期中培优：直观图的计算问题、表面积与体积问题、外接球与内切球问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何期中高频考点，以直观图还原、表面积体积计算、外接球内切球模型为核心，通过典例变式训练空间观念与运算能力，构建从平面直观到空间度量的逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直观图的计算问题|8题（4例+4变式）|斜二测画法还原，涉及面积、周长及旋转体体积计算|基于斜二测画法规则，建立直观图与原图形的度量关系，培养几何直观| |表面积与体积问题|8题（4例+4变式）|柱锥台球台的表面积体积计算，含切割、倒置等情境|围绕空间几何体度量公式，强化公式应用与变式转化，提升运算能力| |外接球与内切球问题|8题（4例+4变式）|圆锥、直三棱柱、正三棱台等几何体的外接球内切球表面积体积计算|通过构建空间模型，结合几何性质建立方程求解，深化空间位置关系认知|

期中培优：直观图的计算问题、表面积与体积问题、外接球与内切球问题专项训练 期中培优：直观图的计算问题、表面积与体积问题、外接球与内切球问题专项训练 考点目录 直观图的计算问题 表面积与体积问题 外接球与内切球问题 考点一 直观图的计算问题 例1．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．12 B． C．24 D． 【答案】D 【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案. 【详解】由题意得，所以矩形的面积为， 由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确. 例2．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，求出的长，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由题意得，且，所以为等腰直角三角形， 所以， 由斜二测画法可知，在原图中，有，且， 故的面积是，故C正确. 例3．（24-25高一下·安徽淮北·月考）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法，与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出，，的长度，即可求出原三角形的周长. 【详解】在中，， 根据直观图画出原图如下： 则，， 在中，， 所以原三角形的周长是. 例4．（24-25高一下·天津武清·月考）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形的面积是_______. 【答案】 【详解】因为直观图为矩形，且,又因为 所以有， 所以直观图面积为， 所以原图形面积. 变式1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形．其中，，，．以原四边形的边为轴，旋转一周得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形求得，然后利用斜二测画法还原出原图形，最后利用台体体积公式计算即可. 【详解】作，如图： 由，，所以， 作出平面四边形的图形如下图所示： 四边形为直角梯形，且，，，，， 故以原四边形的边为轴，旋转一周得到的几何体为圆台， 该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 所以该几何体的体积为：. 变式2．（25-26高二上·辽宁·月考）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（ ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【详解】将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以，而， 所以原四边形ABCD中最长边为6. 变式3．（25-26高一下·福建福州·期中）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是___________． 【答案】/ 【详解】设对应的平面图形为， 在斜二测画法的图形中在轴上，还原后的图形中在轴上，且长度不变， 在斜二测画法的图形中在轴上，还原后的图形中在轴上， 且的长度扩大为的倍， 是等腰直角三角形且，斜边，， 根据斜二测画法可知，，，, . 变式4．（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为. 考点二 表面积与体积问题 例1．（25-26高一下·陕西渭南·期中）将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方，得到一个圆柱，再根据圆柱的体积公式求解即可. 【详解】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方， 得到一个底面圆的半径为，高为的圆柱， 所以所求几何体的体积. 例2．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的下底面半径为r， 由题意知， 整理得，解得（负值舍去）， 设圆台的母线长为，则， 所以该圆台的侧面积为. 例3．（25-26高一下·河南·期中）已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 【答案】 【详解】设该圆锥的高为，母线为, 依题意可得，解得， 所以圆锥的母线长为， 因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为，半径为； 设对应圆心角的弧度数为，则，因此. 例4．（24-25高一下·福建福州·期中）在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 【答案】 【分析】画出图形，根据正方体的性质求出相关线段的长度，即可求出表面积． 【详解】在正方体中， , 所以， 所以三棱锥的表面积． 变式1．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱台的截面特征求出棱台的高，代入棱台的体积公式求解即可. 【详解】由题意知，该正四棱台上表面边长为1，下表面边长为2，设侧面梯形的高为，棱台的高为. 作正四棱台的截面图如下： 则，解得. 所以. 所以该棱台的体积为. 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（    ）    A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解. 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为，则，解得， 注水四棱台的上底面的面积为， 注水四棱台的下底面的面积为， 则注水四棱台的体积为 ， 将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设水面高度为，底面边长为， 则，解得，且底面面积为， 设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则， 又，则，解得，即， 即此四棱锥容器倒置后，水面高度为. 变式3．（2025·江西萍乡·二模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为________． 【答案】 【详解】由圆台的侧面积公式可得：. 变式4．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为_____. 【答案】 【分析】通过轴截面结合相切的几何性质分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积，即可得水的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点. 分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点． 则，且，，． 过点作交于，显然，可知四边形为矩形， 且， 在直角三角形中，， 且为锐角，则， 由可得，所以， 在直角三角形中，，得，所以． 在直角三角形中，． 在直角三角形中，,． 即圆台的上底面半径，下底面半径，高． 可得圆台的体积， 所以水的体积为． 故答案为：. 考点三 外接球与内切球问题 例1．（2026·江西上饶·二模）已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 例2．（25-26高一下·河南·期中）若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球O的球面上，且，，则（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出的外接圆半径，然后在中，利用勾股定理求出，最后求出. 【详解】如图所示，作出的外接圆圆心，连接. 中，，由正弦定理可得，. 又，. . 例3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设球半径为，圆锥的底面圆半径为，高为， 轴截面如图所示， ， 因为球是轴截面为正三角形的圆锥的内切球， 所以，， 所以， 所以圆锥的表面积与球的表面积之比为. 例4．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 【答案】 【分析】设四面体的棱长为，求出正四面体的高，可得其体积，设正四面体的内切球半径为利用等体积法可得则,从而得到内切球的半径即可求解. 【详解】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段， 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为， 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则， 所以内切球表面积，又正四面体的表面积， 所以 变式1．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】 根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的表面积为 变式2．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果. 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 变式3．（25-26高一下·吉林·月考）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则外接球体积为________． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆台的高为，设圆台的外接球的半径为，球心到圆心的距离为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆台的上底面圆的圆心为，半径为，下底面圆的圆心为，半径为， 圆台的母线为，圆台的高为，则 可得， 设圆台的外接球的球心为，半径为，球心到下底面圆心的距离为， 可得，即， 可得，解得，所以， 所以圆台的外接球的体积为. 变式4．（25-26高一下·湖南常德·月考）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【分析】利用补形法，把底面是直角三角形的直三棱柱补形为长方体，再利用长方体的外接球直径是长方体的对角线，即可求解外接球的表面积. 【详解】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：直观图的计算问题、表面积与体积问题、外接球与内切球问题专项训练 期中培优：直观图的计算问题、表面积与体积问题、外接球与内切球问题专项训练 考点目录 直观图的计算问题 表面积与体积问题 外接球与内切球问题 考点一 直观图的计算问题 例1．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．12 B． C．24 D． 例2．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·安徽淮北·月考）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________. 例4．（24-25高一下·天津武清·月考）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形的面积是_______. 变式1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形．其中，，，．以原四边形的边为轴，旋转一周得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·辽宁·月考）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（ ） A．2 B． C．4 D．6 变式3．（25-26高一下·福建福州·期中）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是___________． 变式4．（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 考点二 表面积与体积问题 例1．（25-26高一下·陕西渭南·期中）将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·河南·期中）已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 例4．（24-25高一下·福建福州·期中）在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 变式1．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（    ）    A．2 B． C． D．1 变式3．（2025·江西萍乡·二模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为________． 变式4．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为_____. 考点三 外接球与内切球问题 例1．（2026·江西上饶·二模）已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·河南·期中）若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球O的球面上，且，，则（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若球O是轴截面为正三角形的圆锥的内切球，则圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（   ） A． B．3 C． D． 例4．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 变式1．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 变式2．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·吉林·月考）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则外接球体积为________． 变式4．（25-26高一下·湖南常德·月考）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $