2026年中考数学一轮复习 实际问题与反比例函数 专项练习

**基本信息** 聚焦反比例函数实际应用，通过15道跨场景典例构建"建模-求解-拓展"三阶方法体系，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|6题（运输/消毒/溶液）|待定系数法+方程思想|从实际问题抽象反比例关系，掌握k值意义与图像性质| |跨学科综合|5题（物理/生物/工程）|跨学科公式转化|结合欧姆定律/杠杆原理，构建函数模型解决复合问题| |动态拓展|4题（循环/分段/最值）|图像分析+分类讨论|通过动态情境（如温控循环）深化函数增减性与取值范围应用|

2026中考数学实际问题与反比例函数专项练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（2026·河北秦皇岛·一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． (1)根据所给信息，求与的函数关系式． (2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． (3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 3．（2026·湖北宜昌·一模）某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警． 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 4．（2026·山东临沂·一模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________； (2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象； ②求出当时最符合表中数据的函数解析式； (3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min． 5．（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式； (2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 6．（2026·吉林·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．大伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)求动力F关于动力臂l的函数解析式． (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 7．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 8．（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 9．（2026·贵州遵义·二模）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 10．（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式； (2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 11．（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 12．（2026·河北·二模）某环保小组正在开展收集废旧电池活动，第1周收集到废旧电池49节，之后每周的收集量比前一周减少1节．废旧电池的回收单价y（单位：元）由固定的成本价和浮动价两部分相加组成，其中浮动价与周次x（x为整数，且）有如下关系： 第1周至第21周，浮动价与周次x成正比例关系； 第22周至第40周，浮动价与周次x成反比例关系． 已知第2周回收单价为12元，第12周回收单价为32元，第22周回收单价为11元． (1)设第x周收集的废旧电池数量为w节，直接写出w与x的函数表达式； (2)当回收单价为10元时，求此时是开展收集活动的第几周； (3)前21周中，求哪一周的回收总利润是后19周中最大利润的8倍（单周回收总利润（回收单价成本价）回收数量）． 13．（2026·河南·二模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 14．（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 15．（2026·河北邯郸·二模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． (1)求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式； (2)网络工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明； (3)该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026 中考实际问题与反比例函数专项练》参考答案 1．(1)（，且x为正整数） (2)原计划使用货车6辆 (3)至少需要8辆货车，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得y是x的反比例函数，据此利用待定系数法求解即可； （2）设原计划使用货车辆，根据实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的建立方程求解即可； （3）求出时x的值，再根据增减性可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60， ∴y是x的反比例函数， 设 当时， ， 解得， ∴， ∵，即， ∴， 与的函数关系式为（，且x为正整数）； （2）解：设原计划使用货车辆， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：原计划使用货车6辆． （3）解：至少需要8辆货车才能完成任务，理由如下： 在中，当时，， 由反比例函数的图象可知，当，且x为正整数时，随增大而减小， ∴当时，， ∵为正整数， ∴至少需要8辆货车． 2．(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 3．(1)， (2) (3) 【分析】（1）将，代入，求出k、b的值，即可得出函数解析式； （2）根据可变电阻和定值电阻的电流大小相等，得出，将，，代入求出结果即可； （3）根据反比例函数的性质得出随的增大而增大，从而得出当取最大值3时，有最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴． （2）解：由题意得：可变电阻电压， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴， 将，，代入化简得： ． （3）解：∵中，， ∴随的增大而增大，即当取最大值3时，有最大值， ∴最大为， ∵，符合的取值范围， ∴该装置可监测的最高环境温度为． 4．(1)80 (2)①图象见解析；② (3)66 【分析】（1）根据表格数据，可以得出加热的阶段，水温y与时间x呈一次函数关系，由表格可知，每分钟水温上升，16分钟的时候为，，故20分钟的时候刚好； （2）①根据表格数据描点，再通过加热阶段和降温阶段分别是一次函数关系和类反比例关系，画出图象即可； ②根据表格数据，确定函数解析式即可； （3）由表格可知，每16分钟一循环，找到第一个16分钟中水温为时对应的时间，再通过循环确定第9次即可． 【详解】（1）解：由题意可知，阶段，为加热，且每分钟水温上升， 又， ∴20分钟时，对应的水温为，即； （2）解：①图象如下： ②由表格，可知， ∴当时，， 由表格，可知，当，y是x的一次函数，由题意，， 设， 代入，得， ∴， ∴； （3）解：由表格和图象可知，每16分钟一循环， 在第一个16分钟，当和时，水温为， 故每个16分钟，有2次水温为，第9次为第5个16分钟的第1次， 此时（分钟）． 5．(1) (2)6米 【分析】（1）根据矩形的性质得到点，设段滑梯所在双曲线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C的纵坐标为，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设段滑梯所在双曲线的解析式为， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，，解得：， ∴点C的横坐标为8，即， ∴米． 答：B，C之间的水平距离的长度为6米． 6．(1) (2) 【分析】（1）根据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”可直接进行求解； （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴动力F关于动力臂l的函数解析式为； （2）解：由（1）可知：， ∴当时，则， 答：撬动石头至少需要的力． 7．(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）由题意可得，设（为常数），计算即可； （3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 8．(1) (2)米/秒 【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解； （2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入，得，， 解得， ∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为； （2）解：∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度为米/秒． 9．(1) (2)小红的近视眼镜度数降低了度 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）把代入，求得（度），再作差即可求解 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 （2）解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 10．(1) (2)当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数关系式，将已知的、对应值代入，求出比例系数，从而确定函数关系式； （2）先根据反比例函数的单调性，结合浓度不低于的条件，求出对应的溶液体积，再根据函数的增减性判断体积的取值范围． 【详解】（1）解：设（）， 将代入上式，得， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 时，溶液浓度随溶液体积的增大而减少 所以，当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于． 11．(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 12．(1) (2)当回收单价为10元时，是开展收集活动的第1周或第33周 (3)前21周中，第8周的回收总利润是后19周中最大利润的8倍 【分析】（1）根据第1周收集到废旧电池49节，之后每周的收集量比前一周减少1节，列出函数关系式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出函数解析式，再求出结果即可； （3）先求出后19周中单周利润的最大值为84元，再根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵第1周收集到废旧电池49节，之后每周的收集量比前一周减少1节， ∴； （2）解：当时，设，根据题意得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴此时是开展收集活动的第1周； 当时，设，根据题意得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴此时是开展收集活动的第33周； 综上，当回收单价为10元时，是开展收集活动的第1周或第33周； （3）解：设一周回收总利润为z元，则后19周的回收利润为： ， ∵在自变最取值范围内，z随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，且最大利润为：（元）， 前21周的回收利润为： ， 令， 解得：或（舍去）， 答：前21周中，第8周的回收总利润是后19周中最大利润的8倍． 13．(1)，图像见解析 (2)点左侧所挂物体所受的重力为 (3) 【分析】（1）根据表格信息可得，进一步可得解析式，再描点画图即可； （2）设重力为，可得，进一步可得答案； （3）根据及木棒的中点为可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， 如图， （2）解：设重力为， ∴， 解得：． （3）解：∵弹簧测力计的示数不超过， ∴， 解得：， ∵为一根长的匀质木杆的中点， ∴， 综上：． 14．(1) (2)①（）；②见解析 【分析】（1）根据题意，设，再将，代入求解即可； （2）①设F与x之间的解析式为，将图2中的点代入求解，得到，结合，可得，再根据及，即可求得x的取值范围； ②结合x的取值范围，用描点法画图即可． 【详解】（1）解：弹簧测力计的拉力F与其到中点O的距离L满足反比例关系 可设， 根据题意，得时，， ， ， 与L之间的函数解析式是． （2）解：①设F与x之间的解析式为， 由题图2得图象经过， ， ， 与x之间的解析式为， ， ， ， ， ， ， 又， ； ②画出图象如图所示． 15．(1)， (2)等级为良好，理由见解析 (3)（平方米） 【分析】（1）将，，代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将，，代入得出，求得，的值，即可求解； （3）令，得出的值，进而求得，再根据圆的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． ∴ ，， ∴ ， ∴P关于x的函数解析式为． （2）解：当时，，， ∴． ∵， ∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好． （3）解：令，则，解得， ∴， 覆盖面积：（平方米）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $