2026年重庆市中考数学自编模拟卷8

2026届重庆市中考数学模拟预测卷8 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．要调查下列问题，适合采取全面调查的是（   ） A．调查黄河的水质情况 B．《河南新闻联播》的收视率 C．国产航空母舰入役前的零部件检查 D．调查一批新郑小枣的甜度情况 4．如图，为的外接圆，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5朵太阳花，第②个图中有9朵太阳花，第③个图中有13朵太阳花，第④个图中有17朵太阳花…按照这一规律，则第⑧个图中太阳花的个数是（   ） A．21 B．25 C．29 D．33 6．下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 7．下列四个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 8．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（   ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中，为正整数，，为整数，且，，下列说法： ①当时，满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有8个； ③满足条件的二次二项式有10个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 12．如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______． 13．若为正整数，且满足，则__________． 14．若实数，同时满足，，则的值为______． 15．如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，交于点，连接，交于点，连接、，若，，，则的长度为______． 16．如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之和为8，那么称这个四位数M为“能源数”．将一个三位数记作，M的十位数字作为三位数的百位数字，三位数的十位数字是0，的个位数字与M的个位数字相同，记，例如：四位数1634，，不是“能源数”．又如：四位数5349，，是“能源数”，．若A是最小的“能源数”，则是________；若对于“能源数”M，能被11整除，记，则当为整数时，“能源数”M的最大值是_______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组：的所有整数解的和． 18．如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，交于点F．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，若，求证：四边形为矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵，， ∴，， ∴①______， 在和中， ， ∴， ∴③______， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴④______， ∴四边形是矩形； 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 八年级20名学生的成绩是：99，81，95，89，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，75，95，85，98． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：91，91，93，92，92． 八、九年级抽取的学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 91 九年级 90 96 九年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校八、九年级共有2000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人． 20．先化简，再求值，其中． 21．某超市购进甲乙两种牛奶共75箱．已知每箱甲牛奶占0.3立方米的存储空间，每箱乙牛奶占0.2立方米存储空间，这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间． (1)请问该超市采购了甲乙牛奶各多少箱？ (2)经市场调查，每箱甲牛奶的进价比每箱乙牛奶的进价多10元．如果用5000元采购甲牛奶的箱数与用4200元采购乙牛奶的箱数相同，那么采购这两种牛奶总共需要花费多少元？ 22．如图，在中，，点在上，且满足，，动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．连接，，设运动时间为秒，△BDE的面积记为，的面积记为S，的面积记为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23．某中学组织学生到高新产业园进行研学活动．如图，学生到达产业园大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往区（人工智能与大数据平台区）集合．区（新能源装备区）位于大门的正北方400米，区（机器人与智能装备区）位于区的北偏东方向且距离区400米处，区（智慧医疗区）在大门的正东方且在区的正南方．区在区的南偏东方向，且位于区的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求区与区之间的距离．（结果精确到个位） (2)已知第一组学生沿线路①参观体验，第二组学生沿线路②参观体验．两组学生分别参观完区和区后，同时以相同的速度前往区参观、体验，当两组学生在前往区的途中，大数据平台检测到两组学生之间的连线垂直于时，产业园智慧喷泉系统将自动开启，为两组学生送上欢迎水雾，请问，当两组学生之间距离多远时，喷泉将自动开启？ 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式： (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接．当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 25．如图，在等腰△ABC中，．       (1)若，点D为的中点，且，求线段的长度； (2)若D为△ABC外一点，连接，，且，点E为延长线上一点，F为上一点，连接，，已知为的平分线，，，且，猜想，，之间的数量关系并证明； (3)如图△ABC中，，．E，F分别为，的动点（均不与顶点重合）且，在直线下方作点P，使，连接，当有最小值时，、、三点共线，在上方取点M，连接，且，点N为直线与直线的交点，当有最大值时，直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆市中考数学模拟预测卷8 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倒数是． 2．下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、这个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C、此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3．要调查下列问题，适合采取全面调查的是（   ） A．调查黄河的水质情况 B．《河南新闻联播》的收视率 C．国产航空母舰入役前的零部件检查 D．调查一批新郑小枣的甜度情况 【答案】C 【分析】根据调查是否具有破坏性，对结果精确度的要求判断即可； 【详解】解：A 、调查黄河水质情况，范围广，适合抽样调查； B 、调查电视收视率，工作量大，适合抽样调查； C 、国产航空母舰入役前零部件检查关乎航行安全，要求每个零件都合格，必须进行全面调查； D 、调查小枣甜度，调查具有消耗性，适合抽样调查； ∴适合全面调查的是C． 4．如图，为的外接圆，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 为的外接圆，， ∴根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍， ． 5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5朵太阳花，第②个图中有9朵太阳花，第③个图中有13朵太阳花，第④个图中有17朵太阳花…按照这一规律，则第⑧个图中太阳花的个数是（   ） A．21 B．25 C．29 D．33 【答案】D 【分析】观察图形得出第个图中太阳花的个数是，再代入，计算即可得出结果． 【详解】解：由所给图形可知： 第①个图中太阳花的个数是：； 第②个图中太阳花的个数是：； 第③个图中太阳花的个数是：； …， ∴第个图中太阳花的个数是：， ∴第⑧个图中太阳花的个数是． 6．下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征解题，若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，验证各选项的横纵坐标乘积是否符合要求即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴等式变形可得 ，即反比例函数图象上任意点的横纵坐标乘积为， A、，点不在图象上，故此选项不符合题意； B、，点不在图象上，故此选项不符合题意； C、，满足条件，点在图象上，故此选项符合题意； D、，点不在图象上，故此选项不符合题意． 7．下列四个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的指数判断数的量级，再比较同量级数的系数即可得到结果． 【详解】解：， A、B对应的数都小于C和D对应的数； 指数相同时，系数， 最小的数是． 8．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 9．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可通过正方形性质、翻折变换的性质，结合角度推导与三角形相似来求解．先利用正方形对角线性质证明 及相关角相等，再通过角度计算得到角的等量关系，最后证明三角形相似，结合边长比例求出 的值． 【详解】解：连接、， ∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， 垂直平分 ，， ∴ ，， ∴， ∵, ∴, ∴． ∵ 沿 翻折得到 ， ∴ ，，． 设 , 则 ， ∴， ∴, ∴, 又 ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ． 10．已知整式，其中，为正整数，，为整数，且，，下列说法： ①当时，满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有8个； ③满足条件的二次二项式有10个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题根据题目给出的整式系数条件，逐个验证三个说法的正确性，按分类讨论计算各类整式的个数，即可得到结果． 【详解】解：首先整理已知条件：为正整数，为整数，满足即，且对，． 验证说法① 当，为单项式，则，由条件得，又是正整数，故，共3个满足条件的单项式，因此①正确． 验证说法② 等式成立，说明所有同号，又为正，故所有，即，条件变为， ， 当：，，，计算得： 时，，共3个； 时，，共3个； 时，，共1个； 时无符合条件的解， 共个． 当：最小总和为，总和为，其余情况总和均大于6，故仅1个． ：最小总和为，无符合条件的解． 总共有个，因此②正确． 验证说法③ 二次二项式即，，恰好两个系数非零： 情况1：当时， ∵，， ∴，即，显然不成立，无解． 情况2：当时，得，，， 当时，有，， ， ， ∴， 解得此时，只有1个； 当时，由，且为整数， ∴则或或， 由，可知， ∴， ∵ ∴，恒满足， 当时，，则，共3个 当时，，则共3个 当时，，则，共3个 ∴当时，满足条件的二次二项式共有个，③正确． 三个说法都正确，正确个数为3． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 【答案】 【分析】根据选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种， 则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是． 12．如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，然后通过角度和差，平角定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：计算 ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为6． 14．若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可得，再分、两种情况，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：，， ， ①当时， ，方程组无解； ②当时， ，解得，此时； 综上，． 15．如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，交于点，连接，交于点，连接、，若，，，则的长度为______． 【答案】 【分析】作的直径，交于于点Q，连接，，则，过点作于点M，证明四边形是矩形，过点作于点S，交于点T，证明四边形是正方形，根据勾股定理，求解即可． 【详解】解：作的直径，交于于点Q，连接， ， 为边作平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 连接， 则， 根据垂径定理，得， ， ， ， 过点作于点M， 根据题意，得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 过点作于点S，交于点T， 四边形是矩形， ， 由平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之和为8，那么称这个四位数M为“能源数”．将一个三位数记作，M的十位数字作为三位数的百位数字，三位数的十位数字是0，的个位数字与M的个位数字相同，记，例如：四位数1634，，不是“能源数”．又如：四位数5349，，是“能源数”，．若A是最小的“能源数”，则是________；若对于“能源数”M，能被11整除，记，则当为整数时，“能源数”M的最大值是_______． 【答案】 152 6298 【分析】根据题意可得，各数位非0且互不相等，要使最小，取则，最小取2，最小取3，得值，由定义可得，进而求出，将其代入求解即可；由得，进而可得，要使其被11整除，则需被11整除，列举得出有效的组合；再计算，筛选得整数解，进而即可得解． 【详解】解：由题意得，，且和， ∵A是最小的“能源数”， ∴千位最小取1， ∵， ∴， ∴十位最小取2，个位最小取3， ∴最小能源数， 由题意得，，， ∴ ， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴ ， ∵要让能被11整除， ∴必须也能被11整除， ∵， ∴的范围是，是的非零数字， ∴当，时， ， 当，时， ， ∴， ∴在到8之间，能被11整除的数有0、、、、、、， ∴当时，则， ∴，； 当时，则， ∴（舍去），时（舍去）； 当时，则， ∴时， 当时，则， ∴时（舍去），时（舍去）， 当时，则， ∴时（舍去），时（舍去）， 当时，则， ∴时（舍去），时， 当时，则， ∴时， ∴当，时，， ， ∴“能源数”M为； 当，时，， ∴“能源数”M为； 当，时，， （不是整数，舍去）； 当，时，， ， ∴“能源数”M为， ∴， ∴最大的“能源数”为时， ∴． 【点睛】本题以“能源数”新定义为载体，结合数的整除性、代数式化简与整数性质，通过列举筛选与最值分析推导结果，体现了代数建模、分类讨论与逻辑推理的核心数学思想． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】0 【分析】先求出每个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，找出所有整数解后求和即可． 【详解】解：解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 原不等式组的解集为：； ∴所有整数解有：， ∴原不等式组所有整数解的和为：． 18．如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，交于点F．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，若，求证：四边形为矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵，， ∴，， ∴①______， 在和中， ， ∴， ∴③______， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴④______， ∴四边形是矩形； 【答案】(1)作图见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，分别以该两点为圆心，大于该两点距离的一半为半径在下方画弧，两弧交于一点，最后连接点D和该点，与交点F，则点F为的垂足； （2）利用已知条件证明，得到，再结合平行四边形的性质证得，从而得证结论． 【详解】（1）解：如图所示，垂线即为所求： （2）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 八年级20名学生的成绩是：99，81，95，89，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，75，95，85，98． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：91，91，93，92，92． 八、九年级抽取的学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 91 九年级 90 96 九年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校八、九年级共有2000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人． 【答案】(1)，，； (2)九年级成绩相对更好，理由见解析； (3)估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有1250人． 【分析】本题考查了中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握用样本估计总体的方法是正确解答的关键． （1）先求出组所占的百分比，再求得值，再根据众数、中位数的定义求解出答案； （2）依据众数的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）九年级C组学生人数所占百分比为， ，即， 九年级成绩在A、B组人数为（人）， 所以九年级20名学生成绩中第10、11个数据落在组，将组数据从小到大排列后，可知成绩分别为92、93， 所以其中位数为， 根据八年级20名学生的成绩数据，可知出现次数最多，所以八年级成绩的众数， 故答案为：45、、95； （2）九年级成绩相对更好， 理由如下：九年级测试成绩的众数96大于八年级的众数95； （3）（人） 答：估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有1250人． 20．先化简，再求值，其中． 【答案】 ； 【分析】先根据整式乘法运算法则和分式混合运算法则化简，再利用特殊三角函数值和负整数幂求出的值，代入计算即可． 【详解】解： ； ∵ ， ∴原式 ． 21．某超市购进甲乙两种牛奶共75箱．已知每箱甲牛奶占0.3立方米的存储空间，每箱乙牛奶占0.2立方米存储空间，这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间． (1)请问该超市采购了甲乙牛奶各多少箱？ (2)经市场调查，每箱甲牛奶的进价比每箱乙牛奶的进价多10元．如果用5000元采购甲牛奶的箱数与用4200元采购乙牛奶的箱数相同，那么采购这两种牛奶总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱 (2)采购两种牛奶总共需要花费4037.5元 【分析】（1）设该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱，根据“这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间”列二元一次方程组即可解答； （2）设每箱乙牛奶的进价为元，则每箱甲牛奶的进价为元，根据“用5000元采购甲牛奶的箱数与用4200元采购乙牛奶的箱数相同”列分式方程，可得甲乙牛奶的进价，再计算，即可解答． 【详解】（1）解：设该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱， 则可得， 解得， 答：该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱； （2）解：设每箱乙牛奶的进价为元，则每箱甲牛奶的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每箱甲牛奶的进价为元，每箱乙牛奶的进价为52.5元， （元）， 答：采购两种牛奶总共需要花费4037.5元． 22．如图，在中，，点在上，且满足，，动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．连接，，设运动时间为秒，△BDE的面积记为，的面积记为S，的面积记为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)图象和性质见解析 (3) 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，画一次函数和反比例函数图象以及函数性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出当点E运动到点B时，时间（秒），当点E运动到点C时，时间（秒），然后分两种情况讨论，分别根据三角形面积公式即可表示出，进而表示出； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动，， ∴当点E运动到点B时，时间（秒），当点E运动到点C时，时间（秒）， ∴当时，点E在上， ∴ ∵在中，，， ∴； 当时，点E在上， ∴ ∴； 综上所述，； ∵， ∴ ∴； （2）解：列表如下： x 0 2 4 6 8 6 3 3 6 4 2 1 画图象如下： 函数的一条性质为：函数图象关于直线对称； 函数的一条性质为：y随x的增大而减小； （3）解：由图象可得，当时，． 23．某中学组织学生到高新产业园进行研学活动．如图，学生到达产业园大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往区（人工智能与大数据平台区）集合．区（新能源装备区）位于大门的正北方400米，区（机器人与智能装备区）位于区的北偏东方向且距离区400米处，区（智慧医疗区）在大门的正东方且在区的正南方．区在区的南偏东方向，且位于区的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求区与区之间的距离．（结果精确到个位） (2)已知第一组学生沿线路①参观体验，第二组学生沿线路②参观体验．两组学生分别参观完区和区后，同时以相同的速度前往区参观、体验，当两组学生在前往区的途中，大数据平台检测到两组学生之间的连线垂直于时，产业园智慧喷泉系统将自动开启，为两组学生送上欢迎水雾，请问，当两组学生之间距离多远时，喷泉将自动开启？ 【答案】(1)区与区之间的距离米； (2)当两组学生之间距离米时，喷泉将自动开启 【分析】（1）过作交直线于，于，先证明四边形是矩形，得到，再在中，求出，在中，求出，在中，求出，，最后根据求解即可； （2）设当两组学生在前往区的途中，，根据题意可得，设，表示出，，再根据中，，列方程解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：如图，过作交直线于，于， 由题意可得：，，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵中，，， ∴， ∵中，，， ∴，， ∴， 即区与区之间的距离米． （2）解：设当两组学生在前往区的途中，， 根据题意可得， 由（1）可得，， 设， ∴，， ∵中，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴当两组学生之间距离米时，喷泉将自动开启． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式： (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接．当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代入抛物线，结合抛物线的对称轴是直线，建立方程组求解即可； （2）过P作轴交于F，过点B作，使，连接,则四边形是平行四边形， ，求出，求出直线解析式，直线的解析式为，联立，解得，设，则，得，得，得当时，最大，由是定值，，得最大，得，当点M在直线上时，，最小，由点A与点B关于对称轴对称，得，得，最小，由，得，即得的最小值是；　 （3）设与交于点L，可知抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为，，得，由三角形外角性质得，得，求出解析式，得解析式为，当时，解得，得；设关于x轴对称点为，求出直线解析式，联立解得，得． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． （2）解：如图，过P作轴，交于F，过点B作，使，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 对， 令，则， 解得； 令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴， 当点M在直线上时，，最小， ∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ，最小， ∵， ∴， ∴的最小值是． （3）解：设与交于点L， ∵， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线， 为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 故点Q的坐标为或． 【点睛】第（2）小问添加辅助线构造将军饮马模型，第（3）小问，点Q在点B的左面，不合要求的点Q（在点B右面）舍去． 25．如图，在等腰△ABC中，．       (1)若，点D为的中点，且，求线段的长度； (2)若D为△ABC外一点，连接，，且，点E为延长线上一点，F为上一点，连接，，已知为的平分线，，，且，猜想，，之间的数量关系并证明； (3)如图△ABC中，，．E，F分别为，的动点（均不与顶点重合）且，在直线下方作点P，使，连接，当有最小值时，、、三点共线，在上方取点M，连接，且，点N为直线与直线的交点，当有最大值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作延长线于点，求出，则可得和，再求出，利用勾股定理即可求解； （2）在上截取，连接，作于点，证明，得出，则，通过导角可推出，在中，， 在中，，再利用即可证明； （3）过点作于点，求出，通过加权逆等线的方法确定时，有最小值，且、、三点共线，由构造的外接圆，可知圆心为点，过点作，交延长线于点，作于点，通过证明，，得，， 则可知当有最大值时，有最大值，即当与圆心重合时，有最大值，延长交于点，可知，利用勾股定理求出，再利用求出，最后利用面积公式求解． 【详解】（1）解：过点作延长线于点， ， ，， ， ，， 点D为的中点，， ， ， ； （2）解：猜想， 证明：在上截取，连接，作于点， ， ， 为的平分线， ， ，， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ； （3）解：如图，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， 如图，在射线上取点Q，使得， ， ， ， ， ， ， ，当且仅当、、三点共线时取得最小值， 又此时、、三点共线， 点和点重合，此时如图， 如图，构造的外接圆， ， ， ， ， ， 点和点重合， 过点作，交延长线于点，作于点， ，， ，， 当有最大值时，有最大值， 当有最大值时，有最大值， 当与圆心重合时，有最大值，此时如图， 延长交于点， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：，经检验是方程的解， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $