精品解析：浙江浙里特色联盟2025-2026学年第二学期期中联考高一数学试题

2025学年第二学期浙里特色联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，且，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 4. 设、、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，在上单调递增，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，放置的边长为的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①若，则函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数在区间上单调递增.其中判断正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若复数是方程的一个根，则 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则在上的投影向量为 11. 在锐角中，所对边分别为，已知，则（ ） A. 若，则 B. C. D. 非选择题部分 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 13. 若，则的值为__________. 14. 正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数满足，求的最大值. 16. 小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的. （1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？ （2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？ 17. 在中，角的对边分别为，若， （1）求角的大小； （2）若为中点，，求边. 18. 已知函数（、为非零常数） （1）当时，为偶函数，求的值； （2）当时，求满足的的取值范围； （3）当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 19. 如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）已知在仿射坐标系中，，. ①若，求； ②若，求； （2）在仿射坐标系中，，，设与的夹角为，若，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期浙里特色联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 故. 2. 已知复数，且，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为，所以，故的虚部为. 3. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案. 【详解】由题意得，所以矩形的面积为， 由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确. 4. 设、、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，由不等式的基本性质可得， 即“”“”； 若，不妨取，，，则， 但，所以“”“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将正四棱柱的侧面展开，可知的最小值为，然后在中求解即可 【详解】如图，将正四棱柱的侧面展开， 则的最小值为． 在中，，， 则． 故选：D 6. 已知，在上单调递增，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简得出，由可得出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，且， 所以， 因为在上单调递增，则， 所以，解得. 7. 如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用平面向量的线性运算和基本定理可得出，再利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为，所以， 设，则，解得， 又因为， 且、不共线，所以，这两个等式相加得， 因为，，由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 8. 如图所示，放置的边长为的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①若，则函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数在区间上单调递增.其中判断正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】对的取值进行分类讨论，分析点的轨迹，可知函数的周期为，作出其图象，逐项判断即可. 【详解】当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，故函数的周期是. 因此最终构成图象如下： ①根据图象的对称性可知函数是偶函数，故①正确. ②由图象经分析可知函数的周期是，故②错误. ③函数在区间上单调递减，故③正确. ④函数在区间上单调递增，由函数的图象即可判断是真命题，故④正确. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 若复数是方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据虚数单位的性质化简复数，即可判断A；进而可求模长，即可判断B；再根据复数的几何意义判断C；分析可知方程另一个根为，结合韦达定理运算求解. 【详解】因为，故A错误； 则，故B正确； 且在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确； 若复数是方程的一个根，则另一个根为， 则，可得，即，故D正确. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用向量模的三角不等式可判断C选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，化简可得，A对； 对于B选项，若，则， 又因为，解得或，B错； 对于C选项，， 当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立， 故的最大值为，C对； 对于D选项，若，则， 则在上的投影向量为，D错. 11. 在锐角中，所对边分别为，已知，则（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A使用余弦定理可以计算出；选项B使用和差化积公式进行化简可以得到；选项C在B选项基础上使用正弦定理；选项D在B选项基础上使用三角函数进行转换为全部tanA的函数,最后再换元进行计算. 【详解】选项A，由， 根据正弦定理得：，由余弦定理得：， 代入可得，，所以选项A正确； 选项B，对用和差化积公式： ， 在中，，因此原式等价于： ， ，故， 因此或（舍去），即，所以B选项正确； 选项C，由，根据正弦定理， 所以选项C错误； 选项D，由得， 因此 ， 由为锐角三角形得：， 因此.令，则， 根据对勾函数性质可知，函数在上单调递减， 当时，，当时， ， 故，所以选项D正确. 非选择题部分 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的恒等式、换底公式以及对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】原式. 13. 若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】 . 14. 正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为______. 【答案】或. 【解析】 【分析】根据题意可知外接球的半径为，取正方形的中心为，正方形的中心为，可知该几何体的外接球的球心在上，分类讨论球心在线段上或在的延长线上，结合正四棱台的结构特征列式求解. 【详解】设正四棱台的高为，外接球的半径为，则，解得. 取正方形的中心为，正方形的中心为，连接，则， 可知该几何体的外接球的球心在上，连接，，，.    设上、下底面正方形的边长分别为，， 则，，解得，，故，. 设， 当在线段上时，则， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为； 当在的延长线上时，， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为. 综上所述：该正四棱台的体积为或. 故答案为：或. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数满足，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的概念直接求解； （2）要将复数的模转换为表达式，结合基本不等式运动求解. 【小问1详解】 是纯虚数得出得； 【小问2详解】 设，所以，即， ， 则， 因为当且仅当取等，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 16. 小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的. （1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？ （2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用棱柱、圆柱的表面积公式列式求解. （2）利用柱体体积公式列式求解. 【小问1详解】 依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2倍，然后加上圆柱的侧面积， 因此所求面积为 ， 所以需要平方米的玻璃. 【小问2详解】 由圆柱体距离鱼缸底部，得注水至0.3米时，圆柱体刚好注至一半的体积， ， 所以需要立方米的水. 17. 在中，角的对边分别为，若， （1）求角的大小； （2）若为中点，，求边. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理对把边转换为三角函数，变形化简计算出角的三角函数值，计算角的大小； （2）利用向量加法的法则可知，再利用余弦定理，计算边a. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 在中，， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以 ， 又，所以,所以， 又因为，所以. 18. 已知函数（、为非零常数） （1）当时，为偶函数，求的值； （2）当时，求满足的的取值范围； （3）当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. 【小问2详解】 当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. 【小问3详解】 当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 19. 如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）已知在仿射坐标系中，，. ①若，求； ②若，求； （2）在仿射坐标系中，，，设与的夹角为，若，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； ②求出的值，利用平面向量数量积的定义可得出关于的值，解之即可； （2）由已知条件得出，，利用平面向量数量积的运算性质结合对恒成立，以及且，可求出的取值范围，再利用平面数量积的运算性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， ①因为，所以. ②因为， 所以， ， 因为，， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，， 所以，， 由，得， 即对恒成立， 因为且，所以， 所以， 化简得，所以， 又因为且，所以或 因为与的夹角为， 所以， 而或， 所以或， 即，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $