第11讲 轴对称及其性质（知识详解+14典例分析+习题巩固） 2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第11讲 轴对称及其性质（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】轴对称图形 1. 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2. 对应点、对应线段、对应角的概念 对应元素 文字描述 符号语言 对应点 沿对称轴对折后能够重合的点叫作对应点 点A，B，C的对应点分别是点A'，B'，C 对应线段 沿对称轴对折后能够重合的线段叫作对应线段 线段AB，AC，BC的对应线段分别是A'B'，A'C，B'C 对应角 沿对称轴对折后能够重合的角叫作对应角 ∠1，∠B，∠2的对应角分别是∠3，∠B'，∠4 续表 图示 【知识点02】两个图形成轴对称 1. 定义 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴. 2. 两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条 有一条、多条或无数条 联系 (1) 定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2) 把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称 【知识点03】轴对称的性质 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等，如图5.1-2.对称轴既是对应点所连线段的垂线，也经过其中点. 【知识点04】画对称轴 1. 画对称轴的依据 画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 2. 画对称轴的步骤 (1)找：找到任意一对对应点； (2)连：连接这对对应点； (3)画：过对应点所连线段的中点作垂线. 这条垂线就是对称轴. 【知识点05】画已知图形的轴对称图形 1. 方法 几何图形都可以看作由点组成. 对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2. 步骤 画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画 三连”. 找：在原图形上找特殊点； 画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连：依次连接各对称点. 【题型一】轴对称图形的识别 例1．（25-26七年级下·山东济南·月考）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】解：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形， 根据轴对称图形的定义可得C选项图形符合题意． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）某校开展“衣加衣”温暖活动，同学们积极响应号召，踊跃捐衣，校团支部为本次活动设计了一个“众志成城，奉献爱心”的图标．如图，图标中两圆的大小关系是______． 【答案】相等 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查圆的大小关系，根据两个圆的半径长度及轴对称图形判断即可． 【详解】解：∵从图中可以看出，构成心形图标的两个圆，它们的半径长度是一样的，且图标是轴对称图形，根据圆的大小由半径决定，半径相等的圆，其大小相等． ∴图标中两圆的大小关系是相等； 故答案为：相等． 变式2．如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 【答案】角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在直线． 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此即可得解． 【详解】解：角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在直线． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【题型二】成轴对称的两个图形的识别 例2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【答案】对应角是和和和．对应线段是和和和 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的角叫对应角，能够重合的线段叫对应线段． 【详解】解：对应角是和和和．对应线段是和和和． 【题型三】根据成轴对称图形的特征进行判断 例3．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：由题意可得，，，故A、B、C正确，不符合题意． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是________，的对应角是________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】此题考查了轴对称性质，根据轴对称性质求解即可． 【详解】根据题意得，的对应线段是，的对应角是． 故答案为：，． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 【答案】(1)对应点：点A和点，点B和点，点C和点 (2)线段被直线m垂直平分 (3)线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上；规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． （1）根据轴对称的性质即可得出答案； （2）根据轴对称的性质即可得出答案； （3）根据轴对称的性质即可得出答案； 【详解】（1）解：对称点有和，和，和； （2）解：根据对称的性质可得，线段被直线m垂直平分； （3）解：线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上； 故可得规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 【题型四】根据成轴对称图形的特征进行求解 例4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称的性质可得，，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵点关于的对称点是点关于的对称点是， ∴，． ∵， ∴． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上一点，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点之间的距离的最小值是______________，点之间的距离的最大值是______________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据题意，作出图形，由对称性得出三点共线，得出，由此得到当时，最小，进而由等面积法求出即可得到答案；当点与点重合时，最大，为． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点和点关于对称， ， ∵点和点关于对称， ， ， ， ， 三点共线， ， ∴当最小时，最小， 是上一点， 时，最小，此时， ，解得， 的最小值为； 是上一点， ∴当点与点重合时，最大， 的最大值为； ∴点之间的距离最小值是，点之间的距离最大值是． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分线段 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先根据轴对称的性质得出，再根据，求出的长度即可； （2）根据轴对称的性质得出，再根据求出结果即可； （3）直接根据轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （3）解：直线垂直平分线段．理由如下：如图， ∵，关于直线对称， ∴直线垂直平分线段． 【题型五】求对称轴条数 例5．（23-24七年级下·四川乐山·期末）下列图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 【答案】B 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了轴对称图形及其对称轴的概念，解题的关键是准确判断等边三角形、长方形、正方形、圆这四种图形各自的对称轴条数，并比较得出条数最少的图形． 先分别确定每个选项图形的对称轴条数：等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴；再将各图形的对称轴条数进行比较，找出条数最少的图形对应的选项． 【详解】解：A、等边三角形沿三条高所在直线对折后两边能完全重合，故其有3条对称轴，此选项不符合题意； B、长方形沿两组对边中点连线对折后两边能完全重合，故其有2条对称轴，此选项符合题意； C、正方形沿两组对边中点连线及两条对角线所在直线对折后两边能完全重合，故其有4条对称轴，此选项不符合题意； D、圆沿任意一条直径所在直线对折后两边能完全重合，故其有无数条对称轴，此选项不符合题意． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，该轴对称图形有________条对称轴． 【答案】4 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴数量． 根据图形作答即可． 【详解】解：该轴对称图形有4条对称轴， 故答案为：4． 变式2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 【答案】对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条，图见解析 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可． 【详解】解：4个图形对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条．如答图所示． 【题型六】折叠问题 例6．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题 【分析】先根据长方形的性质可得，则，再根据折叠的性质可得，然后根据邻补角的定义和可得，最后根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ，， ． 由折叠可知，，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 变式1．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，我们将每个“尖角”为，且十条边都相等的五角星称为“正五角星”，图1中的虚线将周角十等分．通过图2的折纸步骤制作一个五角星，折叠后沿着剪开，若要使得剪下来的纸片展开后是正五角星，则的大小为_________ ． 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】解：根据折叠的性质及平角的定义计算即可． 【详解】解：根据折叠的性质及平角的定义分析如下： ∴， ∵， ∴， 即． 变式2．（25-26七年级下·全国·周测）将长方形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问的度数是多少？ 【思路点拨】根据折叠的性质可以得到各角之间的关系，从而可以得到的度数． 【我的解答】 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质与平角的定义，掌握折叠前后对应角相等，结合平角的定义计算角度和是解题的关键． 利用折叠的性质得到相等的角，再结合平角的定义，通过角度和的关系计算的度数． 【详解】解：由折叠可知，，． ， ． 【题型七】画对称轴 例7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 【答案】B 【知识点】画对称轴 【分析】本题考查了轴对称图形的的定义，如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此解答即可求解，掌握轴对称图形的的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，图形的对称轴是②④⑥， 故选：． 变式1．（25-26七年级下·全国·周测）如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【答案】 【知识点】画对称轴 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴． 【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线． 图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴； 直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 因此，对称轴可以是直线． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）分别画出下列各个图形的对称轴（不写画法）． 【答案】见解析 【知识点】画对称轴 【分析】本题考查了画对称轴，熟练掌握画对称轴的方法是解题的关键； 分别分析两个图形的特点找出对称轴即可． 【详解】解：如图所示． 【题型八】画轴对称图形 例8．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题主要考查了在网格中画轴对称图形，根据轴对称的定义，画出所有的轴对称图形，然后得出答案即可． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． 综上可知：与成轴对称的格点三角形一共有8个． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字：______． 【答案】共 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握相关知识．根据轴对称图形的特征即可求解． 【详解】解：由题意可得这个字是共， 故答案为：共． 变式2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，下列正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．请仅用无刻度的直尺在所给的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，以，（）为邻边画一个四边形，使第四个顶点在格点上，并且所画的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，画出关于直线成轴对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形； （2）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形. 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求．（答案不唯一） 。 （2）解：如图②，即为所求． 【点睛】本题考查的是一道关于轴对称图形的题目，解决本题的关键是需结合轴对称图形的知识进行画图． 【题型九】设计轴对称图案 例9．（25-26八年级下·全国·课后作业）用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示．若要使花纹保持原来的样式，应在图中①处选择的布料图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题考查了图案的对称与延续性，掌握观察图案局部特征并寻找匹配选项的方法是解题的关键． 观察挂毯的整体对称花纹，分析①位置上下区域的图案特征，再对比选项找到匹配的布料图案． 【详解】解：挂毯的花纹由多个小三角形组成，形成对称图案； ①位置上方和下方的图案由两个方向相反的小三角形组成； 选项D的布料由两个方向相反的小三角形组成，与①位置上方和下方的图案相匹配． 故选：D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将个小三角形涂黑，使个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有________种． 【答案】 【知识点】设计轴对称图案 【详解】解：如图所示： 满足题意的涂色方式有种． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）请你分别在下面四个图中的某个空白方格内补画1个小圆，使补画后的4个小圆组成的图形为轴对称图形． 【答案】见解析 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，熟悉轴对称图形及基本作图是解题的关键． 补画出小圆，使画出的图形关于某条直线对称即可，该直线即为对称轴． 【详解】解：如图． 【题型十】车牌号码的镜面对称 例10．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为___________． 【答案】 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，根据这个特点来解决问题即可． 【详解】解：这串数字应为， 故答案为：． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【答案】不正确，M80908 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】此题主要考查了镜面对称，易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：晓华的猜测不正确．如图所示． 故该车的车牌号应是M80908． 【题型十一】钟表的镜面对称 例11．（2024七年级下·全国·专题练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】此题主要考查了镜面对称的性质的运用，解答此题的关键是要注意联系生活实际． 镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可． 【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点， 所以图C所示的时间最接近8时． 故选：C． 变式1．墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【答案】 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 【题型十二】电子钟示数的镜面对称 例12．（24-25七年级下·全国·单元测试）小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】电子钟示数的镜面对称 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质，根据在平面镜中的像与现实中得事物刚好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，分析即可求解． 【详解】解：根据镜面对称得性质，分析可得此时的时间应是． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是__________． 【答案】 【知识点】电子钟示数的镜面对称 【分析】此题主要考查镜面反射的原理与性质；根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：从镜子中看到的是，则真实时间应该是将此读数倒看：． 故答案为：． 【题型十三】台球桌面上的轴对称问题 例13．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 变式1．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【答案】673 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 变式2．已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【答案】见解析 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】首先作出点A关于FC的对称点，再连接交FC于点P，连接AP，PB，可得A球的运动路线． 【详解】如图所示：运动路线：． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质． 【题型十四】轴对称中的光线反射问题 例14．（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 【答案】/50度 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 【答案】（1）3 （2）5 （3）7 （4） 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查了折射的提醒，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系， 根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可. 【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 故答案为：3. （2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5． 故答案为：5. （3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7． 故答案为：7. （4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为． 故答案为：. 一、单选题 1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形， 选项A、B、C不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合， 故选：D． 2．如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 3．下列说法不正确的是（　　） A．角平分线是角的对称轴 B．将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴 C．角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形 D．线段、角、等腰三角形都是轴对称图形 【答案】A 【分析】本题考查了对称轴、轴对称图形，根据对称轴和轴对称图形的定义判断即可求解，掌握对称轴和轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、角平分线所在的直线是角的对称轴，该选项错误，符合题意； 、将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴，该选项正确，不合题意； 、角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形，该选项正确，不合题意； 、线段、角、等腰三角形都是轴对称图形，该选项正确，不合题意； 故选：． 4．下列图形中，有且仅有一条对称轴的图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴数量，解题的关键是掌握常见图形的对称轴条数． 分别确定每个选项图形的对称轴数量，再筛选出“有且仅有一条”的图形． 【详解】解：A、圆有无数条对称轴，此选项不符合题意； B、正方形有4条对称轴，此选项不符合题意； C、等边三角形有3条对称轴，此选项不符合题意； D、等腰直角三角形有且仅有1条对称轴，此选项符合题意． 故选：D． 5．如图，长方形为大小可调节的弹子盘，个角都有洞．弹子从出发，路线与边成角，撞到边界即反弹．当，时，弹子最后落入洞．若，时，弹子在落入洞之前，撞击边的次数和最后落入的洞分别是（   ） A．次，洞 B．次，洞 C．次，洞 D．次，洞 【答案】A 【分析】本题主要考查了生活中的轴对称现象，仿照题意画出对应的撞击示意图即可得到答案． 【详解】解：如图所示，弹子在落入洞之前，撞击边的次数和最后落入的洞分别是次，洞 故选：A． 6．如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．16个 B．12个 C．10个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故选：D 7．如图，在中，，，，平分，点、分别为、上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取点N关于AD的对称点E，由轴对称图形的性质可知MN＝ME，从而得到CM＋MN＝CM＋ME，当点C、M、E在一条直线上且CE⊥AB时，CM＋MN有最小值，最后利用面积法求得CE的值即可． 【详解】解：取点N关于AD的对称点E． ∵AD平分∠BAC， ∴点E在AB上． ∵点N与点E关于AD对称， ∴MN＝ME． ∴CM＋MN＝CM＋ME． 当CE⊥AB时，CE有最小值，即CM＋MN有最小值． ∵在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4， ∴AC•BC＝AB•CE，即5CE＝3×4，解得CE＝2.4． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是轴对称−路径最短问题，解答本题主要应用了轴对称图形的性质、垂线段最短的性质，将CM＋MN转化为CE的长是解题的关键． 8．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，求出折叠三次后的角度是解题的关键． 根据折叠的轴对称性，计算出对折三次后的度数，乘以2即可得出答案． 【详解】解：将对折3次后角度变为， ， 故选：C． 9．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 二、填空题 10．如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的度数为___________． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质可得即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，垂线段的性质．作E关于的对称点M，连接，，过B作于N，由轴对称得，由三角形三边关系可得，由垂线段最短可得，进而可得的最小值为的长度，因此利用等面积法求出即可． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接，，过B作于N， 由轴对称得， ， 由垂线段最短可得， 的最小值为的长度． ， ， 的最小值为， 故答案为：． 12．如图，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在边上的点E处，折痕为，若和的周长分别是24和7，则的长是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 根据翻折变换的性质可得，再的周长为24，的周长为7，等量代换即可计算出的长度． 【详解】解：∵沿折叠使点C落在边上的点E处， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ①， ∵的周长为7， ②， ∴①②得：，即． 故答案为：． 13．如图，在Rt△ABC中，，，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD对折，点C的对应点是，在点D从C到点A的运动过程中，点运动的路径长________． 【答案】2 【分析】由题意可知点C′的运动轨迹是以B为圆心，BC为半径的扇形，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意可知点C′的运动轨迹是以B为圆心，BC为半径的扇形， 当点D从点C到点A的动过程中，点C′运动的轨迹是扇形，扇形的圆心角为180°， 点C′运动的路径长＝＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查翻折变换，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点C′的运动轨迹． 14．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，，则的周长是_________． 【答案】10 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到和的长，即可求得答案． 【详解】解：，M为的中点， ， ，M为的中点， ， 的周长是． 故答案为：10． 三、解答题 15．如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，作关于直线MN对称的图形． 【答案】见解析 【分析】利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，，即可． 【详解】解：如图． 【点睛】本题考查了作图一轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出对称点． 16．将一张长方形纸片按如图所示方式进行折叠，使点落至点处，点落至点处，且与在同一直线上，折痕分别为，则与有怎样的位置关系？并说明理由． 【答案】；见解析 【分析】此题考查折叠的性质：折叠前后的对应角相等，以及垂直的定义，正确理解折叠的性质是解答此题的关键．由折叠得：，，利用，得到，说明，即可得到结论． 【详解】解：，理由如下： 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∵与在同一直线上， ∴， ∴． 17．国庆期间，高笋塘广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板． (1)用含、的代数式表示出展板的面积，并求出当米，米时展板的面积． (2)在（1）的条件下，已知摆放花草部分造价为元/平方米，展板部分造价为元/平方米，求制作整个造型的造价（取3）． 【答案】(1)；平方米 (2)制作整个造型的造价为元． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，列代数式、代数式求值以及有理数混合运算等知识，理解题意，正确用含，的代数式表示处展板的面积是解题关键． （1）利用分割法求解即可，展板的面积为2个边长分别为和的长方形的面积，将，的值代入（1）中代数式求值即可； （2）分别求出摆放花草部分造价和展板部分造价，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意，展板的面积． 当米，米时， 展板的面积平方米； （2）元， 即制作整个造型的造价为元． 18．如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上， (1)直接写出的面积_______； (2)作出关于直线对称的； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查轴对称的作图和利用网格求三角形面积． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：的面积 故答案为： （2）如图，即为所求， 19．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段和直线，点，，，均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画四边形（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形是以直线为对称轴的轴对称图形，点的对称点为点，点的对称点为点； (2)利用网格计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用网格找出A，B关于MN的对称点D，C，顺次连接四个顶点即可； （2）利用包含四边形的正方形的面积减去周围四个小三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，利用网格找出A，B关于MN的对称点D，C，顺次连接即可得到四边形． （2）解：． 【点睛】本题考查利用网格作轴对称图形，以及得用网格计算四边形的面积，解题的关键是掌握轴对称图形的特点以及格点作图的技巧． 20．（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，、为折痕，求的度数； （2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，、为折痕，若，求的度数； （3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，、为折痕，若，请直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】此题考查折叠的性质：折叠前后的对应角相等，以及角度的和差计算． （1）由折叠的性质知，，即可得到； （2）由计算出，据此即可求出答案； （3）同（2）求得，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质知，， ∴，， ∴； （2）由折叠的性质知，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）由折叠的性质知，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 轴对称及其性质（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】轴对称图形 1. 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2. 对应点、对应线段、对应角的概念 对应元素 文字描述 符号语言 对应点 沿对称轴对折后能够重合的点叫作对应点 点A，B，C的对应点分别是点A'，B'，C 对应线段 沿对称轴对折后能够重合的线段叫作对应线段 线段AB，AC，BC的对应线段分别是A'B'，A'C，B'C 对应角 沿对称轴对折后能够重合的角叫作对应角 ∠1，∠B，∠2的对应角分别是∠3，∠B'，∠4 续表 图示 【知识点02】两个图形成轴对称 1. 定义 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴. 2. 两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条 有一条、多条或无数条 联系 (1) 定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2) 把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称 【知识点03】轴对称的性质 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等，如图5.1-2.对称轴既是对应点所连线段的垂线，也经过其中点. 【知识点04】画对称轴 1. 画对称轴的依据 画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 2. 画对称轴的步骤 (1)找：找到任意一对对应点； (2)连：连接这对对应点； (3)画：过对应点所连线段的中点作垂线. 这条垂线就是对称轴. 【知识点05】画已知图形的轴对称图形 1. 方法 几何图形都可以看作由点组成. 对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2. 步骤 画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画 三连”. 找：在原图形上找特殊点； 画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连：依次连接各对称点. 【题型一】轴对称图形的识别 例1．（25-26七年级下·山东济南·月考）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）某校开展“衣加衣”温暖活动，同学们积极响应号召，踊跃捐衣，校团支部为本次活动设计了一个“众志成城，奉献爱心”的图标．如图，图标中两圆的大小关系是______． 变式2．如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 【题型二】成轴对称的两个图形的识别 例2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【题型三】根据成轴对称图形的特征进行判断 例3．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是________，的对应角是________． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 【题型四】根据成轴对称图形的特征进行求解 例4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上一点，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点之间的距离的最小值是______________，点之间的距离的最大值是______________． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【题型五】求对称轴条数 例5．（23-24七年级下·四川乐山·期末）下列图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 变式1．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，该轴对称图形有________条对称轴． 变式2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 【题型六】折叠问题 例6．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，我们将每个“尖角”为，且十条边都相等的五角星称为“正五角星”，图1中的虚线将周角十等分．通过图2的折纸步骤制作一个五角星，折叠后沿着剪开，若要使得剪下来的纸片展开后是正五角星，则的大小为_________ ． 变式2．（25-26七年级下·全国·周测）将长方形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问的度数是多少？ 【思路点拨】根据折叠的性质可以得到各角之间的关系，从而可以得到的度数． 【我的解答】 【题型七】画对称轴 例7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 变式1．（25-26七年级下·全国·周测）如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）分别画出下列各个图形的对称轴（不写画法）． 【题型八】画轴对称图形 例8．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个． A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字：______． 变式2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，下列正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．请仅用无刻度的直尺在所给的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，以，（）为邻边画一个四边形，使第四个顶点在格点上，并且所画的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，画出关于直线成轴对称的． 【题型九】设计轴对称图案 例9．用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示．若要使花纹保持原来的样式，应在图中①处选择的布料图案是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将个小三角形涂黑，使个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有________种． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）请你分别在下面四个图中的某个空白方格内补画1个小圆，使补画后的4个小圆组成的图形为轴对称图形． 【题型十】车牌号码的镜面对称 例10．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 变式1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为___________． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【题型十一】钟表的镜面对称 例11．（2024七年级下·全国·专题练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 变式1．墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【题型十二】电子钟示数的镜面对称 例12．（24-25七年级下·全国·单元测试）小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是__________． 【题型十三】台球桌面上的轴对称问题 例13．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 变式1．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 变式2．已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【题型十四】轴对称中的光线反射问题 例14．（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 变式2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 一、单选题 1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 3．下列说法不正确的是（　　） A．角平分线是角的对称轴 B．将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴 C．角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形 D．线段、角、等腰三角形都是轴对称图形 4．下列图形中，有且仅有一条对称轴的图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，长方形为大小可调节的弹子盘，个角都有洞．弹子从出发，路线与边成角，撞到边界即反弹．当，时，弹子最后落入洞．若，时，弹子在落入洞之前，撞击边的次数和最后落入的洞分别是（   ） A．次，洞 B．次，洞 C．次，洞 D．次，洞 6．如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．16个 B．12个 C．10个 D．6个 7．如图，在中，，，，平分，点、分别为、上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 8．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的度数为___________． 11．如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为______． 12．如图，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在边上的点E处，折痕为，若和的周长分别是24和7，则的长是________． 13．如图，在Rt△ABC中，，，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD对折，点C的对应点是，在点D从C到点A的运动过程中，点运动的路径长________． 14．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，，则的周长是_________． 三、解答题 15．如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，作关于直线MN对称的图形． 16．将一张长方形纸片按如图所示方式进行折叠，使点落至点处，点落至点处，且与在同一直线上，折痕分别为，则与有怎样的位置关系？并说明理由． 17．国庆期间，高笋塘广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板． (1)用含、的代数式表示出展板的面积，并求出当米，米时展板的面积． (2)在（1）的条件下，已知摆放花草部分造价为元/平方米，展板部分造价为元/平方米，求制作整个造型的造价（取3）． 18．如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上， (1)直接写出的面积_______； (2)作出关于直线对称的； 19．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段和直线，点，，，均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画四边形（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形是以直线为对称轴的轴对称图形，点的对称点为点，点的对称点为点； (2)利用网格计算四边形的面积． 20．（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，、为折痕，求的度数； （2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，、为折痕，若，求的度数； （3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，、为折痕，若，请直接写出的度数（用含的式子表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $