专题10函数压轴专项训练(知识梳理+10大题型+突破题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题10函数压轴专项训练 【温馨提示】14大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.动点函数图象题 题型02.分段函数应用题 题型03.图象信息提取题 题型04.函数表示互化题 题型05.自变量取值综合题 题型06.函数图象识别题 题型07.函数值逆向求解题 题型08.实际问题列函数解析式 题型09.描点画图与图象分析题 题型10.函数实际意义解读题 记忆口诀：一个核心定关系，三种表示互转化，取值范围守规则，描点连线画图像！ 知识点01:入门基石：常量与变量 —— 揪出变化的量 常量：变化过程中数值始终不变的量（如路程问题中固定的两地距离） 变量：变化过程中数值发生改变的量，分「自变量」（主动变）和「因变量」（跟着变） ✅关键判断：一个变化过程中，变量至少 2 个，常量可多个或 1 个 知识点02:灵魂定义：函数 —— 唯一对应的硬核关系 核心定义：一个变化过程中有两个变量 x、y，若对x 的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与之对应，就说 x 是自变量，y 是 x 的函数⚠️ 高频陷阱：一对多不是函数（如 x=2 时，y=3 和 y=5，不满足唯一对应），多对一是函数（如 x=1 和 x=2 时，y 都 = 4，满足） 知识点03:三大表达：函数的「三重身份」，能互转才是真会 函数有 3 种表示形式，可根据题目需求灵活切换，核心是体现 x 和 y 的对应关系 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 ✅ 转化技巧：解析式→列表→描点→图像，是画函数图像的万能步骤 知识点04:关键规则：自变量取值范围 —— 给 x 划「合法边界」 x 的取值要满足数学规则和实际意义，分 4 种情况，必考且易混！ 1.整式型（如 y=3x-2）：x 取全体实数 2.分式型（如 y=1/(x-1)）：分母≠0（本题 x≠1） 3.二次根式型（如 y=√(x-2)）：被开方数≥0（本题 x≥2） 4.实际型（如时间、人数）：取正整数 / 非负数（如行驶时间 t≥0，人数 n 为正整数） ✅ 组合型技巧：分式 + 根式同时出现时，取各条件的公共范围（交集） 知识点05:图像核心：描点法画图像 —— 三步画出函数「长相」 画任意函数图像的通用方法，步骤固定，细节决定成败！ ✅ 图像关键：坐标轴交点、图像升降趋势，都是解题的重要线索 知识点06:核心考点：函数的判断与应用 —— 吃透这 3 类题，基础不丢分 1.判断是否为函数：紧扣「唯一对应」，排除一对多情况 2.求函数解析式：根据实际情境找等量关系，写出 x、y 的式子 3.读图像信息：① 找交点坐标（对应 x、y 的具体值）；② 看升降（y 随 x 的增大而增 / 减）；③ 定范围（x 在某区间时，y 的取值） 避坑指南：高频易错点「红牌警告」 1.忽略实际意义：求取值范围时，只看数学规则，忘记结合题目背景（如边长不能为负） 2.混淆「唯一对应」：误把一对多的关系当成函数 3.描点连线错误：跳着连线、用折线连接，导致图像变形 4.组合型取值范围：漏看其中一个条件（如同时有分式和根式，只考虑分母≠0） 题型01.动点函数图象题 【典例】如图1，在中，，点D是斜边的中点，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【跟踪专练1】如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图（2）是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是__________．    【跟踪专练2】如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 【跟踪专练3】已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 题型02.分段函数应用题 【典例】如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽．水槽内水面的高度y（）与注水时间x（）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过________秒可将水槽注满． 【跟踪专练1】小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． 【跟踪专练2】.某型号无人潜水器在进行深海探测时的下潜深度（米）与操控潜水器的时间（分钟）之间的关系如图所示（潜水器只垂直下潜或上升）．已知潜水器下潜和上升的过程中速度相同． (1)在进行深海探测的过程中自变量是_____； (2)在下潜和上升过程中，潜水器的速度为_____米/分钟； (3)求潜水器在下潜深度为米处停留的时间． 【跟踪专练3】一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题： (1)解释点C的实际意义； (2)若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长． 题型03.图象信息提取题 【典例】房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论： ①甲到达终点时，乙还有米未跑； ②甲跑完全程用时； ③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次； ④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长． 上述结论中，所有正确结论的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A．电阻的初始阻值为 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 【跟踪专练2】甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城．在整个行驶过程中，两车离开A城行驶的路程y与时刻t的对应关系如图所示． (1)从A城到B城，甲、乙两车各行驶了多少千米？ (2)甲、乙两车的平均速度分别为多少？ (3)你还能从图中得到哪些信息？ 【跟踪专练3】如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 题型04.函数表示互化题 【典例】为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． .【跟踪专练1】某市为了规范车辆分流，在道路中央安装隔离护栏（如图所示），已知每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)根据下图，将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度/米 0.2 3.4 ______ 9.8 ______ … (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？ (3)若总长477米的街道需要安装隔离护栏，请问需要安装立柱多少根？ 【跟踪专练2】一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？ (3)如果弹簧最大挂重为，你能预测当挂重为时，弹簧的长度是多少？ 【跟踪专练3】如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 题型05.自变量取值综合题 【典例】函数中，自变量x的取值范围是___________． 【跟踪专练1】下列函数中，自变量的取值范围为的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【跟踪专练3】如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为． (1) ______； (2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围； (3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 题型06.函数图象识别题 【典例】如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【跟踪专练1】如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 题型07.函数值逆向求解题 【典例】已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 【跟踪专练1】课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则______． 【跟踪专练2】已知y与x之间满足，且当时，．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【跟踪专练3】海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80°~85°．为使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：）随烧水时间t（单位：）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． t/min 0 2 4 6 8 T/℃ 17 31 45 59 73 (1)求水温T与时间t之间的表达式； (2)为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？ (3)烧水后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶． 题型08.实际问题列函数解析式 【典例】如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动.某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天0.6元收费，三天后按每天0.8元收费（不足一天按一天计算），则租金（元）和租赁天数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，，分别是和上的任意一点，且，线段交于点，交于点，且是线段的垂直平分线．设，，则关于的函数解析式为___________________． 【跟踪专练3】如图，长方形，，，，E为边的中点，P为长方形边上的动点，动点P从A出发，沿着运动到E点停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．           (1)当时，对应________；当时，对应________；当时，对应________； (2)当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________．（分别用含x的代数式表示） (3)若时，求出相对应的x值． 题型09.描点画图与图象分析题 【典例】函数的图象上的点一定在第（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练1】在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【跟踪专练2】如图是小华的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ．. (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ． 【跟踪专练3】数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在中，点为边上的一个动点，连接，设． (1)当时，_______，______； (2)填表（补全表格时数值保留一位小数参考数据：；）： 0 1 2 3 4 2 ______ 2 3 ______ (3)试求与之间的函数关系式； (4)在图二中描出该函数的图象并写出该函数的两条性质． 题型10.函数实际意义解读题 【典例】甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人留在原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．甲步行的平均速度为米/分 B．乙步行的平均速度为米/分 C．当时，乙到达终点 D．乙比甲提前分钟到达终点 【跟踪专练1】如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的值13 B．的周长为16 C．秒时，线段最短 D．的面积为12 【跟踪专练2】如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现两点同时出发，设运动时间为x，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则矩形的面积是（   ） A．72 B．84 C．86 D．96 【跟踪专练3】当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶速度在到之间． 某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有，，，4个路口．已知这个路口的绿灯和红灯均分别持续．其余因素忽略不计．路口的绿灯亮起后，路口、的绿灯亮起；路口的绿灯亮起后，路口的绿灯亮起．路口、、到路口的距离分别为，，．兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的交通信号示意图，其中横轴表示时间（），纵轴表示各个路口到路口的距离（）． (1)请在图中画出路口在 的红绿灯； (2)若甲车在时，从路口以的速度向路口行驶，求该车刚到达路口时所用的时间； (3)若乙车在时到达路口，向路口匀速行驶．求该车可以连续绿灯通过路口、的速度范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10函数压轴专项训练 【温馨提示】14大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.动点函数图象题 题型02.分段函数应用题 题型03.图象信息提取题 题型04.函数表示互化题 题型05.自变量取值综合题 题型06.函数图象识别题 题型07.函数值逆向求解题 题型08.实际问题列函数解析式 题型09.描点画图与图象分析题 题型10.函数实际意义解读题 记忆口诀：一个核心定关系，三种表示互转化，取值范围守规则，描点连线画图像！ 知识点01:入门基石：常量与变量 —— 揪出变化的量 常量：变化过程中数值始终不变的量（如路程问题中固定的两地距离） 变量：变化过程中数值发生改变的量，分「自变量」（主动变）和「因变量」（跟着变） ✅关键判断：一个变化过程中，变量至少 2 个，常量可多个或 1 个 知识点02:灵魂定义：函数 —— 唯一对应的硬核关系 核心定义：一个变化过程中有两个变量 x、y，若对x 的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与之对应，就说 x 是自变量，y 是 x 的函数⚠️ 高频陷阱：一对多不是函数（如 x=2 时，y=3 和 y=5，不满足唯一对应），多对一是函数（如 x=1 和 x=2 时，y 都 = 4，满足） 知识点03:三大表达：函数的「三重身份」，能互转才是真会 函数有 3 种表示形式，可根据题目需求灵活切换，核心是体现 x 和 y 的对应关系 表示方法 具体形式 优点 缺点 表格法 列表格表示x与y的对应值 直观、易查对应值 只能表示有限个点的对应关系 关系式法（解析式法） 用数学式子表示x与y的关系（如y=2x+1） 精准、可计算任意值 抽象，需推导，实际问题需考虑取值范围 图象法 平面直角坐标系中描点连线形成的图形 直观反映变化趋势 读取数值不够精准 ✅ 转化技巧：解析式→列表→描点→图像，是画函数图像的万能步骤 知识点04:关键规则：自变量取值范围 —— 给 x 划「合法边界」 x 的取值要满足数学规则和实际意义，分 4 种情况，必考且易混！ 1.整式型（如 y=3x-2）：x 取全体实数 2.分式型（如 y=1/(x-1)）：分母≠0（本题 x≠1） 3.二次根式型（如 y=√(x-2)）：被开方数≥0（本题 x≥2） 4.实际型（如时间、人数）：取正整数 / 非负数（如行驶时间 t≥0，人数 n 为正整数） ✅ 组合型技巧：分式 + 根式同时出现时，取各条件的公共范围（交集） 知识点05:图像核心：描点法画图像 —— 三步画出函数「长相」 画任意函数图像的通用方法，步骤固定，细节决定成败！ ✅ 图像关键：坐标轴交点、图像升降趋势，都是解题的重要线索 知识点06:核心考点：函数的判断与应用 —— 吃透这 3 类题，基础不丢分 1.判断是否为函数：紧扣「唯一对应」，排除一对多情况 2.求函数解析式：根据实际情境找等量关系，写出 x、y 的式子 3.读图像信息：① 找交点坐标（对应 x、y 的具体值）；② 看升降（y 随 x 的增大而增 / 减）；③ 定范围（x 在某区间时，y 的取值） 避坑指南：高频易错点「红牌警告」 1.忽略实际意义：求取值范围时，只看数学规则，忘记结合题目背景（如边长不能为负） 2.混淆「唯一对应」：误把一对多的关系当成函数 3.描点连线错误：跳着连线、用折线连接，导致图像变形 4.组合型取值范围：漏看其中一个条件（如同时有分式和根式，只考虑分母≠0） 题型01.动点函数图象题 【典例】如图1，在中，，点D是斜边的中点，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为，过点作于点，得，则，最后根据勾股定理可知，进而即可求解． 【详解】解：由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为， 过点作于点，如图， ，即． ，即点是的中点， ， ， 是的中位线， ， ． 在中，由勾股定理可知，， ． 【点睛】本题以动点函数图像为载体，结合直角三角形斜边中线、中位线性质与面积公式，将图像信息转化为几何线段长度，通过勾股定理求解，凸显了“数形结合”与“转化化归”的解题核心思想． 【跟踪专练1】如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图（2）是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是__________．    【答案】12 【分析】由图象可知是等腰三角形，当点运动到上，时，最小为3，且此时点在的中点处，勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意观察图象可得，则是等腰三角形， 点P在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为3，即：时，， 此时，， ∵是等腰三角形， ∴， 的面积． 【跟踪专练2】如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 【答案】D 【分析】本题主要考查了通过函数图象解决几何问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 通过函数图象获取信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米， 当时，的面积为平方米， 该选项正确，不符合题意； B.假设运动速度为米／秒，， 结合图象可得，，联立两个方程可得， ， 该选项正确，不符合题意； C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒， ∴， ∴长方形的周长为米， 该选项正确，不符合题意； D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米， 当的面积增加为2平方米时，， 解得； 当的面积减少为2平方米时，， 解得； ∴这两个时刻之和为， 该选项错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练3】已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或5或8 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得到的长，再利用勾股定理可求出的长； （2）根据函数图象可得，利用勾股定理建立方程求出的长，再求出的面积即可得到答案； （3）分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴； （2）解：由函数图象可知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止， ∴当点P与点A重合时，的面积有最大值， ∴由函数图象可知a的值即为的面积得到最大值，即； （3）解：由题意得，， 当时，此时点P在边上，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当时，在中，由勾股定理得， ∴； 当时， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或5或8． 题型02.分段函数应用题 【典例】如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽．水槽内水面的高度y（）与注水时间x（）之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过________秒可将水槽注满． 【答案】10 【分析】根据函数图象可得正方体铁块的棱长为，然后计算出无铁块时水面上升的速度，进而求出无铁块时水面上升所需的时间，两者之差即为取出铁块后需补充注水的时间． 【详解】解：由图象可得，正方体的棱长为， 没有铁块时，水面从上升到，所用的时间为 ∴水面上升的速度为， ∴若无铁块，水面上升所需时间为 ∴铁块占据的体积对应的注水时间为 ∴如果将正方体铁块取出，那么再经过10秒可将水槽注满． 【跟踪专练1】小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． 【答案】720 【分析】根据图像可知，小峰的学校与家之间的距离为，实际骑车的时间为，由此即可求出骑车的速度；再利用速度乘以时间即可得该十字路口与小峰家的距离． 【详解】解：根据题意，小峰骑车的速度为， 所以，该十字路口与小峰家的距离为． 【跟踪专练2】.某型号无人潜水器在进行深海探测时的下潜深度（米）与操控潜水器的时间（分钟）之间的关系如图所示（潜水器只垂直下潜或上升）．已知潜水器下潜和上升的过程中速度相同． (1)在进行深海探测的过程中自变量是_____； (2)在下潜和上升过程中，潜水器的速度为_____米/分钟； (3)求潜水器在下潜深度为米处停留的时间． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据函数定义，由下潜深度随时间变化，判断自变量为时间； （）利用上升阶段的路程和用时，结合下潜与上升速度相同，计算出潜水器的速度； （）先算出从米下潜到米的用时，确定到达米的时间，再用分钟减去该时间，得到在米处的停留时间． 【详解】（1）解：∵根据函数定义：下潜深度随时间的变化而变化， ∴自变量是时间 （2）解：由图可知，上升过程总路程为米，用时分钟， 题目说明下潜、上升速度相同，因此速度为米/分钟； （3）解：从深度米下潜到米的路程为米， 所需时间为分钟， 因此到达米深度的时间为分钟， 由图可知分钟开始上升返回， 因此停留时间为分钟． 答：潜水器在米处停留的时间为分钟． 【跟踪专练3】一架无人机在某一时间段内经过匀速爬升（每个爬升阶段的速度都相等）、悬停、匀速下降的过程中，其所在高度h（米）与飞行时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请根据图象回答问题： (1)解释点C的实际意义； (2)若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍，求无人机的爬升速度及图中m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出无人机在这段时间内悬停的总时长． 【答案】(1)当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米 (2)无人机的爬升速度为25米/分，m的值为2，n的值为14 (3)8分钟 【分析】（1）根据函数图象作答即可； （2）根据点B、C求出爬升速度，可求m的值，进而求出匀速下降的速度，即可求出n的值； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：点C的实际意义是当飞行时间为9分钟时，无人机所在的高度为100米 （2）解：爬升速度（米/分钟） ∴， ∵无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的2倍， ∴无人机匀速下降的速度是米/分钟， ∴； （3）解：由函数图象可知，悬停的总时长（分钟）． 题型03.图象信息提取题 【典例】房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论： ①甲到达终点时，乙还有米未跑； ②甲跑完全程用时； ③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次； ④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长． 上述结论中，所有正确结论的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意和函数图像可以判断每个结论是否正确． 【详解】解：由图可知， 甲到达终点时，甲、乙两位选手之间的距离为，所以乙还有米未跑，故①正确； 由可知甲跑完全程用时，故②正确； 起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手在点A和点B共相遇两次，故③正确； 出发后甲、乙两位选手第一次相遇所用的时间长为，第二次相遇所用的时间长为，所以第一次相遇比第二次相遇所用的时间短，故④错误， 综上，共有3个正确结论． 【跟踪专练1】图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A．电阻的初始阻值为 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 【答案】D 【分析】根据时的取值可判断选项A；根据图象的变化形式可判断选项B、C，根据的电路数据，通过计算可得出此时的阻值，即可判断选项D． 【详解】解：由图象可得，当时，，故电阻的初始阻值不为，故选项A错误，不符合题意； 由图象可得，当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，当的阻值为，故选项B错误，不符合题意； 由图象可得，随着的减小，的阻值也在逐渐减小，故选项C错误，不符合题意； 当时，，，故，即定值电阻的阻值为，故选项D正确，符合题意． 【跟踪专练2】甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城．在整个行驶过程中，两车离开A城行驶的路程y与时刻t的对应关系如图所示． (1)从A城到B城，甲、乙两车各行驶了多少千米？ (2)甲、乙两车的平均速度分别为多少？ (3)你还能从图中得到哪些信息？ 【答案】(1)甲、乙两车各行驶了270千米 (2)甲、乙两车的平均速度分别为54千米/时、90千米/时 (3)见解析 【分析】（1）根据图象即可得出结果； （2）速度= ，依此列式计算即可求解； （3）根据图象得出其他信息即可． 【详解】（1）解：根据图象得，甲、乙两车各行驶了270千米； （2）根据图象得：甲车的平均速度为， 乙车的平均速度为： ， （3）由图示知，甲车从出发，乙车从出发；甲车到达B城，乙车到达B城，故甲车先出发，乙车先到达B城． 【跟踪专练3】如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 【答案】(1)B； C (2)A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快 【分析】根据函数图象给出的信息解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，情境中小明中途有停留，且再出发时速度加快，故所对应的图象是B； 情境中小芳有返回家中停留后再出发，故所对应的图象是C； （2）解：A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快． 题型04.函数表示互化题 【典例】为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 【答案】(1) (2)38 (3)500km 【分析】（1）根据表中数据得出每耗油的关系，据此可得与的关系式； （2）将代入（1）中所求的关系式中即可求出油箱剩余油量； （3）将代入（1）中所求的关系式中即可求出，两地之间的距离． 【详解】（1）解：由表格可知，开始油箱中的油量为，每行驶，油量减少， 据此可得与的关系式为． （2）解：当时，， 故答案为：． （3）解：令，即， 解得， 答：，两地之间的距离为． 【点睛】本题主要考查用关系式表示变量之间的关系，熟练根据自变量和函数的关系得出表达式是解题的关键． .【跟踪专练1】某市为了规范车辆分流，在道路中央安装隔离护栏（如图所示），已知每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)根据下图，将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度/米 0.2 3.4 ______ 9.8 ______ … (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？ (3)若总长477米的街道需要安装隔离护栏，请问需要安装立柱多少根？ 【答案】(1)6.6，13 (2) (3)隔离护栏总长度为477米时立柱的根数为150根 【分析】（1）根据图示规律列式计算即可． （2）由题意得y与x之间的关系式为：，化简即可； （3）当时，代入y与x之间的关系式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可以计算： 当立柱根数为1时，护栏总长度为（米）， 当立柱根数为2时，护栏总长度为（米）， 当立柱根数为3时，护栏总长度为（米）， 当立柱根数为5时，护栏总长度为（米） 将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度/米 0.2 3.4 6.6 9.8 13 … （2）解：由题意得y与x之间的关系式为 （3）解：当时，， 解得， 答：隔离护栏总长度为477米时立柱的根数为150根． 【跟踪专练2】一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？ (3)如果弹簧最大挂重为，你能预测当挂重为时，弹簧的长度是多少？ 【答案】(1)反映了所挂物体的质量与弹簧的长度两个变量之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)弹簧不挂物体时的长度是，随着x增大，y逐渐增大，y与x的关系式为 (3) 【分析】（1）根据表格即可确定两个变量之间的关系； （2）根据表格可知，x每增加，弹簧长度增加，即可求出y与x的关系式； （3）将代入函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可得，上表反映了所挂物体的质量与弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：∵当所挂物体质量时，弹簧长度， ∴弹簧不挂物体时的长度是． 观察表格可知，x每增加，y增加， ∴随着x增大y逐渐增大. 结合弹簧原长可得y与x的关系式为； （3）解：∵，符合挂重要求， 把代入得，， 答：当挂重为时，弹簧的长度是． 【跟踪专练3】如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 【答案】(1)图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系，点运动的路程为自变量，的面积是因变量 (2)； (3)当点在上运动时；当点在上运动时 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． （1）根据题意直接得出自变量及因变量即可； （2）根据图象求出和，再分析当时的值，当时的路程的值即可； （3）先求出和，再根据点P位置求出相应的函数关系式． 【详解】（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系， 其中点运动的路程为自变量，的面积是因变量； （2）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当时，点P在上运动，， ； 当时，即，此时点P在上运动， ； （3）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当点在上运动时，， ， 当点在上运动时，， ， ． 题型05.自变量取值综合题 【典例】函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解， 【详解】根据题意，则， ，解得， 综上自变量x的取值范围是且． 【跟踪专练1】下列函数中，自变量的取值范围为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0和二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：A、函数，自变量的取值范围是所有实数，则此项不符合题意； B、函数，自变量的取值范围为，即，则此项不符合题意； C、函数，自变量的取值范围为，即，则此项不符合题意； D、函数，自变量的取值范围为，即，则此项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 【跟踪专练3】如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，且不与点、重合，设移动的时间为秒，的面积为． (1) ______； (2)用含有的代数式表示线段的长度，并指出自变量的取值范围； (3)直接写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】(1)5 (2)时，；时，； (3)时，；时， 【分析】本题主要考查了勾股定理，列函数关系式和代数式，解题关键是正确应用勾股定理建立函数关系式． （1）根据勾股定理求解即可； （2）分点P在上，点P在上两种情况讨论即可； （3）根据三角形等面积法求出点C到的距离为，再分点P在上，点P在上两种情况讨论即可； 【详解】（1）解：在中，，，， ； 故答案为：． （2）解：当点P在上， （秒）， 时，； 当点P在上， （秒）， 时，； （3）解：设点C到直线的距离为h， ， ， 当时， ， ； 当时， ，， ． 题型06.函数图象识别题 【典例】如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及矩形性质、含的直角三角形性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分类讨论，准确得到与的函数关系式是解决问题的关键． 根据题意，分点在上和点在上，作出图形，运用含的直角三角形性质求出长度，由三角形面积公式表示出与的函数关系式，根据二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【详解】解：当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， ， 在中，， 设的面积为， ， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为轴，符合要求的是B选项中的图； 当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， 设的面积为， ， ， 在中，，，则， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向下，对称轴为，符合要求的是B选项中的图； 综上所述，能表示与的函数关系的图象大致是， ， 故选：B． 【跟踪专练2】一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【详解】解：第一段，轮船先从甲地顺水航行到乙地， 是顺水航行， 速度大于静水速度，图象陡一些， 到达乙地后停留一段时间，路程没有变化，图象平行于横轴， 又从乙地逆水航行返回到甲地，路程逐步增加， 是逆水航行， 速度小于静水速度，图象平缓一些， 关于的函数图像大致是D． 故选：D． 【跟踪专练3】如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【答案】(1)温度和时间 (2)①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） (3)在时，均适合户外运动． 【分析】本题考查函数的定义与性质，从图象上获取信息，熟练掌握相关知识是关键． （1）观察坐标轴可得出结论； （2）结合函数图象进行判断即可； （3）观察时，对应的的值，结合函数的增减性确定时间范围． 【详解】（1）解：由图象可知，此函数图象是温度和时间之间的关系； （2）解：由函数的图象可知，①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） （3）解：由函数的图象可知，在时，室外气温均在及以上，此时适合进行户外运动． 题型07.函数值逆向求解题 【典例】已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 【答案】5或 【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 【跟踪专练1】课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的值，将分别代入两个函数解析式，求出自变量的值，然后检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入得， ，解得，不符合题意； 将代入得， ，解得，符合题意； 故答案为：． 【跟踪专练2】已知y与x之间满足，且当时，．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）将代入求解即可； （3）将代入求解即可； 【详解】（1） 解：∵，当时，， 将代入解析式得， 解得， 因此； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 整理得， 解得 ． 【跟踪专练3】海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80°~85°．为使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：）随烧水时间t（单位：）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． t/min 0 2 4 6 8 T/℃ 17 31 45 59 73 (1)求水温T与时间t之间的表达式； (2)为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？ (3)烧水后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶． 【答案】(1) (2)至少需要烧水 (3)此时水温不适合冲泡海阳绿茶 【分析】此题考查了求函数解析式、求函数值和自变量的值等知识的应用，准确求出水温T与时间t之间的表达式是关键． （1）根据时间每增加两分钟水温增加求出水温T与时间t之间的表达式即可； （2）把代入（1）中的表达式即可求出答案； （3）求出时T的值，再进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格可知，时间每增加两分钟水温增加，即时间每增加一分钟水温增加， 当时，得． ∴水温T与时间t之间的表达式为． （2）解：当时，即， 解得． 所以，至少需要烧水9min． （3）解：当时，． 所以，此时水温不适合冲泡海阳绿茶． 题型08.实际问题列函数解析式 【典例】如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得米，，据此可得，根据列出不等式组求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米， ∵篱笆的长度为25米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动.某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天0.6元收费，三天后按每天0.8元收费（不足一天按一天计算），则租金（元）和租赁天数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列函数关系式，分别计算出前3天的费用和后面天的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选C． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，，分别是和上的任意一点，且，线段交于点，交于点，且是线段的垂直平分线．设，，则关于的函数解析式为___________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握求函数解析式的方法是解题的关键； 首先作辅助线连接PF、QF，根据垂直平分线的性质、矩形的性质可得到线段相等，根据边与边的数量关系即可得到y关于x的函数解析式． 【详解】解：如图，连接，． 是线段的垂直平分线， ， ． 在矩形中，，， ． ，，， ，，． 在中，． 在中，． ， ， 整理，得； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，长方形，，，，E为边的中点，P为长方形边上的动点，动点P从A出发，沿着运动到E点停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．           (1)当时，对应________；当时，对应________；当时，对应________； (2)当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________； 当点P在边上时，________．（分别用含x的代数式表示） (3)若时，求出相对应的x值． 【答案】(1)8；14；4 (2)；； (3)或 【分析】（1）找到对应的点的位置，求出的面积即可； （2）设定对应的点的位置，用x表示出的面积即可； （3）分点P在边上，点P在边上，点P在边上三种情况，根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：当时，点在上，， ∴， ∴当时，对应； 当时，如图，点在上，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴当时，对应； 当时，如图，点在上，，则， ∴， ∴当时，对应； 综上所述，当时，对应；当时，对应；当时，对应． （2）解：当点P在边上时，如图，， ∴． ∴当点P在边上时，即时，； 当点P在边上时，如图，， ， ∴当点P在边上时，即时，； 当点P在边上时，如图，，则， ∴， ∴当点P在边上时，即时，； 综上所述，当点P在边上时，；当点P在边上时，；当点P在边上时，． （3）解：当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴； 当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴，不符合题意，舍去； 当点P在边上时，由（2）可知，则， ∴． 综上所述，当时，x值为或． 题型09.描点画图与图象分析题 【典例】函数的图象上的点一定在第（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由二次根式和分式有意义的条件，得到，然后判断得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，则 ∵，解得：， ∴，， ∴， ∴点一定在第二象限； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 【跟踪专练1】在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 【跟踪专练2】如图是小华的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ．. (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）使函数有意义，，即可得； （2）根据函数的对称性即可求得m的值； （3）根据所描出的点，用平滑的曲线画出图象即可； （4）观察图象，总结出规律即可，答案不唯一，如：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【详解】（1）解：函数有意义， ，解得， 则函数的自变量x的取值范围是； （2）解；由对称性可知，与的函数值相同， 则时，m． （3）解：函数图象如图所示： （4）解：由函数图像可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【跟踪专练3】数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在中，点为边上的一个动点，连接，设． (1)当时，_______，______； (2)填表（补全表格时数值保留一位小数参考数据：；）： 0 1 2 3 4 2 ______ 2 3 ______ (3)试求与之间的函数关系式； (4)在图二中描出该函数的图象并写出该函数的两条性质． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)图象见解析；性质：当时，y随x增大而减小；y的最小值为． 【分析】本题考查勾股定理，三角形内角和定理，所对的直角边等于斜边的一半，描点法画函数图象，会结合函数图像分析其性质． （1）利用三角形内角和定理求出，再利用所对的直角边等于斜边的一半可以得到x，利用勾股定理可得y； （2）作，利用所对的直角边等于斜边的一半可以得到，进一步求出，再利用勾股定理即可求出y的值； （3）作，求出，，则，利用勾股定理可得：，进一步可得； （4）利用描点法画出函数图象；结合函数图象和表格即可分析函数单调性、最值问题． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解： 作， ∵， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， （3）解：作， ∵，， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵P在AB上， ∴， 即： ， （4）利用描点法画图，如图3所示： 性质：当时，y随x增大而减小；y的最小值为． 题型10.函数实际意义解读题 【典例】甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人留在原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．甲步行的平均速度为米/分 B．乙步行的平均速度为米/分 C．当时，乙到达终点 D．乙比甲提前分钟到达终点 【答案】C 【分析】根据甲出发3分钟走了240米，可算得甲的速度；再根据甲、乙在第3分钟到第15分钟的路程差为240米，可算得乙的速度；分别算出甲、乙走完全程的时间，即可判断C、D． 【详解】解：由图可得，甲的速度为（米/分），故选项A正确，不符合题意； 设乙的速度为米/分， 由图可得，， 解得， 乙的速度为米/分，故选项B正确，不符合题意； 甲到达终点的时间为（分钟）， 乙到达终点的时间为（分钟）， （分钟）， 即当时，乙到达终点，故选项C错误，符合题意； 甲先出发分钟， 乙先到终点原地休息了（分钟）， 即乙比甲提前分钟到达终点，故选项D正确，不符合题意． 【跟踪专练1】如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的值13 B．的周长为16 C．秒时，线段最短 D．的面积为12 【答案】C 【分析】根据函数图象分析点的运动过程：时，随增大而增大，对应在上运动，得出长度及面积；时，不变，对应在上运动，得出长度；时，减小至0，对应在上运动，得出的值； 结合平行四边形性质计算周长、面积及最短时的时间，逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知：当时，点在上运动， ， 当时，，即， ，其中为边上的高， ． 当时，点在上运动，保持6不变， ， 四边形是平行四边形， ，． 当时，点在上运动， 运动时间为秒， ，故A选项正确； 的周长，故B选项正确； 的面积，故D选项正确； 当时，线段最短，此时， 在中，，， ， 秒， 即秒时，最短，故C选项错误． 【跟踪专练2】如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现两点同时出发，设运动时间为x，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则矩形的面积是（   ） A．72 B．84 C．86 D．96 【答案】A 【分析】先分析图象和运动过程，结合点可求出，，再根据勾股定理求出，然后结合当时的运动特点可得，最后根据矩形的面积公式得出答案． 【详解】解：观察函数图象可知当点P运动到点E时，，，， 过点E作于点H， 可知， 解得． 根据勾股定理，得； 当时，点P到达点D，运动停止， ∴， 解得， ∴， 所以矩形的面积是． 【跟踪专练3】当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶速度在到之间． 某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有，，，4个路口．已知这个路口的绿灯和红灯均分别持续．其余因素忽略不计．路口的绿灯亮起后，路口、的绿灯亮起；路口的绿灯亮起后，路口的绿灯亮起．路口、、到路口的距离分别为，，．兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的交通信号示意图，其中横轴表示时间（），纵轴表示各个路口到路口的距离（）． (1)请在图中画出路口在 的红绿灯； (2)若甲车在时，从路口以的速度向路口行驶，求该车刚到达路口时所用的时间； (3)若乙车在时到达路口，向路口匀速行驶．求该车可以连续绿灯通过路口、的速度范围． 【答案】(1)图见解析 (2)甲车刚到路口D的时间为 (3)想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在到之间 【分析】（1）根据路口D绿灯亮起的时刻，以及红绿灯的持续时间，进行作图即可； （2）分别计算甲车到路口B和C的时间，结合红绿灯的示意图判断是否需要等待，最后计算路口C到路口D的时间，再求和即可； （3）设乙车的速度为，先分析路口B的情况，根据题意，估算乙车到路口B的时间为，结合路灯图可知，绿灯时段为，因此．再分析路口C的情况，同理估算乙车到路口C的时间为，确定绿灯时段为，最后求出． 【详解】（1）解：∵路口D在开始亮起绿灯， 又∵红灯与绿灯均持续， ∴路口D在，和期间亮起绿灯，其余时间为红灯， 红绿灯情况如图所示： （2）解：根据题意， 路口B和C，在亮绿灯，在亮红灯， 甲车到路口B的时间为， ∵， ∴此时路口B为绿灯，甲车可正常通行， 甲车到路口C的时间为， ∵， ∴此时路口C为红灯，甲车需等待到时，才可通行， ∴甲车到路口D的时间为； （3）解：设乙车的速度为， 由题意可得，， 先分析绿灯通过路口B： 乙车到路口B的时间， ∵， ∴， 根据题意，路口B在亮绿灯，在亮红灯， ∴想要绿灯通过路口B需满足，对应的速度范围为， ∴； 再分析绿灯通过路口C： 乙车到路口C的时间， ∵， ∴， 根据题意，路口C在亮红灯，在亮绿灯， ∴想要绿灯通过路口C需满足，对应的速度范围为； 综上所述，． 答：想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在到之间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $