期中培优：利用导数研究含参函数单调性问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

期中培优：利用导数研究含参函数单调性问题复习讲义 期中培优：利用导数研究含参函数单调性问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 函数的单调性由导数的符号决定（单调递增，单调递减），含参函数的导数表达式含参数，参数的取值会改变导数的符号分布与零点位置，核心是通过分类讨论参数的不同取值范围，确定导数的零点与符号，进而判断原函数在定义域内的单调区间，本质是以导数符号为核心，参数分类为关键，定义域为前提，确定函数单调性分布。 二、通用解题思路 1. 定域求导，化简导函数 先明确原函数的定义域（如分式考虑分母≠0、对数考虑真数>0，定义域是单调性分析的前提）；求导得，通过因式分解、通分、配方等方式将化简为易判断符号的形式（如一次函数、二次函数、可分离参数的分式形式），标注导函数中的参数位置。 1. 分析导函数，找分类讨论依据 根据化简后的类型，确定参数的分类讨论标准（核心是按“导函数有无零点、零点大小、零点是否在定义域内”分类），常见类型： · 为一次型（如）：按一次项系数k的正负分类（k=0、k>0、k<0）； · 为二次型（如）：先按二次项系数a的正负分，再按判别式Δ的大小（Δ<0、Δ=0、Δ>0）分，Δ>0时再按零点与定义域的位置、零点间的大小分； · 为分式型：先定分子/分母的符号（分母恒正/恒负优先），再按分子的零点/系数分类。 1. 分类讨论，判定导数符号与单调区间 按确定的分类标准逐一讨论参数取值范围，每一类中： ① 求的根（零点），并验证零点是否在原函数定义域内（舍去域外零点）； ② 以定义域内的零点为分界点，将定义域划分为若干子区间； ③ 判定在每个子区间内的符号（正/负）； ④ 对应得出原函数在各子区间的单调性（正增负减）。 1. 整合结论，规范表述 将各参数取值范围下的单调区间按逻辑整合，表述时先说明参数范围，再写对应单调区间，避免区间与参数范围混淆；对无单调性变化（如恒成立或恒成立）的情况，直接说明函数在定义域内单调递增/递减。 三、核心技巧与注意事项 1. 分类讨论三原则：不重、不漏、最简，优先按“系数正负→零点存在性→零点位置”分类，避免无序讨论； 1. 定义域优先：所有零点分析、区间划分均在原函数定义域内进行，域外零点无需考虑，这是最易遗漏的点； 1. 导函数化简关键：因式分解能快速找到零点，配方能快速判断二次型导函数的符号（如），减少计算量； 1. 特殊情况单独讨论：一次型导函数的系数为0、二次型导函数的二次项系数为0/Δ=0，需单独讨论，这些情况常对应函数无单调分界点； 1. 符号判定技巧：导函数为二次型且开口方向确定时，可通过“零点两侧符号分布”快速判定（开口向上，零点间负、零点外正；开口向下则相反）；分式型导函数可先定恒正/恒负的部分，只需分析另一部分的符号。 例题分析 例1．（2026·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）由条件可得，求导函数及其零点，利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性，结合极值的定义求结论； （2）分别在条件，下化简函数解析式，结合对数函数性质导数与函数的单调性的关系判断函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 所以. 令，得， 且当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）. 当时，， 因为，所以在上单调递减. 当时，， 由， 令，得. 当，即时，， 所以在上单调递增. 当，即时， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 例2．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 例3．（25-26高二下·陕西宝鸡·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，在递增;当时，在单调递减，在单调递增. 【分析】（1）根据导数的几何意义可列出的关系式，计算即可； （2）对函数求导，讨论，两种情况得单调性； 【详解】（1），定义域为 所以， 因为直线的斜率为， 所以，所以. （2），定义域为， 若，则在恒成立，故在递增; 若，令得，令得， 故在单调递减，在单调递增; 综上所述：当时，在递增， 当时，在单调递减，在单调递增. 例4．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到，，利用导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分，和，三种情况讨论，进而求得函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，可得， 则，，即切线的斜率为，切点为， 所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）由函数，可得其定义域为， 且． 令，可得或， 当时，，在上单调递增； 当时，令，可得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 变式训练 变式1．（25-26高二下·安徽六安·月考）已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)设，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）对求导后代入使导数值为0即可求解； （2）由条件整理出后求导，再讨论根的位置关系即可得到的单调性. 【详解】（1）由题意得， 因为是函数的极值点，所以， 解得， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 为函数的极小值点，满足条件，故； （2）因为， 则. 且， 当时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 当且时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 综上，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 变式2．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先代入求出函数值与导数值，得到切点坐标和切线斜率，再用点斜式写成切线方程； （2）先求导并对导数因式分解，再根据时两个临界点的大小关系分情况讨论，确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，， 又由得， 所以切线方程为，即. （2）当时，， 令得或， ①若，即，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若，即，则当时，恒成立（当且仅当时取等号），单调递增； ③若，即，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时， 的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增 区间是和，单调递减区间是. 变式3．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，函数存在唯一的极值点； (3)令，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）整理可得，可知直线与函数的图象只有一个交点，利用导数分析的单调性和图象，即可得结果； （3）求导可得，分和两种情况，利用导数分析原函数单调性. 【详解】（1）当时，则， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即. （2）由题意可知：函数的定义域为，且， 令，得． 要证明当时，函数存在唯一的极值点， 即证明当时，存在唯一的变号零点， 即证明当时，直线与函数的图象只有一个交点． 令，则， 当时，则，当时，则； 可知在上单调递减，在上单调递增．且， 当时，；当时，；当时，， 画出的大致图象如下： 所以当时，直线与函数的图象只有一个交点． 由上可知，当时，函数存在唯一的极值点． （3）因为，则， 当时，则，可知在单调递增； 当时，当时，则，当时，则； 可知在单调递减，在单调递增； 综上所述：当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 变式4．（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分，，，四种情况进行讨论. 【详解】（1），， 所以切线方程为，即. （2）定义域为. 令，得. 当时， - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 实战演练 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分解因式，进而分，可确定单调性； （2）由题意可求得，进而证明，令，利用导数可证结论. 【详解】（1）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在单调递增； 时，在单调递减； 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）可得，当时，， 即证，即证， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， ，即， . 2．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，对分类讨论，根据导函数的正负即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 因为，所以． 所以曲线在处的切线方程为． （2）函数的定义域为． ， 令，解得． ①当，即时，， 所以函数的单调递减区间为和，无单调递增区间； ②当，即时， 令，则， 令，则， 函数的单调递减区间为和，单调递增区间为； ③当，即时， 令，则， 令，则， 函数的单调递减区间为和，单调递增区间为． 综上所述，当时，函数的单调递减区间为和，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：利用导数研究含参函数单调性问题复习讲义 期中培优：利用导数研究含参函数单调性问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 函数的单调性由导数的符号决定（单调递增，单调递减），含参函数的导数表达式含参数，参数的取值会改变导数的符号分布与零点位置，核心是通过分类讨论参数的不同取值范围，确定导数的零点与符号，进而判断原函数在定义域内的单调区间，本质是以导数符号为核心，参数分类为关键，定义域为前提，确定函数单调性分布。 二、通用解题思路 1. 定域求导，化简导函数 先明确原函数的定义域（如分式考虑分母≠0、对数考虑真数>0，定义域是单调性分析的前提）；求导得，通过因式分解、通分、配方等方式将化简为易判断符号的形式（如一次函数、二次函数、可分离参数的分式形式），标注导函数中的参数位置。 1. 分析导函数，找分类讨论依据 根据化简后的类型，确定参数的分类讨论标准（核心是按“导函数有无零点、零点大小、零点是否在定义域内”分类），常见类型： · 为一次型（如）：按一次项系数k的正负分类（k=0、k>0、k<0）； · 为二次型（如）：先按二次项系数a的正负分，再按判别式Δ的大小（Δ<0、Δ=0、Δ>0）分，Δ>0时再按零点与定义域的位置、零点间的大小分； · 为分式型：先定分子/分母的符号（分母恒正/恒负优先），再按分子的零点/系数分类。 1. 分类讨论，判定导数符号与单调区间 按确定的分类标准逐一讨论参数取值范围，每一类中： ① 求的根（零点），并验证零点是否在原函数定义域内（舍去域外零点）； ② 以定义域内的零点为分界点，将定义域划分为若干子区间； ③ 判定在每个子区间内的符号（正/负）； ④ 对应得出原函数在各子区间的单调性（正增负减）。 1. 整合结论，规范表述 将各参数取值范围下的单调区间按逻辑整合，表述时先说明参数范围，再写对应单调区间，避免区间与参数范围混淆；对无单调性变化（如恒成立或恒成立）的情况，直接说明函数在定义域内单调递增/递减。 三、核心技巧与注意事项 1. 分类讨论三原则：不重、不漏、最简，优先按“系数正负→零点存在性→零点位置”分类，避免无序讨论； 1. 定义域优先：所有零点分析、区间划分均在原函数定义域内进行，域外零点无需考虑，这是最易遗漏的点； 1. 导函数化简关键：因式分解能快速找到零点，配方能快速判断二次型导函数的符号（如），减少计算量； 1. 特殊情况单独讨论：一次型导函数的系数为0、二次型导函数的二次项系数为0/Δ=0，需单独讨论，这些情况常对应函数无单调分界点； 1. 符号判定技巧：导函数为二次型且开口方向确定时，可通过“零点两侧符号分布”快速判定（开口向上，零点间负、零点外正；开口向下则相反）；分式型导函数可先定恒正/恒负的部分，只需分析另一部分的符号。 例题分析 例1．（2026·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 例2．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 例3．（25-26高二下·陕西宝鸡·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值； (2)讨论函数的单调区间． 例4．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 变式训练 变式1．（25-26高二下·安徽六安·月考）已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)设，讨论函数的单调性. 变式2．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 变式3．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，函数存在唯一的极值点； (3)令，讨论的单调性. 变式4．（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 实战演练 1．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 2．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 2 学科网（北京）股份有限公司 $