专题04：数列填选压轴题八种考法归纳 讲义-2026届高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题04 数列填选压轴题八种考法归纳 1. （2025上海秋季高考）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 无数个 2. （2024上海秋季高考）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 3．（2023年上海卷21）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至am≤0停止，由这些项构成数列{an}． （1）设am（m≥2）属于数列{an}，证明：am＝lnam﹣1﹣1； （2）试比较am与am﹣1﹣2的大小关系； （3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由． 4．（2022年上海市高考数学第10题）已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5＝0，则Si（i＝1，2，…，100）中不同的数值有　　　　个． 题型01：等差数列与等比数列综合 1. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 3. （2025华东师大三附中高三三模）已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. （2025上海市格致中学高三三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件． 题型02：数列相关命题结论辨析 5.（2026届高三奉贤区一模）已知等差数列的公差不为零,为其前项和,存在正整数满足,有两个命题： 命题①：设数列公差，则. 命题②：均是小于的正整数,则. A.命题①②都是真命题 B.命题①是真命题，命题②是假命题 C.命题①②都是假命题 D.命题①是假命题，命题②是真命题 以上判断正确的是（ ） 6.（2024青浦区高三三次学业监测） 已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（ ） A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 7. （24-25控江中学高一下期末）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（ ）. A 且 B. 且 C. 且 D. 且 8.（2026虹口区高三一模）若每一项均为正数的数列的前项和为,若对于任意的正整数,均存在正整数,使得，则称具有“P性质”.对于以下两个命题，说法正确的是（ ）. ①存在等比数列，使得具有“P性质”; ②若具有“P性质”,记且为等差数列,则. A.①和②都为真命题 B.①和②都为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 9.（2026届高三普陀一模）设,数列和满足,且,现有如下两个命题: ①若数列是等比数列,则数列是常数列; ②设是数列的前项和，若取得最大值时，则能被7整除. 则下列结论中正确的是（ ） A.①为真②为真 B.①为真②为假 C.①为假②为真 D.①为假②为假 题型03：数列的最值与范围问题 10. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知（是正整数）是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为．若，，，．有下列两个命题：①既存在最小项又存在最大项；②既存在最小项又存在最大项．则（ ） A. ①真；②真 B. ①真；②假 C. ①假；②真 D. ①假；②假 11. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是_________． 12.（2026届高三徐汇区一模）已知数列满足:,对任意的正整数均有,若存在正整数,使得所有数列均满足,则的最大值为_____。 13. 已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为__________ 14. （25-26普陀区二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 15. （2025建平中学高三下学期三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. 22 C. 26 D. 31 题型04：数列的个数、项数问题 16. （2024·上海·模拟预测）已知无穷数列的前项和为，不等式对任意不等于2的正整数恒成立，且，那么这样的数列有 个. 17. 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为_________． 18．（2026届高三杨浦区一模）数列满足：（），且，记集或。若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为 . 19. （24-25上海师大附中高一下期末）若数列满足，则最多有_____项 20. （24-25控江中学高一下期末）已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为_____. 题型05：新定义问题 21. （25-26杨浦区二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（ ） A. ①②③ B. ② C. ②④ D. ③④ 22.（2026届高三宝山区一模）对任意正整数，数列满足，则称该数列为“增长”数列. 命题1:存在的等差数列为“增长”数列,且满足其前项和. 命题2:存在各项均为正整数的等比数列为“增长”数列且不是“增长”数列,使得为“增长”数列.( ) A.①是真命题，②是真命题； B.①是真命题，②是假命题； C.①是假命题，②是真命题； D.①是假命题，②是假命题. 23. （25-26宝山区二模）设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是“数列”； B. 若是“数列”，则可能为常数列： C. 若是“数列”，则不存在正整数，满足； D. 对任意，若，且满足，则是“数列”. 24. （25-26崇明区二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 25. （25-26黄浦区二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（ ）． A. 任意一个T数列均不是等差数列 B. 任意一个T数列均不是等比数列 C. T集中含有且仅含有有限个等差数列 D. T集中含有无穷多个等比数列 26. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题: （1）数列是某个数列的“衍生数列”； （2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）. A. （1）（2）均为真命题 B. （1）（2）均为假命题 C. （1）为真命题，（2）为假命题 D. （1）为假命题，（2）为真命题 题型06：数列的存在性 27. （25-26嘉定区二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（ ） A. 存在，使得存在正整数N，当时，总有 B. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C. 对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有 28. （24-25金山中学高一下期末）已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 29. （2025届嘉定区高三一模）已知数列满足，给出以下四个结论： ①当时，存在有限个，使得对任意正整数，都有 ②当时，存在和正整数，当时， ③当时，存在和正整数，当时， ④当时，不存在，使得对任意正整数，且，都有 其中正确结论是（    ）. A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 30. 设数列满足，，，（ ） A. 存在， B. 存在，使得是等差数列 C. 存在， D. 存在，使得是等比数列 题型07：数列与函数、三角函数综合 31.（2026届高三浦东新区一模）已知若等差数列为无穷数列,且均满足递推关系，则该数列首项的取值范围为_____. 32. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． 33. （24-25建平中学高一下期中）已知数列满足，其中，设集合，对任意正整数恒成立，则（ ） A. 为空集 B. 为有限集，且仅有一个元素 C. 为有限集，且至少有两个元素 D. 为无限集 34. （24-25金山中学高一下期末）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 35. （2025上海市崇明区高三三模）设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 36. （2025建平中学高三下学期三模）已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 题型08：数列与向量、圆锥曲线综合 37.（2026届高三金山区一模）已知四边形为平行四边形,集合、均为集合的四元子集,若对于任意,当时,中的元素个数都不超过2个，则正整数的最大值为_____. 38. （24-25南洋模范中学高一下期末）如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成： ，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为 A. B. C. D. 39.若“向量列”满足，则（ ） A. 是等比数列，是等比数列 B. 是等比数列，不是等比数列 C. 不是等比数列，是等比数列 D. 不是等比数列，不是等比数列 40. 设、、、、是某圆锥曲线上的五个两两不同的点，、、、、依次是线段、、、、的中点且、、、、在圆锥曲线上．有下列两个命题：①、有可能均为双曲线；②、不可能均为抛物线．则（ ） A. ①真；②真 B. ①真；②假 C. ①假；②真 D. ①假；②假 41．设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（    ） A．为严格减数列 B．为严格增数列 C．为严格增数列，为严格减数列 D．为严格减数列，为严格增数列 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题04 数列填选压轴题八种考法归纳 1. （2025上海秋季高考）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数个数有个. 故选：B. 2. （2024上海秋季高考）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围. 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 3．（2023年上海卷21）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至am≤0停止，由这些项构成数列{an}． （1）设am（m≥2）属于数列{an}，证明：am＝lnam﹣1﹣1； （2）试比较am与am﹣1﹣2的大小关系； （3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析. 【解答】解：（1）证明：， 则过点（am﹣1，f（am﹣1））的切线的斜率为， 由点斜式可得，此时切线方程为，即， 令x＝0，可得y＝lnam﹣1﹣1， 根据题意可知，am＝lnam﹣1﹣1，即得证； （2）先证明不等式lnx≤x﹣1（x＞0）， 设F（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则， 易知当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减， 则F（x）≤F（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0）， 结合（1）可知，am＝lnam﹣1﹣1≤am﹣1﹣1﹣1＝am﹣1﹣2； （3）假设存在这样的k符合要求， 由（2）可知，数列{an}为严格的递减数列，n＝1，2，3，…，k， 由（1）可知，公差d＝an﹣an﹣1＝lnan﹣1﹣an﹣1﹣1，2≤n≤k， 先考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，则， 易知当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 则g（x）＝d至多只有两个解，即至多存在两个an﹣1，使得g（an﹣1）＝d， 若k≥4，则g（a1）＝g（a2）＝g（a3）＝d，矛盾，则k＝3， 当k＝3时，设函数h（x）＝ln（lnx﹣1）﹣2lnx+x+1， 由于h（e1.1）＝ln0.1﹣2.2+e1.1+1＝e1.1﹣ln10﹣1.2＜0，h（e2）＝﹣3+e2＞0， 则存在，使得h（x0）＝0， 于是取a1＝x0，a2＝lna1﹣1，a3＝lna2﹣1，它们构成等差数列． 综上，k＝3． 4．（2022年上海市高考数学第10题）已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5＝0，则Si（i＝1，2，…，100）中不同的数值有　　　　个． 【答案】98． 【解答】解：∵等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，S5＝0， ∴0，解得a1＝﹣2d， ∴Sn＝na12nd（n2﹣5n）， ∵d≠0，∴Si（i＝0，1，2⋯，100）中S0＝S5＝0， S2＝S3＝﹣3d，S1＝S4＝﹣2d， 其余各项均不相等， ∴Si（i＝1，2⋯，100）中不同的数值有：101﹣3＝98． 故答案为：98． 题型01：等差数列与等比数列综合 1. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 2. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，且， 则，，， 所以，由， 当或时，，， 所以； 当时，，总有； 当时，，，即. 综上，恒成立，故充分性成立； 若“，总有”，则且， 故必要性成立. 故选：C 3. （2025华东师大三附中高三三模）已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的定义、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出合适的选项. 【详解】若对任意的、，都有，不妨取，则， 所以，，此时，是等差数列， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”； 若是等差数列，不妨取，则， ， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”. 综上所述，“对任意的、，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 4. （2025上海市格致中学高三三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件． 【答案】B 【解析】 【分析】设，令得，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到结论. 【详解】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B 题型02：数列相关命题结论辨析 5.（2026届高三奉贤区一模）已知等差数列的公差不为零,为其前项和,存在正整数满足,有两个命题： 命题①：设数列公差，则. 命题②：均是小于的正整数,则. A.命题①②都是真命题 B.命题①是真命题，命题②是假命题 C.命题①②都是假命题 D.命题①是假命题，命题②是真命题 以上判断正确的是（ ） 【答案】D 【解析】命题①,不妨设，则，此时，所以命题①错误； 命题②，设 所以 所以 所以，所以命题②正确；故选：D. 6.（2024青浦区高三三次学业监测） 已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（ ） A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数. 【详解】对于①，时，，， 时，；时，，也有，故①为真命题. 对于②，时，，， 当时，，，不严格递减； 当时，，，不严格递减； 当时，， 若，则， 同理当时，， 则存在，使得， 则，，不严格递减. 综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可. 7. （24-25控江中学高一下期末）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（ ）. A 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的性质可得，逐项分别判断即可. 【详解】，又， 所以， 对于A，若且，则即可，故A是可能，不符合题意， 对于B，若，则可知，则，故B不可能，符合题意， 对于C，若且，则即可，故C是可能的，不符合题意， 对于D，若且，则即可，故D是可能的，不符合题意. 故选：B. 8.（2026虹口区高三一模）若每一项均为正数的数列的前项和为,若对于任意的正整数,均存在正整数,使得，则称具有“P性质”.对于以下两个命题，说法正确的是（ ）. ①存在等比数列，使得具有“P性质”; ②若具有“P性质”,记且为等差数列,则. A.①和②都为真命题 B.①和②都为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 【答案】A 【解析】每一项均为正数的数列，故， ，则且，即 ① 当时，，则，，故①正确； ② ，则，，则 故，则 若，当时，，即，与矛盾， 故，则， 若时，（舍），故，即，故 若时，即，与矛盾， 故，则，即， 则，故，当或时，符合题意，故②正确 9.（2026届高三普陀一模）设,数列和满足,且,现有如下两个命题: ①若数列是等比数列,则数列是常数列; ②设是数列的前项和，若取得最大值时，则能被7整除. 则下列结论中正确的是（ ） A.①为真②为真 B.①为真②为假 C.①为假②为真 D.①为假②为假 【答案】A 【解析】①若数列是等比数列 当时，，为常数列； 当时，，无解；不符； 所以数列是常数列;所以①为真； 要使取得最大值，则依题意 故 因为,所以, 当为奇数时,, 当为偶数时,,即的奇数项,偶数项分别成等比数列. 故当为偶数时, 当为奇数时,. 综上所述, 所以 所以能被7整除，正确；②为真 故选：A. 题型03：数列的最值与范围问题 10. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知（是正整数）是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为．若，，，．有下列两个命题：①既存在最小项又存在最大项；②既存在最小项又存在最大项．则（ ） A. ①真；②真 B. ①真；②假 C. ①假；②真 D. ①假；②假 【答案】C 【分析】由题意推出，从而说明，利用三角形面积公式推出，构造数列从而求得，由此可判断①；由结合可求得、，对数列中的奇数项和偶数项构成的数列的单调性以及项的符号进行分析，确定数列的最大项和最小项，可判断②. 【详解】对于①，由题意知： ， 故，即，即， 所以，则， 故，， 由 得：， 即，所以， 则，而， 故 ，则， 因为，故， 由于 随的增大而减小，故随的增大而增大， 即数列是递增数列，故最小项为，无最大项，①为假命题； 对于②，又，由于，，且， 所以是首项为，公比为的等比数列，故， 所以，， 因，，故，， 所以，， 所以，，其中， ，其中， 因为数列随着的增大而减小， 数列随着的增大而增大， 故数列随着的增大而减小， 故为数列中所有正项中最大的， 同理可知数列随着的增大而增大， 故为数列中所有负项中最小的， 综上所述，数列的最大项为，最小项为，②为真命题. 故选：C. 11. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是_________． 【答案】42 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的性质，以及新定义的等式，构造函数，分类讨论，结合绝对值函数求和的性质列出不等式，得到，从而求出，时不合要求，舍去，最终求出答案. 【详解】设等差数列的公差为，构造函数， 则的图像与直线至少有5个公共点， 假设，故5个公共点横坐标分别为， 根据绝对值函数求和的性质知： 当为奇数时，函数的图象关于对称， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，函数有最小值，此时与最多有2个交点，不满足题意； 当为偶数时，若，则函数图象在上是一条水平的线段， 若，则函数图象在上是一条水平的线段， 故与可以有5个交点， 若，此时有， 若，此时有， 且，故， 即， 所以 故，，故． 当时，，故舍去， 综上，数列的项数的最大值为44. 又因时，只有在内，不足5个，不合题意； 为时，恰好有五个数在内，符合题意； 所以的最大值是42， 故答案为：42. 12.（2026届高三徐汇区一模）已知数列满足:,对任意的正整数均有,若存在正整数,使得所有数列均满足,则的最大值为_____。 【解析】由题知： 所以： 当，易知，符合； 当时，取 此时： ，符合； 当时，取 此时： ，不符； 经检验：当时不符； 综上：的最大值为 13. 已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】题目等价于要求满足使得数列从第项开始为固定的常数的最小正整数，依题，可考虑从，，时，分别求得关于数列的项的等式，分析讨论是否满足题意，进行取舍即可. 【详解】由已知，， ①若，则， 因为对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列， 所以或， 若，则与矛盾；若，则，均不符合题意，故； ②若，则，与①同理，可得或， 由①分析知，故考虑，同理或， 由于2024不能被5整除且不能被7整除，故均不符合题意，即； ③若，则，与①同理，可得或， 由②知，，故考虑，同理，或， 若，则或，因2024不能被7和13整除，故不成立； 若，同理，或， 由2024能被11整除不能被17整除，故且符合题意. 故，此时数列为2024，1288，552，184，184，. 故答案为：4. 14. （25-26普陀区二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【解析】 【分析】由的结构，可先研究函数在正数范围内的大小变化规律，再结合等比数列前 项和公式把题意转化为关于的不等式组求解． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. 15. （2025建平中学高三下学期三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. 22 C. 26 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设，要使得取最小值，且各项尽可能小，根据题意，分别列出，，，，，，，满足的不等式组，，得到的最小值，进而求得时，有最小值，即可求解. 【详解】因为，所以互为相反数，不妨设， 要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小， 由题意知，满足，取的最小值为， 则满足，因为，故取的最小值， 满足，因为，，故取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 满足，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22． 故选：B． 题型04：数列的个数、项数问题 16. （2024·上海·模拟预测）已知无穷数列的前项和为，不等式对任意不等于2的正整数恒成立，且，那么这样的数列有 个. 【答案】4 【分析】因为，令，求得，再由与的关系，求得或，求得，结合不等式恒成立，可得所求结论． 【解析】当时，，得或， 当时，由，得， 两式相减得：， 整理得，所以或， 当时，若，可得， 因为不等式对任意不等于2的正整数恒成立， 所以对任意不等于2的正整数恒成立， 则当时，，即，，，，成立； 若，时，，即，，，，成立； 当时，若，可得，，不合题意，舍去； 当时，若，可得， 由题意可得对任意不等于2的正整数恒成立， 则当时，，即，，，，成立； 若，时，，即，，，，成立； 当时，若，可得，，不合题意，舍去． 所以满足题意的数列有4个． 故答案为：4. 17. 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】按照已知等式可确定偶数项，由依次分析奇数项可能的取值，进而确定满足条件的数列. 【详解】，，，，； 当时，，，即，成等差数列， 又，，或，； 当时，或， 当时，（舍）或；当时，（舍）或（舍）， ，，，； 当时，或或， 或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，，则；当时，，则； ，，，，，或，，，，，； 当时，， 当时，或或或或； 当时，或或或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，（舍）； 当时，（舍）；当时，，则； 当，时，，则；当，时，（舍）； 时，或；时，； 综上所述：满足条件的数列有、、，共个. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解数列中的各项，解题关键是能够根据能成立的等式，分析出各项所有可能的取值，并剔除不合题意的取值，考查了学生的分析和逻辑推理能力. 18．（2026届高三杨浦区一模）数列满足：（），且，记集或。若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为 . 【解析】由题意得,,且均恒成立 即,又,故, 则数列第2项至99项是以1为公差的等差数列, 故,即,则共种情况 故“好的”数列的个数为 19. （24-25上海师大附中高一下期末）若数列满足，则最多有_____项 【答案】102 【解析】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，结合求解即可. 【详解】，，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，又， 所以， 当时，，即， 所以最多有102项. 故答案为：102. 20. （24-25控江中学高一下期末）已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为_____. 【答案】4951 【解析】 【分析】由题意，每个步骤有两种选择：0或，所以的最小为1，最大时，利用累加可求得最大值为14851，又，所以，而在区间中被3整除余1的有4951个即可求解. 【详解】由题意，每个步骤有两种选择：0或，所以的最小为1， 最大时，则， 累加得，即最大值为14851， 又， 我们用数学归纳法证明：在集合中，所有子集的和可以取到的所有整数（空集的元素和设为零，）. 证明：当时， ，此时有 四个子集，空集、， 它们的元素和为，故所有子集的和可以取到的所有整数， 设当时，在集合中，所有子集的和可以取到的所有整数， 则当时，集合， 此时中的每个整数为与某子集的元素的和的和， 又时，， 故所有子集的元素和为 由数学归纳法可知原命题成立. 由已证命题可得集合的所有子集的和可以取到的所有整数， 所以，而在区间中被3整除余1有4951个， 故答案为：4951. 题型05：新定义问题 21. （25-26杨浦区二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（ ） A. ①②③ B. ② C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可. 【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于①，，， 因为，所以， 所以成立，即， 因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误； 对于②，若数列是“1-加速数列”，则， 所以数列是常数列或单调递增数列， 因为， 若，满足题意，即数列是常数列，， 若数列单调递增，则必有，， 即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确； 对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故③错误； 对于④，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误； 综上所述：正确的命题是②. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 22.（2026届高三宝山区一模）对任意正整数，数列满足，则称该数列为“增长”数列. 命题1:存在的等差数列为“增长”数列,且满足其前项和. 命题2:存在各项均为正整数的等比数列为“增长”数列且不是“增长”数列,使得为“增长”数列.( ) A.①是真命题，②是真命题； B.①是真命题，②是假命题； C.①是假命题，②是真命题； D.①是假命题，②是假命题. 【答案】C 【解析】①： 取，所以①是假命题； ②不妨设，则为增长数列； 所以，此时 当时， 所以不是“增长”数列, 所以 所以 当时， 当时， 所以②是真命题 故选：C. 23. （25-26宝山区二模）设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是“数列”； B. 若是“数列”，则可能为常数列： C. 若是“数列”，则不存在正整数，满足； D. 对任意，若，且满足，则是“数列”. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“数列”的定义可判断A；取常数数列，判断B即可；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断C；举出反例可判断D. 【详解】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则， 前项和， 时等号成立， 所以，即是“数列”，故A正确； 对于B，当时，，成立， 即是“数列”时，可能为常数列，故B正确； 对于C，若是“数列”，则，且， 所以， 则， 故，由题意知当，， 结合，得， 因此不存在使，C正确； 对于D，取，，满足， 则，，而，所以不成立， 因此“”不足以保证是“数列”，D错误. 24. （25-26崇明区二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得，再证明时，对任意的正整数m，n都有恒成立即可得. 【详解】由题意可得，取， 当时，有， 当时，有，故； 若，则当时，指数函数增速会大于一次函数， 故不可能恒成立，故； 综上可得； 下证充分性： 当时，不妨设，则， 故需满足，即， 令，则只需满足数列为非递减数列即可， ， 由，则，， 则， 故数列为非递减数列， 即时符合题意. 25. （25-26黄浦区二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（ ）． A. 任意一个T数列均不是等差数列 B. 任意一个T数列均不是等比数列 C. T集中含有且仅含有有限个等差数列 D. T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列的公差为，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列的公比为，结合零点存在性定理可知存在使得，结合题意分析判断即可. 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. 26. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题: （1）数列是某个数列的“衍生数列”； （2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）. A. （1）（2）均为真命题 B. （1）（2）均为假命题 C. （1）为真命题，（2）为假命题 D. （1）为假命题，（2）为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】通过“衍生数列”的定义判断（1）；通过举反例判断（2）. 【详解】对于（1）：由题意，若存在无穷数列满足要求，则数列包含三项， 不妨令，符合题意，但若只取出， 这两项不是数列的连续两项，不合题意， 故数列不是某个数列的“衍生数列”，（1）为假命题； 对于（2）：定义，， 当数列按照集合的元素特征进行排序， 例如时， 满足各项均为0或1，任意n个0和1的组合均为集合的元素，即在数列中均有对应， 可知是自身的“衍生数列”，但是数列从某一项起不是常数列，（2）为假命题. 综上，（1）（2）均为假命题. 故选：B 【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 题型06：数列的存在性 27. （25-26嘉定区二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（ ） A. 存在，使得存在正整数N，当时，总有 B. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C. 对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，令，则， 存在，当时，有且，所以，故A正确； 对于B，令，则， 当时，， 当时，， 由A当时，总有， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故B正确； 对于C，令，则， 当时，有， 又因为，，而，所以， 则时，总有， 因此当时，存在，当时，有，故C错误； 对于D，令，则，数列正负交替出现， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故D正确； 28. （24-25金山中学高一下期末）已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定定义，举例说明判断命题①④；按公比分类判断命题②；结合单调性推理判断命题③. 【详解】对于①，设等差数列的首项为，公差为，当时，， 对于任意的正整数，令，即， 因为是正整数，所以对于每一个，都存在唯一的正整数使得， 因此存在等差数列为数列，①正确； 对于②，设等比数列的首项为，公比为， 若，则，由，得，当时，此方程无解； 若，令，即， 当变化时，很难保证对于任意的正整数，都存在唯一的正整数使得等式成立， 例如，当时，，方程无正整数解， 因此不存在等比数列为数列，②错误； 对于③，，对任意，知存在， 使得， 则，即，且数列为严格增数列，， 因此其“和数列”严格增数列，③正确； 对于④，例如，显然是所有正整数的排列， 且数列的“和数列”为严格增数列，但不是递增数列，④错误. 故选：C 29. （2025届嘉定区高三一模）已知数列满足，给出以下四个结论： ①当时，存在有限个，使得对任意正整数，都有 ②当时，存在和正整数，当时， ③当时，存在和正整数，当时， ④当时，不存在，使得对任意正整数，且，都有 其中正确结论是（    ）. A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】对于①②，利用作差法可得一元二次不等式，求得数列中的项的取值范围，可得其正误； 对于③④，根据递推公式，利用赋值法求得当数列为常数列时所取的数值，进而求得首项，结合举例，可得答案. 【详解】对于①，当时，，，解得， 当时，恒成立，故①错误； 对于②，当时，，，解得或， 易知，由①可知，当时，数列单调递增，， 所以一定存在，当时，，故②正确； 对于③，当时，，令，可得，解得或， 令，解得或， 当时，可得当时，，故③正确； 对于④，当时，，令，则，解得或， 令，可得，解得或， 令，可得，解得， 当时，当时，，故④错误. 故选：B. 30. 设数列满足，，，（ ） A. 存在， B. 存在，使得是等差数列 C. 存在， D. 存在，使得是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】 由，得到，递推作差求得，进而得到，结合选项和等差、等比数列的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由，即，则， 两式相减，可得，可得， 即恒成立，所以数列为常数列， 因为又由，，可得，则， 所以，即， 因为，可得，可判定A、C不正确； 由，，可得， 假设B成立，则成等差数列， 则，此时无解，所以B不正确； 对于D中，假设，所以， 由，解得， 所以存在使得是等比数列. 故选：D. 题型07：数列与函数、三角函数综合 31.（2026届高三浦东新区一模）已知若等差数列为无穷数列,且均满足递推关系，则该数列首项的取值范围为_____. 【解析】的图像如图所示： 当时，，此时符合； 此时 当时， 所以 此时：（舍） 若，则 解得： 综上： 32. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得有非零解，利用数列的收敛性得即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，代入得： 整理得： 由于是无穷等比数列，所以 因时左边无界，时右边有界，均矛盾， 所以，此时，则： ， 设，则，即， 因为对成立且，为使方程有非零解， 则即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 33. （24-25建平中学高一下期中）已知数列满足，其中，设集合，对任意正整数恒成立，则（ ） A. 为空集 B. 为有限集，且仅有一个元素 C. 为有限集，且至少有两个元素 D. 为无限集 【答案】A 【解析】 【分析】要判断集合的情况，需要分析对于任意正正数恒小于0是否可能成立，这就需要考虑余弦函数的正负性与角度的关系. 【详解】假设存在使得对任意正整数恒成立. 那么. 求解上面不等式得. 随着的增大，与之间的区间会不断缩小，不存在使得对任意正整数恒成立. 所以集合为空集. 故选：A. 34. （24-25金山中学高一下期末）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 【答案】1012 【解析】 【分析】令，根据的单调性结合零点存在性定理得到方程存在唯一的实数根，再由可得当时，，从而，当时，，最后计算的前2025项和即可. 【详解】设，则函数单调递增， 且，故方程存在唯一的实数根， 且， 当时，，据此可得， 当时，，可得，从而， ，. 故答案为：1012. 35. （2025上海市崇明区高三三模）设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，列举验证，对于②，列举验证. 【详解】当时， ，此时， ，此时， ，此时， 故存在，使为常数列；①正确； 设，则有个零点， 则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点， 因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点， 同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点， 故，所以是公差为的等差数列，故②正确. 故选：C. 36. （2025建平中学高三下学期三模）已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对恒成立的不等式分离常数，利用构造函数法，分析得出函数图象对应的图象是双曲线的一部分，结合双曲线的渐近线求得的取值范围，进而求得的最小值. 【详解】依题意，函数，正数数列满足且， 所以，，即， 所以， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 由得， 令，则， 则恒成立. 令 所以函数表示双曲线在第一象限的一部分， 双曲线的渐近线为，所以对应图象上任意两点的连线的斜率的取值范围是， 即的取值范围是， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题的难点在于对题目所给恒成立的不等式分离常数后，求得的范围，构造函数后，转化为利用双曲线的图象和性质来进行求解. 题型08：数列与向量、圆锥曲线综合 37.（2026届高三金山区一模）已知四边形为平行四边形,集合、均为集合的四元子集,若对于任意,当时,中的元素个数都不超过2个，则正整数的最大值为_____. 【答案】14 【解析】如图所示；由题意可知 所以中一共有个元素，记， Way1：枚举法 ；；；； ；，一共14种情况. Way2：取中最多元素为，此时均为集合的四元子集含的四元子集剩下的两个元素在中； 所以中，含的四元子集最多出现个； 如 同理所有的二元集合里面在的四元子集最多出现个； 的四元子集中的二元集合有 所以个四元子集中的二元集合有 因为中的二元集合有 所以当时，最大； 此时 所以最大值为 38. （24-25南洋模范中学高一下期末）如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成： ，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为 A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出an，bn的表达式，然后进行计算即可． 【详解】由题意可知， （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变. （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加. （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又，所以 =4- = = =3- =+ = 所以选A. 【点睛】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大． 39.若“向量列”满足，则（ ） A. 是等比数列，是等比数列 B. 是等比数列，不是等比数列 C. 不是等比数列，是等比数列 D. 不是等比数列，不是等比数列 【答案】A 【分析】先向量的求模公式得，利用等比数列的定义即可判断，利用等比数列的通项公式得，利用数量积的运算得，代入得，利用向量的性质得，代入即可求解. 【详解】由有：， 所以， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， ， ， 所以是以为公比的等比数列， 故选:A. 40. 设、、、、是某圆锥曲线上的五个两两不同的点，、、、、依次是线段、、、、的中点且、、、、在圆锥曲线上．有下列两个命题：①、有可能均为双曲线；②、不可能均为抛物线．则（ ） A. ①真；②真 B. ①真；②假 C. ①假；②真 D. ①假；②假 【答案】B 【解析】 【分析】结合对称性，在双曲线（抛物线）上寻找五点，使得中点在双曲线（抛物线）上即可. 【详解】命题①：结合对称性，在双曲线上分别取如下五点： ， 则线段、、、、的中点依次为 ， 结合点的对称性，不妨设双曲线的方程为， 双曲线中心为，， 由点的对称性，只需代入点解方程组， 则有； 解得， 此时，， 故存在双曲线过此五点，故①真； 命题②：结合对称性，在抛物线分别取如下五点：， 其中，则， 则线段、、、、的中点依次为 ， 抛物线，设，， 验证：， 即在抛物线（）上； ，即在抛物线（）上； ，即在抛物线（）上； 所以，、可能均为抛物线，故②假； 故选：B． 41．设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（    ） A．为严格减数列 B．为严格增数列 C．为严格增数列，为严格减数列 D．为严格减数列，为严格增数列 【答案】B 【详解】    由已知，即的边为定值，不妨设，为定点，如图所示， 又，， 则， 即为定值， 又， 所以为定值， 即， 所以动点到定点，的距离之差的绝对值为定值， 满足双曲线定义， 所以动点的轨迹为以，为焦点的双曲线， 如图所示， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则数列为递增数列， 所以当增大时，变大，即变大， 此时向远离处运动，即变大， 所以变大， 即数列为严格增数列，且，均为严格增数列， 故选：B. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $