反比例函数中的面积问题 高频考点归纳专项练2026年中考数学一轮复习备考

反比例函数中的面积问题 高频考点归纳专项练 1．如图，已知反比例函数的图象经过点，过作轴于点．点为反比例函数图象上的一动点，过点作轴于点，连接．直线与轴的负半轴交于点． （1）求的值； （2）连接，求的面积； （3）若，求四边形的面积． 2．如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，． （1）求直线AB的解析式； （2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为反比例函数的图象经过点且交于点过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点是反比例函数图象上一点，且的面积等于面积的，求点的坐标． 4．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． (1)求和的值； (2)求的面积． 5．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 6．如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． (1)求和的值； (2)若点与点关于轴对称，求的面积． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第三象限内交于点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)如图，连接，求的面积． 8．一次函数与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一点． (1)求出一次函数的表达式； (2)求的面积． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)求的面积． 10．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求和的值； (2)连接，，求的面积； (3)当时，请直接写出的取值范围； 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当一次函数值小于反比例函数值时x的取值是___________； 12．如图，直线与双曲线相交于两点，与轴交于点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 13．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．    （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式． （2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． （3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)直接写出时x的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图像相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《反比例函数中的面积问题 高频考点归纳专项练2026年中考数学一轮复习备考》参考答案 1．（1）；（2）4；（3）6 【分析】（1）根据题意直接利用待定系数法将A点坐标代入即可得出答案； （2）由题意先求出AC和DF，进而依据三角形面积公式进行计算即可得出答案； （3）由题意求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得． （2）如图： ∵轴，轴，， ∴，， ∴． （3）反比例函数解析式为， ∵， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为6，代入中，得：，解得， ∵， ∵，设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线的解析式为：，令，得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，待定系数法、一次函数与坐标轴的交点特征，三角形和梯形面积等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数的相关知识是解题的关键． 2．（1）；（2）点P的坐标为；（3）或 【分析】（1）过点A作轴于点E，根据三角函数的性质，得点A，将点A代入，得；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）连接OB、、，结合（1）的结论，得点B；结合题意得；把代入，得点C；设点的坐标为，通过计算即可得到答案； （3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案． 【详解】（1）如图，过点A作轴于点E， ∵，， ∴，， ∴点A， ∴双曲线的解析式为， 把，分别代入， 得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为； （2）如图，连接OB、、 把代入，得， ∴点B， ∴， ∴， 把代入，得， ∴点C 设点的坐标为， ∵ ∴， ∵， ∴点P的坐标为； （3）根据（1）和（2）的结论，结合点A、点B ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二元一次方程组、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数的性质，从而完成求解． 3．（1）；（2）或 【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ECD＝45，则CD＝DE＝1，则可确定E点坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值； （2）作AH⊥x轴于H，如图，易得A（2，2），则可求出S平行四边形ABCO＝6，设F（t，），利用平行四边形的性质得AB∥OC，AB＝OC＝3，然后根据三角形面积公式得到•3•|﹣2|＝•6，再解绝对值方程求出t即可得到F点的坐标． 【详解】四边形为平行四边形， 在中， 把代入中，得 反比例函数的解析式为； 如解图，过点作轴于点 设则 解得(负值舍去)， 设 四边形为平行四边形， 的面积等于面积的 解得 点的坐标为或 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 4．(1)， (2)4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解此题的关键． （1）将代入反比例函数计算可得，从而得出反比例函数的解析式为，将代入反比例函数计算可得，将代入一次函数计算； （2）由（1）可得，一次函数的解析式为，令一次函数与轴交于点，求出，得到，再根据计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数可得； 将代入一次函数可得：， ∴； （2）解：由（1）可得：，一次函数的解析式为， 如图，令一次函数与轴交于点， ， 在中，令，则， 解得，即， ∴， ∴ ． 5．(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 6．(1)， (2) 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数： （1）将代入中，可得，求得反比例函数表达式，将代入反比例函数表达式中，即可求得的值； （2）采用待定系数法即可求得直线的解析式，进而可求得点的坐标，结合即可求得答案． 【详解】（1）解：将代入中，可得 解得． 所以反比例函数表达式为． 将代入反比例函数表达式中，可得 解得． （2）解：根据（1）可知点的坐标为， 将和分别代入中，可得 解得 所以直线的解析式为． 当时，可得． 所以点的坐标为． 因为点与点关于轴对称， 所以点的坐标为． 如图所示，作 轴，轴，垂足分别为，． 根据题意可知，，，． 所以． 7．(1)； (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，三角形面积的计算，掌握待定系数法的应用是解题关键． （1）将点分别代入及，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）在中，当时，，则，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数中，得，解得， 故一次函数的解析式为， 将点代入反比例函数中，得， 故反比例函数的解析式为． 答：；． （2）解：已知点的坐标为， 在一次函数中，令，得，解得， 则点的坐标为，， 故． 答：． 8．(1) (2) 【分析】（）利用反比例函数求出点的坐标，进而利用待定系数法解答即可求解； （）设直线与轴相交于点，求出点坐标，再根据解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的几何应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 把和代入得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：设直线与轴相交于点， 把代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 9．(1)， (2)或 (3)8 【分析】（1）把代入得，，可知反比例函数的解析式是，把代入反比例函数得：，则的坐标是，然后待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由图象可知：的的取值范围是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围； （3）标记一次函数与轴的交点为点，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，求出点，，，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴反比例函数的解析式为； 把代入反比例函数得，， ∴的坐标是， 把、的坐标代入一次函数得，， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图所示， ∵由（1）知，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点， ∴满足的的取值范围为或； （3）解：如图所示，标记一次函数与轴的交点为点，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点， 由（1）知，一次函数的解析式为， 当时，，解得，， ∴点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与几何综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点分别代入，中，进行计算即可得； （2）设一次函数与x轴交于点C，与y轴交于点D，联立两函数解析式求出点B的坐标，再求出点C和点D 的坐标，根据列式求解即可； （3）观察函数图象，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，即可得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴把代入两个解析式得：，， 解得，； （2）解：如图所示，设一次函数与x轴交于点C，与y轴交于点D， 由（1）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 联立，解得或， ∴点B的坐标为； 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：观察函数图像，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴当时，x的取值范围为或． 11．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数的表达式，求一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，根据函数图象求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将点代入中求解，即可得到反比例函数的表达式，进而求出点，再将点代入一次函数中求解，即可求出一次函数的表达式； （2）记直线交轴于点，利用一次函数求出，再根据求解，即可解题； （3）根据一次函数图象与反比例函数图象交点情况，直接写出当一次函数值小于反比例函数值的x的取值，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，反比例函数过点，， ， 反比例函数的表达式为； ， ， 一次函数过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：记直线交轴于点， 当时，， ， ，， ； （3）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， 结合图象可知，一次函数值小于反比例函数值的x的取值是或； 故答案为：或． 12．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先求出反比例函数表达式，再求出B点坐标，然后用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）将沿分割，以为底，分别求与的面积即可； （3）找出直线在双曲线下方的部分即可. 【详解】（1）解：∵过 ∴ ∴ 双曲线过 ∵过 ∴ 解得 （2）解：对，令，则， 解得， ∴， ∴， ∴． （3）解：由图象可得：当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数表达式、一次函数表达式，三角形的面积公式，根据图象写出不等式的取值范围，是解题关键． 13．（1）y＝﹣；y＝﹣x+1；（2）x＜﹣2或0＜x＜3；（3）P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，） 【分析】（1）先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则BC＝3，于是可得到C（3，﹣2），然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式； （2）将点E的坐标（m，3）代入反比例函数的解析式即可求出m的值，根据图象找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可； （3）设P（t，﹣），根据三角形面积公式和正方形面积公式得到×1×|t|＝3×3，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标． 【详解】（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2）， ∴AB＝1+2＝3， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝AB＝3， ∴C（3，﹣2）， 把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y＝﹣； 把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b， 得，解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+1； （2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3）， ∴m＝﹣2， ∴E点的坐标为（﹣2，3）； 由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方， 即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）设P（t，﹣）， ∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积， ∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18， ∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积．运用数形结合思想以及方程思想是解题的关键． 14．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题． （1）把代入一次函数，得到，即，再把代入反比例函数即可求； （2）把代入一次函数，得到，再根据求解即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得， ， 把代入反比例函数，得， 即； （2）解：把代入一次函数，得， 解得，即， 时，，即， ， 则的面积为； （3）解：根据图像，时x的取值范围为或． 15．(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （3）如图所示，设直线与轴交于，求出点C的坐标，得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得到， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图像上， ， ， 把和代入一次函数解析式， ， 解得， ； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， 满足的的取值范围是或． （3）解：如图所示，设直线与轴交于， 当时，， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $