精品解析：江苏省镇江中学、镇江市第一中学等校2026届高三下学期适应性训练数学试题

2026届高三适应性训练 数学试题 命题单位：南京市东山高级中学 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若空间中四条两两不同的直线，满足 则下面结论一定正确的是（ ） A. B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置关系不确定 2. 已知复数，其中是虚数单位，，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 集合的子集个数是（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 无数个 4. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 11 5. 计算保留到小数点后3位的结果是（ ） A. 0.945 B. 0.905 C. 0.904 D. 0.903 6. 若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 7. 已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点 ，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.0044 B. 在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户 C. 估计该小区用户月用电量的中位数不超过 D. 用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则 10. 已知O是坐标原点，抛物线的焦点是点F，，B，C是抛物线上的三点，点T在圆上运动，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 如果，则直线BC与x轴的公共点为 D. 如果直线AB，AC均与圆M相切，则直线BC的方程为 11. 已知数列满足，，，为其前n项和，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______． 13. 已知关于n的方程为，则_____． 14. 函数，，且的值域为______（用表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项是，且． （1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）若，求满足条件的最小整数n的值． 16. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． （1）求甲连续打前四局比赛的概率； （2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； （3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 17. 已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． （1）如果，求实数k的取值集合； （2）如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． 18. 如图，四边形是平行四边形ABCD在平面上的投影（）． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知四边形是边长为的正方形，，，，，，，点 和 分别是和的中点，设直线DE与的交点为S． ①求证：点S在直线上； ②求平面SCD与平面的夹角的余弦值． 19. 已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为 ． （1）求a的值； （2）证明：当时，； （3）设，若对任意恒成立，求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三适应性训练 数学试题 命题单位：南京市东山高级中学 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若空间中四条两两不同的直线，满足 则下面结论一定正确的是（ ） A. B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置关系不确定 【答案】D 【解析】 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 2. 已知复数，其中是虚数单位，，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数除法的法则将变形，再根据复数模的公式计算即可得解. 【详解】因为复数 ， 所以. 3. 集合的子集个数是（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 无数个 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，即， 解得，所以， 所以集合的子集个数是. 4. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】运用等差数列通项性质求解. 【详解】设等差数列公差为d，那么. 5. 计算保留到小数点后3位的结果是（ ） A. 0.945 B. 0.905 C. 0.904 D. 0.903 【答案】C 【解析】 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 6. 若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得角 的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角 ，从而选出正确答案. 【详解】分别是非零向量同向的单位向量， 因为，所以角 的角平分线与垂直， 即角 的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形. 由，得. 又，所以. 因此，是等边三角形. 7. 已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得 ，而， 当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，当时，， 函数有两个零点，当且仅当，令函数， 而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增， 又，因此不等式的解集为. 所以实数m的取值范围是. 8. 椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点 ，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆及所给条件表示出点 的坐标，并将其代入椭圆方程，利用将椭圆方程转化为关于的齐次方程，即可求出椭圆的离心率. 【详解】 如图所示，圆是以为直径的圆，点 是圆与椭圆在第二象限的交点， 且，则，， 所以点，即. 将点 的坐标代入椭圆的方程可得，即. 在椭圆中有，将其代入上式，整理可得， 等式的两边同时除以可得，即， 即，解得或. 因为椭圆的离心率，所以，故，解得. 所以椭圆的离心率为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.0044 B. 在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户 C. 估计该小区用户月用电量的中位数不超过 D. 用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，由图可得组距为50，根据频率和为1，得，解得，故A正确； 对于B，用电量落在区间内的频率， 由样本容量为100，得用电量落在区间内的户数，故B正确； 对于C，由图可得第一组的频率为，第二组的频率为 ，第三组的频率为； 前两组的累计频率为，前三组的累计频率为， 中位数位于第三组内； 设中位数为 ，则，解得； ，中位数超过，故C错误； 对于D，用电量不超过的频率为前两组频率之和，即； 用频率估计概率，从该小区抽取1人，其用电量不超过的概率. 从该小区抽取10人，设X表示用电量不超过的人数， 则X服从二项分布，则，故D错误. 10. 已知O是坐标原点，抛物线的焦点是点F，，B，C是抛物线上的三点，点T在圆上运动，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 如果，则直线BC与x轴的公共点为 D. 如果直线AB，AC均与圆M相切，则直线BC的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可；对于B，的最小值，等价于求圆心 到​的距离减去半径;对于C，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可；对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可. 【详解】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的准线方程为：，则，故A不正确； 对于B：根据抛物线定义，等于点 到准线​的距离， 要求的最小值，等价于求圆心 到​的距离减去半径, 即，所以的最小值为，故B正确； 对于C，显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为， 由，得，所以，所以， 所以，解得：或， 当时，直线 过原点，不满足题意，舍去， 所以，即直线BC与x轴的公共点为，故C正确； 对于D，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即， 又直线AB与圆相切，所以，整理得，即， 同理可得，所以直线BC的方程为，故D正确. 11. 已知数列满足，，，为其前n项和，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据已知的递推公式求出数列的前几项，进而分析数列的规律，再逐一分析选项即可. 【详解】选项A：因为，所以： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，故A正确； 选项B：由可得： 当为偶数时，， 则，，， 将代入， 可得， 再将代入上式可得： ，故B正确且 ； 选项C：， 因为，，，…，所以包含奇数项和偶数项， 因为只包含偶数项且恒为正，所以，故C错误； 选项D：当时，，， 所以， 假设当时，成立， 当时，， 因为，所以 ，，， 则，， 综上，即， 所以，故由数学归纳法可得成立， 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______． 【答案】（答案不唯一，也可以是中的任何一个） 【解析】 【详解】，，，， 的负整数的值为. 所以答案不唯一，可以是中的任何一个. 13. 已知关于n的方程为，则_____． 【答案】或 【解析】 【详解】，，，，， 或， 当时，. 当时，. 综上可知，的值为或. 14. 函数，，且的值域为______（用表示）． 【答案】 【解析】 【详解】函数，，且， 根据三角恒等式， 可得， 令，， 设函数，，且， 求导可得， 令，即，解得， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 因此在时取到最小值， ，，， 所以函数的值域为，即函数的值域为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项是，且． （1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）若，求满足条件的最小整数n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 所以， 又， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 可得. 【小问2详解】 由（1）得为等比数列， 设数列的前项和为，， 所以， 构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数， 为整数，所以当，，不成立， 当，，成立， 所以满足条件的最小整数n的值为. 16. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． （1）求甲连续打前四局比赛的概率； （2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； （3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【小问1详解】 由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. 【小问2详解】 设事件：前四局中第二局乙获胜，事件 ：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. 【小问3详解】 由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 17. 已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． （1）如果，求实数k的取值集合； （2）如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． 【答案】（1） （2） ①②； 【解析】 【分析】（1）根据题意，联立方程组讨论和，利用解出的取值集合； （2）①首先联立双曲线与直线方程，利用唯一公共点的条件得到与点 坐标的关系，根据过 且与垂直的直线方程可由垂直直线斜率关系得出，将坐标代入该直线方程，得到与 坐标的关系，再通过消去的坐标，推导出的轨迹方程； ②由①得到的轨迹方程，将​转化为单变量函数，利用基本不等式最大值，同时确定对应的值. 【小问1详解】 当，直线方程， 联立双曲线与直线，代入整理得， 由题知直线与双曲线有唯一公共点， 故当时，即，此时直线与双曲线渐近线平行，仅有一个交点，符合条件； 当时，，解得， 故实数k的取值集合为. 【小问2详解】 ①联立与得：， 由唯一公共点且，得，化简得 ， 设切点，由二次方程顶点公式得  ， 故过且与垂直的直线方程为， 分别令 ，，得，​  将​和代入，整理得，  即为的轨迹方程. ②由①知的轨迹方程，故 ，  令，， 原式 当时原式小于0，故最大值仅在时取得， 当时化简得， ​ 由基本不等式，当且仅当时取等， 因此 ，此时， 得​，即，代入得，即， 因此最大值为，对应. 18. 如图，四边形是平行四边形ABCD在平面上的投影（）． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知四边形是边长为的正方形，，，，，，，点 和 分别是和的中点，设直线DE与的交点为S． ①求证：点S在直线上； ②求平面SCD与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面， ，平面平面. 又两个平行平面被平面所截，交线为和 所以；同理， 故是平行四边形. （2）①因为是正方形，所以， 又因为，所以， 平面，平面， 所以平面，平面平面于，所以， 又因为，所以为平行四边形， 因为 是的中点，在中，由可得, ，即为的中点， 连接，取与的交点为， 在中，为的中点，且，所以， 又因为，此时重合，所以三点共线，点S在直线上. ② 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行，证明面面平行，最后用面面平行的判定定理证明，同理可得两组平行线段，即可证明平行四边形. （2）①先根据平行四边形和中点得到的中位线，求出为的中点，再用中位线的判定求出 是的中点，可得点S在直线上. ②设空间直角坐标系，先求出两个空间向量的法向量，再用法向量夹角的余弦值的绝对值求出平面SCD与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②在三角形中，， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以三角形为直角三角形， 即，所以点是在平面的投影点，又因为， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 可得，，， ，，，， 设平面的法向量， 由题意得，， 得到， 令，则，故； 设平面的法向量， 由题意得，， 可得， 令，，，所以； 设平面SCD与平面的夹角为，两平面的法向量夹角为 ， 所以. 19. 已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为 ． （1）求a的值； （2）证明：当时，； （3）设，若对任意恒成立，求m的最大值． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知函数，求导得， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递减，而， 则存在，使得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又， 即当时，，即，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递增，， 所以当时，. （3）2. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即可. （2）由（1）求出，多次求导确定函数在的单调性即可得证. （3）令，将不等式等价变形，取并结合（2）的信息确定，在构造函数，结合（2）中信息确定函数单调性而求得整数 的最大值. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 因此曲线在点处的切线方程为，依题意，， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式， 令，由，得，原不等式等价于， 依题意，不等式对任意恒成立， 令，则，由（2）知，因此， 而，则，令函数，由（2）知， 则，，令函数， 求导得，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，，因此对任意恒成立， 即当时，不等式对任意恒成立， 所以整数 的最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $