第10讲 全等三角形几何模型与辅助线综合题（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年（北师大版）七年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 全等三角形几何模型与辅助线综合题（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【知识点02】垂直模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 【知识点03】截长补短模型 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 【题型一】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是的高．下列不能使的条件是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，添加一个条件_____，使．（不添加辅助线和点） 变式1．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，下列添加任何条件不能证明的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【题型二】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 例3．（22-23七年级下·江苏苏州·月考）在中，，，那么中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 _______________； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ______________； ．        B．         C．         D． 例5．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 变式1．（22-23七年级下·广东佛山·月考）在中，为的中线，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．无法确定 变式2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为____________． 变式3．（24-25七年级下·山东济南·月考）【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．；B．；C．；D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．；B．；C．；D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 【题型三】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 例6．（22-23七年级·江苏南京·月考）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 例7．（2023七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 变式1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 变式2．（23-24七年级·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【题型四】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 例8．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 变式1．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   变式2．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【题型五】截长补短模型(全等三角形的辅助线问题) 例9．（2023七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 变式1．综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【题型六】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 例10．（22-23七年级·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 变式1．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【题型七】全等三角形综合问题 例11．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 例12．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为___________秒． 例13．（24-25七年级下·全国·课后作业）奇思利用一根长3m的竿子来测量电线杆AB的高度．他的方法如下：如图，在电线杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子CD（）在BP的延长线上左右移动，使，此时测得．已知，，请计算出电线杆AB的高度． 变式1．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，厘米，厘米，厘米，，E为线段的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使 与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？ 变式3．（25-26七年级下·全国·课后作业）综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 一、单选题 1．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（      ） A． B． C． D． 4．如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，如图2，在射线上取点F，连接，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（　　）    A．10 B．15 C．21 D．28 5．已知：如图，，，要使，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在锐角纸片中，，，，为上一动点，将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 7．如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，沿B—C—D—A向终点A运动，每秒运动2个单位长度．设点P的运动时间为ts，当和全等时，t的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 8．同学们学习完“全等三角形”的知识后，对以下题目进行了讨论，下面是四位同学的答案，其中错误的是（   ） ，_____（添加一个条件，使结论成立）， 可以得到． A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 10．如图，已知，，再添加一个条件能使，这个条件是______（写一组即可）． 11．如图，，，根据AAS定理，要使，则须补充的一个条件是___________． 12．在中，是边上的中线，，则的取值范围是_______________． 13．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 14．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是______ 三、解答题 15．如图，．能否与重合？请说明理由． 16．如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之停止）．问：x为何值时，△ACP与△BPQ全等？ 17．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），点在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点．若______，求证：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 18．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离． 测量学校点A与建筑物点B之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图         设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米． 任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由． 任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离． 19．在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量） 小颖设计的方案是：先过点A作的垂线，在上顺次截取，使，然后过点D作，连接并延长交于点E，则的长度即为的长度． (1)小颖的作法你同意吗？并说明理由； (2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你设计一个与小颖全等依据不同的方案，并画出图形． 20．综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．    (1)【初步探究】请你探究线段之间的数量关系； (2)【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ； (3)【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． 21．综合与实践 （1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（    ）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，且，且，利用（1）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图3，中，，，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积 （４）拓展提升：如图4，点B，C在的边AM，AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是、的外角，已知，，求证： （5）拓展应用：如图5，在中，，，点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，，若的面积为15，则与的面积之和为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 全等三角形几何模型与辅助线综合题（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】倍长中线模型 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【知识点02】垂直模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 【知识点03】截长补短模型 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 【题型一】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是的高．下列不能使的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了判定三角形全等的条件，熟练掌握判定三角形全等的条件是解题的关键； 逐一分析选项所给条件与题干条件相结合能否判定两个三角形全等． 【详解】解：∵AD是的高 ∴ ∴在和中，， A、当时，无法满足判定三角形全等的任一判定定理，符合题意； B、当时，可根据“两边夹一角”即SAS判定两个三角形全等，不符合题意； C、当时，可根据“两角夹一边”即ASA判定两个三角形全等，不符合题意； D 、当时，可根据“两角夹一边”即ASA判定两个三角形全等，不符合题意； 故选：A ． 例2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，添加一个条件_____，使．（不添加辅助线和点） 【答案】或或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理、和是解决问题的关键．由图可知与有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 与有公共边， ， 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 故答案为：或或． 变式1．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，下列添加任何条件不能证明的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：在和中 ． ， ． ． 在和中 ． 在和中 ． 故B、C、D选项正确符合题意，A选项不符合题意． 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 【题型二】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 例3．（22-23七年级下·江苏苏州·月考）在中，，，那么中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】延长到E，使，连接BE，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】画出延长中线到，使，连接，    ∵是的中线， ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系得：， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键． 例4．（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 _______________； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ______________； ．        B．         C．         D． 【答案】 D C 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，倍长中线法证明三角形全等是解题的关键； （1）如图中，延长到点，使，连接，利用证明； （2）根据全等三角形的性质推出，再根据，可得结论； 【详解】（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：D； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C； 例5．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式1．（22-23七年级下·广东佛山·月考）在中，为的中线，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用 【分析】延长到点E，使，连接，可证明，得，而，根据三角形的三边关系得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点E，使，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．解题的关键是倍长中线法构造全等三角形． 变式2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为____________． 【答案】12 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·山东济南·月考）【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_________； A．；B．；C．；D．． （2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______； A．；B．；C．；D．． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________． 【答案】（1）B  （2）D  （3） （4） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出得取值范围； （3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论； （4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故选：D； （3）， 延长到，使得，连接，如图， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）延长到，使得，连接， 由（3）可知，， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【题型三】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 例6．（22-23七年级·江苏南京·月考）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 例7．（2023七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 【答案】 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 变式1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 变式2．（23-24七年级·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 【题型四】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 例8．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图，由题意知：AE=BD=2，CD=BE=1，∠AEB=∠BDC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCD，AB=BC， 又∵∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABE+∠CBD=90°， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：D． 变式1．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 变式2．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可； （2）根据（1）的结论，进而可得； （3）方法同（1）证明，进而可得 （4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2） 解：∵， ∴，． 又∵， ∴． （3） 解：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∴，，， ∴ （4） 解：．理由如下： ∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴． 【题型五】截长补短模型(全等三角形的辅助线问题) 例9．（2023七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 变式1．综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、角平分线的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【题型六】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 例10．（22-23七年级·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【知识点】其他模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 变式1．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 【题型七】全等三角形综合问题 例11．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 例12．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为___________秒． 【答案】或或 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查去啊能三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． 根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒） ∴的值为或或， 故答案为：或或． 例13．（24-25七年级下·全国·课后作业）奇思利用一根长3m的竿子来测量电线杆AB的高度．他的方法如下：如图，在电线杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子CD（）在BP的延长线上左右移动，使，此时测得．已知，，请计算出电线杆AB的高度． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】先由垂直条件得到直角相等，再通过角度计算得出一组角相等，结合已知的边相等，证明两个三角形全等，最后利用全等三角形的对应边相等，计算出电线杆AB的高度． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵，， ∴， 即． 故电线杆AB的高度是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等判定定理及全等三角形对应边相等是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 利用全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴， 即，该选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴， 由A.选项得， 又， ， ∴，该选项正确，不符合题意； C. ∵， ∴， 由B.选项得， ∴， 即， 又， , ∴，该选项正确，不符合题意； D.由以上条件，无法确定 ，该选项错误，符合题意； 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，厘米，厘米，厘米，，E为线段的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使 与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？ 【答案】2或 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用；解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． 分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则， ， ∵，点E为线段的中点， ∴， ∴①当 ， 时， 与全等， 此时， ，解得 ， ∴， 此时，点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时， ，解得 ， ∴点Q的运动速度为 厘米/秒； 综上所述，点Q的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 故答案为：2或. 变式3．（25-26七年级下·全国·课后作业）综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 【答案】(1)，，（）； (2)见解析； (3)，成立． 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键； （1）根据题干思路完成过程； （2）根据题干思路写出解答过程； （3）说明方案Ⅱ中作垂直的目的以及一般情况下的结论即可． 【详解】（1）解：如图①所示，在和中， ，（对顶角相等），， 所以（填写判定理由）， 所以（全等三角形的对应边相等）， 即的距离即为的长； （2）解：∵，， ． 在和中， ， ∴； （3）解：方案（Ⅱ）中作，的目的是使； 若仅满足方案（Ⅱ）仍成立， ∵仍可根据其他条件来构造全等三角形确定AB的长度． 一、单选题 1．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 2．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 3．如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，通过已知条件和添加的条件逐一判断每个选项能否证明两个三角形全等，再选出正确答案即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； B项：添加，不能证明和全等，符合题意； C项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； D项：添加，可利用证明和全等，不符合题意． 故选：B． 4．如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，如图2，在射线上取点F，连接，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（　　）    A．10 B．15 C．21 D．28 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图1和图2中全等三角形的对数，进而得出规律：第n个图形中全等三角形的对数是，即可解答． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴． 在和中，， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵． ∴， 在中，， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 所以：第6个图形中全等三角形的对数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键． 5．已知：如图，，，要使，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，解题的关键是注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可． 【详解】解：A、添加条件判定用的判定方法是，正确； B、添加条件不能判定，错误； C、添加条件判定用的判定方法是，错误； D、添加条件判定用的判定方法是，错误． 故选：A． 6．如图，在锐角纸片中，，，，为上一动点，将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的折叠问题、全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小．由将、分别沿、向外翻折至、可得：，由易得，面积，当x取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：∵、分别沿、向外翻折至， ∴， ∴，，， ∵ ∴， 面积， 当取最小值时的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，， 即， 解得：， 面积的最小值为：． 故选：C． 7．如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，沿B—C—D—A向终点A运动，每秒运动2个单位长度．设点P的运动时间为ts，当和全等时，t的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】先明确长方形的边长，再根据全等三角形的对应边相等，分两种全等情况，确定动点P的位置，结合P的运动速度计算运动时间t． 【详解】解：由题意，可分两种情况讨论： ①当时，，此时点P在BC上，所以； ②当时，，此时点P在AD上，所以． 综上所述，的值为1或7． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与动点运动问题，掌握分情况讨论全等三角形的对应关系，结合动点运动路程与速度计算时间是解题的关键． 8．同学们学习完“全等三角形”的知识后，对以下题目进行了讨论，下面是四位同学的答案，其中错误的是（   ） ，_____（添加一个条件，使结论成立）， 可以得到． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：由，则： A、添加的条件是，根据可证明，故选项A不符合题意； B、添加的条件是，得，根据可证明，故选项B不符合题意； C、添加的条件是，根据不能证明，故选项C符合题意； D、添加的条件是，根据可证明，故选项D不符合题意． 故选：C． 二、填空题 9．如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知，，再添加一个条件能使，这个条件是______（写一组即可）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形判定定理．根据全等三角形的判定方法，结合图形添加条件或或，即可证明． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加条件， ∵，，， ∴； 添加条件， ∵，，， ∴； 添加条件， ∵，，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，，，根据AAS定理，要使，则须补充的一个条件是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据，，添加或利用AAS定理可判断；由隐含的条件结合，添加利用AAS定理可判断，据此即可求解． 【详解】解：添加， 在和中， ， ∴； 添加， 在和中， ∴； 添加， 在和中， ∴； 故答案为：或． 12．在中，是边上的中线，，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在新的三角形中运用三边关系定理求解． 【详解】如图，延长至点，使，连接，则 ∵ ∴ ∴ 中， ∴ ∴ 故答案为：． 13．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 14．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．延长到点E，使，连接，由可证，可得，由三角形三边关系可得． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．如图，．能否与重合？请说明理由． 【答案】能与重合．理由见解析 【分析】本题要判断能否与重合，即判断这两个三角形是否全等，已知，需要通过推出，然后根据 “SSS”（边边边）全等判定定理来证明． 【详解】解：能与重合．理由如下： ∵ ∴，即 在与中， ∴ ∴能与重合． 【点睛】本题考查了三角形全等的 “SSS” 判定定理，掌握 “SSS” 判定定理是解题的关键． 16．如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之停止）．问：x为何值时，△ACP与△BPQ全等？ 【答案】x的值为2或 【分析】由于∠CAB=∠DBA，所以△ACP与△BPQ全等分两种情况讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，即5=7-2t，2t=xt；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，即5=xt，2t=7-2t，然后分别求出x即可． 【详解】解： AB＝7cm，AC＝5cm， △ACP与△BPQ全等，分两种情况讨论： ①若△ACP≌△BPQ， 则AC=BP，AP=BQ， 可得：5=7-2t，2t=xt， 解得：x=2，t=1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC=BQ，AP=BP， 可得：5=xt，2t=7-2t， 解得：． 综上所述，x的值为2或时，△ACP与△BPQ全等． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质和动点相结合，解题关键是全等知识点熟练应用和动点的情况分析． 17．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），点在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点．若______，求证：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：选择条件①的证明： 因为， 所以， 又因为，， 所以≌， 所以． 选择条件②的证明： 因为， 所以， 又因为，， 所以≌， 所以． 选择条件③的证明： 因为， 所以， 又因为，， 所以≌， 所以 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：SSS，AAS，SAS，ASA，HL 18．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离． 测量学校点A与建筑物点B之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图         设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米． 任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由． 任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离． 【答案】（1）见解析；（2）50米 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），对顶角相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明，再根据全等三角形的性质可得； （2）利用证明，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段差说明即可． 【详解】（1）解：理由如下：由作图知，（对顶角）， ∵在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E， ∴． ∴， ∴． （2）解：在和中， ∵，，（对顶角）， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴米． 19．在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量） 小颖设计的方案是：先过点A作的垂线，在上顺次截取，使，然后过点D作，连接并延长交于点E，则的长度即为的长度． (1)小颖的作法你同意吗？并说明理由； (2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你设计一个与小颖全等依据不同的方案，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）只需要利用ASA证明△ABC≌△DEC即可得到答案； （2）过点A作射线AP，在线段AP上取两点C、D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长． 【详解】（1）解：同意小颖的作法，理由如下： ∵DN⊥AD，AB⊥AM， ∴∠CDE=∠CAB=90°， 又∵∠ACB=∠DCE，AC=DC， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴DE=AB， ∴同意小颖的作法； （2）解：过点A作射线AP，在线段AP上取两点C、D使得AC=DC，连接BC并延长到E使得EC=BC，连接DE，则DE的长即为AB的长； ∵EC=BC，AC=DC，∠ACB=∠DCE， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB=DE； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20．综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．    (1)【初步探究】请你探究线段之间的数量关系； (2)【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ； (3)【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）证明，根据全等三角形对应边相等即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到； （3）证明，则，，由即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∵， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 即， 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 21．综合与实践 （1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（    ）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，且，且，利用（1）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______； （3）类比探究：如图3，中，，，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积 （４）拓展提升：如图4，点B，C在的边AM，AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是、的外角，已知，，求证： （5）拓展应用：如图5，在中，，，点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，，若的面积为15，则与的面积之和为______． 【答案】（1）AAS；（2）50；（3）8；（4）见解析；（5）5 【分析】（1）根据AAS证明△AEC≌△CDB； （2）利用（1）中的结论，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值； （3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，证明△AEB′≌△BCA，得AC=B′E=4，根据面积公式可得结论； （4）根据ASA证明ΔABE≅ΔCAF，即可解答； （5）根据与的面积之和等于与的面积之和，即可解答． 【详解】解：（1）如图1中， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ 故答案为：AAS． （2）如图2中， ∵，，，， 由（1）得：，， ∴，，，， ∴ 故答案为50. （3）如图3，过点作于E， 由旋转得：， ∵， 由（1）可知， ∴， ∴． （4）如图4中， ∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （5）如图5中， ∵的面积为15，， ∴的面积是：， 由图4中证出， ∴与的面积之和等于与的面积之和， 即等于的面积是5. 【点睛】此题考查了旋转的性质，三角形全等的性质和判定，解题关键在于熟练掌握判定定理，证明三角形全等. 1 学科网（北京）股份有限公司 $