专题06：函数与导数填选压轴题八种考法归纳【填选压轴题】讲义- 2026年高考数学二轮复习（上海专用）

该高中数学讲义聚焦函数与导数填选压轴题，按八种考法系统梳理函数性质、零点方程、极值最值等核心考点，通过考点归纳、方法提炼、真题精讲的教学流程，帮助学生构建知识网络，突破解题难点，体现复习的系统性与针对性。 资料创新采用“题型归类-策略建模-素养提升”教学模式，如新定义问题通过概念解构与实例迁移培养数学语言表达能力，零点问题结合图像分析发展数学思维推理能力。配套分层练习与即时反馈，助力学生高效突破压轴题，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题06 函数与导数填选压轴题八种考法归纳 1. （2025上海秋季高考）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 2. （2024上海高考）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值 C. 存在严格增 D. 存在在处取到极小值 3．（2023年上海卷15）已知a∈R，记y＝sinx在[a，2a]的最小值为sa，在[2a，3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是（　　） A．sa＞0，ta＞0 B．sa＜0，ta＜0 C．sa＞0，ta＜0 D．sa＜0，ta＞0 4．（2022年上海市高考数学第12题）设函数f（x）满足对任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，则a的取值范围为 　　　　．． 5. （2021上海高考）函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（ ） A. 为偶函数且关于直线对称 B. 为偶函数且关于点对称 C. 为奇函数且关于直线对称 D. 为奇函数且关于点对称 题型01：函数基本性质的综合 1.记，已知f（x）、g（x）均是定义在实数集R上的函数，设h（x）＝max{f（x），g（x）}，有下列两个命题： ①若函数f（x）、g（x）都是偶函数，则h（x）也是偶函数； ②若函数f（x）、g（x）都是奇函数，则h（x）也是奇函数． 则关于两个命题判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 2.设常数a≥0，若函数既不是奇函数，又不是偶函数，则a的取值范围是 　　.（结果用区间表示） 3．（2021·上海静安·一模）已知偶函数是实数集上的周期为2的周期函数，当时，，则当时，_________． 4.（25-26奉贤区二模） 已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的零点的个数一定是3个 B. 若集合的解集是，则实数对有2对 C. 函数必存在极值 D. 函数在处的切线方程为，则 5. （25-26静安区二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 6 （25-26长宁区二模）已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误； B. ①错误，②正确； C. ①正确，②正确； D. ①错误，②错误. 题型02：零点与方程实数根问题 7．（2020·上海高三专题练习）已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是______. 8.（2026届高三松江区一模）已知函数其表达式为,函数其表达式为,若对任意,都有 ,则方程的解的个数为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 9.（2026届高三静安一模）设是定义在上的偶函数,对任意的,都有,且当时,.设(其中),若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是_____. 10. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）函数的表达式为，如果且，则abc的取值范围为__________． 11. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 12. （2025行知中学高三6月模拟）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 13. （2025届上海市大同中学高三三模）已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 题型03：函数的极值最值与范围问题 14. （25-26杨浦区二模）已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（ ）. A. 0是的极大值点，也是的极大值点 B. 0是的极小值点，也是的极小值点 C. 0是的极大值点，也是的极小值点 D. 0是的极小值点，也是的极大值点 15. （25-26崇明区二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（ ） A. ①②都真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①②都假 16.若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17.已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型04：函数唯一解、整数解问题 18.已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是________ 19.函数，若不等式最多只有一个整数解，则的取值范围为_____ 20. （25-26闵行区二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 21. （2025杨浦区高三5月质量检测）若有唯一解，则的范围是______________ 22. （2025上海市崇明区高三三模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 题型05：解不等式与不等式恒成立问题 23. （25-26普陀区二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 24.（2026届高三普陀一模）设,函数和的表达式分别为,若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是_____. 25.已知，，对于，恒成立，则的最小值为___ 26.（2026届高三闵行区一模）已知集合.如果存在,对属于且不属于任意的所有元素,都有成立，则的取值范围是_____. 题型06：命题结论辨析 27. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立.有下列两个命题： 命题①：函数在定义域内是增函数； 命题②：对任意，都有成立. 则下列说法正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 28. （25-26黄浦区二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（ ）． A. ①和②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①和②均错误 29.（2025行知中学高三6月模拟） 若是定义域在上的函数，则为奇函数的一个充要条件为（ ） A. B. 对，都成立 C. ，使得 D. 对，都成立 30.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 31. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知函数在上可导，其导函数为，设对任意实数，与均成立；对任意正数，都有对任意实数恒成立，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 32．（2026届高三杨浦区一模）函数的定义域、值域均为，定义集合。给出如下两个结论: ①存在函数，使得对任意实数均有； ②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有。 下面判断正确的是（ ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 题型07：新定义问题 33. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 34.（2026届高三闵行区一模）如果“若，则’和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“-关系”.已知函数的定义域为为偶函数，则与下列选项中的具有“一关系”的为（ ）. A.:对任意都有 B.:对任意都有 C.对任意都有 D.:对任意都有 35. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 36.（2025上海市崇明中学高三三模）设函数的定义域为，若对曲线上任意一点，均存在曲线上的点，使得且，则称函数是“旋转函数”.若存在旋转函数，使，则正实数的最大值是__________. 题型08：函数与数列、向量综合 37. （2025上海市崇明区高三三模）设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 38. （2025上海宝山区高三三模）已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是__________. 39. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知，存在，当时，都有，则取值范围是______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题06 函数与导数填选压轴题八种考法归纳 1. （2025上海秋季高考）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 2. （2024上海高考）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值 C. 存在严格增 D. 存在在处取到极小值 【答案】B 【解析】 【分析】利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断ACD，构造函数可判断B. 【详解】对，若存在 是偶函数，取 ， 则对于任意 ，而 矛盾，故A错误； 对 C ，假设存在，使得严格递增，则，与已知 矛盾，故 C错误； 对B，可构造函数 ，满足集合 当 时，则. 当时，， 当时， . 则存在在处取最大值，故B正确； 对 ，假设存在，使得在处取极小值， 则在的左侧附近存在n，使得， 这与已知集合M定义矛盾，故错误. 故选：B. 3．（2023年上海卷15）已知a∈R，记y＝sinx在[a，2a]的最小值为sa，在[2a，3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是（　　） A．sa＞0，ta＞0 B．sa＜0，ta＜0 C．sa＞0，ta＜0 D．sa＜0，ta＞0 【答案】D 【解答】解：由给定区间可知，a＞0． 区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同． 取a，则[a，2a]＝[]，区间[2a，3a]＝[]，可知sa＞0，ta＞0，故A可能； 取a，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知sa＞0，ta＜0，故C可能； 取a，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知sa＜0，ta＜0，故B可能． 结合选项可得，不可能的是sa＜0，ta＞0． 故选：D． 4．（2022年上海市高考数学第12题）设函数f（x）满足对任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，则a的取值范围为 　　　　．． 【答案】[，+∞）． 【解答】解：法一：令，解得（负值舍去）， 当时，， 当时，， 且当时，总存在，使得f（x1）＝f（x2）， 故， 若，易得， 所以， 即实数a的取值范围为； 法二：原命题等价于任意， 所以恒成立， 即恒成立，又a＞0， 所以， 即实数a的取值范围为． 故答案为：． 5. （2021上海高考）函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（ ） A. 为偶函数且关于直线对称 B. 为偶函数且关于点对称 C. 为奇函数且关于直线对称 D. 为奇函数且关于点对称 【答案】 【解析】反例如图所示. 选项D，易得， 题型01：函数基本性质的综合 1.记，已知f（x）、g（x）均是定义在实数集R上的函数，设h（x）＝max{f（x），g（x）}，有下列两个命题： ①若函数f（x）、g（x）都是偶函数，则h（x）也是偶函数； ②若函数f（x）、g（x）都是奇函数，则h（x）也是奇函数． 则关于两个命题判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【分析】根据题意，通过已知定义及反例举例说明选项中的命题是否成立即可． 【解答】解：由题意得，①若函数f（x）、g（x）都是偶函数，则h（x）＝max{f（x），g（x）}也是偶函数，； ②函数f（x）＝x、g（x）＝﹣2x都是奇函数，则h（x）＝显然不是R上的奇函数． 故选：B． 2.设常数a≥0，若函数既不是奇函数，又不是偶函数，则a的取值范围是 　　.（结果用区间表示） 【分析】由已知先求出f（x）分别为奇函数及偶函数时的a的取值，然后利用补集思想可求． 【解答】解：若f（x）为奇函数， 则f（﹣x）+f（x）＝+＝0， 整理得＝0， 所以1﹣a2＝0，即a＝1或a＝﹣1， 又a≥0， 故a＝1， 若若f（x）为偶函数， 则f（﹣x）＝f（x）， 所以＝， 整理得2a•5x＝2a， 所以a＝0， 故当f（x）不上奇函数，也不是偶函数时，a＞0且a≠1． 故答案为：（0，1）∪（1，+∞）． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，属于基础题． 3．（2021·上海静安·一模）已知偶函数是实数集上的周期为2的周期函数，当时，，则当时，_________． 【答案】 【分析】根据是实数集上的偶函数，且以2为周期的周期函数，分，两种情况求解. 【详解】因为偶函数是实数集上的周期为2的周期函数， 当时，， 所以， 当，，， 所以， 综上：， 故答案为： 2.（25-26奉贤区二模） 已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的零点的个数一定是3个 B. 若集合的解集是，则实数对有2对 C. 函数必存在极值 D. 函数在处的切线方程为，则 【答案】B 【解析】 【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错. B：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，B对. C：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时，，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以C错. D：在处的切线方程为， 求导 ， 得， 得或，D错. 5. （25-26静安区二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】对①：结合的单调性，令即可得反例；对②：利用函数性质判断的单调性，则可求出各段的上界，再令计算即可得；对③：分及进行讨论，当时，利用点到直线的距离公式计算即可得解；当时，计算出即可得解. 【详解】对①：若，即时，有， 则在区间上单调递增，故①错误； 对②：由， 则当时，单调递增，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递减， 则时，，当时，， 当时，， 要使得存在最大值，则，解得，故②正确； 对③：由题意可得，若，则在上， 则， 由，则； 若，则， 有，故； 综上可得：恒成立，故③正确. 6 （25-26长宁区二模）已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误； B. ①错误，②正确； C. ①正确，②正确； D. ①错误，②错误. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的正负分析单调性，利用导数的几何意义来求切线斜率即可得到判断. 【详解】对求导得：  因为，对，的最小值为， 若取，则，即对任意恒成立， 此时在上严格递增，结论①正确； 设直线与曲线的切点为, 切线斜率等于直线斜率:， 代入导数得， 因为,故，得, 切点同时在曲线和直线上：， 得,同时满足的解为， 对任意，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点， 当时，， 所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确. 题型02：零点与方程实数根问题 7．（2020·上海高三专题练习）已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分类讨论代入解析式，求出的两个根为，，由且可解得结果. 【详解】当时，即为，解得， 当时，即为，解得， 因为关于的方程有两个不同的实根，所以且， 解得且， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于基础题. 8.（2026届高三松江区一模）已知函数其表达式为,函数其表达式为,若对任意,都有 ,则方程的解的个数为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 【解析】若对任意,都有, 所以 所以 所以 如图所示： 与共个交点，故方程的解的个数为 故选：B. 9.（2026届高三静安一模）设是定义在上的偶函数,对任意的,都有,且当时,.设(其中),若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】函数2)在区间上恰有3个不同的零点 等价于曲线与曲线在区间,6]上恰有3个不同的交点. 因为对任意，都有，所以. 所以的最小正周期为4. 因为是定义在上的偶函数,且当时,,所以在区间上的图像如图所示, 从而解得. 10. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）函数的表达式为，如果且，则abc的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，令，可得的范围，则的三个根为，从而可得，右边去括号即可得解. 【详解】， 当或时，，当时，， 所以函数的增区间为，减区间为， 则函数的极大值为，极小值为， 作出函数的大致图象，若且， 令，则， 即的三个根为， 即， 又， 所以. 故答案为：. 11. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 12. （2025行知中学高三6月模拟）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为，所以， 所以当时，，即切线的斜率为2， 所以由点斜式得即， 联立整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，，即，解得， 综上或， 故答案为: 或. 13. （2025届上海市大同中学高三三模）已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据②将方程变形为，由①知为增函数，从而，变形构造函数可得，代入可得结果. 【详解】由②及题设条件，得. 由①，知为增函数，得，即 即 令，则. 又为增函数，所以，即，所以， 故. 故答案为：2. 题型03：函数的极值最值与范围问题 14. （25-26杨浦区二模）已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（ ）. A. 0是的极大值点，也是的极大值点 B. 0是的极小值点，也是的极小值点 C. 0是的极大值点，也是的极小值点 D. 0是的极小值点，也是的极大值点 【答案】D 【解析】 【详解】 对A，若取，，两个函数的零点只有，时恒有，且是两个函数的极大值点，故A可能； 对B，若取，，两个函数的零点只有，时，且是两个函数的极小值点，故B可能； 对C，，，两个函数的零点只有，时，且是的极大值点，也是的极小值点，故C可能； 对D， 若是的极小值点，结合且只有是零点，可知对任意，； 又若是的极大值点，结合且只有是零点，可知对任意，； 此时必有，即，与题设时不符，故D不可能. 15. （25-26崇明区二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（ ） A. ①②都真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①②都假 【答案】A 【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间， 不妨令函数，易知, 因此当时，，当或时，， 可知在上单调递增，在和上单调递减， 此时函数满足在上单调递减，满足题意， 即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真. 16.若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可得，则所以，即，，故，设，求出的单调性，得出其范围，得到答案. 【详解】由，则因为函数存在两个极值点， 所以，即 设，则 当时，，则在上单调递减.所以 所以的取值范围是故选：B 17.已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的两个极值点是的两个根，根据韦达定理，确定的关系，用表示出，用表示出，求该函数的最小值即可. 【详解】解：的定义域，，令，则必有两根， ，所以，， ， ，当时，，递减， 所以的最小值为故选：A. 【点睛】求二元函数的最小值通过二元之间的关系，转化为求一元函数的最小值，同时考查运算求解能力和转化化归的思想方法，中档题. 题型04：函数唯一解、整数解问题 18.已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是________ 【分析】问题转化为（）有且仅有两个正整数解，讨论、并构造、，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围. 【详解】当时，由，可得（）， 显然当时，不等式在恒成立，不合题意； 当时，令，则在上单调递增， 令，则，故上，上， ∴在上递增，在上递减， 又且趋向正无穷时趋向0，故， 综上，图象如下： 由图知：要使有两个正整数解，则，即，解得． 19.函数，若不等式最多只有一个整数解，则的取值范围为_____ 【分析】参变分离后构造新函数再求导，得出其单调性与趋向，即可做出草图，由草图得出答案. 【详解】解法1（全分离）： ，则， 令，则， 令，显然在上递增，且，， 故在有唯一的零点，且， 当时，，所以； 当时，，所以， 注意到时，；时，； 且， 据此可作出的图象的草图如图1， 由图可知当且仅当时，不等式最多只有一个整数解， 解法2（半分离）： ，则， 令，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 从而在上递减，在上递增， 又，故可作出图象的草图如图2， 由图可知临界状态为直线恰过点时，此时，， 当且仅当时，不等式最多只有一个整数解， 20. （25-26闵行区二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式结合符号法计算，再构造函数令，再应用导函数正负得出函数单调性进而得出最值，最后分类讨论结合有且仅有两个整数列式计算求解. 【详解】因为不等式， 则或， 即得(1)或(2)， 令，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以， 因为，且，所以时，， 当时，(1)无解，(2)有两个整数解1和2，所以满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有两个整数解1和2，所以时有三个整数解不满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有一个整数解1，所以满足题意； 当时，(1)至少有两个解3和4，(2)至少有一个整数解1，所以时有至少三个整数解不满足题意； 当时，(1)整数解无限，(2)无解，所以时有无数个整数解不满足题意； 综上，符合解集中有且仅有两个整数，则的范围是， 所以的最小值为. 21. （2025杨浦区高三5月质量检测）若有唯一解，则的范围是______________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据有唯一解等价于的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，画出图象结合导数的几何意义求解即可. 【详解】因为有唯一解， 所以的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方， 直线过定点， 画出的图象上与直线的图象如图， 由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解； 当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集； 当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解， 设切点坐标为，因为， 所以， 故答案为：1. 22. （2025上海市崇明区高三三模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，直线在曲线上方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解． 【详解】原不等式可化为：， 令，，显然时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以，且时，，, 同一坐标系中，作出与（过定点的图象： 据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足， 解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解问题，关键是将不等式适当变形，转化为两个函数交点问题. 题型05：解不等式与不等式恒成立问题 23. （25-26普陀区二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】若函数为偶函数，则为奇函数， 而为偶函数，则,即， ，故， 当时，，即函数在单调递减， 由为偶函数，则， 结合单调性可知，即，解得或, 故不等式的解集为. 24.（2026届高三普陀一模）设,函数和的表达式分别为,若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】当，则单调递增，当时， ，不符； 当时，若对任意的实数，皆有成立； 分两种情况讨论； 当两根重合时 显然这两个方程的两根不可能一致，所以不符； 当恒成立时； 令 所以在单调递减，在单调递增 所以在处取得极小值为 在上恒成立 所以 综上： 25.已知，，对于，恒成立，则的最小值为___ 【分析】等价于对于，恒成立，设，求出函数最大值，得到，设，求出函数的最小值即得解. 【详解】因为对于，恒成立，所以对于，恒成立， 设，所以.当时，，函数单调递增， 所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知； 当时，当时，，函数单调递增. 当时，，函数单调递减.所以. 所以.所以.设，所以， 当时，，函数单调递减.当时，，函数单调递增. 所以.所以的最小值为 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题的求解，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接法；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 26.（2026届高三闵行区一模）已知集合.如果存在,对属于且不属于任意的所有元素,都有成立，则的取值范围是_____. 【解析】原题等价于 因为 所以 所以 设，则 令 所以在单调递增，在单调递减； 故 题型06：命题结论辨析 27. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立.有下列两个命题： 命题①：函数在定义域内是增函数； 命题②：对任意，都有成立. 则下列说法正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】A 【解析】 【分析】令，结合性质②③可得，即可判断①；由此有在上是增函数，进而得到，应用反证法：若存在，使成立，讨论、，结合递归思想判断的存在性，判断②. 【详解】令，则， 所以， 又对任意成立， 则，即， 所以， 即对任意，都有， 所以在是增函数，故①为真命题； 令，则， 而任意成立，所以， 又，故， 反证法：若存在，使成立， 对于，，而，此时不存在使成立； 对于，若存在使成立，则， 而，则，即， 由，依次类推，必有，且趋向于无穷大， 此时，而必然会出现大于1的情况，与矛盾， 所以在上也不存在使成立， 综上，对任意，都有成立，故命题②为真命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：对于②的真假判断，应用反证及递归思想推出情况下矛盾结论. 28. （25-26黄浦区二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（ ）． A. ①和②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①和②均错误 【答案】B 【解析】 【分析】对于①：根据函数奇偶性和单调性的性质分析判断；对于②：举反例说明即可. 【详解】对于①：若是奇函数且在区间上严格增， 则在区间上严格增，可知在定义域R上严格增， 因为，则，可得； 若是偶函数且在区间上严格增，且， 则，且，， 可得，所以； 综上所述：①正确； 对于②：例如， 可知对任意的，， 但，，所以既不是奇函数也不是偶函数， 故②错误. 29.（2025行知中学高三6月模拟） 若是定义域在上的函数，则为奇函数的一个充要条件为（ ） A. B. 对，都成立 C. ，使得 D. 对，都成立 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义可得正确的选项. 【详解】取，有，且， 但，不是奇函数，故AC错误. 取，它是奇函数，但，故B错误. R上奇函数的定义为：对，有，即， 故选：D 30.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】可举例说明①中“为严格增函数”和“为严格增函数”之间的逻辑关系，即可判断其真假；结合复合函数的求导以及为奇函数可判断“为奇函数”和“为偶函数”之间的逻辑关系，即可判断②的真假，即得答案. 【详解】对于①，不妨取为R上严格增函数，其导函数在R上不是单调函数， 即“为严格增函数”推不出“为严格增函数”‘ 取，其导函数为R上严格增函数，但不是单调函数， 故“为严格增函数”推不出“为严格增函数”， 因此“为严格增函数”是“为严格增函数”的既不充分也不必要条件， 故①为假命题； 对于②，为奇函数，则， 故，即，即为偶函数； 当为偶函数时，不妨取，其导函数为偶函数， 但不是奇函数， 故“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件，②为真命题， 故选：C 31. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知函数在上可导，其导函数为，设对任意实数，与均成立；对任意正数，都有对任意实数恒成立，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的导数性、不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若与均成立，则对任意正整数， 都有，即，充分性成立； 当时，，，， ； 所以恒成立； 但是并不满足恒成立， 所以由不能推出，必要性不成立， 因此，是的充分非必要条件， 故选：A. 32．（2026届高三杨浦区一模）函数的定义域、值域均为，定义集合。给出如下两个结论: ①存在函数，使得对任意实数均有； ②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有。 下面判断正确的是（ ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【解析】①函数严格递增即可,故①正确; ②由题知：当时，的所有取值，都能在时 由得到；即在上的“增量范围”必须包含于在上的“增量范围”。 构造震荡函数，如图所示： 当时， 由于为减函数，的取值范围会随变化极小，震荡导致增量范围狭窄；较小时，较大，增量范围更宽。 故不存在最小集合,也不存在最大集合 所以①正确，②错误 故选：B． 题型07：新定义问题 33. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】根据函数新定义及特殊函数判断①②③，由函数解析式得，即是周期为1的周期函数，利用周期性并讨论、且判断④. 【详解】①，对于，定义域为R， 存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，错误． ②，＂严格增函数＂，存在，对任意，都有， 因为，所以，故， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是＂严格增函数＂，正确． ③，，定义域为，当时，对任意的，都有， 即，所以函数，＂严格增函数＂，正确． ④，对于函数，， 所以是周期为1的周期函数，， 若，则，不符合题意． 因为的周期为1，故不妨设， 设，则， 而，此时，矛盾； 所以函数不是＂严格增函数＂，正确． 故选：C 34.（2026届高三闵行区一模）如果“若，则’和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“-关系”.已知函数的定义域为为偶函数，则与下列选项中的具有“一关系”的为（ ）. A.:对任意都有 B.:对任意都有 C.对任意都有 D.:对任意都有 【解析】A.为假，也为假，错误； B.为真，，所以也为真，错误； C.为假，，所以为真，符合题意； D.为真，所以也为真，错误； 故选：C. 35. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数新定义及特殊函数判断①②③，由函数解析式得，即是周期为1的周期函数，利用周期性并讨论、且判断④. 【详解】①，对于，定义域为R， 存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，错误． ②，＂严格增函数＂，存在，对任意，都有， 因为，所以，故， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是＂严格增函数＂，正确． ③，，定义域为，当时，对任意的，都有， 即，所以函数，＂严格增函数＂，正确． ④，对于函数，， 所以是周期为1的周期函数，， 若，则，不符合题意． 因为的周期为1，故不妨设， 设，则， 而，此时，矛盾； 所以函数不是＂严格增函数＂，正确． 故选：C 36.（2025上海市崇明中学高三三模）设函数的定义域为，若对曲线上任意一点，均存在曲线上的点，使得且，则称函数是“旋转函数”.若存在旋转函数，使，则正实数的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分区域讨论顺、逆时针构造函数，根据题意，旋转后轴右侧点纵坐标若，则必有，由此探求的范围，再构造取最值时的函数即可. 【详解】由是旋转函数，设曲线上任意一点，对应复数， （1）当时， 则由定义可知，点绕原点仅顺时针旋转即可得到轴右侧的点， 则对应复数：， 即点， 由可得，则， 则有，满足题意，； （2）当时， 则由定义可知，点绕原点仅逆时针旋转才能得到轴右侧的点， 则对应复数：， 即点， 由可得， 则有，也满足题意，； （3）当时， 点绕原点顺或逆时针旋转都能得到轴右侧的点， 点或， 由且可知， 若；若； 此时若，满足题意； 此时若，即，； 此时若，即，； 即若，，. 不论选择顺时针还是逆时针旋转，或者顺、逆混合旋转得到， 由旋转函数定义，对任意，旋转后均存在曲线上的点， 故此时取值都应取遍内所有实数， 因为， 由，则. ①当时，， 由题意， 由时，满足； ②当时，， 要使， 则必须有恒成立，由，， 则要使恒成立，故， 则. 下面构造当时的函数， 当时，， 当时，由，解得， 由的构造可知，当时，， 故在单调递增，且， 故； 且当，， 又定义函数上任一点顺时针旋转得到点， 则当时，对应的轨迹可看作单调递增函数的图象且， 当时，对应的，，即且. 且当时，即时，， 不妨定义， 故. 由此可知构造函数满足. 综上所述，的最大值为. 故答案为：11. 题型08：函数与数列、向量综合 37. （2025上海市崇明区高三三模）设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，列举验证，对于②，列举验证. 【详解】当时， ，此时， ，此时， ，此时， 故存在，使为常数列；①正确； 设，则有个零点， 则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点， 因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点， 同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点， 故，所以是公差为的等差数列，故②正确. 故选：C. 38. （2025上海宝山区高三三模）已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设，得到方程，解出，再转化为不动点问题，再结合蛛网图即可得到范围. 【详解】设， ，对求导得， 则 这是一个“吸引不动点”. 由蛛网图可知 ，，，使得， 故，有 因此.① 另一方面，当时，， 又， 所以.② 结合①②可知， 故. 当时，取满足题意. 当时，任取的实数，满足题意. 故的取值范围为 故答案为：. 39. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知，存在，当时，都有，则取值范围是______． 【答案】 【分析】令，得，故点在圆心为原点的单位圆上，点在曲线上，转化为向量与的夹角大于，利用数形结合即可解出. 【详解】令，故，故原不等式可化为：， 令，得， 故点在圆心为原点的单位圆上，点在曲线上， 作出大致图象如下： 故不等式的几何意义是：向量与的夹角大于， 设， 则当时，单调递减，当时，单调递增， 故当，故当且仅当时取等号，故， 故时，函数与直线恰好相切，切点为原点， 易知存在，在时使得恒成立， 当时，不存在一个给定的，使得恒成立， 综上，的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】有结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $