专题10.3 三角恒等变换易错必刷题型专训（40题10个考点）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题10.3 三角恒等变换易错必刷题型专训（40题10个考点） 【易错必刷一 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦】 1．若，都是锐角，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由平方关系求得，，然后由两角差的余弦公式计算． 【详解】，都是锐角，则， 则由题意得，又， ． 故选：A． 2．，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由可求出的值，进而利用差角余弦公式求出的值. 【详解】， 当时， ， 当时， ， 故选：BC. 3．在长方形中，，为的中点，为边上靠近的三等分点，与交于点，则__________． 【答案】 【分析】利用两角和的余弦公式计算． 【详解】在长方形中，， 由已知． 所以，， 所以， 所以， 故答案为：． 4．已知锐角满足，求 【答案】 【分析】首先利用同角三角函数求，，再求的值，利用角的范围求的值. 【详解】∵为锐角且 由，得    又 ∴为锐角 ∴ 【易错必刷二 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦】 5．若，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和差角公式即可求解. 【详解】由于，， 所以， 则 ． 故选：B 6．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用三角函数的定义及两角和的正弦公式即得. 【详解】∵角的终边经过点， ∴，，， ∴． 故选：AC. 7．已知都是锐角，，，则_____. 【答案】 【分析】先根据的范围得出，再根据同角三角函数的关系求出、，最后利用两角和差的正弦公式即可. 【详解】因都是锐角，则，则， 因，则， 因，则， 则 . 故答案为： 8．在中，，，求的值. 【答案】 【分析】求出，的值，利用两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，则角为钝角，角为锐角， 故，， 因此，. 【易错必刷三 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切】 9．如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数，结合正切和差角公式即可求解. 【详解】由于，所以, 不妨设小正方形的边长为，则，所以， 由于,所以， 所以, 故选：A    10．已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，由两角和的余弦公式、商数关系即可验算；对于B，直接由两角差的余弦公式验算即可；对于C，首先得，，然后直接验算即可；对于D，由，即可得解. 【详解】对于A，因为，， 所以， 解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，为锐角，所以， 又因为，所以，所以， ，故C错误； 对于D，因为，为锐角，所以， 又因为，所以只能， 因为，解得，故D正确. 故选：BD. 11．已知，则___________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系得到，凑角，由正切和角公式得到答案. 【详解】，即， . 故答案为：. 12．已知，都是锐角． (1)，，求的值； (2)，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，结合已知条件求解即可； （2）利用两角和的正切公式，结合已知条件求解即可． 【详解】（1），都是锐角，，， ，，， ； （2），都是锐角，，， ． 【易错必刷四 二倍角的正弦公式】 13．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角即可求解. 【详解】由已知得，，所以． 故选：D 14．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用诱导公式化简判断；对于B，利用诱导公式化成同角，再逆用二倍角公式即可判断；对于C，用诱导公式即可判断；对于D，将化成后，必须通过同角的三角基本关系式化成正弦和余弦,代值即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 15．若，则__________. 【答案】 【分析】根据题设，结合平方关系、二倍角公式求解即可. 【详解】由， 则， 即. 故答案为：. 16．化简：，并指出的取值范围. 【答案】， 【分析】根据同角关系以及二倍角公式可得，进而根据弦切互化以及正弦二倍角公式即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 则的取值满足，且， 故的取值范围是. 【易错必刷五 二倍角的余弦公式】 17．若，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：D 18．在中，下列判断正确的是（    ） A．一定成立 B．若函数是奇函数，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用诱导公式可判断A、B、D的正误；利用弦化切判断C. 【详解】，所以，所以A错误； 若函数是奇函数，则， 因为，所以，B正确； 若， ，C正确； 若， 则，D正确. 故选：BCD 19．________． 【答案】 【分析】根据余弦二倍角公式即可得出答案. 【详解】 故答案为：. 20．已知， (1)若，求的值 (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数之间基本关系并结合角的范围即可求得； （2）由二倍角的余弦公式代入计算即可求得结果. 【详解】（1）因为，整理， 所以，即， 易知，又，所以， 因此可得； （2）由（1）可知. 【易错必刷六 cos2x的降幕公式及应用】 21．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可. 【详解】. 故选：B. 22．设，，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据降幂公式和两角差的余弦公式，结合诱导公式逐一判断即可. 【详解】因为，所以，因此有， 又因为，所以， ∴，即，因为，， 所以，即，因此， 所以有：，， ， 故选：ABD. 23．已知，则的值是__________. 【答案】/0.64 【分析】利用二倍角的正、余弦公式即可得到答案. 【详解】由题得，则， 两边同时平方可得，故. 故答案为：. 24．已知. (1)求的最小正周期； (2)求的单调增区间； (3)当时，求的值域. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用降幂公式等化简可得，结合周期公式可得结果； （2）由，，解不等式可得增区间； （3）由的范围，得出的范围，根据正弦函数的性质即可得结果. 【详解】（1） ∴函数的最小正周期. （2）由， 得， ∴所求函数的单调递增区间为，. （3）∵， ∴ ∴，， ∴的值域为. 【易错必刷七 给角求值型问题】 25．若，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】∵， ∴， ∵， 故选：C. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题. 26．下列式子计算结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意利用诱导公式以及三角恒等变换分析求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 27．已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由已知可得，利用辅助角公式结合，可求的范围. 【详解】因为， 所以， 所以, 即，且， 因为，所以，且， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 28．求的值； 已知，，，求的值． 【答案】(1)．(2)． 【分析】以切化弦、降幂、二倍角等的原则化简． ，，并判断的范围是． 【详解】解：原式． ， 又， ，， ，则． 【易错必刷八 给值求值型问题】 29．设为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的变换表示，再利用两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，，且， 所以, , . 故选：B 30．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】三角展开求出和，然后代入验证CD即可. 【详解】由， 由， 由上两式解得，所以A,B正确； 对于C：，C错误； 对于D：， 所以或者， 又因为，所以，所以，D正确， 故选：ABD 31．已知，则cos2α的值为____________． 【答案】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式求解即可. 【详解】由诱导公式，， 由二倍角公式， 故答案为：. 32．已知，. （1）求； （2）若是第三象限的角，.求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先通过求出，再用倍角公式计算即可； （2）先通过求出，再用两角差的余弦公式计算即可. 【详解】解：（1）， ； （2）是第三象限的角， ， . 【易错必刷九 给值求角型问题】 33．已知，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据角度范围求解，再求解，结合角度范围判断即可. 【详解】∵和均为钝角， ∴，． ∴． 由和均为钝角，得，∴． 故选：D 34．已知，则的可能取值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由，得，即，所以或，即或， 当时，或， 故选：AD 35．已知是方程的两个根，且，则的值是________． 【答案】 【分析】利用韦达定理求得，再根据两角和的正切公式求出，再根据的范围即可得解. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 所以 又因，所以，所以， 则， 所以. 故答案为：. 36．已知，，且，，求的值. 【答案】 【分析】根据三角恒等变换的知识求得，进而求得. 【详解】，，， ， ， ，， 又，， ，. 【易错必刷十 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 37．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 38．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】BCD 【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解. 【详解】因为方程有两根，， 所以，所以， 且或. 所以， 因为，所以，从而可得， 所以. 当时，，所以，，此时锐角三角形. 当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形. 若，则，此时，所以，解得或（舍）， 当时，是等腰三角形. 因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形. 故选：BCD 39．在中，若，那么三角形的形状为___________. 【答案】等腰直角三角形 【分析】逆用两角和的正弦公式、两角差的余弦公式可， 则，进而可得答案. 【详解】因为， 所以， 即， 所以 所以是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形. 40．在中，① 若，求的值.② 若，判别的形状. 【答案】，等腰三角形 【分析】①将代入已知条件，利用诱导公式化简即可求的值，再利用二倍角公式即可求解； ②利用二倍角公式降幂，然后利用以及两角和的余弦公式即可求解. 【详解】①， 所以； ②由二倍角公式可得， 即, 所以 所以， 即， 因为，，所以， 所以，， 所以是等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 三角恒等变换易错必刷题型专训（40题10个考点） 【易错必刷一 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦】 1．若，都是锐角，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．在长方形中，，为的中点，为边上靠近的三等分点，与交于点，则__________． 4．已知锐角满足，求 【易错必刷二 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦】 5．若，且，则（    ）． A． B． C． D． 6．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知都是锐角，，，则_____. 8．在中，，，求的值. 【易错必刷三 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切】 9．如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（    ）    A． B． C． D． 10．已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知，则___________． 12．已知，都是锐角． (1)，，求的值； (2)，，求的值． 【易错必刷四 二倍角的正弦公式】 13．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 14．设，则（   ） A． B． C． D． 15．若，则__________. 16．化简：，并指出的取值范围. 【易错必刷五 二倍角的余弦公式】 17．若，则的值为（      ） A． B． C． D． 18．在中，下列判断正确的是（    ） A．一定成立 B．若函数是奇函数，则 C．若，则 D．若，则 19．________． 20．已知， (1)若，求的值 (2)求的值 【易错必刷六 cos2x的降幕公式及应用】 21．已知，则（   ） A． B． C． D． 22．设，，若，则有（    ） A． B． C． D． 23．已知，则的值是__________. 24．已知. (1)求的最小正周期； (2)求的单调增区间； (3)当时，求的值域. 【易错必刷七 给角求值型问题】 25．若，则的值为（    ）. A． B． C． D． 26．下列式子计算结果为的有（    ） A． B． C． D． 27．已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是______． 28．求的值； 已知，，，求的值． 【易错必刷八 给值求值型问题】 29．设为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 30．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 31．已知，则cos2α的值为____________． 32．已知，. （1）求； （2）若是第三象限的角，.求. 【易错必刷九 给值求角型问题】 33．已知，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 34．已知，则的可能取值为（    ） A．0 B． C． D． 35．已知是方程的两个根，且，则的值是________． 36．已知，，且，，求的值. 【易错必刷十 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 37．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 38．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 39．在中，若，那么三角形的形状为___________. 40．在中，① 若，求的值.② 若，判别的形状. 学科网（北京）股份有限公司 $