专题9.7 平面向量36道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题9.7 平面向量36道压轴题型专训（9大题型） 题型一 向量加法法则的几何应用 题型二 向量减法法则的几何应用 题型三 向量的线性运算的几何应用 题型四 三角形的心的向量表示 题型五 数量积的运算律 题型六 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型七 由坐标解决三点共线问题 题型八 向量与几何最值 题型九 向量在几何中的其他应用 【经典例题一 向量加法法则的几何应用】 1．（24-25高一下·甘肃定西·月考）在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】设正六边形的中心为， 所以，又因为，， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ） A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上 C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项； 根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项. 【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确； 设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错. 故选：BC. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有，则△AOC的面积为 . 【答案】1 【分析】设AC中点为M，BC中点为N，由向量加法运算的几何意义可得，即有O为中位线MN的中点，即可利用几何关系求△AOC的面积. 【详解】如图，设AC中点为M，BC中点为N. 因为，所以，即，所以O为中位线MN的中点， 所以. 故答案为：1 4．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，若，． （1）若D为BC上的点，且，求证：； （2）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：； （3）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：； （4）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）. 【分析】（1）将转化为，再将转化为即可. （2）以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，易得四边形AQDB是平行四边形，根据向量加法容易得到结论. （3）以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，容易得到四边形ASDP是平行四边形，进一步根据向量加法容易得到结论. （4）通过（2）（3）猜想出结论. 【详解】（1）如图1， ． （2）当P、Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，联结AD，交BC于O点，联结PD、QD，如图2，则，∵，，∴，且，∴四边形APDQ是平行四边形，∴． （3）当P、Q、S是线段BC的四等分点时，如图3，则Q是BC的中点， ∴． （4）结论：． 【经典例题二 向量减法法则的几何应用】 5．（2025·四川达州·二模）已知向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算作出图形进行分析，再由圆的对称性得出的最大值. 【详解】如下图所示： 圆的半径为1，设，因为，所以点在圆上， 则，由图可知，，即的最大值为. 故选：A 6．（24-25高一下·全国·课后作业）对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B结论正确，A结论错误； 因为，，且， 所以，即C结论正确； 因为， ，所以D结论正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题. 7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知，，则的取值范围 . 【答案】 【分析】由向量模的几何意义，分别求出向量和的轨迹，再利用模的几何意义求的取值范围. 【详解】首先建立平面直角坐标系，设， ，， 是以原点为圆心，半径为1的圆，设其上任一点为点， 以点为圆心，半径为2作圆，设圆上任一点为点，连接，即， 如图，表示两圆圆上的点的连线， 的最大值是圆心距加两个圆的半径， 最小值是圆心距减两个圆的半径， 所以的取值范围是. 故答案为： 8．（25-26高一·全国·课后作业）已知非零向量. （1）若，，且，求的值； （2）若，且，求. 【答案】（1）4；（2）. 【解析】（1）根据向量加减法几何意义，以及勾股定理确定四边形形状，即得结果； （2）根据向量加减法几何意义，以及勾股定理确定四边形形状，即得结果. 【详解】解：（1）设，，则，以与边邻边作平行四边形，如图（1）， 则. 由于， 即， 所以是以为直角的直角三角形，从而，所以平行四边形是矩形. 根据矩形的对角线相等，有， 即. （2）设，，以与为邻边作平行四边形，如图（2）. 因为，所以平行四边形为菱形.又，，则，所以菱形是正方形，所以，所以. 【经典例题三 向量的线性运算的几何应用】 9．（24-25高一下·四川凉山·期中）已知为△ABC内任意一点，若满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据向量的几何意义去求解的值 【详解】分别取AC、BC的中点E、F，连接PF，PE，FE. 则， 则，即点P为线段EF靠近F的一个三等分点 故选：D 10．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案. 【详解】A选项，由题知，故，而，故A正确； B选项，由题知，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，因为，， ， 故，故D正确. 故选：ACD． 11．（2025高一·全国·专题练习）已知点、在内，，则 . 【答案】 【分析】解法一：由平面向量的线性运算得出，再由已知条件得出，代入可得出、的关系，即可得解； 解法二：根据奔驰定理可得，，可推导出，由此可得出，即可得解. 【详解】解法一：因为， 则， 所以，， 又因为，即，即， 从而可知， 因此，； 解法二：由奔驰定理得， ，    又因为， 则，， 所以，，所以，， 又因为，，所以，. 故答案为：. 12．（25-26高一下·上海·课后作业）点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）最大值和最小值分别为和． 【分析】（1）根据、可求解出关于和的表示，利用平行对应的线段比例关系求解出的表示； （2）根据向量的三角不等式求解出的最大值和最小值，注意取等条件说明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； （2）因为，取等号时三点共线且在中间， 又，取等号时三点共线且在中间， 综上可知，的最大值为，最小值为. 【经典例题四 三角形的心的向量表示】 13．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 14．（24-25高一·江苏·假期作业）下列说法中正确的说法为（    ） A．若，，则 B．若，，分别表示，的面积，则 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【分析】直接利用向量的传递性和向量的线性运算及三角形的面积特点以及向量共线的充要条件的应用判断、、、的结论． 【详解】对于A，若为零向量，则，成立，但可以不共线，故A错误； 对于B，若，则点为三角形的重心， 即，故B正确； 对于C：两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确； 对于D：若，，则，此时不存在使得成立，故D错误； 故选：BC． 15．（24-25高一下·河南·月考）已知等边三角形的边长为1，D、E分别是BC、AC的中点，AD、BE相交于点O．有下列命题： ①； ②若，则； ③若，则； ④设M为内部(含边界)任一点，则的最大值是． 其中所有真命题的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】①②根据重心的几何性质和向量的线性运算即可判断； ③已知，将化成已知方程形式，对比即可判断； ④结合图形可知，，则由即可表示出，数形结合即可求其最大值. 【详解】对于①，，即，∴①正确； 对于②，由题意，可知O是的重心，∴，∴x＝y＝z＝1，∴②正确； 对于③，可化为：，即，∴，解得，∴③错误； 对于④，∵，， ∴， ∴， ∴，当且仅当点M与点A重合时取等号，∴④正确． 故答案为：①②④． 16．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，是的三个顶点. （1）求：的重心，外心，垂心的坐标； （2）证明：三点共线. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】(1)由三角形内代入点坐标求出重心坐标，再由由和分别求出外心和垂心坐标 (2)由(1)中的结果代入点坐标求证三点共线 【详解】据题意，设，，， 则由可得 ∴， ∴ 由可得 解得： 由可得 解得 （2）由（1）易知 ∴，∴三点共线. 【经典例题五 数量积的运算律】 17．（2025·河北保定·一模）在中，，为边的中点，且，则的最大值为（） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过向量关系建立等式，再结合已知条件转化为可求最值的形式，进而求得最大值. 【详解】因为为中点，所以， 两边平方可得， 已知，， 则， 所以，即， 设，，则， 令，则，代入可得： ， 将其看作关于的一元二次方程， 因为存在，所以判别式， 即，，，，解得， 故的最大值为. 故选：C. 18．（24-25高一下·河北石家庄·月考）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（   ） A．若为平面内任意一点，，则点为三角形的重心 B．若，则动点的轨迹经过三角形的内心 C．若为三角形的垂心，，则 D．若为锐角的外心，且，则 【答案】ACD 【分析】对于A，由题可得，然后由重心性质可判断选项正误；对于B，由A分析及题可得，据此可判段选项正误；对于C，设直线CP与AB交于点E，则，在上的投影向量为，据此可判断选项正误；对于D，取AC中点为F，由题可得，据此可得，可判断选项正误. 【详解】对于A，， 取BC中点为D，则， 则P点为BC边中线更靠近BC边中点D的三等分点，由重心性质可得P为的重心，故A正确； 对于B，由A分析，，则动点的轨迹经过三角形边BC的中点， 则动点的轨迹经过三角形的重心，又题目条件中未告知，则B错误； 对于C，设直线CP与AB交于点E，因为三角形的垂心， 则，在上的投影向量为，则，故C正确； 对于D， ， 取AC中点为F，则，从而三点共线. 又为锐角的外心，则，. 则，从而， 则，故D正确. 故选：ACD 19．（2025高三·全国·专题练习）平面上五点满足，，，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】设，，得到，，则，再代入值计算即可． 【详解】设，， 则， ， ， ． 故答案为：3． 20．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出. （2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算化简，得到关于的表达式，根据三角函数性质求范围. （3）设，通过向量运算得到，两边平方建立等式，经过变形和换元等操作求即的最值. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 同理可得，所以点是的外心． 因为且， 化简得， 所以． （2）由（1）知，点是的外心．设， ． 因为，所以 所以． （3）设，则， 因为，所以， 所以， 两边同时平方得，，所以， 令，当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值为． 【经典例题六 由向量线性运算解决最值和范围问题】 21．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知半径为的圆上的一条动弦,.为圆内接正三角形边上一动点,则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的长度以及圆的半径，计算出之间的夹角，选定为基底，表示出，向量，用问题转化为基向量之间的计算；根据得到的结果，结合的取值范围，利用线性规划的思想对问题进行求解. 【详解】根据题意，作图如下： 在中，因为， 满足， 故可得的夹角为. 因为为圆的内接正三角形边上的一个动点， 故的最大值为如图所示的， 的最小值为如图所示的垂直于三角形的一边， 故的最小值为. 不妨设， 因为，又因为 即， 解得； 又因为 其中，可以理解为点到点距离的平方， 若求的最大值，即是求点到点距离的最小值. 又因为， 故当且仅当时，点到点距离取得最小值， 故得最小大值为. 故选：C. 22．（24-25高一下·浙江·期末）如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（    ）    A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个 C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个 【答案】BCD 【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【详解】如图建系，取，∵，    ∴， 动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 综上，， 选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误； 选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点有两个，故B正确； 选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确； 选项D，当点取的中点或的中点时，均满足，此时点有两个，故D正确； 故选：BCD. 23．（2025·浙江·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为，O是BC的中点，E是正方形内一动点，且，将线段DE绕点D逆时针旋转至线段DF，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,设,写出相关点的坐标,并根据题意建立等量关系,进而利用三角函数的性质进行解题. 【详解】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,,.设,则.又,,所以 ,所以,所以. 又,所以,从而.因为点E是正方形ABCD内一动点,所以,所以当时,取最小值,为. 故答案为： 24．（20-21高一下·福建福州·期中）已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 【答案】（1），（2）， 【分析】（1）由题意知点的坐标为，利用坐标表示，，得出、的表达式； （2）由，利用、、三点共线得出，、、三点共线得出；联立方程组求得的解析式；由的解析式，利用三角函数的性质求出的最小值. 【详解】（1）由题意知点为倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的交点 所以，； 又因为与轴交于点，与轴交于点 由，，且， 所以； 同理，； 所以，； （2）又因为 由于共线，所以，即① 同理，由于共线，所以 即② 将①②得 从而 当时，取得最小值. 【经典例题七 由坐标解决三点共线问题】 25．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题的关键是根据向量共线的坐标表示列出关于的等式，然后通过消元得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解， 故，即， 解得或， 即或， 故选：. 26．（24-25高一下·江西赣州·月考）向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（    ） A．2 B．－2 C．11 D．－11 【答案】BC 【分析】由已知求出的坐标，根据向量共线的坐标运算，列出方程求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得， ． 因为A，B，C三点共线，所以， 所以，整理得， 解得k＝－2或11． 故选：BC． 27．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，，若点、、在同一条直线上，且，则 . 【答案】或 【分析】求出向量和的坐标，由题意得出，根据共线向量的坐标表示和题中条件列关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值. 【详解】由题意可得， . 因为、、三点共线，所以与共线，，① 又②，解①②组成的方程组，得或， 因此，或，故答案为：或. 28．（2026高一·全国·课后作业）已知点、，点在直线上，且，求点的坐标和的值． 【答案】答案见解析 【分析】设点的坐标为，然后根据建立等式关系，解得即可． 【详解】解：设点的坐标为，由，得. 当时，，，此时满足题意； 当时，由，可得， 从而，∴， ∴①，即且， ∴，解得，，解得. 代入①得或， ∴点坐标为，， 或点的坐标为， ， 或点的坐标为， . 【经典例题八 向量与几何最值】 29．（24-25高一下·四川雅安·月考）如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值. 【详解】 取中点为，由， 因为，所以， 若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，, 若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界）， 此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立， 因为， 所以， 故的最大值为， 故选：C. 30．（2025高三·全国·专题练习）已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值是1 B．为定值 C．的最大值是10 D．的最小值是8 【答案】ABC 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；利用向量的线性表示，结合可以计算的值，判断B选项；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【详解】A选项，因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上运动，又因为点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 所以当三点共线时，取得最小值，为，故A正确； B选项，因为三点在圆上，所以圆是的外接圆，又因为，所以是圆的直径，所以， 是定值，故B正确； 选项C、D， ， 所以， ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误. 故选：ABC. 31．（2025·上海普陀·一模）设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，由可得点的轨迹，再利用中点向量公式可得，并利用圆的性质求出最小值. 【详解】以正六边形的中心为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由，得轴交于点，交于点， 由，得在以线段为直径的圆上，圆心为，半径为， 因此 ， 则， 当且仅当是圆与线段的交点时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 32．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由推出，即，由推出，两边平方得到，根据不等式知识，结合，可得； （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，根据平行四边形法则可证结论成立； （ii）延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，将转化为，结合图形可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为点为的外心，所以，即，， 因为，所以， 所以， 设三角形的外接圆的半径为，则， 由得， 所以，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 得，得或. 因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内， 由可知， 再由可知， 所以应舍去，所以， 所以的最大值为. （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，如图：    因为，所以， 因为，且，所以， 所以，， 所以， 所以， 所以. （ii）延长至，使得，则，以为邻边作矩形， 则，且， 延长至，使得，则，如图：    所以， 所以当三点共线时， 取最小值，最小值为， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得， 所以， 当时， ， 当时， ， 所以，即的取值范围是. 【经典例题九 向量在几何中的其他应用】 33．（24-25高三下·全国·月考）已知边长为4的正方形的对角线的交点为，以为圆心，6为半径作圆,若点在圆上运动，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形的对称性建立平面直角坐标系，然后写出相关点的坐标，运用向量的坐标运算即可获解． 【详解】作出图形如下所示，以为坐标原点，线段，的垂直平分线分别为、轴建立平面直角坐标系，观察可知，，，，，设，则，故，，，， 故 ， ． 故选：B项． 34．（24-25高一下·河北沧州·月考）下列结论正确的是（    ） A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心 C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心 【答案】BC 【分析】对于A，由∠ABC为锐角，可得且两向量不共线；对于B，设边上的中点为，证明在边的中线上即可；对于C，由，得，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对于D，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断. 【详解】对于A，由， 得， 因为∠ABC为锐角，故且不共线， 所以，解得且，故A错误； 对于B，设边上的中点为，则， 因为，所以， 所以，又点为公共端点，所以三点共线， 即点在边的中线上， 同理可得点也在两边的中线上， 所以点O为△ABC的重心，故B正确； 对于C，因为，所以， 如图，设的中点为，的中点为， 则，所以， 又点为公共端点，所以三点共线，且， 所以， 又， 所以，即，故C正确； 对于D，由， 可得，即， 又因，所以， 所以是的角平分线， 由， 可得，即， 又，所以， 所以是的角平分线， 所以点O是且△ABC的内心，故D错误. 故选：BC. 35．（24-25高一下·上海黄浦·期末）在中，，，，若点满足，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据题设条件可得为的费马点，如图，以为边作等边三角形可证,再过点作交于,在中，即可得出的正切值 【详解】根据题意，,,方向上的单位向量之和为零向量， 结合向量加法几何意义，易知,（为的费马点）, 如图，以为边作等边三角形,过点作交于, 则,故,,,四点共圆， 故，且，故, 故,故 在中，,, 所以. 故答案为： 36．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知点是所在平面内一点，满足，求与的面积之比． 【答案】3 【分析】法一： ，由向量的线性运算得到，从而得到；法二：由向量的线性运算得到，再由结论得到；法三：由共线得到线段长度之比，以为中间值，找到和与的比例关系，从而得到和之比. 【详解】法一：如图，过点作，延长交于点，则． 因为， 所以，则，所以，，从而，， 所以． 法二：由得，所以， 以下证明结论：在平面内，若有，其中是平面内一点，是的三个顶点，则. 由可得， 由向量叉乘的几何意义， 同理可得，所以. 利用以上结论，因为，所以，即. 法三：如图，延长交于点，设， 因为，所以． 又因为三点共线，所以，即， 因为等高，所以，即． 因为， ，，所以． 因为等高，所以，即，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.7 平面向量36道压轴题型专训（9大题型） 题型一 向量加法法则的几何应用 题型二 向量减法法则的几何应用 题型三 向量的线性运算的几何应用 题型四 三角形的心的向量表示 题型五 数量积的运算律 题型六 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型七 由坐标解决三点共线问题 题型八 向量与几何最值 题型九 向量在几何中的其他应用 【经典例题一 向量加法法则的几何应用】 1．（24-25高一下·甘肃定西·月考）在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 2．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ） A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上 C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有，则△AOC的面积为 . 4．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，若，． （1）若D为BC上的点，且，求证：； （2）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：； （3）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：； （4）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知） 【经典例题二 向量减法法则的几何应用】 5．（2025·四川达州·二模）已知向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知，，则的取值范围 . 8．（25-26高一·全国·课后作业）已知非零向量. （1）若，，且，求的值； （2）若，且，求. 【经典例题三 向量的线性运算的几何应用】 9．（24-25高一下·四川凉山·期中）已知为△ABC内任意一点，若满足则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 11．（2025高一·全国·专题练习）已知点、在内，，则 . 12．（25-26高一下·上海·课后作业）点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 【经典例题四 三角形的心的向量表示】 13．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 14．（24-25高一·江苏·假期作业）下列说法中正确的说法为（    ） A．若，，则 B．若，，分别表示，的面积，则 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 15．（24-25高一下·河南·月考）已知等边三角形的边长为1，D、E分别是BC、AC的中点，AD、BE相交于点O．有下列命题： ①； ②若，则； ③若，则； ④设M为内部(含边界)任一点，则的最大值是． 其中所有真命题的序号为 ． 16．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，是的三个顶点. （1）求：的重心，外心，垂心的坐标； （2）证明：三点共线. 【经典例题五 数量积的运算律】 17．（2025·河北保定·一模）在中，，为边的中点，且，则的最大值为（） A．3 B． C． D． 18．（24-25高一下·河北石家庄·月考）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（   ） A．若为平面内任意一点，，则点为三角形的重心 B．若，则动点的轨迹经过三角形的内心 C．若为三角形的垂心，，则 D．若为锐角的外心，且，则 19．（2025高三·全国·专题练习）平面上五点满足，，，，则的值为 ． 20．（24-25高一下·山东日照·期中）在中，为钝角，点O为所在平面内一点，，且满足，，线段OB交线段AC于点M． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求的取值范围； (3)设，求的最小值． 【经典例题六 由向量线性运算解决最值和范围问题】 21．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知半径为的圆上的一条动弦,.为圆内接正三角形边上一动点,则的最大值为(    ) A． B． C． D． 22．（24-25高一下·浙江·期末）如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（    ）    A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个 C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个 23．（2025·浙江·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为，O是BC的中点，E是正方形内一动点，且，将线段DE绕点D逆时针旋转至线段DF，若，则的最小值为 . 24．（20-21高一下·福建福州·期中）已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 【经典例题七 由坐标解决三点共线问题】 25．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·江西赣州·月考）向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（    ） A．2 B．－2 C．11 D．－11 27．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，，若点、、在同一条直线上，且，则 . 28．（2026高一·全国·课后作业）已知点、，点在直线上，且，求点的坐标和的值． 【经典例题八 向量与几何最值】 29．（24-25高一下·四川雅安·月考）如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 30．（2025高三·全国·专题练习）已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值是1 B．为定值 C．的最大值是10 D．的最小值是8 31．（2025·上海普陀·一模）设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是 ． 32．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【经典例题九 向量在几何中的其他应用】 33．（24-25高三下·全国·月考）已知边长为4的正方形的对角线的交点为，以为圆心，6为半径作圆,若点在圆上运动，则（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·河北沧州·月考）下列结论正确的是（    ） A．若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 B．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心 C．点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 D．点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心 35．（24-25高一下·上海黄浦·期末）在中，，，，若点满足，则的正切值为 ． 36．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知点是所在平面内一点，满足，求与的面积之比． 学科网（北京）股份有限公司 $