专题10 向量的数量积（5大考点）期中专题训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

专题10 向量的数量积 5大考点汇总 考点01数量积的定义及其几何意义 考点02向量投影问题 考点03向量夹角和模长的问题 考点04向量垂直和平行的应用 考点05极化恒等式的应用 题型专练 考点01数量积的定义及其几何意义 1．（25-26高一下·陕西铜川·月考）已知，，则“”是“向量与共线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知是圆的任意弦，若，则____________. 3．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 4．（广东江门市2026届高考适应性测试数学试题）已知两个单位向量，的夹角为，则（   ） A．0 B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏淮安·月考）如图，在平行四边形中，，，是边的中点，是上靠近的三等分点，若，则______． 6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）的重心为，外心为，且，则___________． 考点02向量投影问题 7．（25-26高一下·山西晋中·期中）已知，均为单位向量，且满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·吉林四平·月考）已知向量，，，则向量在向量上的投影向量坐标为_____________ 9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 10．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·上海浦东新·月考）若，，，则在上的数量投影为________． 14．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 考点03向量夹角和模长的问题 15．（25-26高一下·北京·月考）已知，，，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．135° 16．（福建福州市八县市协作校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题）已知，，且与的夹角为120°， (1)求； (2)求与的夹角． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）已知向量，若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一下·山西·期中）已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 19．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知向量． (1)若，求m的值； (2)若为钝角，求m的取值范围． 20．（25-26高一下·重庆·月考）已知，，且与的夹角为，求 (1)； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 21．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 22．（25-26高一下·湖北·期中）已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．3 23．（25-26高一下·江苏淮安·月考）（多选）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 24．（24-25高一下·河北唐山·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 25．（2026·江西上饶·二模）已知向量，，若，则（   ） A．4 B．5 C． D． 考点04向量垂直和平行的应用 26．（25-26高一下·四川遂宁·月考）已知平面向量．若，求向量在向量上的投影向量为（     ）． A． B． C． D． 27．（2026·四川成都·二模）已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 28．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知、、是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，与垂直，求； (2)若，且，求的坐标． 29．（25-26高一下·重庆·月考）（多选）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或2 D．若，则与的夹角为 30．（2026·江西·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知向量，，若，则（   ） A． B． C．2 D． 32．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知，． (1)求； (2)当时，求实数的值． 33．（25-26高一下·广东湛江·月考）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数的值； (2)已知，求的最小值. 考点05极化恒等式的应用 34．（24-25高三下·湖南长沙·月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 35．（25-26高一下·辽宁锦州·月考）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，，点E为的中点，且，则__________ 36．（2025·广东东莞·模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（    ）． A． B．0 C． D． 37．（2025高三·全国·专题练习）如图，为直角三角形，，，C为斜边的中点，P为线段的中点，则＝（　　）    A．1 B． C． D． 38．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 向量的数量积 5大考点汇总 考点01数量积的定义及其几何意义 考点02向量投影问题 考点03向量夹角和模长的问题 考点04向量垂直和平行的应用 考点05极化恒等式的应用 题型专练 考点01数量积的定义及其几何意义 1．（25-26高一下·陕西铜川·月考）已知，，则“”是“向量与共线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由或. 若，则；若，则. 所以或. 所以“”是“向量与共线”的充分而不必要条件． 2．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知是圆的任意弦，若，则____________. 【答案】 【分析】作，垂足为，根据数量积的定义和三角函数定义求结论. 【详解】如图：作，垂足为， 则 3．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义：    4．（广东江门市2026届高考适应性测试数学试题）已知两个单位向量，的夹角为，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得． 5．（25-26高一下·江苏淮安·月考）如图，在平行四边形中，，，是边的中点，是上靠近的三等分点，若，则______． 【答案】2 【分析】根据平面向量基本定理和向量的数量积进行求解即可. 【详解】因为， 则因为，所以. 又，所以，化简得， 解得（负值舍去），即. 6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）的重心为，外心为，且，则___________． 【答案】 【详解】因为为外心，所以，， 所以， 因为为重心，所以， 则， 所以. 考点02向量投影问题 7．（25-26高一下·山西晋中·期中）已知，均为单位向量，且满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，均为单位向量，所以， 由可得：， 解得：， 所以在上的投影向量为：. 8．（25-26高一下·吉林四平·月考）已知向量，，，则向量在向量上的投影向量坐标为_____________ 【答案】 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】由投影向量的计算式求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 10．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 而，， 所以在上的投影向量为. 11．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出投影向量的坐标，结合向量的模长公式可得答案. 【详解】由题意可知在方向上的投影向量为 ， 故在方向上的投影向量的模为. 故选：C. 12．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模，求出，然后利用向量数量积和运算律计算，最后根据投影向量求解的方法求解即可. 【详解】因为，， 所以，即， 也即， 解得：， 所以， 由向量在向量上的投影向量为： ， 故选：A. 13．（25-26高一下·上海浦东新·月考）若，，，则在上的数量投影为________． 【答案】1 【详解】已知，，， 在上的数量投影为：． 14．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】/ 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 考点03向量夹角和模长的问题 15．（25-26高一下·北京·月考）已知，，，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．135° 【答案】D 【详解】设向量与向量的夹角为，由，所以, 因为，所以 16．（福建福州市八县市协作校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题）已知，，且与的夹角为120°， (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义及运算律先求出的值，再计算的值. （2）根据数量积的定义及运算律先算出和的值，再根据夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以 所以 所以. （2）因为 ， 所以 因为， 所以与的夹角为. 17．（2026·陕西西安·模拟预测）已知向量，若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，又，所以，解得，所以, 所以， 又因为， 所以． 18．（25-26高一下·山西·期中）已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【详解】由题设，又与的夹角为锐角， 所以，则， 所以，可得且. 19．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知向量． (1)若，求m的值； (2)若为钝角，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，列出方程，即可求解； （2）先由为钝角，得到，求得，再由向量与共线时，设，求得或，得到或，即可得到答案. 【详解】（1）解：由向量， 因为，可得，整理得， 所以，即，解得. （2）解：若为钝角，可得，即，解得， 当向量与共线时，存在实数，使得， 可得，所以， 整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 所以要使得为钝角，实数的取值范围为. 20．（25-26高一下·重庆·月考）已知，，且与的夹角为，求 (1)； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据模长和夹角求出数量积，结合模长公式可得答案； （2）根据数量积为负数求出的范围，排除掉夹角为的情况即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以， 所以，即. （2）， 因为向量与的夹角为钝角，所以，即； 令，可得，解得， 当时，向量与的夹角为，不是钝角， 所以的取值范围为. 21．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知两个单位向量与的夹角为，设，，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由向量的数量积运算结合条件即可求解. 【详解】由题意，，， 所以. 22．（25-26高一下·湖北·期中）已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．3 【答案】D 【详解】由，得，所以. 由，得， 又，得， 所以，则. 23．（25-26高一下·江苏淮安·月考）（多选）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 【答案】ACD 【详解】因为， 所以，所以，所以B错误； 所以， 因为，所以，所以A正确； 因为，所以C正确； 因为， 且，所以，所以D正确. 24．（24-25高一下·河北唐山·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，， 则 ． 25．（2026·江西上饶·二模）已知向量，，若，则（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再求即可． 【详解】解：，，， 又，， 解得，． 考点04向量垂直和平行的应用 26．（25-26高一下·四川遂宁·月考）已知平面向量．若，求向量在向量上的投影向量为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量共线（平行）可得向量的坐标，进而根据数量积的几何意义可求投影向量. 【详解】由，且，，所以，可得. 所以，，, 所以向量在向量上的投影向量． 27．（2026·四川成都·二模）已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 28．（25-26高一下·湖北武汉·月考）已知、、是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，与垂直，求； (2)若，且，求的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由向量线性运算坐标运算及数量积坐标运算计算求解； （2）由题意设，根据向量模的坐标表示列式计算求解. 【详解】（1）由题意可得，， 若与垂直，则，解得； （2）因为，设， 因为，即，解得， 所以或. 29．（25-26高一下·重庆·月考）（多选）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或2 D．若，则与的夹角为 【答案】ABC 【分析】根据向量平行的坐标关系，垂直的坐标关系，模长的坐标公式及夹角的坐标公式，逐一求解即可判断． 【详解】对于A：若，则 ，解得，故A正确； 对于B：若，则 ，解得，故B正确； 对于C：若，则，即，解得或，故C正确； 对于D：若，则，，所以， 又，则 ，所以与的夹角为，故D错误． 30．（2026·江西·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 由，得， 所以，解得． 31．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知向量，，若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由向量平行的坐标表示求得，然后再由模的坐标表示求解． 【详解】由，得，即.解得.所以， 则. 32．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知，． (1)求； (2)当时，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)0 【分析】（1）根据空间向量的加减运算法则，先求出与的坐标，再利用空间向量数量积的坐标运算公式，计算它们的数量积即可； （2）根据两向量平行的坐标表示，设存在实数使得 ，根据对应坐标相等列方程组，求解参数即可． 【详解】（1）， ， ． （2），， 因为 ，所以存在实数，使得， ，解得 是唯一解，故 ． 33．（25-26高一下·广东湛江·月考）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数的值； (2)已知，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平面向量的线性坐标运算求得和的坐标，然后利用平面向量共线的坐标运算列式求解即可. （2）先利用平面向量的线性坐标运算求得的坐标，然后利用向量模的坐标运算列式，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】（1）因为，， 又， 所以，即，解得. （2）因为， 所以， 所以当时，取最小值. 考点05极化恒等式的应用 34．（24-25高三下·湖南长沙·月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 35．（25-26高一下·辽宁锦州·月考）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，，点E为的中点，且，则__________ 【答案】240 【详解】因为，，由极化恒等式得： ， 所以.又，所以，由极化恒等式得： . 36．（2025·广东东莞·模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（    ）． A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的内切圆圆心为，由题可得为圆的一条直径时，弦的长度最大，，据此可得最大值. 【详解】如下图所示：设正方形的内切圆圆心为， 当弦的长度最大时，为圆的一条直径， 则 . 当与正方形的顶点重合时，， 因此，． 故选：C 37．（2025高三·全国·专题练习）如图，为直角三角形，，，C为斜边的中点，P为线段的中点，则＝（　　）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的定义、运算律以及向量的线性运算即可求解. 【详解】    因为， 所以， 取中点Q，连接， . 故选：B. 38．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为，如图所示： 当弦的长度最大时，为正方形的内切圆的直径，则. ，. 圆的半径长为，由于点为正方形四条边上的动点，则， 所以. 39．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知可得，两边平方可求； （2）求得，利用向量的夹角公式可求向量与夹角的余弦值； （3）设边的中点为，连接，，利用余弦定可得，进而可得结论. 【详解】（1）由，可得，所以， 可得， 所以； （2）， 又， 所以； （3）设边的中点为，连接， ， 由余弦定理可得， 到的距离为，所以， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $