠1=∠2. 又由于∠B= ∠C，AD是公共边，由“角角边”，得△ABD≌△ACD，从而AB＝AC. 其他证明上述定理的方法： 法二：作底边的中线AD，由“边边边”可证 法三：作底边的高AD，由“角角边”可证 例题分析 例1 如图 18-2-4, 已知：在△ABC中，D是边BC的中点，∠1=∠2.求证：AB＝AC. 分析 在△ABD和△ACD 中，虽然有∠1=∠2, AD＝AD，BD＝CD这三个条件，但不能直接推出△ABD和△ACD全等. 证明（法一） 如图18-2-5,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.在△ABD和△ECD中， ∵ ∴ △ABD≌△ECD(SAS). ∴ AB=EC,∠1=∠E(全等三角形的对应边相等，对应角相等). 又∵∠1=∠2, ∴ ∠2=∠E. ∴ AC=EC(等角对等边). ∴ AB=AC. 法二：过点D分别作AB、AC的平行线，并分别交AB于点E、交AC于点F,可证 思维拓展法三：过点D分别作AB、AC的垂线，并分别交AB于点M、交AC于点N,借助*角平分线的性质、*HL可证 知识点2 大角对大边 例2如图18-2-6,已知：在△ABC中，∠C>∠B.求证：AB>AC. 证明 如图18-2-7,由∠ACB>∠B,在∠ACB内部作∠BCD=∠B,CD交AB于点D.根据“等角对等边”,有DB=DC. 在△ACD中，根据三角不等式，有AD+DC>AC,所以AB=AD+DB=AD+DC>AC. 上述结论可以简述为：在三角形中，大角对大边. 反证法证明例2如下： 证明：假设AB≤AC，①当AB=AC时，根据等边对等角，由∠B=∠C,与已知∠C>∠B矛盾，所以AB=AC不成立.②当AB＜AC时，根据三角形中，大边对大角，有∠C＜∠B与已知∠C>∠B矛盾，所以AB＜AC不成立。综上假设AB≤AC不成立，故AB>AC. 【即学即练1】在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等角对等边，根据，得到，即可． 【解析】解：在中，， 则：； 无法得到， 故选B． 【即学即练2】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=4：5：6 C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C =1：1：2 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【解析】解：A、∵a=3，b=3，c=4， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； B、∵a：b：c=4：5：6 ∴a≠b≠c， ∴△ABC不是等腰三角形； C、∵∠B=50°，∠C=80°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=50°， ∴∠A=∠B， ∴AC=BC， ∴△ABC是等腰三角形； D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2， ∵∠A=∠B， ∴AC=BC， ∴△ABC是等腰三角形． 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定．注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键． 【即学即练3】如图，在中，，AD平分，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是的中线， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质．熟记等角对等边判定三角形是等腰三角形，以及等腰三角形三线合一的性质，是解题的关键． 【即学即练4】已知：如图，在中，D，E分别是上的点，，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】利用平行线的性质和，得到，即可得证． 【解析】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定．熟练掌握两直线平行，同位角相等，以及等角对等边，是解题的关键． 【即学即练5】如图，为的角平分线，交于E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则． 【解析】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型1:等腰三角形的判定 【典例1】．．在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理． 【解析】解：A. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰三角形，故该选项正确，符合题意； D. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70° C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14 【答案】C 【分析】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断. 【解析】A. ∠C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； B、∵∠A=2∠B=70°， ∴∠B=35°， ∴∠C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； C、∠C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确； D、∵AB=3，BC=6，周长为14， ∴AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法. 【变式1-2】．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B，即可判断． 【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°， ∴∠B=180°－∠A－∠C=70° ∴∠B=∠C ∴△ABC为等腰三角形 故答案为：等腰． 【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和等腰三角形的判定，掌握三角形的内角和定理和等角对等边是解决此题的关键． 【变式1-3】．下列能判定△ABC为等腰三角形的是(         ) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．∠A＝2∠B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为13 【答案】B 【分析】判断三角形中是否有相等的角，以及根据定义，是否有相等的边即可判断． 【解析】A、∠C＝180°−30°−60°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，A选项错误； B、∠C＝180°−50°−80°＝50°，有相等的角，则是等腰三角形，B选项正确； C、∵∠A＝2∠B＝80°， ∴∠B＝40°， ∴∠C＝60°，没有相等的角，则不是等腰三角形，C选项错误； D、∵AB＝3，BC＝6，周长为13， ∴AC＝13−6−3＝4，没有相等的边，则不是等腰三角形，D选项错误； 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定定理，理解定理是关键． 题型2:添加一个条件成为等腰三角形 【典例2】．△ABC中，∠A=50°，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形． 【答案】50°或80°或65° 【分析】由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角，∠B＝∠A时，③∠A是底角，∠B＝∠A时，利用三角形的内角和进行求解． 【解析】①∠A是顶角，∠B＝（180°−∠A）÷2＝65°； ②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°． ③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°−50°×2＝80°， ∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形． 故答案为：50°或65°或80°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键． 【变式2-1】．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是 ． 【答案】BD=CD 【解析】已知给出了两线段垂直，只要有一条被平分，则有等腰三角形出现，于是答案可得． 解：添加的条件是BD=CD． ∵BD=CD，AD⊥BC，AD是公共边， ∴△ABD≌△ACD， ∴AB=AC． ∴△ABC是等腰三角形． 证明三角全等的方法有很多，所以可添加的条件也有很多，答案不唯一． 故填BD=CD． 题型3:等角对等边及其综合应用 【典例3】．．在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到，即可求出的值． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】．在中，，如果，那么 【答案】10 【分析】根据等腰三角形的性质解答即可． 【解析】解：在中，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的等角对等边解答． 【变式3-2】．如图，在中，，点都在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先证明AB=AC，再根据SAS证明即可得到结论． 【解析】解：在△ABC中，∠B=∠C． ∴AB=AC 在△ABD和△ACE中， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，证明是解答此题的关键． 【变式3-3】．如图，已知，，不正确的等式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故B选项、C选项正确，D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【变式3-4】．在中，平分，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可． 【解析】解：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，，， 又， ， 而， ， ， ， ． 故选：． 【变式3-5】．如图，在中，，点D是上一点，连接，，，则长是 ．    【答案】 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，然后根据角的和差得到，从而得到，最后根据等角对等边可得即可解答． 【解析】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等角对等边的性质是解题的关键． 【变式3-6】．如图，在中，是的角平分线，，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再由等角对等边得，再由即可得解． 【解析】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，． 故答案为：5． 【变式3-7】．如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E．若，则的周长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证得是解题的关键．先由平行线的性质与角平分线的定义证得，再由等腰三角形的判定即可得出，然后根据三角形周长公式求解即可． 【解析】解：平分平分， ， ， ， ， ， 的周长为：， 故选：． 题型4:根据等角对等边证明等腰三角形 【典例4】．．如图，平分，且，求证：为等腰三角形．请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 证明：， （ ）① 平分 （ ）② （ ）③ 为等腰三角形． 【答案】 【分析】等腰三角形的判定，熟练掌握相关运算法则，等角对等边，是解题的关键： （根据平行线的性质，等量代换，等角对等边，进行作答即可． 【解析】证明：， （两直线平行，内错角相等） 平分 （等量代换） （等角对等边） 为等腰三角形． 【变式4-1】．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC交AB于E，交AC于F．求证：△EBO为等腰三角形； 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义可证∠ABO＝∠OBC，根据平行线的性质可证∠OBC＝∠EOB，从而可得∠ABO＝∠EOB，然后根据等角对等边可证结论成立． 【解析】证明：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵EF//BC， ∴∠OBC＝∠EOB， ∴∠ABO＝∠EOB， ∴EB＝EO， ∴△EBO为等腰三角形． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【变式4-2】．如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，与三角形高有关的计算，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由三角形内角和定理得到，再由角度和差计算得到，则； （2）设点到边的距离为，由面积法得到，即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵是的两条高线， ∴． 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：设点到边的距离为， ∵是的两条高线 ∴ ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点到边的距离为． 【变式4-3】．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF． 求证：（1）EF⊥AB； （2）△ACF为等腰三角形．        【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）依据AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，再根据BD是∠ABC的平分线，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB； （2）依据FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB−∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF． 【解析】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ABC ＝72°． 又∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝36°． ∴∠BAD＝∠ABD． ∴AD＝BD． 又∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB，即EF⊥AB． （2）∵EF⊥AB，AE＝BE， ∴EF垂直平分AB． ∴AF＝BF． ∴∠BAF＝∠ABF． 又∵∠ABD＝∠BAD， ∴∠FAD＝∠FBD＝36°． 又∵∠ACB＝72°， ∴∠AFC＝∠ACB−∠CAF＝36°． ∴∠CAF＝∠AFC＝36°． ∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握并能综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 题型5:根据等角对等边解答证明 【典例5】．．如图，在与中，，，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，结合，运用证明，则，最后运用等角对等边，即可作答． 【解析】证明：， ， ， 【变式1-1】0．如图，中，，，． (1)求的度数； (2)在图中找出另一条与相等的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的判定和三角形的外角性质即可得到结论． 【解析】（1）解：， ， ； （2）解：，理由如下， ， ， ， ， ， ． 【变式5-1】．如图，在中，，点分别在边上，连结，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【解析】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴． 题型6:求等腰三角形的个数 【典例6】．．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由AC=BC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确定△BAD与△CAD也是等腰三角形． 【解析】解：由图可知， ∵AC=BC，∠C=36°， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠BAC=∠ABC=72°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD=∠C=36° ∴△CAD为等腰三角形， ∵∠BDA=∠C+∠CAD=72°=∠B， ∴△BAD为等腰三角形， ∴则图中等腰三角形由3个； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 【变式6-1】．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由AC＝BC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确 定△BCD与△ABD也是等腰三角形． 【解析】解：由图可知， ∵AC＝BC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵∠C＝36°，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠DBA＝∠C＝36° ∴△CBD为等腰三角形， ∵∠BDA＝∠C+∠CBD＝72°＝∠A ∴△BAD均为等腰三角形， ∴图中等腰三角形共有三个． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 题型7:作图题 【典例7】．．如图：在下列三角形中，AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项中，作∠ABC或∠ACB的角平分线交对边于一点，可把原三角形分成两个小等腰三角形； B选项中，由已知条件不能作一条直线把原三角形分成两个小等腰三角形； C选项中，作∠BAC的角平分线交对边于一点，可把原三角形分成两个小等腰三角形； D选项中，过点A作射线，把∠BAC分成一个36°的角和一个72°的角，就可把原三角形分成两三个小等腰三角形； 故选B. 【变式7-1】．如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【解析】解：A选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行， B选项利用同位角相等判定两直线平行， C选项无法判断两直线平行， D选项利用内错角相等即可证明两直线平行， 故选：C． 【变式7-2】．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法， 认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（    ） ①已知等腰三角形的底边和底边上的高； ②已知等腰三角形的底边和腰； ③已知等腰三角形的底边和一底角． A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③① 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【解析】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”； 图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”； 图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”． 故选：． 【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键． 【变式7-3】．在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 【答案】①③④能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形，②不能，图见解析． 【分析】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，根据等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形，此题的4个选项中只有图有点难度． 【解析】解：如图所示： ①作的角平分线，则分为两个小等腰三角形； ②不能过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形； ③过点作的垂线，则分为两个小等腰三角形； ④以为顶点，为一边在三角形内部作一个度角，则分为两个小等腰三角形． 【变式7-4】．（1）已知：如图（甲），等腰三角形的一个内角为锐角，腰为a，求作这个等腰三角形； （2）在（1）中，把锐角变成钝角，其他条件不变，求作这个等腰三角形． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【分析】（1）分成是顶角和顶角两种情况进行讨论，当是底角时，首先作一个∠A＝，在一边上截取AB＝a，然后过B作另一边的垂线BR，然后在AR的延长线上截取RC＝AR，连接BC，即可得到三角形，当是顶角时，作∠D＝，在角的两边上截取DE＝DF＝a，则△DEF就是所求三角形； （2）作∠M＝，在角的边上截取MN＝MH，则△MNH就是所求． 【解析】（1）如图所示： △ABC和△DEF都是所求的三角形； （2）如图所示： △MNH是所求的三角形． 【点睛】本题考查了三角形的作法，正确进行讨论，理解等腰三角形的性质：三线合一定理，是关键． 题型8:等腰三角形判定有关的动点问题 【典例8】．．如图，在中，，点P以每秒速度从B处向A处运动，同时点2以每秒速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据平角的定义，推出，进而得到，列出方程进行求解即可． 【解析】解：设运动时间为秒，由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式8-1】．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（    ）秒 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】设运动的时间为x秒， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x， 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4 故选：D． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 题型9:格点问题 【典例9】．．如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定解决问题． 【解析】解：如图，，是等腰三角形． 故选：A． 【变式9-1】．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【解析】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 【变式9-2】．在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义在格点上分以为腰和底进行求解即可． 【解析】解：如图， ∴使得为等腰三角形的点有4个； 故选D． 【变式9-3】．如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键 分三种情况，当时，当时，当时，即可解答． 【解析】解：如图，分三种情况， 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为； 综上，满足条件的所有格点有8个， 故选：C． 题型10:等腰三角形的判定与性质综合 【典例10】．．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点E． (1)求证：是等腰三角形 (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）由三线合一定理得到，由平行线的性质得到，据此证明，即可证明， （2）根据等边对等角得到，根据平行线的性质得到，据此可证明，得到，则可证明． 【解析】（1）证明：∵是等腰三角形的底边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】．补充完下列推理过程：如图，点C在线段上，，，，交于点G，．求证． 证明：∵ ∴_____________________ 在和中， ∴ ∴_____________， 又∵ ∴_____________（等边对等角） ∴ 即 ∴_____________（等角对等边） 又∵ ∴．（三线合一） 【答案】；；；； 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形外角的性质，根据已给推论过程结合全等三角形的性质与判定定理和等腰三角形的性质与判定定理证明即可． 【解析】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵ ∴（等边对等角） ∴ 即 ∴（等角对等边） 又∵ ∴．（三线合一） 故答案为：；；；；． 【变式10-2】．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数． 【解析】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 【变式10-3】．如图，在中，，，点为边上一动点（点与点B，C不重合）．以D为顶点作，射线交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)过点在右侧作，交射线于点，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据，，即可证得； （2）根据，可得，再结合，，可证得，从而求得的长； （3）根据题意画出草图，利用等腰三角形性质证明，得到，根据为等腰三角形，分①当时， ②当时， ③，三种情况讨论，再结合等腰三角形性质以及三角形外角性质求解，即可解题． 【解析】（1）证明：由图可知：， ， ； （2）解：， ∴， 又， 在与中： ， ， ∴； （3）解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ①当时，如图所示： ， ； ②当时， ， ， ； ③当时， ， 与点D为边上一动点产生矛盾， ∴此类型不存在； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 题型11:在三角形中，大角对大边 【典例11】.如图，已知：DC//AB,AC与BD相交于点O,且OA<OB.求证：OC<OD. 提示：根据平行线的性质；在三角形中，大边对大角；在三角形中，大角对大边；易证 【变式11-1】已知：在△ABC中，AB=AC,D是边BC延长线上一点，E是边AB上一点，DE交边AC于点F.求证：AE<AF. 据百度AI资料显示：几何学中的严格定义，点在三角形边上时不包括端点（即顶点）； 证明思路如下： 一、单选题 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等角对等边，即可得出结论． 【解析】解：在中，，则：； 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握同一个三角形中，等角对等边． 2．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． ， D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断． 【解析】解：A、， ， ，即是等腰三角形，故选项不合题意； B、， ，即是等腰三角形，故选项不合题意； C、 ，即是等腰三角形，故选项不合题意； D、由不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边． 3．下列命题中，不正确的是（   ） A．两个外角相等的三角形是等腰三角形 B．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形 C．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形 D．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定；根据两边相等的三角形是等腰三角形或“等角对等边”判定即可． 【解析】解：因为两个外角相等的三角形的两个内角也相等，根据“等角对等边”可知这个三角形是等腰三角形，所以A正确； 如图所示，∵，可知， ∵平分，可得， ∴， ∴，则这个三角形是等腰三角形，所以B正确； 因为两个内角分别是和，另一个内角为，根据等角对等边，可知这个三角形是等腰三角形，所以D正确，C不正确． 故选：C． 4．已知，，是的三边，且满足，则为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定，利用平方差公式分解因式和提公因式法分解因式可得：，因为三角形三边之和不为，所以可得，从而可知是等腰三角形． 【解析】解：， ， 移项得：， 提公因式得：， ， ， ， 是等腰三角形． 故选：A ． 5．如图，将折叠，使点落在边上处，展开后得到折痕，则是的（    ） A．高 B．中线 C．角平分线 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可知是等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”即可求解． 【解析】解：根据题意得，是等腰三角形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∴是的角平分线， ∴， ∴是的高， 故选：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，掌握运用折叠的性质判定三角形是等腰三角形，运用等腰三角形的性质解决问题是解题的关键． 6．下面是老师给出的一道尺规作图题．如图，已知，求作：，使．作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F；（2）以☆为圆心，的长为半径画弧，交于点C；（3）作射线，即为所求作的角，则下列结论正确的是（   ） A． B．☆表示点E C． D．是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的不等关系，等腰三角形的判定．根据题干中的作图步骤即可判断各选项． 【解析】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F；（2）以F为圆心，的长为半径画弧，交于点C；（3）作射线，即为所求作的角， 由作法知：， 由三角形三边关系得，选项A不符合题意； ☆表示点F，选项B不符合题意； 由作法知，点在圆O上，则， ∴是等腰三角形，选项D符合题意； 不能证明，选项C不符合题意； 故选：D． 7．如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰． 【解析】解：如图：分情况讨论：①为等腰直角底边时，符合条件的点有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有3个． 故共有3个点， 故选：C． 8．如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键． 由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，同理可得，则，可得答案． 【解析】解：， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 即． 故选：B． 二、填空题 9．如图，一条船从海岛处出发，向正北方向航行8海里到达海岛处．从望海岛，在的南偏东方向上；从望灯塔，在的北偏西方向上．则海岛到灯塔的距离是 海里． 【答案】8 【分析】根据题意，由平行线的性质可求得∠BCA=∠BAC=42°，再由等角对等边可得BC=AB=8，即可解答． 【解析】由题意，AB=8，∠A=42°，∠BCA=84°-42°=42°， ∴∠A=∠BCA， ∴BC=AB=8， 即海岛到灯塔的距离是8海里． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了方位角问题、等腰三角形的判定、平行线的性质，利用等角对等边证得BC=AB是解答的关键． 10．如图，和相交于点，且，，，则 ． 【答案】3 【分析】首先根据求得，然后根据得出，可证明出，即可求出的长度． 【解析】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质． 11．如图，在中，，平分，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，由等角对等边得出，再由等腰三角形的性质得出，最后由周长公式计算即可得解． 【解析】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴的周长为， 故答案为：． 12．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有 个． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形的判定，根据已知角利用等量代换即可求解． 【解析】∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A， ∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形， ∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C， ∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形， ∵∠C＝∠ABC＝72°， ∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形， 故图中共3个等腰三角形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定定理是解题的关键． 13．如图，在中，，，的周长为150，则 ． 【答案】69 【分析】求出AD＝BD，求出AC＋BC＝150，即可求出BC． 【解析】解：∵∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD， ∵△DBC的周长是150，AC＝81， ∴CD＋BD＋BC＝CD＋AD＋BC＝AC＋BC＝150， ∴BC＝69， 故答案为：69． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，能求出AC＋BC＝150是解此题的关键． 14．如图，中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为 ．    【答案】75°或120°或15° 【分析】分为三种情况，先画出图形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【解析】解：如图，有三种情形：    ①当AC=AD时，∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°， ∴∠CAB=30°， ∵AC=AD， ∴∠ADC=∠DCA=（180°-∠CAB）=75°； ②当CD′=AD′时， ∵∠CAB=30°， ∴∠D′CA=∠CAB=30°， ∴∠AD′C=180°-30°-30°=120°． ③当AC=AD″时，则∠AD″C=∠ACD″， ∵∠CAB=30°，∠AD″C+∠ACD″=∠CAB， ∴∠AD″C=15°， 故答案为：75°或120°或15°． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题 15．如图，在中，，．若的周长为17，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到，进而根据已知的三角形的周长求解即可． 【解析】解：∵在中，， ∴， ∵，的周长为17， ∴， 解得． 16．阅读并填空（在答题纸相应编号后的空格内直接填写答案）： 如图，已知中，BD平分，说明的理由． 解：因为BD平分（①） 所以（②） 因为（③） 所以（④） 所以（⑤） 所以（⑥） 【答案】①已知；②角平分线的定义；③已知；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换；⑥等角对等边 【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据等角对等边即可得． 【解析】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以（等量代换）， 所以（等角对等边）． 故答案为:已知；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；等角对等边. 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键． 17．如图，在中，，点C在上，平分交于点D，点F是线段的中点，连结，请说明的理由． 解：因为平分（已知） 所以______（角平分线的意义） 因为（已知） 所以______（等式性质） 而______（    ） 所以（等量代换） 所以（______） 又因为（线段中点的意义） 所以（______）． 【答案】；；；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；等角对等边；等腰三角形的三线合一 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质、角平分线的定义．直接利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案． 【解析】解：因为平分（已知） 所以（角平分线的意义） 因为（已知） 所以（等式性质） 而（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和） 所以（等量代换） 所以（等角对等边） 又因为（线段中点的意义） 所以（等腰三角形的三线合一）． 18．已知：如图，AB=AC, AD= AE,∠BAE=∠CAD, BD与CE相交于点F． 求证： (1) ∠B=∠C；(2) FB=FC． 【答案】见详解 【分析】（1）证明 便可得求证了． （2）连接BC，通过（1）的结论，以及AB=AC得出，从而得出求证． 【解析】解：（1）∵∠BAE=∠CAD 即： 又∵AB=AC, AD= AE ∴ ∴∠B=∠C （2）连接BC ∵AB=AC ∴ 由（1）得到： 即： ∴FB=FC 【点睛】本题考查三角形全等的判定，以及等腰三角形的判定，最后利用其性质解题。关键在于找准全等判定条件和等腰三角形的判定． 19．如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质： （1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形的定义证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图1，已知中，平分，平分的外角． (1)若，求的度数； (2)如图2，过D点作，交于点F，交于点G，试猜想、与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由角平分线的定义可得，，然后根据三角形的外角以及等量代换求得即可； （2）由平行线的性质可得，再结合可得，然后由等腰三角形的判定可得，最后根据线段的和差即可解答． 【解析】（1）解：∵平分，平分 ∴， ∴ ． （2）解：，理由如下： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活应用相关性质定理是解答本题的关键． 21．如图1，在中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC交AC于点D． (1)求证：BD=CD． (2)如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE=AC． (3)如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不成立，正确的结论是BE-AB=AC，见解析 【分析】（1）根据三角形内角和可得，利用角平分线得出，由等角对等边即可证明； （2）过点E作交AC于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明； （3）（2）中的结论不成立，正确的结论是．过点A作交BE于点F，由平行线的性质及等量代换可得，根据等角对等边得出，由角平分线可得，结合图形根据各角之间的数量关系得出，由等角对等边可得，结合图形进行线段间的等量代换即可得出结果． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∵BD平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图：过点E作交AC于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵AE是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，正确的结论是．理由如下： 如图，过点A作交BE于点F， ∴， ∴， ∴， ∵AE是的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线进行角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 2 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $$