专题12.4 复数易错必刷题型专训（48题12个考点）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

**基本信息** 聚焦复数核心考点，以12个易错模块构建从概念到运算再到几何意义的递进式训练体系，48题精准覆盖易错点，强化运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的基本概念|4题|概念辨析（正误判断、定义应用）|从虚数单位本质切入，构建复数概念体系| |复数运算（加减乘除）|16题|运算求解（代数运算、新定义运算）|遵循“加减→乘法→除法”递进逻辑，强化运算法则应用| |几何意义（坐标表示、象限判断）|12题|几何应用（点坐标、象限特征）|衔接复数代数形式与复平面表示，体现数形结合| |共轭复数与模|12题|综合应用（模计算、共轭性质）|整合概念与运算，深化复数性质理解|

专题12.4 复数易错必刷题型专训（48题12个考点） 【易错必刷一 复数的基本概念】 1．下列说法正确的是（    ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 【答案】B 【分析】用复数的相关概念判断即可 【详解】A： 表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误； B： 由，可知的平方根是，故B正确； C： 当是实数，故C错误； D： 若，则复数虚部为0，故D错误； 故选：B 2．下列说法不正确的是（    ） A．满足的复数只有 B．若a、b是两个相等的实数．则是纯虚数 C． D．复数的充要条件是 【答案】ABC 【分析】对于A，，可判断错误；对于B找出反例不满足题意，判定错误；对于C若，则其不正确；对于D，，则其虚部为0，故正确．故可得答案． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若，则不是纯虚数，故B错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，，则其虚部为0，故D正确． 故选：ABC. 3．已知，复数，它的虚部减去它的实部所得的差等于，则复数_______． 【答案】或 【分析】根据题意建立方程求出即可得出结果. 【详解】由题可得，解得或， 所以或. 故答案为：或. 4．若关于的方程有实根，求纯虚数. 【答案】. 【分析】设纯虚数，其中且，根据得到，列出方程组，即可求解. 【详解】设纯虚数，其中且， 可得方程， 设方程有一实根，即 因为，可得，解得， 所以. 【易错必刷二 求复数的实部与虚部】 5．若复数的实部、虚部互为相反数，则z的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念列方程即可求解. 【详解】因为复数的实部、虚部互为相反数，所以，解得， 故的实部是． 故选：D. 6．若复数，则（    ） A． B．z的实部为 C．z的虚部为 D．复平面内z对应的点在虚轴上 【答案】ACD 【分析】由复数的四则运算结合复数的定义以及几何意义判断即可. 【详解】，，的实部为，虚部为，在复平面内的坐标为，复平面内z对应的点在虚轴上. 故选：ACD 7．欧拉公式为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为__________. 【答案】/0.5 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式后可得． 【详解】，虚部为． 故答案为：． 8．已知为复数，的实部为复数的实部与虚部的和，的虚部为复数的实部和虚部的积，当时，求复数. 【答案】或 【分析】设，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设， 因为且的实部为复数的实部与虚部的和，的虚部为复数的实部和虚部的积，可得，解得或，所以或. 【易错必刷三 复数加减法的代数运算】 9．已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再结合运算“”的定义直接计算即可. 【详解】因为，， 所以，从而. 故选：A 10．设是的共轭复数，则下列说法正确的有（    ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是实数 D． 【答案】BCD 【分析】复数，则，再利用复数的概念，四则运算及模长公式逐项验证即可. 【详解】设复数，则， 所以，当时，为实数，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11．设为虚数单位，若，则________． 【答案】5 【分析】根据复数的运算法则、模的计算公式计算可得. 【详解】由，则， 所以. 故答案为：5. 12．已知复数，，并且，，求． 【答案】或． 【分析】设，由题意可求得，复数的加减运算结合复数的模的运算即可求解. 【详解】设， ，，． ，则，即， ，即， ， 即，即， 联立，解得或， 所以或． 【易错必刷四 复数代数形式的乘法运算】 13．设复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， 由 ， 可得，解得，所以. 14．已，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设，，由复数的乘法运算，共轭概念及模长公式逐个判断即可. 【详解】设，，（其中）， 对于A：由， ，所以，所以A不正确. 对于B，显然成立， 对于C，，， ， 所以， 所以，故C正确； 对于D，由C知， ，D正确， 故选：BCD 15．___________． 【答案】 【分析】根据复数的乘法和乘方运算公式，即可求解. 【详解】． 故答案为： 16．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的加减法运算律计算求解； （2）根据复数的乘法运算律计算求解； 【详解】（1） （2） 【易错必刷五 复数的除法运算】 17．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 18．已知复数，则下列结论不正确的是（    ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 【答案】BCD 【分析】先对复数化简计算，然后逐个分析判断即可. 【详解】， 在复平面对应的点坐标为，位于第二象限，故A正确； 的虚部是，，，故BCD错误； 故选：BCD 19．i是虚数单位，_________． 【答案】 【详解】. 20．设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的加法计算结合复数的类型计算求参，最后结合乘法计算求解； （2）应用除法及乘法计算结合复数类型列式求参即可. 【详解】（1）， 因为是实数，所以有，解得， 因此 （2）， 因为是纯虚数，所以有 解得，所以． 【易错必刷六 根据复数乘法运算结果求复数的特征】 21．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用乘法运算化简复数，即可找出复数所对应的点. 【详解】因为，所以其对应的点位于第四象限. 故选：D 22．已知复数，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若且，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可. 【详解】对于A，若，例如：，则，故A错误； 对于B，若，则，所以或至少有一个成立，即或，故B正确； 对于C，由，则，∵，∴，故C正确； 对于D：若，则，故D正确. 故选：BCD. 23．i是虚数单位，复数______． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算即可. 【详解】. 故答案为： 24．已知复数，. （1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； （2）证明：不是实数. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用复数的加法运算将化简，然后根据第二象限点的坐标的特征列不等式组求解； （2）利用复数的乘法运算对化简整理后，等价转化为证明虚部不为零，即可得证. 【详解】（1）解：， 因为在复平面内对应的点在第二象限， 所以， 解得， 所以的取值范围为； （2）证明： ， 因为，所以虚部， 所以， 所以不是实数. 【易错必刷七 根据除法运算结果求复数特征】 25．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简复数，根据复数定义即可得到虚部. 【详解】∵，∴复数的虚部为. 故选：A． 26．复数的共轭复数为，则关于复数，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．复数在复平面内对应的点为 【答案】BCD 【分析】由共轭复数的概念，结合复数四则运算求出复数，根据复数的有关定义和运算依次判断选项即可 【详解】因为的共轭复数为，所以，即 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，得复数在复平面内对应的点为，故D正确； 故选：BCD 27．设，其中为虚数单位，则________ 【答案】 【解析】直接利用复数的除法运算化简得到z的代数形式，再根据定义即得结果. 【详解】因为 所以. 故答案为：. 28．已知复数，，其中i是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求a的值； (2)若，求的虚部． 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可； （2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可. 【详解】（1）由题意得， 因为为纯虚数，所以且，综上，． （2）因为，所以，即， 所以，所以， 所以的虚部为1． 【易错必刷八 共轭复数的概念及计算】 29．若复数满足，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以 30．设是复数，则下列命题中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设，然后由复数运算律可得答案. 【详解】，对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD 31．已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______. 【答案】 【分析】先将复数转化为的形式，然后得到其共轭复数，进而得出的虚部. 【详解】因为，所以； 所以的虚部为. 故答案为：. 32．已知复数，其共轭复数为，为实数. (1)若，求； (2)若，求的值. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）根据共轭复数的概念代入计算得，最后利用复数的乘方运算即可得到答案； （2）根据共轭复数的概念和复数的乘法运算即可得到方程，解出即可. 【详解】（1），所以. （2），解得或. 【易错必刷九 复数的坐标表示】 33．已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，然后利用复数的几何意义求出对应点的坐标. 【详解】， 则复数在复平面内对应的点为． 故选：B 34．在复平面内，设O为坐标原点，复数对应的点分别为A，B，若，则z可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先利用复数的运算，再转化为向量坐标表示，来计算数量积为0所满足的条件即可判断. 【详解】设则，， 由复数对应的点分别为，则， 由，则，即， 所以得：或， 对比各选项可知：A满足,C、D满足，选项B不符合题意. 故选：ACD. 35．复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先利用复数的除法法则将化简，再利用复数的几何意义即可得解. 【详解】， 复数在复平面内对应点的坐标为. 故答案为：. 36．关于x的一元二次方程有两个根，其中. (1)求a的值； (2)设在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得复数互为共轭复数，再利用韦达定理即可求出； （2）根据复数的几何意义求出两点的坐标，进而可得答案. 【详解】（1）因为关于x的一元二次方程有两个复数根， 所以复数互为共轭复数， 则， 所以，解得； （2）因为在复平面内所对应的点分别为A，B， 所以， 所以线段AB的长度为. 【易错必刷十 在各象限内点对应复数:的特征】 37．已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，，，若，则z的虚部为（    ） A．-3 B．3 C．-4 D．4 【答案】A 【分析】根据复数的模定义可求得值，从而可得，即可得出结论. 【详解】由题意得， 所以，解得或， 因为复数z在复平面内对应的点在第三象限，所以舍去， 故，虚部为-3． 故选：A. 38．设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．z的虚部为 B．z在复平面内对应的点位于第四象限 C． D． 【答案】BC 【分析】先求解z的值，再根据复数的相关定义逐个计算判断即可 【详解】由可得 对A，z的虚部为，故A错误； 对B，z在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误； 故选：BC 39．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】由复数的几何意义可得，从而求出a的取值范围． 【详解】∵复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴，解得， 即实数a的取值范围是． 故答案为：． 40．已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解； （2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围. 【详解】（1）， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 【易错必刷十一 判断复数对应的点所在的象限】 41．已知复数满足，那么复数对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】， 复数对应的点为， 复数对应的点在第四象限. 42．已知复数，则下列结论中正确的是（   ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】BC 【分析】化简复数得，然后逐项判断即可. 【详解】，虚部为1，所以A错误，，所以B正确， ，所以C正确，在复平面内对应的点为，位于第二象限，所以D错误. 故选：BC 43．已知复数满足，则在复平面内对应的点在第________象限. 【答案】一 【分析】根据方程求出，并利用除法运算化简为复数的标准形式，结合的几何意义，即可得出答案. 【详解】由可得： ， 所以在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限. 故答案为：一. 44．已知复数 ．其中且，i为虚数单位，且为纯虚数． (1)求实数a的值； (2)若，求复数并指出其对应复平面内的点所在的象限． 【答案】(1)4 (2)，第二象限． 【分析】（1）利用纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的除法运算，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】（1）∵，∴ ∵为纯虚数，且 ，∴ ，解得a＝4． （2）， ∴对应复平面内的点的坐标为，在第二象限． 【易错必刷十二 求复数的模】 45．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数满足，即， 化简可得， 所以复数的模为. 46．已知复数，下列选项正确的是（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用复数的除法、模的计算及共轭复数定义判断各项正误. 【详解】由，易知与互为共轭复数，A对； ，B对； ，C错； ，D对. 故选：ABD 47．若复数，则______． 【答案】 【详解】由， 则. 48．已知复数，. (1)若，求； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）化简复数，再计算其模； （2）根据虚部为得到方程，解得即可； （3）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）当时，，所以； （2）因为，为实数， 所以，解得或. （3）复数，在复平面内对应的点为， 依题意可得，解得，即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.4 复数易错必刷题型专训（48题12个考点） 【易错必刷一 复数的基本概念】 1．下列说法正确的是（    ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 2．下列说法不正确的是（    ） A．满足的复数只有 B．若a、b是两个相等的实数．则是纯虚数 C． D．复数的充要条件是 3．已知，复数，它的虚部减去它的实部所得的差等于，则复数_______． 4．若关于的方程有实根，求纯虚数. 【易错必刷二 求复数的实部与虚部】 5．若复数的实部、虚部互为相反数，则z的实部是（    ） A． B． C． D． 6．若复数，则（    ） A． B．z的实部为 C．z的虚部为 D．复平面内z对应的点在虚轴上 7．欧拉公式为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为__________. 8．已知为复数，的实部为复数的实部与虚部的和，的虚部为复数的实部和虚部的积，当时，求复数. 【易错必刷三 复数加减法的代数运算】 9．已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 10．设是的共轭复数，则下列说法正确的有（    ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是实数 D． 11．设为虚数单位，若，则________． 12．已知复数，，并且，，求． 【易错必刷四 复数代数形式的乘法运算】 13．设复数满足，则（   ） A． B． C． D． 14．已，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 15．___________． 16．计算： (1)； (2). 【易错必刷五 复数的除法运算】 17．（   ） A． B． C． D． 18．已知复数，则下列结论不正确的是（    ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 19．i是虚数单位，_________． 20．设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 【易错必刷六 根据复数乘法运算结果求复数的特征】 21．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．已知复数，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若且，则 D．若，则 23．i是虚数单位，复数______． 24．已知复数，. （1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； （2）证明：不是实数. 【易错必刷七 根据除法运算结果求复数特征】 25．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 26．复数的共轭复数为，则关于复数，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．复数在复平面内对应的点为 27．设，其中为虚数单位，则________ 28．已知复数，，其中i是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求a的值； (2)若，求的虚部． 【易错必刷八 共轭复数的概念及计算】 29．若复数满足，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 30．设是复数，则下列命题中正确的有（    ） A． B． C． D． 31．已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______. 32．已知复数，其共轭复数为，为实数. (1)若，求； (2)若，求的值. 【易错必刷九 复数的坐标表示】 33．已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 34．在复平面内，设O为坐标原点，复数对应的点分别为A，B，若，则z可能是（   ） A． B． C． D． 35．复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 36．关于x的一元二次方程有两个根，其中. (1)求a的值； (2)设在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度. 【易错必刷十 在各象限内点对应复数:的特征】 37．已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，，，若，则z的虚部为（    ） A．-3 B．3 C．-4 D．4 38．设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．z的虚部为 B．z在复平面内对应的点位于第四象限 C． D． 39．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是______． 40．已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【易错必刷十一 判断复数对应的点所在的象限】 41．已知复数满足，那么复数对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 42．已知复数，则下列结论中正确的是（   ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 43．已知复数满足，则在复平面内对应的点在第________象限. 44．已知复数 ．其中且，i为虚数单位，且为纯虚数． (1)求实数a的值； (2)若，求复数并指出其对应复平面内的点所在的象限． 【易错必刷十二 求复数的模】 45．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（   ） A． B． C． D． 46．已知复数，下列选项正确的是（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D． 47．若复数，则______． 48．已知复数，. (1)若，求； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $