专题12.5 复数32道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

该高中数学复数专题复习讲义通过8大题型框架系统构建知识体系，梳理复数的概念、运算、几何意义及三角表示等核心内容，按“基础理解-综合应用-拓展探究”递进呈现，清晰展现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于压轴题型分层设计，如题型二通过平行四边形向量问题运用复数加减法几何意义，培养数学思维与几何直观；题型六结合轨迹问题发展空间观念。32道例题覆盖不同难度，基础题巩固方法，综合题提升能力，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

专题12.5 复数32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 已知复数的类型求参数 题型二 复数加减法几何意义的运用 题型三 复数的乘方 题型四 复数范围内方程的根 题型五 由复数模求参数 题型六 与复数模相关的轨迹(图形)问题 题型七 复数的三角表示 题型八 复数乘、除运算的三角表示 【经典例题一 已知复数的类型求参数】 1．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 2．已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（    ） A．的共轭复数为 B．当时，为纯虚数 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C，结合复数模长公式即可判断D. 【详解】A选项：由于，所以的共轭复数为，故选项A正确， B选项：当时，，若，则为为实数，故选项B错误； C选项：易知，，又，则，即，故选项C正确； D选项：由于，则， ， ，故，选项D正确． 故选：ACD. 3．若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为______. 【答案】 【分析】先根据复数类型计算求参得出复数，再应用共轭复数定义求解. 【详解】因为为纯虚数， 所以解得， 所以， 所以. 故答案为： 4．当实数m分别为何值时， (1)复数是：实数？虚数？ (2)复数纯虚数？ 【答案】(1)当或时复数为实数，当且时复数为虚数 (2)当时复数为纯虚数 【分析】(1)根据实数的特点列方程求m使得复数为实数，再根据虚数的特点列方程求m使得复数为虚数，(2)根据纯虚数的特点列方程求m使得复数为纯虚数. 【详解】（1）若复数为实数，则 ∴  或， 若复数为虚数，则 ∴  且， （2）若复数纯虚数，则 且， 由可得或， 又时不存在，时， 所以. 【经典例题二 复数加减法几何意义的运用】 5．复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的四则运算、模的坐标运算及复数的几何意义即可判断. 【详解】因为，所以，故A错误； ，，故B错误； ，，故C错误； 由复数的几何意义可知：，则，故D正确. 故选：D. 6．已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD. 【详解】对于A，设，显然， 但，故A错； 对于B，设， 则， ， ， 所以，故B对； 对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量， 复数对应向量，复数加减法对应向量加减法， 故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度， 所以，，故C对，D对. 故选：BCD. 7．复平面上点对应着复数以及向量，对于复数，下列命题都成立；①；②；③；④；⑤若非零复数，满足，则.则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是___________. 【答案】①②③ 【分析】①根据平面向量加法交换律判定； ②结合平面向量加法运算法则判定； ③由判定； ④结合平面向量数量积判定； ⑤结合平面向量数量积判定. 【详解】解：①成立，故①正确； ②由平面向量加法运算法则可得，故②正确； ③成立，故③正确； ④，故④不成立， ⑤若非零向量，满足， 则，则， 所以不一定成立，故⑤不成立. 故答案为：①②③ 8．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 【答案】（1）－2＋2i；（2）5；（3）. 【分析】(1)平行四边形ABCD中，有且与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，即对应的复数为－2＋2i (2)同(1)，由于，而与对应的复数分别是3＋2i与－2＋2i，即对应的复数为5 (3) 平行四边形ABCD中，根据向量的关系得到、，由向量数量积的坐标公式和几何意义有，解得cos∠APB＝进而得到sin∠APB＝，再由三角形面积公式求得面积为5 【详解】由题意，画出平行四边形如下图示      （1）在平行四边形ABCD中，有 ∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i 即对应的复数是－2＋2i （2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5 即对应的复数是5 （3）∵ ∴，而， 即 ∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝ 故 即的面积为 【经典例题三 复数的乘方】 9．复数的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的四则运算求出，即可求其实部. 【详解】, 故的实部为， 故选：B. 10．已知复数，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若则为纯虚数 D．若，则为实数 【答案】AD 【分析】根据复数的乘法运算化简可判断A，取特例可判断BC，根据只有实数或纯虚数的平方为实数判断D. 【详解】，所以或， 此时成立，故A正确； 取，则， 此时，故B错误； 设，满足，此时 为实数，故C错误； 当为实数时，为实数或纯虚数， 若为实数时，满足（其中只有时取等号）， 若为纯虚数时，， 所以由，可得为实数，故D正确. 故选：AD 11．若非零复数满足，则的值是___________. 【答案】 【分析】由题设有、易得 ，同理，，而，，由此可知，即可求值. 【详解】由题设有：，解得，且， ∴，即，同理有，， ，，又， ∴，， ∴， 故答案为：. 12．已知为虚数，若，且. (1)求的实部的取值范围； (2)设，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设复数，根据复数的四则运算化简可得，进而可得的取值范围； （2）根据复数的四则运算，结合基本不等式可得最小值. 【详解】（1）设， 则， 又，则， 所以， 所以，即， 解得； （2）， 由（1）得， 所以， 所以， 又， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 即的最小值为. 【经典例题四 复数范围内方程的根】 13．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 14．在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A将代入方程求解即可判断，对于B利用A选项得方程，求方程的根即可求，对于C计算即可判断，对于D先计算，最后利用即可求解. 【详解】对于A：是方程的根，则， 即，那么，所以，，故A错误； 对于B：由A知，，所以，，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，所以，故D正确． 故选：BCD． 15．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 【答案】 【分析】令，代入方程，利用复数相等，求出，即可求得. 【详解】由题意，令， 则， 展开并整理得， 所以，解得或， 则或， 当时，；当时，, 所以. 故答案为： 16．已知常数，设关于的方程． (1)在复数范围内求解该方程． (2)当时，设该方程的复根分别为，证明： (3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元次）复系数多项式方程至少有一个复根．证明：有个复数根（重根按重数计）． (4)将题设的常数“”改为“”，并证明：（2）仍然成立． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据分类讨论得到不同的方程再求解方程的根； （2）在一元二次方程中，根据判别式的不同情况，求解根验证韦达定理即可证明； （3）通过方程分解因式的方法层层递进即可得证； （4）由（3）得复系数二次方程有两个复数根，结合分解因式和对应系数相等，得到证明； 【详解】（1）当时，方程有无数个根，所有根组成的集合是； 当时，方程无根； 当时，方程的根为； 时，配方得． ①当时，方程有两个实根 ． ②当时，方程化为， 由于，因此． 由于，因此， 故方程有两个复根． （如果认为，然后把两种情况合并成一种情况，则只能得1分． 因为我们只曾定义过，但从来没有规定过，而也不能推出． 这是因为开方这种运算本身仅对非负实数而言，对负数是没有意义的． 就算，那为什么不是？我们从来没定义过对负数开根是什么概念，更没有规定过根号下有负数时的运算规则．） 再次强调：不是，“”不能写成“”，i仅仅只是人为规定的一个抽象的数，它满足． （2）①当时， ②当时，根据复数的运算法则，得 （如果和（1）一样认为合并情况的话，只能得1分） （3）一元次复系数多项式方程至少有一个复根， 不妨设该方程的一个复根为，则必然能够分解出一个因式，即． 由复数的运算法则可知，方程是一元次复系数多项式方程． 不妨设该方程的一个复根为，则必然能够分解出一个因式，即． 重复该过程，最终， 其中为常数，．显然有个复数根（重根按重数计）． （4）由（3）得复系数二次方程有两个复数根，分别设为，则原方程可化为， 即， 和原方程比较系数，得 即． 【经典例题五 由复数模求参数】 17．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 【答案】C 【分析】先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数. 【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个. 故选：C 18．下面四个命题中的真命题为（    ） A．若复数，则 B．复数的充要条件条件是 C．对任意复数都有 D．若复数（），且，则 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念判断AC，根据复数为实数及共轭复数的概念判断B，根据复数模的运算判断D. 【详解】对于A，设，若复数，即，则，正确； 对于B，设，若， 所以，复数的充要条件是，正确； 对于C，设，，则， 所以，而， 即有，正确； 对于D，若复数（），且，所以，解得，错误. 故选：ABC. 19．已知为复数，满足，则的值是________ 【答案】 【分析】根据题意分析可得为纯虚数，且虚部小于0，设，代入方程可得，解得y 即可得到答案. 【详解】由已知得，且，故为纯虚数，且虚部小于0， 设，代入方程可得， 解得或 （正根舍去）， 故，. 故答案为：. 20．类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. (1)当时，解关于的方程：. (2)当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由题设得，将方程化为求解即可； （2）①令（，且），进而得到，且，结合求最值；②令（且，，），进而得到得代数形式，结合复数的性质有，进而有，即可得范围. 【详解】（1）当时，，则. 由，整理得，则； （2）①令（，且），因为，所以. ， 因为，所以. 因为，当时，. ②当时 令（且，，）， 则 ， 要使的恒成立，所以，即， 所以，则对应点在以为圆心，1为半径的圆周上(不含横坐标为5，纵坐标为12的点)， 所以. 【经典例题六 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 21．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 22．在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据已知条件，理解的意义，结合复数的几何意义，模长计算，逐一判断即可. 【详解】A：根据已知条件表示模长为1，在复平面位于轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A错误； B：若，则方程为一个实数，所以无解，故B正确； C：若为虚数，且，设，则， 若,;若,, 均有，故C正确； D：设， 根据复数的新定义有， 所以，且， 所以， 所以是， 所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对的理解. 23．已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先对已知条件进行化简，得出的值，再根据确定集合中元素的轨迹，最后分析且时的取值范围. 【详解】，. 设，则，即，，. 已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点. 记的距离为. 当分别在以为圆心，半径为的圆上时，的最小值为. 当分别在以为圆心，半径为的圆上时，的最大值为. 的取值范围是. 24．已知关于的方程有实数根. (1)求实数的值； (2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值. 【答案】(1) (2)当时，有最小值为 【分析】（1）根据复数相等的条件列式可求出结果； （2）设，代入可得复数对应的点的轨迹是圆，根据复数的模的几何意义可求出结果. 【详解】（1）因为是方程的实数根， 所以，即， 所以，解得， （2）设，由，得， 得，整理得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，    当复数对应的点在的延长线上时，取最小值， 因为，圆的半径，所以的最小值为. 此时复数对应的点与关于原点对称，则. 【经典例题七 复数的三角表示】 25．复数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】令， 可得， 令， 可得， 则. 故选：B. 26．（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法化简，再应用复数的三角表示结合诱导公式计算求解辐角. 【详解】． 又，， ，，， ，， ． 的辐角主值为，则的辐角可以是或． 故选：AC． 27．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 __． 【答案】 【分析】不妨设 A（1，1），B（4，5），则 ，在在复平面对应的复数求出来，并用三角表示，再结合复数乘法运算的几何意义即可求出所对应的复数z2，进而求出的坐标，再求C点坐标，即为答案． 【详解】解：不妨设 A（1，1），B（4，5），则 ， 在复平面对应的复数为， 则顺时针旋转 60°，则， ， ， 因此， 从而可得点． 故答案为： 28．复数的辐角主值是，且为一实数，求复数． 【答案】 【分析】根据辐角主值的定义，写出的表达式，并带入化简，结合为一实数求出参数，进而得到的值. 【详解】∵复数的辐角主值是，且， ， ， ， ， 为实数， ， 整理得：， ， 【经典例题八 复数乘、除运算的三角表示】 29．设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 30．已知复数、，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则、中至少有个是 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用虚数不能比较大小可判断B选项；利用复数的三角形式的代数运算结合反证法可判断C选项；利用复数的运算性质结合C选项可判断D选项. 【详解】设，， 对于A选项，， 所以， ， 因为 ， 则， 所以，，A对； 对于B选项，若、中至少有一个为虚数，则、不能比较大小，B错； 对于C选项，若，假设、均不为零，则，， 则存在、，使得，， 则， 因为，则、不可能同时为零， 所以，， 故假设不成立，所以，、中至少有一个为零，C对； 对于D选项，，则， 因为，则，由C选项可知，，即，D对. 故选：ACD. 31．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________. 【答案】 【分析】分别设，，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解. 【详解】因为，设，， 所以 由题意可知或， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：， 故答案为：. 32．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.5 复数32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 已知复数的类型求参数 题型二 复数加减法几何意义的运用 题型三 复数的乘方 题型四 复数范围内方程的根 题型五 由复数模求参数 题型六 与复数模相关的轨迹(图形)问题 题型七 复数的三角表示 题型八 复数乘、除运算的三角表示 【经典例题一 已知复数的类型求参数】 1．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（    ） A．的共轭复数为 B．当时，为纯虚数 C．若，则 D．若，则 3．若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为______. 4．当实数m分别为何值时， (1)复数是：实数？虚数？ (2)复数纯虚数？ 【经典例题二 复数加减法几何意义的运用】 5．复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 7．复平面上点对应着复数以及向量，对于复数，下列命题都成立；①；②；③；④；⑤若非零复数，满足，则.则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是___________. 8．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 【经典例题三 复数的乘方】 9．复数的实部为（    ） A． B． C． D． 10．已知复数，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若则为纯虚数 D．若，则为实数 11．若非零复数满足，则的值是___________. 12．已知为虚数，若，且. (1)求的实部的取值范围； (2)设，求的最小值. 【经典例题四 复数范围内方程的根】 13．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 14．在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是（   ） A．， B． C． D． 15．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 16．已知常数，设关于的方程． (1)在复数范围内求解该方程． (2)当时，设该方程的复根分别为，证明： (3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元次）复系数多项式方程至少有一个复根．证明：有个复数根（重根按重数计）． (4)将题设的常数“”改为“”，并证明：（2）仍然成立． 【经典例题五 由复数模求参数】 17．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 18．下面四个命题中的真命题为（    ） A．若复数，则 B．复数的充要条件条件是 C．对任意复数都有 D．若复数（），且，则 19．已知为复数，满足，则的值是________ 20．类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. (1)当时，解关于的方程：. (2)当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 【经典例题六 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 21．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 22．在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 23．已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 24．已知关于的方程有实数根. (1)求实数的值； (2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值. 【经典例题七 复数的三角表示】 25．复数等于（   ） A． B． C． D． 26．（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 27．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 __． 28．复数的辐角主值是，且为一实数，求复数． 【经典例题八 复数乘、除运算的三角表示】 29．设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 30．已知复数、，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则、中至少有个是 D．若且，则 31．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________. 32．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $