期中培优：导数新定义问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

期中培优：导数新定义问题讲义 期中培优：导数新定义问题讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣题干新定义的规则/运算/概念，将其与导数的单调性、极值、最值、切线等核心性质结合，把新定义问题转化为常规的导数问题求解，本质是理解新定义→翻译新定义→用导数知识解决转化后的常规问题。 二、通用解题思路 1. 精读定义，抓核心规则：明确新定义的内涵（如新运算、新函数、新性质），标注定义中的限定条件（定义域、变量范围、特殊要求），厘清符号、公式的具体含义； 1. 翻译定义，转常规问题：将新定义表述的条件/结论，转化为熟悉的数学表达式（如等式、不等式、函数解析式），把新定义问题转化为导数的单调性判断、极值最值求解、切线方程、不等式证明等常规题型； 1. 用导数知识，解转化后的问题：按常规导数题的解法，求导分析函数性质，结合新定义转化后的表达式列方程/不等式，推导所需结论； 1. 验证结论，匹配定义要求：将求解结果代入新定义的规则中验证，确保符合定义的限定条件，避免因忽略定义细节导致错误。 三、核心技巧与注意事项 1. 定义翻译是关键：切勿死记新定义，重点是将“陌生表述”转化为“导数常规语言”，无转化则无法解题； 1. 紧扣定义限定：新定义常含特殊定义域、变量关系、运算规则，忽略则会导致转化错误，全程以定义为前提； 1. 基础导数知识兜底：新定义只是“外壳”，核心解法仍为导数的求导、单调性分析、极值最值求解等基础内容，熟练掌握常规解法是根本； 1. 特例辅助理解：若新定义抽象，可代入特殊值、特殊函数简化理解，再推广到一般情况。 例题分析 例1．（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不一定，举出反例即可 【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可. 【详解】（1）因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. （3）不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 例2．（25-26高二下·重庆·月考）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数 (1)当时，判断是否为极值可差比函数，若是，求极值差比系数，若不是，说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围． 【答案】(1)是极值可差比函数．其中； (2)不存在，理由见解析 (3)当时，的极值差比系数的取值范围．当时，的极值差比系数不存在 【分析】（1）按照题目所给信息，验证是否满足题意即可； （2）根据函数新定义，先假设，可得到函数的极值差比系数的表达式，进而将问题转化为验证方程在范围内是否有解； （3）由（2）可得的极值差比系数为，后令，结合，将问题转化为求函数的值域即可. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 依题意，， 因此是极值可差比函数，其中极值差比系数为； （2）由题意，的定义域为，，即， 假设是极值可差比函数，且极值差比系数为， 设的极大值点为，极小值点为． 则，得， 由（1）分析可得，又，则． 由于 ，即得． 由题意，，则需使， 因，可得 则得，即，移项得（*）． 令，则， 所以在上单调递增，则， 因此（*）方程在时无解，即不存在使的极值差比系数为； （3）由（2）知是极值可差比函数时，需满足； 且的极值差比系数为，结合题意知． 又，则的极值差比系数为. 令，则，且极值差比系数可化为， 注意到在时单调递减， 由，可得， 令，则， 设， 所以在上单调递减，则，则，故在上单调递增， 因， 当时，， 即得． 故当时，的极值差比系数的取值范围． 当时，的极值差比系数不存在. 例3．（25-26高二下·重庆·月考）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率， 表明曲线偏离直线的程度. 定义函数 的曲率函数 ，（是的导数，是的导数）． (1)求在 处的曲率； (2)证明： 图象上任一点曲率恒为常数； (3)若函数 在 处的曲率相同，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据曲率函数的概念求解即可； （2）根据新定义结合导函数二次求导代入计算即可； （3）不妨设，进而将问题转化为，，，令，，则，转化为，再结合基本不等式求得，即可得答案． 【详解】（1）函数，，， 所以， ， 故在 处的曲率为； （2），， 则函数的曲率； （3）函数，，， 故， 则， 令得，即， 故当时，单调递增；当时，单调递减； 所以在取得极大值， 因为函数，在处的曲率相同， 不妨设，则，，即， 令，，则， 所以，即， 所以，整理得，， 由得， 所以，即， 令，则，即， 所以，解得，即， 所以，故， 所以函数在处的曲率相同，则． 例4．（2026·辽宁大连·二模）定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (2)证明：当时，曲线不存在“自公切线”； (3)若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数的单调性转化为导函数在区间恒成立，分离参数求解； （2）根据新定义转化为，换元后利用导数证明方程不成立即可得证； （3）根据新定义利用导数，分类讨论求解. 【详解】（1）当时，，， 由题意可知，，即在区间上恒成立， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以，即. （2）当时，，， 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则l的斜率，， 即， 同时， 故，即 不妨设，令，， 则， 所以在区间上单调递减，，故不成立， 所以当时，曲线不存在“自公切线”. （3）因为，所以为偶函数， 又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”， 所以当时，曲线也不存在“自公切线”． 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则和只可能一正一负，不妨设，， 则l的斜率， 即 同时， 所以， 所以或，即或， ①当时，因为，所以， 所以，令，则， 当时，，在上单调递增，， 所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”； 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 因为，且时，， 当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”； 当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”； 当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”． ②当时，，又，所以， 因为，所以， 所以， 设函数，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且，，， 所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”； 当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”； 当或，即或时，无解，即没有“自公切线”． 又因为当时， 在情况①中，，； 在情况②中，，； 所以当时，与同时成立，有且只有一条“自公切线”． 综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是. 变式训练 变式1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由题意可得在 上恒成立，利用函数的单调性，求出函数在 上的最小值，即可得答案； （2）令，可得函数在上是下凸函数，由下凸函数的定义求解即可； （3）由题意可得，令，可得在上是下凸函数，结合下凸函数的定义及对数函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立， 所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）解：令， 则， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）解：因为正实数满足， 所以， 令， 则， 因为，所以 所以， 即 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 变式2．（24-25高二下·天津·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 【答案】(1)， (2)个 【分析】（1）依题意，即可求出、的值； （2）由（1）可得，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可判断. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以，解得； （2）由（1）知，， ∴， 令，得或， 所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以，，且当时，；当时，， 所以有个零点. 变式3．（24-25高二下·山东·期中）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. (1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. (2)已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求出函数的二阶导数，依题意可得当时，恒成立，分、两种情况讨论，结合二次函数的性质计算可得； （2）①依题意可得在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出，即可求出参数的取值范围；②依题意可得方程在内有两个根，，即，结合①可得，欲证，即证，再结合函数的单调性证明即可. 【详解】（1）因为，定义域为， 所以，. 因为是上的凸函数，所以在上恒成立， 即当时，恒成立. 函数图象的对称轴为直线， 当，即时，只需时，即可，所以， 当，即时，只需时，即可，所以， 综上可得. （2）①因为，，所以，. 因为是上的凹函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则. 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. ②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点，， 所以方程在内有两个根，，即. 因为在上单调递增，在上单调递减，所以. 欲证，即证. 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证. 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立. 欲证，即证. 因为，所以只需证， 即证，即需证. 令，，则， 所以在上单调递增，所以，则原不等式得证. 故. 变式4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度. 如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） (1)求函数在点处的曲率； (2)已知函数，求函数的曲率的最大值. (3)设函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导得到，二次求导得到，代入，求出函数在点处的曲率； （2）求导，二次求导，得到，令，求导得到其单调性，求出其最大值，得到曲率的最大值； （3）二次求导，令，得，令，求导，得到其单调性和极值情况，得到有两个解，设为，，，根据变形得到，，从而所证不等式等价于，令，求导得到其单调性，求出，得证.同理可证时不等式也成立. 【详解】（1）， ，， ，， 所以函数在点处的曲率为. （2），，， 由定义知为非负数，由题意得， ， ， ， 令，，令， 则在上恒成立， 在上单调递增，即， ，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为. （3）函数，求导得，， 由曲率为0，得，则，即，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 又当时，恒成立，而，因此有两个解， 当时，，则，设，， 于是，，，则，， 不等式， 令，求导得， 因此函数在上单调递增，，则； 当时，， 不等式， ，同理，函数在上单调递增， 因此，则， 所以. 实战演练 1．（24-25高二下·贵州毕节·月考）中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇山、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)若曲线与在处的曲率分别为，，求证：； (2)求曲线曲率的平方的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）对求导，应用曲率公式求出处的曲率，即可比较大小； （2）由题设求出的曲率平方，换元令，，，利用导数求的最大值即可. 【详解】（1）因为，则，． 即， 可得曲线在处的曲率为 又因为，则，． 即， 可得曲线在处的曲率为 ， 因为，所以. （2）因为 则， 可得 令，则 设，令 则在上恒成立． 可知函数在上单调递增 当时，取得最大值为2，即的最大值为2． 2．（24-25高二下·山西长治·月考）对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数． (1)写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； (2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，； (3)求证：． 【答案】(1); (2)证明见详解； (3)证明见详解. 【分析】（1）根据函数在处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果； （2）根据泰勒公式的定义，计算函数在处的阶泰勒展开式余项，介于与之间的常数，再通过导数判断单调性即可； （3）计算函数在处的阶泰勒展开式为,并得，令，则，再利用累加法即可证明. 【详解】（1）由题意，函数，且， 则， ， ， 所以函数在处的阶泰勒展开式为： . （2）由（1）可知，， ， 所以函数在处的阶泰勒展开式为： ， 其中，介于与之间的常数， 所以， 因为为常数项，且， 所以函数为偶函数， 因为， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以， 故对任意的，. （3）由（2）可知，函数在处的阶泰勒展开式为 ， 所以， 令， 则， 所以， 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：导数新定义问题讲义 期中培优：导数新定义问题讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣题干新定义的规则/运算/概念，将其与导数的单调性、极值、最值、切线等核心性质结合，把新定义问题转化为常规的导数问题求解，本质是理解新定义→翻译新定义→用导数知识解决转化后的常规问题。 二、通用解题思路 1. 精读定义，抓核心规则：明确新定义的内涵（如新运算、新函数、新性质），标注定义中的限定条件（定义域、变量范围、特殊要求），厘清符号、公式的具体含义； 1. 翻译定义，转常规问题：将新定义表述的条件/结论，转化为熟悉的数学表达式（如等式、不等式、函数解析式），把新定义问题转化为导数的单调性判断、极值最值求解、切线方程、不等式证明等常规题型； 1. 用导数知识，解转化后的问题：按常规导数题的解法，求导分析函数性质，结合新定义转化后的表达式列方程/不等式，推导所需结论； 1. 验证结论，匹配定义要求：将求解结果代入新定义的规则中验证，确保符合定义的限定条件，避免因忽略定义细节导致错误。 三、核心技巧与注意事项 1. 定义翻译是关键：切勿死记新定义，重点是将“陌生表述”转化为“导数常规语言”，无转化则无法解题； 1. 紧扣定义限定：新定义常含特殊定义域、变量关系、运算规则，忽略则会导致转化错误，全程以定义为前提； 1. 基础导数知识兜底：新定义只是“外壳”，核心解法仍为导数的求导、单调性分析、极值最值求解等基础内容，熟练掌握常规解法是根本； 1. 特例辅助理解：若新定义抽象，可代入特殊值、特殊函数简化理解，再推广到一般情况。 例题分析 例1．（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 例2．（25-26高二下·重庆·月考）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数 (1)当时，判断是否为极值可差比函数，若是，求极值差比系数，若不是，说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围． 例3．（25-26高二下·重庆·月考）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率， 表明曲线偏离直线的程度. 定义函数 的曲率函数 ，（是的导数，是的导数）． (1)求在 处的曲率； (2)证明： 图象上任一点曲率恒为常数； (3)若函数 在 处的曲率相同，证明： . 例4．（2026·辽宁大连·二模）定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (2)证明：当时，曲线不存在“自公切线”； (3)若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 变式训练 变式1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 变式2．（24-25高二下·天津·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 变式3．（24-25高二下·山东·期中）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. (1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. (2)已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 变式4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度. 如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） (1)求函数在点处的曲率； (2)已知函数，求函数的曲率的最大值. (3)设函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：. 实战演练 1．（24-25高二下·贵州毕节·月考）中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇山、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)若曲线与在处的曲率分别为，，求证：； (2)求曲线曲率的平方的最大值． 2．（24-25高二下·山西长治·月考）对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数． (1)写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； (2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，； (3)求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $