第11讲 等腰三角形的性质（新教材）（知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第11讲 等腰三角形的性质 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01等腰三角形的定义..............................................................................................................................................................2 题型02根据等边对等角证明..........................................................................................................................................................4 题型03等边对等角.........................................................................................................................................................................5 题型04三线合一.............................................................................................................................................................................8 题型05根据三线合一证明...........................................................................................................................................................10 分层练习.........................................................................................................................................................................................12 夯实基础.........................................................................................................................................................................................12 能力提升.........................................................................................................................................................................................28 知识点．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 题型01等腰三角形的定义 1．（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知点在第一象限，若在轴上确定点使得为等腰三角形，则点的坐标有（    ）种可能 A．3 B．4 C．1或3 D．2或4 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】分三种情况：若为腰，为顶点时；若为腰，为顶点时；若为底时，分别讨论即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    若为腰，为顶点时，以为圆心，为半径的圆与轴交于点， 若为腰，为顶点时，以为圆心，为半径的圆与轴交于点、， 若为底时，是的中垂线与轴的交点为, 以上4个交点没有重合的，故符合条件的点有4个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海·阶段练习）在等腰三角形中，，，那么 ． 【答案】10 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，先根据三角形三边关系求得的取值范围，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， 第三边， 是等腰三角形， ． 故答案为：10． 3．（23-24七年级下·上海宝山·期中）等腰三角形周长为32，则腰长x的取值范围为 ，底边y的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，根据题意有，，，，据此问题得解． 【详解】根据题意有：，，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， 综上：，， 故答案为：，． 题型02根据等边对等角证明 4．（22-23七年级下·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形两腰上的中线相等 C．等腰三角形两底角的平分线相等 D．等腰三角形高、中线和角平分线重合 【答案】D 【知识点】根据等边对等角证明、三线合一 【分析】根据等腰三角形的性质依次判断． 【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，故正确； B、等腰三角形两腰上的中线相等，故正确； C、等腰三角形两底角的平分线相等，故正确； D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合，故错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（2022七年级下·上海·专题练习）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题； 如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．    【答案】见解析. 【知识点】根据等边对等角证明 【分析】先根据AB＝AC，∠A＝108°，求得∠C＝36°，再过点A作∠DAC＝36°，则△ACD和△ABD均为等腰三角形． 【详解】解：如图2所示，由AB＝AC，∠A＝108°，可知∠C＝36°， 过点A在∠BAC内部作射线AD，使得∠DAC＝36°，则 △ABD中，∠BAD＝72°，∠ADB＝72°， △ACD中，∠DAC＝∠C＝36°， 故△ACD和△ABD均为等腰三角形， 故射线AD即为所求． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．简称：等边对等角． 题型03等边对等角 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．根据全等三角形的对应角相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 7．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，是的角平分线，，则 ． 【答案】/35度 【知识点】等边对等角、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 故答案为：． 8．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，那么 ．      【答案】/70度 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 题型04三线合一 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，为的平分线，若，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的平分线，， ∴， 故选：C． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质是 ． 【答案】等腰三角形“三线合一” 【知识点】三线合一 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键． 因为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，座椅如果重物的线恰好经过三角板底边的中点，则房梁就与竖直的线垂直，因而可以判断此房梁是水平的． 【详解】解：因为重垂线过底边的中点，则根据等腰三角形“三线合一”的性质得此线也为底边上的高，由于垂线是垂直的，所以底边即房梁就是水平的， 故答案为：等腰三角形“三线合一”． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的中点，． (1)求的大小； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． （1）由等边对等角可得，由等腰三角形的性质可得，从而得出，即可得解； （2）由等腰三角形的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴的周长为． 题型05根据三线合一证明 12．高台县崇文楼始建2011年，取“崇文尚德·大运高台”之意，总高米，由台明、楼身和宝顶三部分组成．建这座楼的主要目的是为了延续高台人杰地灵、源远流长的文脉，在当今文化大发展时代，激励莘莘学子努力学习、求学上进，将来回报和建设家乡、建设祖国．如图，“崇文楼”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三线合一证明 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：，， ，即是的高线， 是等腰三角形，， 是的角平分线，故A选项不符合题意； 是等腰三角形，， 是的角平分线，故B选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意； ， ， 是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 13．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 【答案】见解析 【知识点】根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质等知识，过作垂直于于点，由，利用三线合一得到为中点，同理得到为中点，利用等式的性质变换后可得证，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 【详解】过点作，垂足为点， ，， ， ∵，， ∴， ， ． 夯实基础 一、单选题 1．若等腰三角形的一边长为7，另一边长为3，则此等腰三角形的周长是（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．无法确定 【答案】B 【详解】分腰长为3和底边为3两种情况讨论求解：若腰长为3时，三角形的三边分别为3、3、7，因为，所以不能组成三角形；若底边为3时，三角形的三边分别为3、7、7，能组成三角形，周长．综上所述，这个等腰三角形的周长为17，故选B． 【易错点分析】一是没有分类讨论，考虑片面；二是忽略了三角形三边的关系，没有舍去以腰长为3的情况． 2．等腰三角形的对称轴是（　　） A．顶角平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．顶角平分线、底边上的高和底边上的中线所在的直线 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称性质的应用，等腰三角形的性质，能熟记轴对称的性质是解此题的关键，注意：对称轴是一条直线．根据轴对称的性质，等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：等腰三角形的对称轴是顶角平分线、底边上的高和底边上的中线所在的直线， 故选：D． 3．等腰三角形三边中有两边的长分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和等腰三角形的性质，解题的关键是注意构成三角形的条件：即三角形两边之和大于第三边，同时满足两边之差小于第三边． 分三边为9，9，4与三边为9，4，4时两种情况讨论，看看是否符合构成三角形三边关系的条件，然后求解． 【详解】解：分为两种情况：①当等腰三角形的三边为9，9，4时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：， ②当等腰三角形的三边为9，4，4时， ∵， ∴不符合三角形的三边关系定理，此时三角形不存在， 故选B． 4．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（   ） A．9 B．12 C．15 D．12或15 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义及构成三角形的条件．分两种情况解答即可求解． 【详解】解：若腰长为6，等腰三角形的三边长为：， ，能构成三角形，此时该等腰三角形的周长是； 若腰长为3，等腰三角形的三边长为：， ，不能构成三角形， 综上所述，该等腰三角形的周长是15． 故选：C． 5．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．，交于点H． 若， 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，依据三角形内角和定理，即可得到的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为 ． 【答案】40度/ 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形的底角的度数为， 故答案为：． 7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC=4，则BD= ． 【答案】2 【分析】由在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可求得BD的长． 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=BC=×4=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．注意等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一． 8．已知的三边长a，b，c满足，则的形状为 ． 【答案】等腰三角形 【分析】将进行因式分解，转化为，进而得到，即可得出结论． 【详解】解析：∵， ∴， ∴． ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题考查因式分解的应用，正确的进行因式分解，是解题的关键． 9．已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；若此三角形的周长为偶数，则 ，此时三角形的形状是 三角形． 【答案】 5 等腰 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系确定a的取值范围，即可求解． 【详解】解：一个三角形的三边长为2，5，a， 则，即， 若此三角形的周长为偶数，则， 此时三角形的形状是等腰三角形， 故答案为：，5，等腰． 10．如图，，A是BO的延长线上一点，，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当是等腰三角形时，移动的时间是 ． 【答案】4s或12s 【分析】根据△OPQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上． 【详解】解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示： ∵PO＝AO﹣AP＝12﹣2t，OQ＝1t ∴当PO＝QO时， 12﹣2t＝t 解得t＝4； 当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；如图2所示： ∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣12，OQ＝t； ∴当PO＝QO时，2t﹣12＝t； 解得t＝12； 故答案为：4s或12s． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论． 11．如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或10 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 根据点P，Q的移动时间与速度，表示出，的长，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据建立方程求解即可． 【详解】解：点P，Q移动时， ，． 分两种情况： ①当点在线段上时， 若是等腰三角形，则， 即， 解得，； ②当点在的延长线上时， ， 若是等腰三角形，又， 则是等边三角形， ∴， 即， 解得，； 综上所述，当或时，是等腰三角形． 故答案为：或10． 12．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，其中点B，C分别与点D，E对应，若B，D，C三点恰好在同一直线上，有下列结论：①是等腰三角形；②；③．其中，正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定等知识．解题关键是熟练运用旋转性质得出对应边和对应角相等，结合相关定理进行推理判断． 依据旋转性质和等腰三角形定义判断①，分析旋转后对应边关系，发现无法推出②，利用旋转性质得，结合三角形角的和差关系推导③． 【详解】因为绕点按逆时针方向旋转得到，所以． 所以是等腰三角形，故①正确． 由旋转性质可知，，，仅根据已知条件无法得出，故②错误． 因为绕点A按逆时针方向旋转得到， 所以， 所以． 在中，； 在中，． 又因为，，，． ， 得，故③正确． 综上，正确的是①③． 故答案为：①③． 13．如图，在等腰直角三角形中，，将绕顶点A按逆时针方向旋转后得到，则 ． 【答案】105 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质求出对应边的夹角，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴． ∵是绕A按逆时针方向旋转后得到的， ∴， ∴． 故答案为：105． 14．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，先根据平行线的性质，由得到，根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角性质计算的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，，，连接交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用等边对等角求得，再利用等角的余角相等即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 16．如图，在中，，点是的中点，点在上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一得出，再根据等边对等角计算得出，最后利用平角得出． 【详解】，点是的中点， 【点睛】本题考查等腰三角形中角度的计算，计算中须结合三角形内角和及平角，利用条件一步一步计算．正确的计算是解题的关键． 17．如图，有甲、乙两个三角形．甲三角形的内角分别为，，；乙三角形的内角分别为，，．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数． 【答案】能，图见解析； 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，图甲以角的顶点为顶点，向三角形内作的角，图乙以角的顶点为顶点，向三角形内作的角，即可作答． 【详解】：能； 甲图的分法，各角度数标注如图： 乙图的分法，各角度数标注如图： 【点睛】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等边对等角，是解题的关键． 18．如图，和均为等腰直角三角形，其中．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得，，，利用证得即可得出结论． 【详解】证明：因为和均为等腰直角三角形， 所以，，， 所以， 即． 在和中， ， 所以， 所以． 19．已知在等腰三角形中，一边的长为6，另一边的长为5． 小伟：“这个三角形的周长为17．” 小宇：“你的答案不对，这个三角形的周长应该为16．” 你认为谁的答案对呢？说说你的理由． 【答案】都不对，见解析 【分析】由题意知，分当5是腰长，当5是底边长，两种情况进行求解即可． 【详解】解：小伟和小宇的答案都不对．理由如下： 当5是腰长，则三角形的三边长分别为5，5，6． ∵， ∴能够组成三角形， ∴这个三角形的周长应该是． 当5是底边长，则三角形的三边长分别为5，6，6． ∵， ∴能够组成三角形， ∴这个三角形的周长应该为． 综上，这个三角形的周长为16或17，小伟和小宇的答案都不对． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20．如图，在中，，是边上的中点，． (1)求的大小； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． （1）由等边对等角可得，由等腰三角形的性质可得，从而得出，即可得解； （2）由等腰三角形的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴的周长为． 21．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)若三边、、满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式； （2）把-6x拆成-7x+x，再用分组分解法进行解答； （2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a、b、c之间的关系便可． 【详解】（1） =a2-4a+4-b2 =（a-2）2-b2 =（a+b-2）（a-b-2）； （2） =x2-7x+x-7 =x（x-7）+（x-7） =（x-7）（x+1） （3）∵a2-ab-ac+bc=0， ∴a（a-b）-c（a-b）=0， ∴（a-b）（a-c）=0， ∴a-b=0或a-c=0， ∴a=b或a=c， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键． 能力提升 一、单选题 22．如图所示，在中，点分别是上的点，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先证，得到，即得，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 23．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质，得到，，利用等腰三角形的性质计算即可． 【详解】∵绕点A逆时针旋转至处，， ∴，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握并活用性质是解题的关键． 二、填空题 24．已知：如图，，并且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，分别根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 25．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，先根据平行线的性质，由得到，根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角性质计算的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 26．阅读下列分解因式的过程： ．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）首先将三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，，的关系，判断三角形形状即可． 【详解】（1）解： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 即：或， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定．正确分组分解因式是解题关键． 27．综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)保持不变，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过P点作交于F，由题意可证，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点． ． 点和点同时出发，且移动的速度相同， ． ， ， ， ． ， ． ． （2）解：线段的长度保持不变，理由如下： 分两种情况，①若点在线段上， 如图2，过点作交于点． 与（1）同理可知，，， ． ， ． ． ②若点在线段的延长线上， 如图3，过点作交的延长线于点． ． 又， ． ． ， ． ， ， 又， ． ． ， ． 综上所述，线段的长度保持不变． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 等腰三角形的性质 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01等腰三角形的定义..............................................................................................................................................................2 题型02根据等边对等角证明..........................................................................................................................................................4 题型03等边对等角.........................................................................................................................................................................5 题型04三线合一.............................................................................................................................................................................8 题型05根据三线合一证明...........................................................................................................................................................10 分层练习.........................................................................................................................................................................................12 夯实基础.........................................................................................................................................................................................12 能力提升.........................................................................................................................................................................................28 知识点．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 题型01等腰三角形的定义 1．（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知点在第一象限，若在轴上确定点使得为等腰三角形，则点的坐标有（    ）种可能 A．3 B．4 C．1或3 D．2或4 2．（23-24七年级下·上海·阶段练习）在等腰三角形中，，，那么 ． 3．（23-24七年级下·上海宝山·期中）等腰三角形周长为32，则腰长x的取值范围为 ，底边y的取值范围为 ． 题型02根据等边对等角证明 4．（22-23七年级下·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形两腰上的中线相等 C．等腰三角形两底角的平分线相等 D．等腰三角形高、中线和角平分线重合 5．（2022七年级下·上海·专题练习）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题； 如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．    题型03等边对等角 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰中，，是的角平分线，，则 ． 8．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，那么 ．      题型04三线合一 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，为的平分线，若，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质是 ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的中点，． (1)求的大小； (2)若，，求的周长． 题型05根据三线合一证明 12．高台县崇文楼始建2011年，取“崇文尚德·大运高台”之意，总高米，由台明、楼身和宝顶三部分组成．建这座楼的主要目的是为了延续高台人杰地灵、源远流长的文脉，在当今文化大发展时代，激励莘莘学子努力学习、求学上进，将来回报和建设家乡、建设祖国．如图，“崇文楼”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（    ）    A． B． C． D． 13．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 夯实基础 一、单选题 1．若等腰三角形的一边长为7，另一边长为3，则此等腰三角形的周长是（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．无法确定 2．等腰三角形的对称轴是（　　） A．顶角平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．顶角平分线、底边上的高和底边上的中线所在的直线 3．等腰三角形三边中有两边的长分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．不能确定 4．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（   ） A．9 B．12 C．15 D．12或15 5．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．，交于点H． 若， 则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为 ． 7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC=4，则BD= ． 8．已知的三边长a，b，c满足，则的形状为 ． 9．已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；若此三角形的周长为偶数，则 ，此时三角形的形状是 三角形． 10．如图，，A是BO的延长线上一点，，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当是等腰三角形时，移动的时间是 ． 11．如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 12．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，其中点B，C分别与点D，E对应，若B，D，C三点恰好在同一直线上，有下列结论：①是等腰三角形；②；③．其中，正确的是 （填序号）． 13．如图，在等腰直角三角形中，，将绕顶点A按逆时针方向旋转后得到，则 ． 14．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为 ． 三、解答题 15．如图，，，连接交于点O，．求证：． 16．如图，在中，，点是的中点，点在上，，若，求的度数． 17．如图，有甲、乙两个三角形．甲三角形的内角分别为，，；乙三角形的内角分别为，，．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数． 18．如图，和均为等腰直角三角形，其中．试说明：． 19．已知在等腰三角形中，一边的长为6，另一边的长为5． 小伟：“这个三角形的周长为17．” 小宇：“你的答案不对，这个三角形的周长应该为16．” 你认为谁的答案对呢？说说你的理由． 20．如图，在中，，是边上的中点，． (1)求的大小； (2)若，，求的周长． 21．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)若三边、、满足，试判断的形状． 能力提升 一、单选题 22．如图所示，在中，点分别是上的点，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 24．已知：如图，，并且，则的度数为 ． 25．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为 ． 三、解答题 26．阅读下列分解因式的过程： ．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状 27．综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$