23.1　一次函数的概念 同步练习 2025-2026学年数学人教版八年级下册

**基本信息** 围绕一次函数概念，通过基础辨析、概念深化到实际应用的三层设计，构建从单一知识点到综合能力的巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一次函数与正比例函数定义|以选择填空考查概念（如第1-6题），强化符号意识| |巩固层|定义辨析与关系理解|多知识点辨析（如第7-8题），发展推理意识| |综合应用层|实际情境中的解析式构建与应用|结合出租车、购物车等生活情境（如第9-10题），培养应用意识|

23．1　一次函数的概念 1．一次函数的定义 一般地，形如y＝ (k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数． 2．正比例函数的定义 形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作 ． 考点　用一次函数解析式表示问题中变量之间的关系 【典例】某市出租车收费标准如下：3 km以内(含3 km)收费8元；超过3 km的部分每千米收费6元． (1)写出应收费y(单位：元)与出租车行驶路程x(单位：km)之间的关系式(其中x≥3)； (2)小亮乘出租车行驶4 km，应付车费多少元？ (3)小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？ 确定函数解析式的步骤： (1)找： 认真审题，根据题意找出等量关系. (2)写： 根据等量关系写出含有两个变量的等式． (3)变： 将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式． (4)定： 确定自变量的取值范围，既要考虑函数解析式本身有意义，也要符合实际意义. 【变式训练】 　弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧长度为6.5 cm，那么，当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为 kg. 知识点1　一次函数的定义 1．下列函数，是一次函数的是( ) A．y＝－x2＋5x B．y＝－ C．y＝3x＋5 D．y＝ 2．若y＝(m－1)x|m|＋2是y关于x的一次函数，那么m的值是( ) A．1 B．－1 C．±1 D．0 知识点2　正比例函数的定义 3．下列函数关系中，属于正比例函数关系的是( ) A．面积一定时，长方形的长y与宽x B．三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h C．圆的面积S与它的半径r D．路程是常数s时，行驶的速度v与时间t 4．下列函数，是正比例函数的是( ) A．y＝ B．y＝x2 C．y＝2x D．y＝2x－1 知识点3　一次函数的解析式 5．如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y(单位：元)表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为( ) A．y＝12x B．y＝18x C．y＝x D．y＝x 6．漳州市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x(x＞2)千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的函数解析式为 ． 7．下列函数为一次函数的有( ) ①y＝x＋6；②y－x＝－2(x＋1)；③y＝－x2＋4x－1；④y＝4x. A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 8．下列说法中正确的有( ) ①y＝kx是正比例函数；②如果y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，那么a＝±3；③如果y与x＋2成正比例，那么y是x的正比例函数；④如果y＝x2，那么y与x2成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．自行车的链条是由若干节链条连接而成的，将其展直后链条的总长度y(单位：cm)随着链条节数x(单位：节)的变化而变化．如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5 cm，链条交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm. 　　　 (1)y与x之间的关系式是 ； (2)若该品牌一辆自行车上链条展直后的总长度为102.8 cm，则其链条节数是多少？ 10．(应用意识)为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6 m．购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车；如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡AC上预留CD＝0.5 m的安全距离． 　 (1)当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y m，则y与x的关系式是 ； (2)若该超市扶手电梯水平距离BC为4 m，高AB为3 m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23．1　一次函数的概念 1．一次函数的定义 一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数． 2．正比例函数的定义 形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数． 考点　用一次函数解析式表示问题中变量之间的关系 【典例】某市出租车收费标准如下：3 km以内(含3 km)收费8元；超过3 km的部分每千米收费6元． (1)写出应收费y(单位：元)与出租车行驶路程x(单位：km)之间的关系式(其中x≥3)； (2)小亮乘出租车行驶4 km，应付车费多少元？ (3)小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？ 解：(1)当x≥3时，y＝8＋6(x－3)＝6x－10； (2)当x＝4时，y＝6×4－10＝14， ∴小亮乘出租车行驶4 km，应付车费14元； (3)令y＝16，则6x－10＝16，解得x＝， ∴小波付车费16元，出租车行驶了千米． 确定函数解析式的步骤： (1)找： 认真审题，根据题意找出等量关系. (2)写： 根据等量关系写出含有两个变量的等式． (3)变： 将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式． (4)定： 确定自变量的取值范围，既要考虑函数解析式本身有意义，也要符合实际意义. 【变式训练】 　弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧长度为6.5 cm，那么，当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为0.8kg. 知识点1　一次函数的定义 1．下列函数，是一次函数的是(C) A．y＝－x2＋5x B．y＝－ C．y＝3x＋5 D．y＝ 2．若y＝(m－1)x|m|＋2是y关于x的一次函数，那么m的值是(B) A．1 B．－1 C．±1 D．0 知识点2　正比例函数的定义 3．下列函数关系中，属于正比例函数关系的是(B) A．面积一定时，长方形的长y与宽x B．三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h C．圆的面积S与它的半径r D．路程是常数s时，行驶的速度v与时间t 4．下列函数，是正比例函数的是(C) A．y＝ B．y＝x2 C．y＝2x D．y＝2x－1 知识点3　一次函数的解析式 5．如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y(单位：元)表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为(D) A．y＝12x B．y＝18x C．y＝x D．y＝x 6．漳州市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x(x＞2)千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的函数解析式为y＝1.6x＋1.8． 7．下列函数为一次函数的有(A) ①y＝x＋6；②y－x＝－2(x＋1)；③y＝－x2＋4x－1；④y＝4x. A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 8．下列说法中正确的有(D) ①y＝kx是正比例函数；②如果y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，那么a＝±3；③如果y与x＋2成正比例，那么y是x的正比例函数；④如果y＝x2，那么y与x2成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．自行车的链条是由若干节链条连接而成的，将其展直后链条的总长度y(单位：cm)随着链条节数x(单位：节)的变化而变化．如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5 cm，链条交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm. 　　　 (1)y与x之间的关系式是y＝1.7x＋0.8(x为正整数)； (2)若该品牌一辆自行车上链条展直后的总长度为102.8 cm，则其链条节数是多少？ (1)y＝1.7x＋0.8(x为正整数)； (2)当y＝102.8时，1.7x＋0.8＝102.8，解得x＝60，∴其链条节数是60节． 10．(应用意识)为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6 m．购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车；如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡AC上预留CD＝0.5 m的安全距离． 　 (1)当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y m，则y与x的关系式是y＝0.2x＋1； (2)若该超市扶手电梯水平距离BC为4 m，高AB为3 m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多． (1)y＝0.2x＋1. (2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝＝5(m)，根据题意，得5－(0.2x＋1)≥0.5，解得x≤17.5，∴扶手电梯一次性最多能转运17辆购物车． ∵17＞12，∴扶手电梯一次性转运的购物车数量多． 学科网（北京）股份有限公司 $