11.3 公式法学案2025-2026学年 青岛版七年级数学下册

11.3公式法 1、运用平方差公式进行因式分解………………………………………………………… 2 2、运用完全平方公式进行因式分解……………………………………………………… 11 3、因式分解综合题………………………………………………………………………… 20 知 识 清 单 知识点1 用平方差公式进行因式分解 把平方差公式反过来a2-b2=（a+b）（a-b） 作为公式，就可以把具备平方差形式的多项式进行因式分解，即 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。 【知识解读】 （1）逆用平方差公式将特殊的多项式分解因式。 （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积。 （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式。 素 养 提 升 考点1 运用平方差公式进行因式分解 例题讲解1： 例1．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　） A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4） 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：原式＝[（x﹣1）+3][（x﹣1）﹣3] ＝（x+2）（x﹣4）． 故选：D． 跟踪训练： 1．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+9 B．﹣a2+9 C．﹣a2﹣9 D．a2﹣6a+9 【解答】解：A、不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、﹣a2+9＝9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），故此选项符合题意； C、﹣a2﹣9＝﹣（a2+9），不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．分解因式：4a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．（2a+1）（2a﹣1） C．（4a+1）（4a﹣1） D．（16a+1）（16a﹣1） 【解答】解：原式＝（2a+1）（2a﹣1）， 故选：B． 3．在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+b2 B．4m2﹣16m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+16 【解答】解：A、不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； C、不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D、﹣x2+16＝16﹣x2＝（4+x）（4﹣x），符合平方差公式的特征，能用平方差公式分解因式，故此选项符合题意； 故选：D． 4．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．3x2﹣4y C． D． 【解答】解：A、x2+4y2不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B、3x2﹣4y不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C、能运用平方差公式分解，故此选项正确； D、不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 故选：C． 5．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+1 B．x2﹣4 C．x3﹣8 D．x2+4x+1 【解答】解：A、x2+1不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、x3﹣8不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、x2+4x+1不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．多项式（x+1）2﹣9因式分解的结果为（　　） A．（x+8）（x+1） B．（x﹣2）（x+4） C．（x﹣4）（x+2） D．（x﹣10）（x+8） 【解答】解：运用平方差公式进行因式分解可得： （x+1）2﹣9＝（x+1﹣3）（x+1+3）＝（x﹣2）（x+4）， 故选：B． 7．下列各式能用平方差公式分解因式的有　②③⑤⑥　 （填序号）． ①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2+y2；④﹣x2﹣y2；⑤1a2b2；⑥x2﹣4． 【解答】解：x2+y2，﹣x2﹣y2不能用平方差公式分解因式， x2﹣y2，﹣x2+y2，1a2b2，x2﹣4能用平方差公式分解因式， 故答案为：②③⑤⑥． 例题讲解2： 例2．若m为自然数，则（2m+3）2﹣4m2的值总能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【分析】先将（2m+3）2﹣4m2转化为3（4m+3），即可得出结论． 【解答】解：（2m+3）2﹣4m2 ＝4m2+12m+9﹣4m2 ＝12m+9 ＝3（4m+3）， ∵m为自然数， ∴（2m+3）2﹣4m2的值总能被3整除， 故选：A． 跟踪训练： 1．若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 【解答】解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1）， 4（3m+1）的值总能被4整除， 因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除， 故选：A． 2．对于任意自然数n，关于代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值，说法错误的是（　　） A．总能被3整除 B．总能被4整除 C．总能被6整除 D．总能被7整除 【解答】解：∵（n+7）2﹣（n﹣5）2 ＝[（n+7）+（n﹣5）][（n+7）﹣（n﹣5）] ＝（n+7+n﹣5）（n+7﹣n+5） ＝（2n+2）×12 ＝24（n+1）， ∴代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值一定能被24整除， ∴（n+7）2﹣（n﹣5）2的值一定能被3或4或6整除， 故选：D． 3．对任意整数n，（2n﹣1）2﹣25都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【解答】解：∵（2n﹣1）2﹣25 ＝（2n﹣1）2﹣52 ＝（2n﹣1﹣5）（2n﹣1+5） ＝（2n﹣6）（2n+4） ＝4（n﹣3）（n+2）， ∴对任意整数n，（2n﹣1）2﹣25都能被4整除， 故选：B． 4．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【解答】解：（2k+3）2﹣4k2 ＝4k2+12k+9﹣4k2 ＝12k+9 ＝3（4k+3）， ∵k为任意整数， ∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除， 故选：B． 例题讲解3： 例3．若3x﹣2y＝a，x﹣4y＝b，则（x+y）2﹣（2x﹣3y）2的值是（　　） A．﹣ab B．ab C．a2+b2 D．a2﹣b2 【分析】直接利用公式法将原式变形，进而得出答案． 【解答】解：（x+y）2﹣（2x﹣3y）2＝[（x+y）+（2x﹣3y）][（x+y）﹣（2x﹣3y）] ＝（3x﹣2y）（﹣x+4y） ＝﹣（3x﹣2y）（x﹣4y）， ∵3x﹣2y＝a，x﹣4y＝b， ∴原式＝﹣ab． 故选：A． 跟踪训练： 1．已知x+y＝3，x﹣y＝1，则下列计算不正确的是（　　） A．（x+y）2＝9 B．x2+y2＝5 C．xy＝8 D．x2﹣y2＝3 【解答】解：联立得：， 解得：， ∴（x+y）2＝9；x2+y2＝5，选项A与B正确； xy＝2，选项C错误； ∵x+y＝3，x﹣y＝1， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，选项D正确； 故选：C． 2．已知x+y＝4，x2﹣y2＝12，则x﹣y＝　3　 ． 【解答】解：利用平方差公式法进行因式分解可知： x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）且x+y＝4，x2﹣y2＝12， ∴； 故答案为：3． 3．已知a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为　20　 ． 【解答】解：（a+2）2﹣（b﹣2）2＝a2+4a+4﹣b2+4b﹣4＝（a+b）（a﹣b）+4（a+b）＝（a+b）（a﹣b+4）， ∵a+b＝4，a﹣b＝1， ∴原式＝4×5＝20， 故答案为：20． 4．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 　20　 ． 【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1 ∴（a+2）2﹣（b﹣2）2＝[（a+2）+（b﹣2）][（a+2）﹣（b﹣2）]＝（a+b）（a﹣b+4）＝4×（1+4）＝20 故答案为：20 5．因式分解：4x2﹣y2＝（2x+y）•A，则代数式A等于（　　） A．x+y B．x﹣y C．2x+y D．2x﹣y 【解答】解：将4x2﹣y2用平方差公式分解可得： 4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），4x2﹣y2＝（2x+y）•A， 由等式性质两边除以（2x+y）可得： （2x+y）（2x﹣y）＝（2x+y）•A， ∴A＝2x﹣y． 故选：D． 6．已知x﹣y＝2，x2﹣y2＝6，则x＝　　 ，y＝　　 ． 【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6， 把x﹣y＝2代入，得x+y＝3， 解方程组， 得x，y． 例题讲解4： 例4．因式分解：（m2﹣2）2﹣4． 【答案】m2（m+2）（m﹣2）． 【分析】原式两次运用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式两次运用平方差公式进行因式分解可得： 原式＝（m2﹣2+2）（m2﹣2﹣2） ＝m2（m2﹣4） ＝m2（m+2）（m﹣2）． 跟踪训练： 1．因式分解：x2﹣9y2＝　（x+3y）（x﹣3y）　 ． 【解答】解：原式＝（x+3y）（x﹣3y）． 故答案为：（x+3y）（x﹣3y）． 2．因式分解：x2﹣16y2＝　（x+4y）（x﹣4y）　 ． 【解答】解：根据平方差公式因式分解可得： x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y） 故答案为：（x+4y）（x﹣4y）． 3．因式分解：81a4﹣b4． 【解答】解：根据平方差公式得到（9a2﹣b2）（9a2+b2），再由（9a2﹣b2）根据平方差公式得到（3a﹣b）（3a+b）可得： 原式＝（9a2﹣b2）（9a2+b2） ＝（3a﹣b）（3a+b）（9a2+b2）． 4．分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2． 【解答】解：（x2+y2）2﹣4x2y2 ＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy） ＝（x+y）2（x﹣y）2． 5．分解因式：（3x﹣2）2﹣（2x+7）2． 【解答】解：原式＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）] ＝（5x+5）（x﹣9） ＝5（x+1）（x﹣9）． 例题讲解5： 例5．观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 【分析】（1）模仿例题中的做法求解即可； （2）根据例题中的规律求解即可； （3）运用（2）中的公式求解即可． 【解答】解：（1）模仿以上做法，x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； （2）观察以上结果，可得xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）； （3）根据上述规律，可得27﹣1＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）， ∴26+25+24+23+22+2+1＝27﹣1＝127． 跟踪训练： 1．观察下列各式： x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）， x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）， x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）， … 根据上面的规律，将xn﹣1进行因式分解． 【分析】根据规律即可得出答案． 【解答】解：根据规律得：xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）． 知 识 清 单 知识点2 用完全平方公式进行因式分解 把完全平方公式反过来a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2 作为公式，就可以把具备完全平方式形式的多项式进行因式分解，即 两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差) 的平方。 我们可以利用乘法公式对某些多项式进行因式分解,这种因式分解的方法叫作公式法。 【知识解读】 （1）逆用完全平方公式将特殊的多项式分解因式. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 考点2 运用完全平方公式进行因式分解 例题讲解1： 例1．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（　　） A．x2﹣1 B．x2+1 C．x2+x+1 D．x2+2x+1 【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A、x2﹣1能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、x2+1不能运用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； C、x2+x+1不能运用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； D、x2+2x+1＝（x+1）2，能运用完全平方公式因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 跟踪训练： 1．将代数式x2+16x+64进行因式分解，结果是（　　） A．（x﹣8）2 B．（x+16）2 C．（x+4）2 D．（x+8）2 【解答】解：x2+16x+64 ＝x2+2×1×8x+82 ＝（x+8）2． 故选：D． 2．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．4a2+1 B．a2﹣ab+b2 C．a2﹣9 D．a2+2a+1 【解答】解：A、4a2+1不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； B、a2﹣ab+b2不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； C、a2﹣9不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； D、a2+2a+1能用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； 故选：D． 3．下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（　　） A．x2+2x+y2 B．4x2﹣4x﹣1 C．x2+4xy+y2 D．x2﹣4x+4 【解答】解：A．x2+2x+y2，第三项2x不是x与y乘积的2倍，故本选项不符合题意； B.4x2﹣4x﹣1，﹣1与4x2符号不同，故本选项不符合题意； C．x2+4xy+y2，第三项4xy不是x与y乘积的2倍，故本选项不符合题意； D．x2﹣4x+4＝x2﹣2•x•2+22＝（x﹣2）2，符合完全平方公式分解因式的条件，故本选项符合题意． 故选：D． 例题讲解2： 例2．若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 【分析】根据完全平方公式的结构特征，将多项式与公式对比，确定中间项的系数，从而求出k的值． 【解答】解：根据完全平方公式的结构特征可知：x2+kx+9＝x2+kx+32， ∵多项式x2+kx+9能用完全平方公式因式分解， ∴k＝±2×1×3＝±6， 故选：C． 跟踪训练： 1．若多项式4x2﹣axy+y2可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B．±2 C．2 D．±4 【解答】解：∵4x2﹣axy+y2＝（2x±y）2＝4x2±4xy+y2， ∴﹣a＝±4， ∴a＝±4， 故选：D． 2．若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 【解答】解：根据题意得x2+（a+2）x+9＝（x±3）2， ∵（x±3）2＝x2±6x+9， ∴a+2＝±6， ∴a＝4或a＝﹣8， 故选：D． 3．若x2+mx+4能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．±4【解答】解：若x2+mx+4能用完全平方公式进行因式分解， 则x2+mx+4＝（x±2）2， ∵（x±2）2＝x2±4x+4， ∴m＝±4， 故选：D． 4．若9x2﹣2（k+3）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．±9 B．±15 C．9或﹣15 D．﹣9或15 【解答】解：∵9x2﹣2（k+3）x+16＝（3x±4）2， ∴﹣2（k+3）x＝±2×3x×4， 解得k＝9或k＝﹣15， 故选：C． 5．若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　6或﹣6　 ． 【解答】解：由题意得，x2+kx+9是完全平方式， ∵（a±b）2＝a2±2ab+b2是完全平方式， ∴a＝x，b2＝9，即b＝±3， ∴kx＝±2•x•3＝±6x， 解得k＝6或k＝﹣6． 故答案为：6或﹣6． 6．若y2+my+9能用公式法进行因式分解，则常数m的值为　±6　 ． 【解答】解：若y2+my+9能用公式法进行因式分解，则常数m的值为±6， 故答案为：±6． 7．若4x2﹣12x+m可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 　9　 ． 【解答】解：∵4x2﹣12x+m＝（2x）2﹣2×3×2x+m可以用完全平方公式来分解因式， ∴m＝32＝9． 故答案为：9． 8．若x2﹣mx+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为　±6　 ． 【解答】解：根据题意可知，x2﹣mx+9＝（x±3）2， ∴m＝±2×3＝±6． 故答案为：±6． 9．若关于x的二次三项式x2﹣2（m﹣1）x+4可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝　3或﹣1　 ． 【解答】解：x2﹣2（m﹣1）x+4＝（x±2）2＝x2±4x+4， ∴﹣2（m﹣1）＝±4， ∴m＝3或m＝﹣1， 故答案为：3或﹣1． 10．若多项式x2﹣（1+m）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　5或﹣7　 ． 【解答】解：x2﹣（1+m）x+9＝（x±3）2＝x2±6x+9， ∴﹣（1+m）＝±6， ∴m＝5或m＝﹣7， 故答案为：5或﹣7． 例题讲解3： 例3．把多项式（a+b）2﹣4（a+b）+4分解因式，其结果是（　　） A．（a+b+2）2 B．（a+b﹣2）2 C．（a﹣b+2）2 D．（﹣a+b+2）2 【分析】将（a+b）看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：原式＝[（a+b）﹣2]2 ＝（a+b﹣2）2． 故选：B． 跟踪训练： 1．因式分解：4a2﹣4a+1＝　（2a﹣1）2 ． 【解答】解：原式＝（2a﹣1）2， 故答案为：（2a﹣1）2． 2．分解因式：16x2+24x+9＝　（4x+3）2 ． 【解答】解：16x2+24x+9 ＝（4x+3）2． 故答案为：（4x+3）2． 3．把下列各式分解因式． （1）2x2﹣x； （2）a2﹣8a+16．【解答】解：（1）2x2﹣x＝x（2x﹣1）； （2）a2﹣8a+16＝（a﹣4）2． 4．因式分解：x2﹣4y（x﹣y）﹣4． 【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣4 ＝（x﹣2y）2﹣22 ＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）． 5．因式分解：（a2﹣5a）2+12（a2﹣5a）+36．【解答】解：（a2﹣5a）2+12（a2﹣5a）+36 ＝（a2﹣5a+6）2 ＝[（a﹣2）（a﹣3）]2 ＝（a﹣2）2（a﹣3）2． 6．分解因式：x4﹣2x2+1． 【解答】解：x4﹣2x2+1 ＝（x2﹣1）2 ＝（x+1）2（x﹣1）2． 7．因式分解：（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16． 【解答】解：（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16 ＝[（a2+3a）﹣4]2 ＝（a2+3a﹣4）2 ＝（a+4）2（a﹣1）2． 8．分解因式：（m2﹣1）2﹣6（m2﹣1）+9． 【解答】解：原式＝（m2﹣1﹣3）2 ＝（m2﹣4）2 ＝[（m﹣2）（m+2）]2 ＝（m﹣2）2（m+2）2． 例题讲解4： 例4．阅读材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，请你写出下列因式分解的结果： （1）分解因式：4+4（x﹣y）+（x﹣y）2； （2）分解因式：（y2+4y）（y2+4y+8）+16． 【分析】（1）利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先变形，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（2+x﹣y）2． （2）原式＝（y2+4y）2+8（y2+4y）+42 ＝（y2+4y+4）2 ＝（y+2）4． 跟踪训练： 1．仔细分析例题，领会其中的思想方法：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝P，则原式＝P2+2P+1＝（P+1）2，再将“P”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝ 　（x﹣y﹣1）2 ； （2）因式分解（a2﹣4a）2+8（a2﹣4a）+16． 【解答】解：（1）令x﹣y＝m， 则（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1 ＝m2﹣2m+1 ＝（m﹣1）2， 将m＝x﹣y代入，得原式＝（x﹣y﹣1）2． 故答案为：（x﹣y﹣1）2； （2）令a2﹣4a＝n， 则（a2﹣4a）2+8（a2﹣4a）+16 ＝n2+8n+16 ＝（n+4）2， 原式＝（a2﹣4a+4）2 ＝（a﹣2）4． 2．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　（x﹣2）4 ； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 【解答】解：（1）故选：C； （2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9， 设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+1）（y+7）+9， ＝y2+8y+16， ＝（y+4）2， ＝（x2﹣4x+4）2， ＝（x﹣2）4； 故答案为：（x﹣2）4； （3）设x2+2x＝y， 原式＝y（y+2）+1， ＝y2+2y+1， ＝（y+1）2， ＝（x2+2x+1）2， ＝（x+1）4． 知 识 清 单 知识点3 因式分解的步骤及注意事项 1、因式分解的步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解. 【思路总结】一提；二套；三彻底； 2、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 考点3 因式分解综合题 例题讲解1： 例1．下列各选项中因式分解正确的是（　　） A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a） C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 【分析】利用因式分解的方法逐项进行因式分解，进而判断正误即可． 【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故A选项错误； B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故B选项错误； C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故C选项错误； D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，故D选项正确． 故选：D． 跟踪训练： 1．把多项式xy2﹣9x因式分解正确的是（　　） A．x（y2+9） B．x（y﹣9）2 C．x（x+y）（y﹣9） D．x（y+3）（y﹣3）【解答】解：xy2﹣9x ＝x（y2﹣9） ＝x（y+3）（y﹣3）， 故选：D． 2．将多项式x3﹣2x2+x分解因式，结果为（　　） A．x（x+1）2 B．x（x2﹣2x） C．x2（x﹣2）+x D．x（x﹣1）2 【解答】解：x3﹣2x2+x ＝x（x2﹣2x+1） ＝x（x﹣1）2， 故选：D． 3．下列因式分解正确的是（　　） A．2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1） B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 C．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2 D．a2+ab+a＝a（a+b） 【解答】解：A、2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1）＝2m（n+1）（n﹣1），故A不符合题意； B、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故B符合题意； C、4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2，故C不符合题意； D、a2+ab+a＝a（a+b+1），故D不符合题意； 故选：B． 4．下列因式分解正确的是（　　） A．3ax2﹣6ax+3ax＝3ax（x﹣2） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2【解】解：A、3ax2﹣6ax+3ax＝3ax（x﹣2+1）＝3ax（x﹣1），原分解错误，不符合题意； B、x2+y2不能因式分解，原分解错误，不符合题意； C、a2+2ab﹣4b2≠（a+2b）2，原因式分解错误，不符合题意； D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x2﹣2x+1）＝﹣a（x﹣1）2，原因式分解正确，符合题意． 故选：D． 5．下列分解因式正确的是（　　） A．a2﹣4＝（a﹣2）2 B．﹣xy2+2xy﹣y＝﹣y（xy﹣2x﹣y） C．2x2﹣8x+8＝2（x﹣2）2 D．x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）2 【解答】解：A、a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）≠（a﹣2）2，不符合题意； B、﹣xy2+2xy﹣y＝﹣y（xy﹣2x+1）≠﹣y（xy﹣2x﹣y），不符合题意； C、2x2﹣8x+8＝2（x2﹣4x+4）＝2（x﹣2）2，正确，符合题意； D、x2+2xy﹣y2≠（x﹣y）2，不符合题意， 故选：C． 例题讲解2： 例2．把（x+3y）2﹣10（x+3y）+25分解因式，结果正确的是（　　） A．（x+3y+25）2 B．（x+3y﹣5）2 C．（x+3y﹣25）2 D．（x+3y+5）2 【分析】将x+3y视为整体，应用完全平方公式分解． 【解答】解：将x+3y视为整体，应用完全平方公式分解可得： 设a＝x+3y，则原式化为a2﹣10a+25， ∵a2﹣10a+25＝（a﹣5）2， ∴原式＝（x+3y﹣5）2， 故选：B． 跟踪训练： 1．分解因式：9x2﹣18xy+9y2＝　9（x﹣y）2 ． 【解答】解：9x2﹣18xy+9y2 ＝9（x2﹣2xy+y2） ＝9（x﹣y）2． 故答案为：9（x﹣y）2． 2．因式分解：　　 ． 【解答】解：原式． 故答案为：． 3．因式分解：8x2y+4xy2﹣12xy＝　4xy（2x+y﹣3）　 ． 【解答】解：原式＝4xy（2x+y﹣3）， 故答案为：4xy（2x+y﹣3）． 4．分解因式：　　 ． 【解答】解：． 故答案为：． 5．分解因式：m3+4m2n+4mn2＝m（m+2n）2 ． 【解答】解：原式＝m（m2+4mn+4n2）＝m（m+2n）2． 故答案为：m（m+2n）2． 6．因式分解：3x4﹣48＝　3（x2+4）（x+2）（x﹣2）　 ． 【解答】解：3x4﹣48 ＝3（x4﹣16） ＝3（x2+4）（x+2）（x﹣2）． 故答案为：3（x2+4）（x+2）（x﹣2）． 7．若△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣bc＝c2﹣ab，则△ABC是　等腰　 三角形． ∴a+c+b＞0，【解答】解：对等式可变形为：a2﹣c2﹣bc+ab＝0， （a2﹣c2）+（ab﹣bc）＝0， （a+c）（a﹣c）+b（a﹣c）＝0， （a﹣c）（a+c+b）＝0， ∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a﹣c＝0， ∴a＝c． ∴该三角形是等腰三角形， 故答案为：等腰． 例题讲解3： 例3．已知：a+b＝2，求的值 　2　 ． 【分析】将所求代数式通过因式分解的形式等价变形为a与b的和或积的形式，再代入计算即可． 【解答】解：∵a+b＝2， ∴， 故答案为：2． 跟踪训练： 1．已知a＝2，2a﹣b＝3，则代数式2a3﹣a2b的值是　12　 ． 【解答】解：∵a＝2，2a﹣b＝3， ∴原式＝a2（2a﹣b）， ＝22×3 ＝12； 故答案为：12． 2．已知m+n＝5，mn＝2，则m2n+mn2＝　10　 ． 【解答】解：∵m+n＝5，mn＝2， ∴m2n+mn2 ＝mn（m+n） ＝2×5 ＝10． 故答案为：10． 3．若x2﹣2x﹣3＝0则x3﹣3x2﹣x+1的值为　﹣2　 ． ＝﹣x2+2x+1【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴x2﹣2x＝3， ∴x3﹣3x2﹣x+1 ＝x3﹣2x2﹣x2﹣x+1 ＝x（x2﹣2x）﹣x2﹣x+1 ＝3x﹣x2﹣x+1 ＝﹣（x2﹣2x）+1 ＝﹣3+1 ＝﹣2． ∴若x2﹣2x﹣3＝0则x3﹣3x2﹣x+1的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 4．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a3b+ab3的值为　﹣30　 ． 【解答】解：a3b+ab3＝ab（a2+b2） ＝ab[（a+b）2﹣2ab]， 当ab＝﹣3，a+b＝2时，原式＝﹣3×（4+6）＝﹣30． 故答案为：﹣30． 例题讲解4： 例4．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　（x﹣2）4 ； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【解答】解：（1）故选：C； （2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9， 设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+1）（y+7）+9， ＝y2+8y+16， ＝（y+4）2， ＝（x2﹣4x+4）2， ＝（x﹣2）4； 故答案为：（x﹣2）4； （3）设x2+2x＝y， 原式＝y（y+2）+1， ＝y2+2y+1， ＝（y+1）2， ＝（x2+2x+1）2， ＝（x+1）4． 跟踪训练： 1．阅读材料：我们知道 a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，所以形如 a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于x2+4x+3，我们可以通过配方实现因式分解： x2+4x+3 ＝x2+4x+4﹣1 ＝（x+2）2﹣1 ＝（x+2+1）（x+2﹣1） ＝（x+3）（x+1） 请根据材料，解决下列问题： （1）因式分解：x2﹣6x+5； （2）因式分解：x2+2x﹣3． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣6x+9﹣4 ＝（x﹣3）2﹣22 ＝（x﹣3+2）（x﹣3﹣2） ＝（x﹣1）（x﹣5）； （2）原式＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣22 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1）． 2．阅读：分解因式x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3 ＝（x2+2x+1）﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： （1）4a2+4a﹣15； （2）m4+m2n2+n4． 【解答】解：（1）4a2+4a﹣15 ＝4a2+4a+1﹣1﹣15 ＝（4a2+4a+1）﹣16 ＝（2a+1）2﹣16 ＝（2a+1+4）（2a+1﹣4） ＝（2a+5）（2a﹣3）； （2）m4+m2n2+n4 ＝（m4+2m2n2+n4）﹣m2n2 ＝（m2+n2）2﹣m2n2 ＝（m2+n2+mn）（m2+n2﹣mn）． 3．阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式ax+ay+bx+by，我们可以把它分组为（ax+ay）+（bx+by），然后提公因式，得a（x+y）+b（x+y）＝（x+y）（a+b）． 请根据材料，解决下列问题： （1）因式分解：a2﹣ab+ac﹣bc； （2）因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y． 【解答】解：（1）a2﹣ab+ac﹣bc ＝（a2﹣ab）+（ac﹣bc） ＝a（a﹣b）+c（a﹣b） ＝（a﹣b）（a+c）； （2）x2﹣y2﹣2x+2y ＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y） ＝（x﹣y）（x+y﹣2）． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3公式法 1、运用平方差公式进行因式分解………………………………………………………… 2 2、运用完全平方公式进行因式分解……………………………………………………… 6 3、因式分解综合题………………………………………………………………………… 12 知 识 清 单 知识点1 用平方差公式进行因式分解 把平方差公式反过来a2-b2=（a+b）（a-b） 作为公式，就可以把具备平方差形式的多项式进行因式分解，即 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。 【知识解读】 （1）逆用平方差公式将特殊的多项式分解因式。 （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积。 （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式。 素 养 提 升 考点1 运用平方差公式进行因式分解 例题讲解1： 例1．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　） A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4） 跟踪训练： 1．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+9 B．﹣a2+9 C．﹣a2﹣9 D．a2﹣6a+9 2．分解因式：4a2﹣1＝（　　） A．（a+1）（a﹣1） B．（2a+1）（2a﹣1） C．（4a+1）（4a﹣1） D．（16a+1）（16a﹣1） 3．在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+b2 B．4m2﹣16m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+16 4．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．3x2﹣4y C． D． 5．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+1 B．x2﹣4 C．x3﹣8 D．x2+4x+1 6．多项式（x+1）2﹣9因式分解的结果为（　　） A．（x+8）（x+1） B．（x﹣2）（x+4） C．（x﹣4）（x+2） D．（x﹣10）（x+8） 7．下列各式能用平方差公式分解因式的有　 　 （填序号）． ①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2+y2；④﹣x2﹣y2；⑤1a2b2；⑥x2﹣4． 例题讲解2： 例2．若m为自然数，则（2m+3）2﹣4m2的值总能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 跟踪训练： 1．若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 2．对于任意自然数n，关于代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值，说法错误的是（　　） A．总能被3整除 B．总能被4整除 C．总能被6整除 D．总能被7整除 3．对任意整数n，（2n﹣1）2﹣25都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 4．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 例题讲解3： 例3．若3x﹣2y＝a，x﹣4y＝b，则（x+y）2﹣（2x﹣3y）2的值是（　　） A．﹣ab B．ab C．a2+b2 D．a2﹣b2 跟踪训练： 1．已知x+y＝3，x﹣y＝1，则下列计算不正确的是（　　） A．（x+y）2＝9 B．x2+y2＝5 C．xy＝8 D．x2﹣y2＝3 2．已知x+y＝4，x2﹣y2＝12，则x﹣y＝　 　 ． 3．已知a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为　 　 ． 4．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 　 　 ． 5．因式分解：4x2﹣y2＝（2x+y）•A，则代数式A等于（　　） A．x+y B．x﹣y C．2x+y D．2x﹣y 6．已知x﹣y＝2，x2﹣y2＝6，则x＝　 　 ，y＝　 　 ． 例题讲解4： 例4．因式分解：（m2﹣2）2﹣4． 跟踪训练： 1．因式分解：x2﹣9y2＝　 　 ． 2．因式分解：x2﹣16y2＝　 　 ． 3．因式分解：81a4﹣b4． 4．分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2． 5．分解因式：（3x﹣2）2﹣（2x+7）2． 例题讲解5： 例5．观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　 　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　 　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 跟踪训练： 1．观察下列各式： x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）， x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）， x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）， … 根据上面的规律，将xn﹣1进行因式分解． 知 识 清 单 知识点2 用完全平方公式进行因式分解 把完全平方公式反过来a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2 作为公式，就可以把具备完全平方式形式的多项式进行因式分解，即 两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差) 的平方。 我们可以利用乘法公式对某些多项式进行因式分解,这种因式分解的方法叫作公式法。 【知识解读】 （1）逆用完全平方公式将特殊的多项式分解因式. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 考点2 运用完全平方公式进行因式分解 例题讲解1： 例1．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（　　） A．x2﹣1 B．x2+1 C．x2+x+1 D．x2+2x+1 跟踪训练： 1．将代数式x2+16x+64进行因式分解，结果是（　　） A．（x﹣8）2 B．（x+16）2 C．（x+4）2 D．（x+8）2 2．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．4a2+1 B．a2﹣ab+b2 C．a2﹣9 D．a2+2a+1 3．下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（　　） A．x2+2x+y2 B．4x2﹣4x﹣1 C．x2+4xy+y2 D．x2﹣4x+4 例题讲解2： 例2．若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 跟踪训练： 1．若多项式4x2﹣axy+y2可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B．±2 C．2 D．±4 2．若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 3．若x2+mx+4能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．±4 4．若9x2﹣2（k+3）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．±9 B．±15 C．9或﹣15 D．﹣9或15 5．若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　 ． 6．若y2+my+9能用公式法进行因式分解，则常数m的值为　 　 ． 7．若4x2﹣12x+m可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 　 　 ． 8．若x2﹣mx+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为　 　 ． 9．若关于x的二次三项式x2﹣2（m﹣1）x+4可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝　 　 ． 10．若多项式x2﹣（1+m）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　 　 ． 例题讲解3： 例3．把多项式（a+b）2﹣4（a+b）+4分解因式，其结果是（　　） A．（a+b+2）2 B．（a+b﹣2）2 C．（a﹣b+2）2 D．（﹣a+b+2）2 跟踪训练： 1．因式分解：4a2﹣4a+1＝　 ． 2．分解因式：16x2+24x+9＝　 ． 3．把下列各式分解因式． （1）2x2﹣x； （2）a2﹣8a+16． 4．因式分解：x2﹣4y（x﹣y）﹣4． 5．因式分解：（a2﹣5a）2+12（a2﹣5a）+36． 6．分解因式：x4﹣2x2+1． 7．因式分解：（a2+3a）2﹣8（a2+3a）+16． 8．分解因式：（m2﹣1）2﹣6（m2﹣1）+9． 例题讲解4： 例4．阅读材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，请你写出下列因式分解的结果： （1）分解因式：4+4（x﹣y）+（x﹣y）2； （2）分解因式：（y2+4y）（y2+4y+8）+16． 跟踪训练： 1．仔细分析例题，领会其中的思想方法：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝P，则原式＝P2+2P+1＝（P+1）2，再将“P”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝ 　 ； （2）因式分解（a2﹣4a）2+8（a2﹣4a）+16． 2．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 ； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 知 识 清 单 知识点3 因式分解的步骤及注意事项 1、因式分解的步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解. 【思路总结】一提；二套；三彻底； 2、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 考点3 因式分解综合题 例题讲解1： 例1．下列各选项中因式分解正确的是（　　） A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a） C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 跟踪训练： 1．把多项式xy2﹣9x因式分解正确的是（　　） A．x（y2+9） B．x（y﹣9）2 C．x（x+y）（y﹣9） D．x（y+3）（y﹣3） 2．将多项式x3﹣2x2+x分解因式，结果为（　　） A．x（x+1）2 B．x（x2﹣2x） C．x2（x﹣2）+x D．x（x﹣1）2 3．下列因式分解正确的是（　　） A．2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1） B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 C．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2 D．a2+ab+a＝a（a+b） 4．下列因式分解正确的是（　　） A．3ax2﹣6ax+3ax＝3ax（x﹣2） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2 5．下列分解因式正确的是（　　） A．a2﹣4＝（a﹣2）2 B．﹣xy2+2xy﹣y＝﹣y（xy﹣2x﹣y） C．2x2﹣8x+8＝2（x﹣2）2 D．x2+2xy﹣y2＝（x﹣y）2 例题讲解2： 例2．把（x+3y）2﹣10（x+3y）+25分解因式，结果正确的是（　　） A．（x+3y+25）2 B．（x+3y﹣5）2 C．（x+3y﹣25）2 D．（x+3y+5）2 跟踪训练： 1．分解因式：9x2﹣18xy+9y2＝　 ． 2．因式分解：　 ． 3．因式分解：8x2y+4xy2﹣12xy＝ 　 ． 4．分解因式：　 　 ． 5．分解因式：m3+4m2n+4mn2＝ ． 6．因式分解：3x4﹣48＝　 　 ． 7．若△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣bc＝c2﹣ab，则△ABC是　 　 三角形． 例题讲解3： 例3．已知：a+b＝2，求的值 　 　 ． 跟踪训练： 1．已知a＝2，2a﹣b＝3，则代数式2a3﹣a2b的值是　 　 ． 2．已知m+n＝5，mn＝2，则m2n+mn2＝　 　 ． 3．若x2﹣2x﹣3＝0则x3﹣3x2﹣x+1的值为　 　 ． 4．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a3b+ab3的值为　 　 ． 例题讲解4： 例4．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 ； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 跟踪训练： 1．阅读材料：我们知道 a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，所以形如 a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于x2+4x+3，我们可以通过配方实现因式分解： x2+4x+3 ＝x2+4x+4﹣1 ＝（x+2）2﹣1 ＝（x+2+1）（x+2﹣1） ＝（x+3）（x+1） 请根据材料，解决下列问题： （1）因式分解：x2﹣6x+5； （2）因式分解：x2+2x﹣3． 2．阅读：分解因式x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3 ＝（x2+2x+1）﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： （1）4a2+4a﹣15； （2）m4+m2n2+n4． 3．阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式ax+ay+bx+by，我们可以把它分组为（ax+ay）+（bx+by），然后提公因式，得a（x+y）+b（x+y）＝（x+y）（a+b）． 请根据材料，解决下列问题： （1）因式分解：a2﹣ab+ac﹣bc； （2）因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $