专题05：圆锥曲线填选压轴题八种考法归纳 讲义-2026届高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题05 圆锥曲线填选压轴题八种考法归纳 1.（2025上海秋季高考） 已知，C在上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 2. （2024上海秋季高考）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可. 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 3．（2023年上海卷16）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（　　） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确， 在双曲线中，|PM|max→+∞，而|QM|min是个固定值，则无法对任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②错误． 故选：B． 4．（2022年上海市高考数学第16题）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z} ①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧； ②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　　　） A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 【答案】B 【解答】解：当k＝0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}， 当k＞0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}， 表示圆心为（k，k2），半径为r＝2的圆， 圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f（k）＝2单调递增， 相邻两个圆的圆心距d，相邻两个圆的半径之和为l＝22， 因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离， 当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确， 若直线l斜率不存在，显然不成立， 设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的交点个数， d，r， 给定m，n，当k足够大时，均有d＞r， 故直线l只与有限个圆相交，②错误． 故选：B． 5. （2021上海高考）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是 【答案】 【解析】设，，则抛物线，直线， 联立，∴，∴，，， ∴，即准线方程为 题型一、圆锥曲线性质综合 1. （2025上海市崇明区高三三模）已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为______. 【答案】2 【分析】求出直线的方程，可得点的坐标，利用向量的坐标运算可求出点的坐标，代入双曲线方程，结合，可得，的值，从而可得实轴长． 【详解】由抛物线方程知，， 又直线的法向量， 所以直线的方程为， 令，得，所以，设， 由，得,,， 所以，， 设双曲线方程，将代入得， 因为抛物线的焦点是双曲线的右焦点， 所以，解得，， 所以双曲线的实轴长． 故答案为：2． 2．（2026届高三杨浦区一模）已知双曲线，点，点分别在双曲线的左、右两支上，则向量的夹角（ ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 【解析】如图所示： 因为点在渐近线上 所以当三点共线时,存在最大值，不存在最小值 故选：A． 3. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于， 根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故， 根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故， 综上， 故选：C. 4. （25-26金山区二模）已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】先根据双曲线的渐近线夹角的余弦值求出，得到， 分别按照，，讨论求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， ，，，， 两条渐近线的夹角为，， ， ，，，， 椭圆，， 点、为椭圆的两个焦点，， 当时，以为直径的圆的方程为， 双曲线，将代入， 得到，解得， 联立，将代入， 得到，解得， 将代入，解得， 则有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 综上可知，使得为直角三角形的点有个，故选项C正确. 5．已知点为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线交双曲线左支于点，点在线段上，交双曲线左支于点且，若双曲线右支上任意一点都满足，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件得到，根据得到是的中点，得到是等腰三角形，根据直线的斜率得到，根据余弦定理得到a与的关系式，即可求出渐近线方程． 【详解】    由， 得， 即， 即， 即，得， 由对任意一点都满足， 可得是线段的中点， 则是等腰三角形， 则，则， 由得， 由余弦定理的推论得， 结合，可得双曲线的渐近线斜率为， 故双曲线的渐近线方程为. 故选：C． 6．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】法一：因为，所以． 设，（不妨设），，依题意有，，， 所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为． 法二：因为，所以．对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积，根据双曲线的性质可得，所以， 所以，整理可得．所以， 当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为． 故答案为：. 题型二、求圆锥曲线离心率的值或范围 7. （25-26黄浦区二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 【答案】 【分析】联立抛物线和双曲线方程，根据韦达定理可得，结合抛物线的定义可得，即可得双曲线离心率. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为， 设，， 联立方程，消去可得， 则，解得，可得， 又因为，则， 即，可得，可得， 所以双曲线的离心率为. 8. （2025届上海市大同中学高三三模）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】## 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 9．（2022·全国·高三专题练习）设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则C的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵F到渐近线的距离为，∴， 则△FOH的内切圆的半径为， 设△FOH的内切圆与FH切于点M，则 由，得 ， 即 即 即， 由，得，由于 解得， 故选：C 10．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是________. 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是. 题型三、最值与范围问题 11. （25-26虹口区二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值． 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 12．已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为________. 【答案】 【详解】由题意，不妨设在第一象限， 设，由，得，则， 因为双曲线在点处的切线与平行， 所以，解得，则， 所以， 所以点到直线的距离， 因为，， 所以， 所以． 令，则， 因为，所以，所以， 可得， 当且仅当，即时，面积取得最大值． 故答案为： 13.点，是曲线：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于和；线段，的中点分别为，直线与轴垂直且点在上.若以为圆心的圆与直线恒有公共点，则圆面积的最小值为________. 【答案】 【详解】当直线斜率均存在时，令且， 联立与曲线并整理得：， 且，则， 所以，故， 由题意, 得，联立与曲线并整理得：， 同理，，，可得， 所以， 所以直线： ， 整理得：，故过定点， 当直线中一条的斜率不存在时，令，则， 此时，，故仍旧过， 又因为，要使以为圆心的圆与直线恒有公共点， 则点在圆上，或者在圆内，设圆的半径为，则， 因为， 所以，故圆最小面积为. 故答案为：. 14.已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】记，分析可知双曲线的实轴长和通径长不可能同时为，可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的方程由四个不等的实数解，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】记，若直线与轴重合，此时，； 若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时， 当时，则，此时，；当，可得，则， 所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为； 当直线与轴不重合时，记，则点， 设直线的方程为，其中，设点、， 联立可得， 由题意可得，可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ，即， 所以，关于的方程由四个不等的实数解. 当时，即当时，可得， 可得，整理可得，因为，解得； 当时，即当，可得， 可得，整理可得，可得. 综上所述，. 故答案为：. 题型四：轨迹与方程 15.（2026届高三奉贤区一模）曲线的方程为(、不同时为0)，则下列说法正确的是（ ） A.曲线不可能是直线 B.当时,曲线是椭圆 C.若曲线是双曲线,则双曲线的渐近线与无关 D.曲线是抛物线 【答案】C 【解析】当或为时，曲线是直线，错误； 当时,曲线可能是圆，错误； 若曲线是双曲线,则双曲线的渐近线与无关，正确；故选C. 16.（2026届高三黄埔区一模）若图形上的每个点都在圆上或在圆内部,则称圆为的一个覆盖圆.设由函数与的图像所组成，则的最小覆盖圆的半径为_____. 【解析】如图所示 设，则 由题知 所以 所以 17.（2026届高三金山区一模）记曲线且且为,称其为“超椭圆”.命题直线与超椭圆有3个不同交点;命题超椭圆上的点到坐标原点距离的取值范围为.则下列说法正确的是（ ）. A.命题为真命题，命题为假命题 B.命题为假命题,命题为真命题 C.命题均为真命题 D.命题均为假命题 【答案】A 【解析】通过ggb如图所示（仅供研究） 由可知曲线方程即关于轴又关于轴对称， 命题直线与超椭圆即有3个不同交点， 很明显在第2和第4象限各有一个交点，故研究第一象限交点个数是0,1还是2个即可 由时，我们知道函数图像是直线，当时，函数图像是凸函数； 故猜测时，函数是凹函数，并描点验证， 联立解得，故在第一象限相切故命题正确. 命题超椭圆即上的点到坐标原点距离的取值范围为. Way1：由题意可知很明显最小值1正确， 因为曲线方程关于轴又关于轴对称，所以研究第一象限即可， 由时，，此时 故 假设，由卡西欧可知无解，故不正确. 18. （25-26普陀区二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（ ） A. ①为真②为真 B. ①为真②为假 C. ①为假②为真 D. ①为假②为假 【答案】C 【分析】先根据方程可得曲线是由半个圆和半个椭圆组成的一条曲线，再对条件①判断，根据椭圆的定义及计算圆的一点到两个定点的距离和范围可得命题的真假；对条件②根据两点的位置关系分四种情况分别讨论可得所求式子的范围，进而可得结果. 【详解】因为方程等价于：或. 若，则，表示圆心在原点，半径为的左半个圆； 若，则，表示长半轴为，短半轴为的右半个椭圆；如图： 对于①，若点在右半个椭圆上，点、是椭圆的焦点， 根据椭圆的定义：，所以在右半个椭圆上不存在点满足； 若点在左半个圆上，点、是圆的一条直径的两个端点， 设，则 所以， 因为，所以，，， 即，而，所以存在点满足； 所以命题①为假命题. 对于②，若点在左半个圆上，； 若点在右半个椭圆上，则，因为， 所以，即. 下面对的位置分四种情况讨论： （i）若都在左半个圆上时，， 所以； （ii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iv）若都在右半个椭圆上时，设， 且，因为，所以， 即，. 所以，， 所以 ， 又因为，两边平方得， ，化简整理得， 所以. 综上所述，的取值范围为，故②正确； 19.（25-26徐汇区二模） 设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】对于①，先判断出相伴集合的对应平面图形为正方形，即可得到面积；对于②，根据无交点的限制得出正方形的点应满足，然后对不同的自变量范围分类讨论，综合得到的范围，进而得到的范围. 【详解】根据定义点的相伴集合即为以为中心的边长为的正方形， 若，则其相伴集合对应平面图形的面积为，①是假命题； 集合对应一系列正方形，它们与抛物线即均无公共点， 则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足，对每一个正方形内的点， 有，则需满足，有， 设，在上的最小值记为， 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以； 当时，，此时应有，以为变量， 的最大值为，所以； 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以， 综上所述，要使对任意实数及任意均满足无交点条件，则，②是真命题. 20. （25-26崇明区二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假. 【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. 21.（2025上海宝山区高三三模） 已知曲线为曲线上任一点，以下4个命题： ①曲线与直线恰有四个公共点； ②曲线与直线相切； ③是的函数； ④是的函数. 正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，构造，利用导数讨论其在上的零点个数为3后可判断其正误，对于②，利用导数可判断其正误，对于③，结合零点存在定理可判断其正误，对于④，利用导数判断函数的单调性后可得其正误. 【详解】对于①，由消元法可得，所以， 当或时，或，故此时无解， 下面考虑上方程的解的个数， 设，所以， 设且，则，则， 所以， 又因为， 所以的解为，， 而， 故当或时，，当时，， 故在，上为减函数，在上为增函数， 而，且， ，而，故， 故，，故在有3个不同的实数根，故①错误； 对于②，由，可得，故， 对两边求关于的导数，又随的变化而变化， 则， 故当时，有， 当，，而直线的斜率为2， 故曲线与直线相切，故②正确. 对于③，取，考虑即方程的解的个数， 设，则，， ， 故至少有两个零点，故有两个不同的解， 故不是的函数，故③错误； 对于④，，则， 故为的减函数，且当时，，当时，， 故对任意，方程即有唯一解， 故是的函数，故④正确. 故选：B. 22. 定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确是（ ）. A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程确定研究曲线的性质，判断命题的真假． 【详解】记， 易得，因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称， 从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹， 由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同）， 由得， 时，或， 所以曲线与轴无公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线， 当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线， （实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可） 命题均正确， 故选：A． 【点睛】方法点睛：用方程确定曲线的性质，例如对称性，在曲线方程中用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，如果同时用替换，替换，方程不变，则说明曲线关于原点对称，同样如果互换后方程不变，曲线则关于直线对称等等，通过方程中变量的变化范围得出曲线点的坐标的变化范围，即曲线的范围，由变量变化的趋势得出曲线的变化趋势． 23．蔓叶线是公元前世纪古希腊数学家狄奥克勒（Diocle）为了解决倍立方问题发现的曲线，因形似植物藤蔓而得名．按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线：上取一动点，作在该动点处的切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线．下列结论错误的是（   ） A． 点在上 B． 直线是的渐近线 C．点到上的点的距离最小值为 D．若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则 【答案】C 【分析】先根据题意计算出蔓叶线E方程为，则A选项可直接判断；结合蔓叶线E方程为以及渐近线的相关知识可判断B；E上的点到点的距离为，构造函数，利用导数求最小值即可判断C；联立直线方程与曲线方程即可求出交点，再计算得为固定值4，则D可判断. 【详解】抛物线在原点处的切线为y轴，过坐标原点作这条切线的垂线,垂足即为； 设上不同于原点的点，则该点处的切线斜率存在，设为k，切线方程为，代入，消去x可得，则， 即，即，即，故切线为① 则过坐标原点的这条切线的垂线方程为， 可得，代入①消去可得垂足满足的关系式为， 化简可得，该式满足过原点，故蔓叶线E方程为. 点满足上式，故点在E上，故A正确； 由，可得且，故， 时，，故是E的渐近线，故B正确； 设E上的点到点的距离为，则， 令，， 令，可得，故时，，单调递减， 时，，单调递增，故, 故,则点到E上的点的距离最小值为，故C错误； 若过点的直线与E和抛物线分别交于点A,B(异于点)，可知直线的斜率存在，设为m，则：， 由，解得,即,由，解得，即, 故, 故，故D正确.故选：C. 题型五、命题结论真假辨析 24. （25-26闵行区二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（ ） A. ①不正确，②不正确 B. ①正确，②正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确 【答案】C 【解析】 【详解】设，则， 对于①，当时，，故，满足点到轴与轴的距离之差为1，①正确； 对于②，由基本不等式可得，即，故，②错误. 25. （2025复旦大学附属中学高三期末）如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为2，，分别是直线和平面上的动点，且，则下列判断：①点到棱中点的距离的最大值为；②正四面体在平面上的射影面积的最大值为．其中正确的说法是． A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，点在以为直径的球面上的点，所以点到棱中点的距离的最大值为点到球心的距离再加上球的半径，可判断①，当当与重合时，求出正四面体在平面上的射影面积，可判断②. 【详解】由题意，点在以为直径的球面上的点. 点到棱中点的距离，即以为直径的球面上的点到棱中点的距离. 所以点到棱中点距离的最大值为点到球心的距离再加上球的半径. 设的中点为，则为以为直径的球的球心，半径为 所以 所以点到棱中点的距离的最大值为，故正确①. 由直线平面，且，则平面. 在正四面体中，,又，所以平面 所以在平面上的射影与平行且相等. 当与重合时，正四面体在平面上的射影为对角线为2的正方形. 此时射影的面积为2，所以②不正确. 故选：C 【点睛】本题考查两点间的距离的最大值的求法和几何体在平面上的投影面积的最值，考查空间想象能力和推理论证能力，考查转化能力，属于中档题. 题型六、圆锥曲线的实际应用 26. （25-26杨浦区二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可. 【详解】 以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为. 则，. 由题意得，即，所以，取. 又，则. 易知为锐角，所以， 所以. 故出手角度的最大值为. 27.（25-26黄浦区二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 【答案】平方米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，则.记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.以为坐标原点直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，将的面积表示为的函数，利用导数分析其单调性，并求得最大值. 【详解】由题意知，，，，， 所以. 过点作，垂足为，则. 记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为. 如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，， 所以. 的最大面积为. 由圆的对称性，不妨令. 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 令，得， 即，化简得. 因为，所以，所以. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以的最大面积为平方米. 28. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为______平方千米． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据抛物线过点可得抛物线的方程，根据导数的几何意义可得，，故，利用导数求最大值即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则， 由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得， 所以抛物线方程为， 由题意知直线MN为抛物线的切线， 因为点P到边AD的距离为，所以切点P的坐标为， 由，得，所以直线MN的斜率为， 所以直线MN的方程为，即， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 则， 因为，所以当对，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得最大值平方千米． 故答案为:. 题型七、新定义问题 29. （2025上海市徐汇中学高三三模）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是(　　) A. 直线上的所有点都是“点” B. 直线上仅有有限个点是“点” C. 直线上的所有点都不是“点” D. 直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点” 【答案】A 【解析】 【分析】作出草图，可知点是的中点，，设出 的坐标，进而的坐标可表示出，把 的坐标代入抛物线方程联立消去，求得判别式大于恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线上的所有点都符合． 【详解】如图所示： 设， 由题意可知点是的中点，则， ∵在上，∴， 消去，整理得关于的方程， ∵恒成立， ∴方程恒有实数解． 即对于任意的点，都存在，使得. 故选：A． 30.（2026届高三松江区一模）定义:一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”. 在中,边上的高等于,以的各边为直径向外分别作三个半圆,记三个半圆围成的平面区域的“直径”为,则以下两个结论: ①当时，； ②的最大值为（ ） A.①正确，②错误 B.①②都正确 C.①错误，②正确 D.①②都错误 【答案】B 【解析】由题知： ①如图所示： 当时， 所以，，则 数形结合，，故①正确； ② 当且仅当时取等 ，故②正确。 故选：B. 31. 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都假命题 D. ①②都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得. 【详解】椭圆是“自稳定曲线”. 设椭圆方程为，令，则，设， 由是的重心，知，直线过点， 当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 则当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 当时，，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与椭圆交于两点，且是的重心， 即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为重心， 综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题； 双曲线不是“自稳定曲线”. 由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设， 假设是的重心，则，直线过点， 当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此， ，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与双曲线不相交， 所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证. 题型八、圆锥曲线与向量、数列综合 32.已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为，所以是的角平分线， 又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点， 则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心， 如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得， ，，可知为的重心， 设，，，由重心性质可得， 即， 又为的内心，所以， 因为，所以，，则， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 33.已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图示，延长到且，延长到且， 所以，即， 故是△的重心，即，又， 所以，而是的内心，则， 由，则，故，即. 故选：D 34.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得．A为左支上一点且满足，，的面积为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示： 因为，所以四边形是平行四边形， 因为， ， . 所以 可得． 过点A作x轴的平行线交PQ于点B，可知四边形是平行四边形， 因为，所以， 又，所以有． 设，则，，， ，． 在中，由，解得． 在中，由，得， 所以离心率， 故选：C 35. 已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求=________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出，的表达式，根据等比数列求和公式以及数列极限的求解方法得到结果.． 【详解】因为，且顺时针排列，所以， 由题意得，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标不变. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标减小. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标减小. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标不变. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标增加. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标增加. 所以，因为，， 所以 ，， 所以. 所以 ，， 所以 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：需要分别找到横纵坐标的增减规律，然后结合等比数列和数列求极限从而求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题05 圆锥曲线填选压轴题八种考法归纳 1.（2025上海秋季高考） 已知，C在上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 2. （2024上海秋季高考）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 3．（2023年上海卷16）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（　　） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 4．（2022年上海市高考数学第16题）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z} ①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧； ②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　　　） A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 5. （2021上海高考）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是 题型一、圆锥曲线性质综合 1. （2025上海市崇明区高三三模）已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为______. 2．（2026届高三杨浦区一模）已知双曲线，点，点分别在双曲线的左、右两支上，则向量的夹角（ ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 3. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. （25-26金山区二模）已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 5．已知点为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线交双曲线左支于点，点在线段上，交双曲线左支于点且，若双曲线右支上任意一点都满足，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ． 题型二、求圆锥曲线离心率的值或范围 7. （25-26黄浦区二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 8. （2025届上海市大同中学高三三模）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 9．（2022·全国·高三专题练习）设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则C的离心率为（     ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是________. 题型三、最值与范围问题 11. （25-26虹口区二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 12．已知双曲线，点在双曲线上，点在直线上，的倾斜角，且，双曲线在点处的切线与平行，则的面积的最大值为________. 13.点，是曲线：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于和；线段，的中点分别为，直线与轴垂直且点在上.若以为圆心的圆与直线恒有公共点，则圆面积的最小值为________. 14.已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 . 题型四：轨迹与方程 15.（2026届高三奉贤区一模）曲线的方程为(、不同时为0)，则下列说法正确的是（ ） A.曲线不可能是直线 B.当时,曲线是椭圆 C.若曲线是双曲线,则双曲线的渐近线与无关 D.曲线是抛物线 16.（2026届高三黄埔区一模）若图形上的每个点都在圆上或在圆内部,则称圆为的一个覆盖圆.设由函数与的图像所组成，则的最小覆盖圆的半径为_____. 17.（2026届高三金山区一模）记曲线且且为,称其为“超椭圆”.命题直线与超椭圆有3个不同交点;命题超椭圆上的点到坐标原点距离的取值范围为.则下列说法正确的是（ ）. A.命题为真命题，命题为假命题 B.命题为假命题,命题为真命题 C.命题均为真命题 D.命题均为假命题 18. （25-26普陀区二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（ ） A. ①为真②为真 B. ①为真②为假 C. ①为假②为真 D. ①为假②为假 19.（25-26徐汇区二模） 设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 20. （25-26崇明区二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（ ） A. B. C. D. 21.（2025上海宝山区高三三模） 已知曲线为曲线上任一点，以下4个命题： ①曲线与直线恰有四个公共点； ②曲线与直线相切； ③是的函数； ④是的函数. 正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22. 定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确是（ ）. A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题23．蔓叶线是公元前世纪古希腊数学家狄奥克勒（Diocle）为了解决倍立方问题发现的曲线，因形似植物藤蔓而得名．按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线：上取一动点，作在该动点处的切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线．下列结论错误的是（   ） A． 点在上 B． 直线是的渐近线 C．点到上的点的距离最小值为 D．若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则 题型五、命题结论真假辨析 24. （25-26闵行区二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（ ） A. ①不正确，②不正确 B. ①正确，②正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确 25. （2025复旦大学附属中学高三期末）如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为2，，分别是直线和平面上的动点，且，则下列判断：①点到棱中点的距离的最大值为；②正四面体在平面上的射影面积的最大值为．其中正确的说法是． A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 题型六、圆锥曲线的实际应用 26. （25-26杨浦区二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 27.（25-26黄浦区二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 28. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为______平方千米． 题型七、新定义问题 29. （2025上海市徐汇中学高三三模）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是(　　) A. 直线上的所有点都是“点” B. 直线上仅有有限个点是“点” C. 直线上的所有点都不是“点” D. 直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点” 30.（2026届高三松江区一模）定义:一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”. 在中,边上的高等于,以的各边为直径向外分别作三个半圆,记三个半圆围成的平面区域的“直径”为,则以下两个结论: ①当时，； ②的最大值为（ ） A.①正确，②错误 B.①②都正确 C.①错误，②正确 D.①②都错误 31. 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都假命题 D. ①②都是真命题 题型八、圆锥曲线与向量、数列综合 32.已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 33.已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 34.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得．A为左支上一点且满足，，的面积为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 35. 已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求=________ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $