专题8.4 平面重难点题型讲义（2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理了平面的知识体系，将平面的概念及表示方法、平面的基本事实（含三个推论）作为核心知识点，结合位置关系的符号表示和画法规范，构建“概念-性质-应用”的递进脉络，清晰呈现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型分层+素养导向”的练习设计，8大题型涵盖空间位置关系画法、点线共面等核心问题，如“由平面的基本性质作截面图形”题型，通过正方体截面作图培养几何直观与空间观念（数学眼光），“点共线问题”例题训练逻辑推理能力（数学思维）。拓展训练与自我检测题适配不同层次学生，教师可据此实施精准教学，助力学生自主构建知识网络。

专题8.4 平面重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 空间位置关系的画法 题型二 平面的基本性质及辨析 题型三 点(线)确定的平面数量问题 题型四 空间中的点(线)共面问题 题型五 空间中的点共线问题 题型六 空间中的线共点问题 题型七 由平面的基本性质作截面图形 题型八 平面的基本性质的有关计算 拓展训练一 空间中点、线相关问题 拓展训练二 平面的基本性质相关求解 知识点一： 平面的概念及表示方法 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 2、平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 3、平面的画法： （1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 4、平面的表示方法： （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 5、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 （1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， （2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【答案】C 【分析】A选项，考虑点可以随意运动可判断；B选项，考虑直线沿一个固定方向平移或非固定方向平移可判断；C选项，考虑两直线的垂直与否可判断；D选项，考虑移动方向垂直矩形所在平面与不垂直于矩形所在平面可判断. 【详解】对于A，一个点运动也可以形成曲线，故A错； 对于B，在空间中，直线平行移动， 若沿着固定方向平移可能形成平面，若沿非固定方向平移可以形成曲面，故B错； 对于C，在空间中，当直线与另一条直线垂直时，绕其转动形成平面， 当直线不与另一条直线垂直时，绕其转动形成锥面，C正确； 对于D，矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体， 若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作___________. 【答案】，， 【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案. 【详解】点在直线上，在平面内，则，， 故､､之间的关系可记作，，. 故答案为：，， 知识点二： 平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实： （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实： （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 4、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即时训练】 1．（24-25高二·上海·暑假作业）下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据基本事实二、三逐项判断即可. 【详解】由基本事实二知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确； 由基本事实三知两条平行直线，确定一个平面，故B正确； 由基本事实三知两条相交直线，确定一个平面，故C正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故D错误． 故选：D． 2．（24-25高三·全国·高考）如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是__________．    【答案】、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线 【分析】确定、、平面，、、平面，得到结论. 【详解】O是中点，则O是中点，故平面， 与截面交于P，故，故平面，又平面， 故、、平面，又、、平面， 故、、在平面和平面的交线上. 故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线. 【经典例题一 空间位置关系的画法】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两平面相交的特点判断. 【详解】两平面相交画出公共直线作为交线， 且看不到的直线为虚线，故只有D正确. 故选：D 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点在平面外，点在平面内，直线经过点，； (2)平面和的交线是直线，直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点． 【答案】(1)，，，．图形见解析 (2)，，，，，，．图形见解析 【分析】（1）根据空间点线面位置关系数学符号表示及空间位置关系画法作图即可； （2）根据空间点线面位置关系数学符号表示及空间位置关系画法作图即可. 【详解】（1），，，．大致图形如图（1）． （2），，，，，，．大致图形如图（2）． 1．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转．如图，正方体的顶点，经任意翻转三次后，点与其终结位置的直线距离不可能为(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用排除法，考虑选项A，C，D成立的情况，即可判断B不可能. 【详解】第一次向前翻，第二次向左翻，第三次向后翻，点A在原位置，此时距离为0，故A正确； 第一次向后翻，第二次向右翻，第三次向前翻，点与其终结位置的直线距离为2，C正确； 第一次向右翻，第二次向右翻，第三次向右翻，点与其终结位置的直线距离为4，D正确 故选： 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平面的基本性质及空间位置关系的画法判断即可． 【详解】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，试用适当的符号表示下列点､直线和平面之间的关系: （1）点与平面:__________； （2）点与平面:__________； （3）直线与平面:__________； （4）直线与平面:__________； （5）平面与平面:__________； 【答案】 【解析】用几何符号表示点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系即可. 【详解】（1）点不在平面内，所以；（2）点不在平面内，所以；（3）直线与平面相交于点，所以；（4）直线在平面内，所以；（5）平面与平面相交，且交线为，所以. 【点睛】本题主要考查点线面的位置关系的几何符号表示;属于基础题. 4．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，画出与、、所确定的平面的交点，并说明理由．    【答案】答案见解析 【分析】根据线面相交的定义，即可作出. 【详解】如图，，平面，    所以平面. 【经典例题二 平面的基本性质及辨析】 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·月考）下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【答案】C 【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；两条相交直线能确定一个平面，可判断C；若点在直线上，则不能确定一个平面，可判断D. 【详解】对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面，A错误； 对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B错误； 对于C，两条相交直线能确定一个平面，故C正确； 对于D，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故D错误. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 【答案】作图见解析 【分析】利用平面的性质即可得解. 【详解】A，，是平面ABC与的交线， 延长BA交l于D，则平面ABC， 因为，所以，又， 是平面ABC与的交线，则对应的图示如图， . 1．（24-25高一下·辽宁·期末）已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】先分析出当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多，再分步计算有多少条交线即可. 【详解】当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多， 记这6个不同的平面分别为， 此时与其余5个平面相交，有5条交线，与除去外的4个平面相交有4条交线，，与相交有1条交线， 所以共有条交线. 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】BC 【分析】根据平面的基本性质及推论，对四个选项逐一判断，得出正确选项. 【详解】A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形， 而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，因为四边形包括空间四边形，此类四边形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面. 故选：BC. 3．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实确定点的位置，再作图确定的位置作答. 【详解】在正方体中，，而平面，即有平面，    又与线段相交，则交点必在直线上，而平面，于是平面，平面， 而，平面，即平面，而平面平面， 因此，即点为的交点，又线段与互相平分， 取的中点，连接并延长交于，显然，于是为的中点， 所以当点与重合，点与重合时，与线段相交且互相平分，这样的直线只有1条. 故答案为：1 4．（2025高二·上海·专题练习）如图所示，在正方体中．画出平面与平面及平面与平面的交线． 【答案】答案见解析 【分析】要找出平面与平面的交线，只需找到两个平面的公共点、；要找出平面与平面的交线，只需找到两个平面的公共点、. 【详解】 如图，∵， ∴平面，平面． 又平面，平面． ∴平面 平面． 同理平面平面． 【经典例题三 点(线)确定的平面数量问题】 【例1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】D 【分析】根据过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而过这条直线的平面有无数个，即可得出答案. 【详解】因为过直线外一点可作一条直线与已知直线平行， 而过所作直线的平面与已知直线平行，则有无数个平面， 所以过直线外一点和这条直线平行的平面有无数个， 故选：D. 【例2】（24-25高二上·江西宜春·期中）已知平面α∥β，α内有3个点，β内也有3个点，这6个点任意3点不共线，任意4点不共面，试问这6个点能确定多少个平面？ 【答案】20 【分析】根据题意可得，这6个点中任意三点均可确定一个平面，再将所有可能的情况列举求解即可 【详解】由题意，设内的三点为，内的三点为，根据题意可得，6个点中任意三点均可确定一个平面，故一共可由共20个不同的平面 1．（24-25高一·全国·单元测试）设平面过正方体的顶点，且正方体的棱，，，在平面上的射影相等，那么满足条件的平面的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】将棱，，，在平面上的射影相等，转化为棱，，在平面上的射影相等，即棱，，与平面所成的角相等，再分情况讨论即可. 【详解】解：棱，，，在平面上的射影相等，即棱，，在平面上的射影相等，即棱，，与平面所成的角相等， ①若三条棱在平面的同侧，这样的平面有一个， ②若其中一条和另外两条分别在平面的异侧，这样的平面有三个，故满足条件的平面的个数为4个. 故选：B. 【点睛】本题考查平面个数问题，解题的关键是由题推出棱，，与平面所成的角相等，由此讨论求解. 2．（多选）（24-25高二上·贵州遵义·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．不共线3点确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 【答案】BC 【分析】根据平面的公理，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，当点在直线上时，这个点和这条直线不能确定一个平面，A错误； 对于B，不共线3点确定一个平面，正确； 对于C，过一条直线的平面有无数多个，正确； 对于D，两个平面的公共点组成的集合，是一条直线，D错误， 故选：BC 3．（25-26高一·全国·课后作业）一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是______． 【答案】或或 【分析】对直线外三点与直线的位置关系进行分类讨论，结合基本事实1及其推论可得出结果. 【详解】分以下三种情况讨论： （1）直线外三点与直线共面，此时可确定个平面； （2）直线外三点只有两点与直线共面，此时可确定个平面； （3）直线外三点任意两点都不与直线共面，此时可确定个平面. 综上所述，一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是或或. 故答案为：或或. 4．（24-25高一·全国·假期作业）已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内． 【答案】证明见解析 【分析】四条直线两两相交包括：四条直线中有三条相交于一点与四条直线中任何三条都不共点两种情况． 无论哪种情况先由两直线相交确定一个平面，再通过直线上两点在一个平面内则该直线在这个平面内，即可证明． 【详解】已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面． 证明：（1）若a，b，c三线共点于O， 如图所示，， 经过d与点O有且只有一个平面α． ，B，C分别是d与a，b，c的交点， ，B，C三点在平面α内．由公理1知a，b，c都在平面α内，故a，b，c，d共面． （2）若a，b，c，d无三线共点， 如图所示，， 经过a，b有且仅有一个平面α， ，．由公理1知． 同理，，从而有a，b，c，d共面． 综上所述：四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内． 【经典例题四 空间中的点(线)共面问题】 【例1】（24-25高一下·河北邢台·月考）下列命题中正确的是（   ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解A，B，C，根据线线平行及垂直判定四边形形状判断D. 【详解】对A，四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故A错误， 对于B，若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；B正确， 对于C，若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，C错误， 对于D，空间四边形中，，E，F，分别为，的中点，G，H分别为，的中点，所以，所以， 同理，所以，则四边形为长方形，不能得出正方形，D选项错误； 故选：B 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】通过证明即可证明，，，四点共面. 【详解】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 1．（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【分析】利用平面的基本性质，先由点在两条直线上推出点分别在两个平面内，再根据两个平面的交线确定点一定在这条交线上. 【详解】 如图所示，因为平面，平面，，所以平面，平面； 又因为平面平面，所以． 故选：B． 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】AB 【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项. 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点． 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确． 故选：AB． 3．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒·期中）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 【答案】/ 【分析】由，，，四点共面，得即为与平面的交点，连接，交于点，连接，则即为与的交点，取的中点，连接，结合三角形的中位线定理及相似三角形，可得答案． 【详解】如图，若，，，四点共面， 则即为与平面的交点， 连接，交于点，连接， 则即为与的交点，如图所示： 在截面中，为的中点，为的三等分点，取的中点， 连接，则， 故，即，则． 故答案为： 4．（25-26高三·全国·一轮复习）中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.证明：、、、共面.    【答案】证明见解析 【分析】取的中点的中点，连接、、，证明出四边形、、为平行四边形，可得出，由此得出，即可证得结论成立； 【详解】取的中点，的中点，连接、、，      因为、分别为、的中点，所以，， 翻折前，中，，，， 是的中点，是的中点，是的中点， 则，，，，， 翻折后，则有，，， 因为，为的中点， 所以，， 所以，四边形为平行四边形， 所以，， 因为为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以、、、共面. 【经典例题五 空间中的点共线问题】 【例1】（24-25高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【例2】（2025高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 1．（2026高一·全国·专题练习）空间中五点不共面，已知在同一平面内，在同一平面内，那么三点（    ） A．一定构成三角形 B．一定共线 C．不一定共线 D．与共面 【答案】B 【分析】由已知条件可知，既在平面上又在平面上，结合公理3即可得出． 【详解】设平面为，平面为，且不共面，则，，则必相交于直线，且，故三点一定共线且位于平面与平面的交线上. 【点睛】本题对空间中三点共线进行考查，解题的关键是公理3 的运用． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】CD 【分析】根据平面的基本性质判断. 【详解】因为， 所以点A在与的交线上，点B在与的交线上，点C在与的交线上，点D在与的交线上， 故选：CD 3．（25-26高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      4．（2026高三·全国·专题练习）平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，证明三个交点共线． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，分和不在同一平面内与在一个平面内讨论，结合三棱锥的结构特征，即可证明. 【详解】证明：如图1，先考虑和不在同一平面内，则由条件知， 它们可构成一个三棱锥，而是它的一个截面， 且和的对应边所在的直线都相交．    设与交于点，则平面平面， ∴点必落在平面与平面的交线上， 同理，与的交点，与的交点都落在平面与平面的交线上， ∴三对应边的交点共线．只要选取适当的投影方向， 便得到一个如图2所示的图形（投影图），从而原问题获证．    【经典例题六 空间中的线共点问题】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 【答案】B 【分析】先说明点P在平面ABC，且在平面ACD上，进而得到答案. 【详解】如图，    ∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG=P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD． 又平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC. 故选：B． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 1．（24-25高三上·广东佛山·月考）如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】A 【分析】由题意作出图形，并连接，结合已知条件容易证明四边形为等腰梯形，从而由等腰梯形的性质即可求解. 【详解】如图所示： 连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点， 是线段的中点， 所以在中，， 又， 且由正方形性质可知， 所以， 即四边形为等腰梯形， 又为等腰梯形的对角线， 所以，且直线是相交直线. 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 【答案】AB 【分析】连接，证得且，可得判定A正确、B正确；延长相交于点，结合平面的性质，可判定C不正确；由和时，得到，可判定D错误． 【详解】对于A、B中，如图所示，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，且，所以为梯形， 所以四点共面，所以A、B正确； 对于C中，如图所示，延长相交于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以三线共点，所以C不正确； 对于D中，因为，当时，， 又，则，所以D错误． 故选：AB    3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则_________．    【答案】 【分析】由平面的基本性质确定是与的交点，进而利用平行线分线段成比例即可得解. 【详解】连接交于，连接、，    由，面，则面， 又面，而面面，故， 所以是与的交点，又， 所以， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【答案】证明见解析 【分析】先证明四边形，均为梯形，则直线与必相交，与必相交，再结合长度关系得到点重合即证. 【详解】在正四棱台中，因为，，，，所以四边形，均为梯形， 则直线与必相交，与必相交. 延长，，，设的延长线与的延长线交于点， 的延长线与的延长线交于点． 在正四棱台中，，， 则，，得，所以点重合， 即直线，，相交于同一点. 【经典例题七 由平面的基本性质作截面图形】 【例1】（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，取的中点为，可得截面为梯形，然后求最长边即可. 【详解】如图，延长交于点，则， 即为的一个三等分点， 连接，取的中点为，连接，则， 所以四点共面，故梯形即为截面图形， 显然为最长边，长度为． 故选：B. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图正方体中，，，分别是，，的中点．画出过，，的平面与平面的交线以及与平面的交线． 【答案】作图见解析 【分析】连接并延长交的延长线于一点，设为，连接，设，连接即得. 【详解】设，，三点确定的平面为，则与平面交于． 连接并延长交的延长线于一点，设为，连接，则为平面与平面的交线． 设，则是与平面的交线，如下图所示． 1．（24-25高三下·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化成点到直线上的点的距离垂线段最短解决. 【详解】如图： 根据题意，截面是边长为的正方形，为的中点. 点在上，在线段上取点，使得. 根据正方形的对称性，则，所以， 表示点沿着折线到直线的距离. 取的中点，则，根据垂线段最短可得：. 所以的最小值为. 故选：A 2．（多选）（24-25高二上·安徽阜阳·期末）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】ABC 【分析】根据四棱锥的几何特点解题即可. 【详解】如下图 （1）截面为三角形 （2）截面为四边形 （3）截面为五边形 而四棱锥共5个面，故截面的形状不可能是六边形. 故选：ABC 3．（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 4．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【答案】答案见解析 【分析】利用两个平面相交必有且只有一条交线的基本事实作图即得. 【详解】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 【经典例题八 平面的基本性质的有关计算】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）设，，，当P、Q分别在平面、内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X（    ） A．不共面 B．当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C．当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D．无论P、Q如何运动都共面 【答案】D 【分析】过点X作直线，构造三角形证明点X到平面、的距离相等可知. 【详解】过点X作直线，记，与所确定的平面为. 因为，， 所以，所以， 又，，所以，所以， 因为X为PQ的中点，所以，所以， 所以，即X在到平面、的距离相等的平面上. 故选：D    【例2】（24-25高一上·全国·月考）如图，，，，分别为，，，上的一点，. （1）求证：，，，四点共面. （2）若，，且与所成角为，且为的中点，求四边形面积. 【答案】（1）证明见详解；（2）． 【分析】（1）根据可得，即可证明四点共面； （2）因为可证是平行四边形，根据长度与夹角可求面积． 【详解】（1）证明：因为，所以，又，所以，则 所以，，，四点共面； （2）因为，且为的中点，所以 则，所以，则是平行四边形， 又，，所以 因为与所成角为，所以与所成角为 所以四边形面积为． 1．（24-25高三上·上海浦东新·月考）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球相关知识，即可判断． 【详解】考虑平面上个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 若平面内个点两两距离相等，则其中有三个点、、构成等边三角形， 第四个点到等边三角形三个顶点的距离相等，则第四个点必为等边三角形的中心， 则，易知，则，矛盾， 当时，也不成立； 在空间中，个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 当时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点与它们距离相等， 必为正四面体的外接球的球心， 将棱长为的正四面体置于正方体中，则正方体的棱长为， 正四面体的外接圆半径为，矛盾， 同理时不成立． 故选：C． 2．（多选）（24-25高三上·河北保定·月考）已知正四棱柱中，，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，若正四棱柱被过点，，的平面所截，则所得截面多边形的周长不能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先证明截面四边形为平行四边形，再求出截面的边长相加即得解. 【详解】作出图形如图所示． 延长至Q，使得，连接MQ，NQ， 记MQ与BC交于点R，NQ与CD交于点P， 取的中点，连结，，所以，即，且， 所以四边形是平行四边形，得，且 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 得，， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 则截面为五边形为， 则，， 因为，所以，所以，， 同理：，， ，，， 故所得截面的周长为. 故选：ACD 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则点到线段的距离为______.    【答案】 【分析】首先说明，故只需求出的长度即可. 【详解】    取中点，由立方体的性质知，，， ， 所以， 则，故所求为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·河南洛阳·月考）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 【拓展训练一 空间中点、线相关问题】 【例1】（2025·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】C 【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据 与 、面 、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选项的正误. 【详解】 因为 , 则四点共面. 因为 , 则 平面 , 又 平面 , 则点 在平面 与平面的交线上, 同理, 也在平面 与平面 的交线上, 所以三点共线; 从而 四点共面,都在平面 内， 而点B不在平面 内， 所以四点不共面，故选项B正确； 三点均在平面内， 而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点， 所以点M不在平面内， 即 四点不共面， 故选项C错误； ，且， 所以为平行四边形， 所以共面， 所以四点共面， 故选项D正确. 故选: C. 【例2】（24-25高三上·宁夏·月考）如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形中有一对平行直线即可. （2）要证明三点共线，可证明点在直线上，即证明点在平面与平面的交线上即可. 【详解】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 1．（24-25高一下·江苏·月考）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·云南昆明·期末）如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（    ） A．点A在平面内 B． C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交 【答案】AD 【分析】连接、、、，若是的中点，连接、，利用中位线性质有、都为平行四边形，进而有判断A；由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行判断B；根据平面中点、线、面的关系判断C；连接，易证、即可判断D. 【详解】连接、、、，若是的中点，连接、， 由题设，且，则为平行四边形， 所以且， 又E是中点，故且，则为平行四边形， 所以且， 综上，且，故共面，A正确； 由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行，且，不可能有，B错误； 由面，面，故面面，又面，而，故平面平面，C错误； 连接，又G、H分别是AB、AD的中点，则且， E、F分别是、的中点，则且， 所以，即共面，且，故直线EH与直线FG相交，D正确. 故选：AD 3．（25-26高二上·上海松江·月考）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    【答案】相交 【分析】连接，利于中位线性质可证得得共面，再利用反证法假设，可证得矛盾，从而可得与相交. 【详解】如图，    连接，P是的中点，Q是的中点，所以是的中位线， 故，而在正方体中中，， 所以四边形是平行四边形， 故，所以，得共面， 故与共面， 假设,由，可得四边形是平行四边形， 则，即，这与是的中位线矛盾， 故与相交. 故答案为：相交. 4．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 【拓展训练二 平面的基本性质相关求解】 【例1】（25-26高二上·上海·月考）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【详解】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）已知AC的长为定值，点B是直线AC外一点，平面ABC，点M､N分别是和的重心，则当点B和D的位置变化时，线段MN的长是否为定值？请说明理由. 【答案】是定值，理由见解析. 【分析】延长DM交AB于点E，延长DN交BC于点F，连接EF.由三角形重心的性质可得且，由此可得结论. 【详解】解：如图，延长DM交AB于点E，延长DN交BC于点F，连接EF. 因为M､N为重心，所以E､F分别为AB､BC的中点， 所以且. 又中，，得且， 所以且， 即MN的长是与点B､D位置无关的定值. 1．（2025·陕西·一模）已知正方体的棱长为常数，点P在线段上（端点除外），过点P且垂直于的平面截正方体所得截面的周长为y，若，则y关于x的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分点P在线段AQ和线段上以及在线段QR上，结合图形讨论即可. 【详解】如图所示，设平面和平面分别与交于点Q，R，当点P在线段AQ和线段上时，截面是正三角形，当点P越靠近点A或越靠近点时，截面周长越小，且变化是线性的． 当点P在线段QR上（不含点Q，R）时，截面是六边形EFGHMN，且，，，， 所以，所以，所以六边形EFGHMN的周长与的周长相等．综上可知y关于x的函数图象大致为D． 故选：D 2．（多选）（24-25高三上·辽宁大连·期末）用一个平面截正方体，所得的截面不可能是（    ） A．锐角三角形 B．直角梯形 C．有一个内角为的菱形 D．正五边形 【答案】BCD 【解析】通过截面与正方体的几个面相交得截面的形状，并确定是否可能为特殊的多边形． 【详解】用一个平面截正方体，只截正方体三个面，得锐角三角形， 截四个面得四边形，四边形可以是矩形，正方形， 可以是菱形，如图中，但内角不是，图中菱形锐角内角的余弦值为， 可以是梯形，如图中，但不可能是直角梯形， 截六个面得六边形，如果过一个顶点截面可为五边形（也可不过顶点），但不会是正五边形． 故选：BCD． 3．（24-25高一下·河南郑州·月考）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则____ 【答案】2 【分析】延长直线、，交于点，平面变为，连接，交于点，再根据三角形中线的性质，求的值. 【详解】延长、，交于点，连接，交于点， ，且，可得点、分别是、的中点， 又点是的中点，和是的中线， 点是的重心，所以.    故答案为： 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，若点，，分别在，，上，且，，，，那么平面与正方体的交线组成的多边形的面积是多少？ 【答案】525. 【分析】首先根据平面的性质，作出截面，再求面积. 【详解】连接，因为，所以． 如图，过点作平行于的直线交于点，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接，则六边形为平面与正方体的交线组成的多边形．的中点是正方体的中心，所以六边形上的点关于正方体的中心对称． 因此六边形的面积是梯形面积的2倍． 易知，，． 所以梯形的高． 故所求面积为． 1．（25-26高二上·广东汕头·月考）四面体各面所在平面将空间分成几部分?（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】四面体的三个侧棱交于同一点，这就是三个平面两两相交有三条交线，且三条直线交于同一点的情形． 【详解】将四面体的各面延展成平面后，则四面体的内部是一个空间； 将平面，平面，平面延展后，在平面的下方会分割出一个空间， 也就是说平面对应一个空间， 同理，平面，平面，平面也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将上述三个平面延展后，在顶点A的上方，也分割出一个空间，也就是顶点A对应一个空间， 同理，顶点也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将四面体的各面延展后，棱对应几何体外部的一个空间， 同理，其余的5条棱也各对应一个空间，这样的空间共有6个. 因此四面体的各面延展成平面后，可将空间分成部分. 故选：C    2．（24-25高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答． 【详解】对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误； 对于B，空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误； 对于C，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误； 对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故D正确， 故选：D. 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知E，F是四面体的棱，的中点，过的平面与棱，分别相交于G，H，则（    ） A．平分， B．平分， C．平分， D．平分， 【答案】C 【解析】举特例舍去不正确选项，可得正确答案. 【详解】过的平面为平面时，在点， 在点， 所以，平分， 即，所以舍去ABD，选C 故选：C 4．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，的中点，连接、、，则五边形为过点的截面，再计算截面周长即可. 【详解】如图取的中点，的中点，连接、、， 则五边形为过点的截面，取的中点，靠近的三等分点，连接、、， 则，又且，所以四边形为平行四边形， 所以，则， 又且，所以为平行四边形，所以，则， 所以四点共面； 取、靠近、的三等分点、，连接、、， 同理可证，，，所以， 所以四点共面； 所以五点共面； 又，，， 所以截面周长为. 故选：B 5．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 6．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平面的说法正确的是（   ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 【答案】BD 【分析】根据平面的定义判断A，根据基本事实2判断B，举反例判断C，根据基本事实一的推论判断D. 【详解】根据平面的定义，平面是向四周无限延展的，故无法确定平面面积，A错误； 由基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直线在这个平面内，可得若，则，B正确； 当三点共线时，过此三点的平面有无数个，C错误； 由推论，经过两条平行直线，有且仅有一个平面可得D正确； 故选：BD. 7．（多选）（2025高一下·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．空间中不同的三点确定一个平面 B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C．空间中有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一个平面内 【答案】ABC 【分析】根据空间中点线面的关系，确定平面的公理进行判断． 【详解】A错误，当三点共线时，过三点的平面有无数个； B错误，空间两两相交的三条直线交于同一点时，可以确定一个或三个平面， C错误，空间中四个点不一定共面，有三个角为直角的四边形可能是空间图形， 如下左图，空间四边形， D正确，如上右图，因为，所以直线，确定一个平面， 因为，所以直线，确定一个平面， 再说明，，由“过两条相交直线有且只有一个平面”推出与重合，推出，，，共面； 故选：ABC． 8．（多选）（2025·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 【答案】AB 【分析】根据基本事实以及推论即可逐项判断. 【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确； 对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误； 对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确； 故选：AB 9．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）(多选)下列四个命题中，正确的是（    ） A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【分析】 根据空间点，线，面的位置关系及平面的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案． 【详解】不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题； 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，可能不共面， 比如面与面相交于所在直线，而均不在该直线上，故B为假命题； 若直线，共面，直线，共面，则直线，可能不共面， 比如相交，且，此时异面，故C为真命题； 依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题； 故选：AC． 10．（多选）（2025高一下·全国·专题练习）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 【答案】ABC 【分析】分点与点，重合及点不与点重合，分别作出平面，即可得答案. 【详解】解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）； 当点与点重合时，截面图形为矩形，如图（2）； 当点不与点重合时，当分别为的中点， 则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图（3）． 故选：ABC. 11．（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成______部分． 【答案】15 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15．    12．（2025高三·全国·专题练习）若四面体的各个顶点到平面距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是______. 【答案】 【分析】分3种情况分类讨论即可，①四个顶点均在平面的一侧，②平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点，③平面的两侧各有两个顶点.分别求出中位面的个数再相加可得答案. 【详解】解：将所考虑的四面体记作. 若四个顶点均在平面的一侧，则这四个顶点必位于一个与平面平行的平面内，不符合条件； 只考虑以下两种情形. （1）平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点. 不妨设在平面 的一侧，点在另一侧， 则三点所确定的平面必平行与， 由点作平面的垂线，为垂足. 则中位面必为经过的中点且与垂直的平面（存在且唯一），该中位面平行于平面，如图. 这种类型的中位面共有4个. （2）平面的两侧各有两个顶点，不妨设点在平面的一侧，点在另一侧， 显然 ， 易知，与为异面直线，中位面必为经过它们公垂线中点且平行于它们的平面（存在且唯一）如图. 因为四面体的6条棱可按异面直线关系分为3组， 所以，这种类型的中位面共有3个. 综上，一个四面体有7个互不相同的中位面. 故答案为：7. 13．（25-26高二上·上海·月考）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【答案】①②③ 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 14．（24-25高一下·上海·期末）在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 【答案】 【分析】采用延长交线法，连接，延迟与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为，再由勾股定理计算可得. 【详解】 采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点， 所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 15．（24-25高三下·江西·月考）如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为_______________，记此时的面积为，则_______________．    【答案】 【分析】利用展开图，将周长的最小值转化为两点间距离；根据展开图的几何关系，求的三边，即可求三角形的面积. 【详解】把正三棱锥的侧面展开，两点间的连接线是截面周长的最小值.    正三棱锥中，，所以， 所以，故周长的最小值为. 又，所以，则. 故答案为：；. 16．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 17．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由. 【答案】存在，证明见解析 【分析】取的中点，连接，通过即可求证. 【详解】存在，当为的中点，点D，C，E，G共面. 证明如下： 取的中点，连接， 又∵点是的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段上存在一点（的中点），使得点共面. 18．（24-25高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解 (2)证明见祥解 【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面； （2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面， 所以，进而得到A，O，D三点共线. 【详解】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 19．（2025高一·全国·专题练习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，M为中点，过C，D，M的平面截四棱锥所得的截面为．若与棱交于点F，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置； 【答案】作图见解析；F为棱上靠近点B位置的三等分点； 【分析】延长交于，连接交于F，连接，可得截面.可证，进而易证结论. 【详解】延长，连接交于F，连接， 如图，四边形为截面. 中，，由， 则C为中点，B为中点， 过M作交于N，则， ，， ，即， F为棱上靠近点B位置的三等分点. 20．（25-26高三·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 【答案】(1)图象见解析； (2) 【分析】（1）由平面的性质，作出过点的平面与正方体的截面，即可求出； （2）利用三角形相似分别求出，即可求得. 【详解】（1）如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，交延长线于点，连接交于点，连接，则即为所求作的截面． 如图示：平面与平面的交线为，平面与平面的交线为. （2）由N为的中点，易得，所以， 因为，所以，得， 所以，，， 所以，． 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4 平面重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 空间位置关系的画法 题型二 平面的基本性质及辨析 题型三 点(线)确定的平面数量问题 题型四 空间中的点(线)共面问题 题型五 空间中的点共线问题 题型六 空间中的线共点问题 题型七 由平面的基本性质作截面图形 题型八 平面的基本性质的有关计算 拓展训练一 空间中点、线相关问题 拓展训练二 平面的基本性质相关求解 知识点一： 平面的概念及表示方法 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 2、平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 3、平面的画法： （1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； （2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 4、平面的表示方法： （1）一个希腊字母：如，，等； （2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； （3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 5、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 （1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， （2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作___________. 知识点二： 平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实： （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实： （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 4、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即时训练】 1．（24-25高二·上海·暑假作业）下列命题错误的是（　　） A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 2．（24-25高三·全国·高考）如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是__________．    【经典例题一 空间位置关系的画法】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点在平面外，点在平面内，直线经过点，； (2)平面和的交线是直线，直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点． 1．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转．如图，正方体的顶点，经任意翻转三次后，点与其终结位置的直线距离不可能为(      ) A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，试用适当的符号表示下列点､直线和平面之间的关系: （1）点与平面:__________； （2）点与平面:__________； （3）直线与平面:__________； （4）直线与平面:__________； （5）平面与平面:__________； 4．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，画出与、、所确定的平面的交点，并说明理由．    【经典例题二 平面的基本性质及辨析】 【例1】（24-25高二上·上海浦东新·月考）下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 1．（24-25高一下·辽宁·期末）已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．（多选）（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 3．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 4．（2025高二·上海·专题练习）如图所示，在正方体中．画出平面与平面及平面与平面的交线． 【经典例题三 点(线)确定的平面数量问题】 【例1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【例2】（24-25高二上·江西宜春·期中）已知平面α∥β，α内有3个点，β内也有3个点，这6个点任意3点不共线，任意4点不共面，试问这6个点能确定多少个平面？ 1．（24-25高一·全国·单元测试）设平面过正方体的顶点，且正方体的棱，，，在平面上的射影相等，那么满足条件的平面的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（多选）（24-25高二上·贵州遵义·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．不共线3点确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 3．（25-26高一·全国·课后作业）一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是______． 4．（24-25高一·全国·假期作业）已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内． 【经典例题四 空间中的点(线)共面问题】 【例1】（24-25高一下·河北邢台·月考）下列命题中正确的是（   ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 【例2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 1．（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 3．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒·期中）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 4．（25-26高三·全国·一轮复习）中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.证明：、、、共面.    【经典例题五 空间中的点共线问题】 【例1】（24-25高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【例2】（2025高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 1．（2026高一·全国·专题练习）空间中五点不共面，已知在同一平面内，在同一平面内，那么三点（    ） A．一定构成三角形 B．一定共线 C．不一定共线 D．与共面 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（25-26高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    4．（2026高三·全国·专题练习）平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，证明三个交点共线． 【经典例题六 空间中的线共点问题】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 1．（24-25高三上·广东佛山·月考）如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 2．（多选）（24-25高一下·广西·期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则_________．    4．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【经典例题七 由平面的基本性质作截面图形】 【例1】（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图正方体中，，，分别是，，的中点．画出过，，的平面与平面的交线以及与平面的交线． 1．（24-25高三下·北京·开学考试）长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·安徽阜阳·期末）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 4．（24-25高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【经典例题八 平面的基本性质的有关计算】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）设，，，当P、Q分别在平面、内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X（    ） A．不共面 B．当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C．当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D．无论P、Q如何运动都共面 【例2】（24-25高一上·全国·月考）如图，，，，分别为，，，上的一点，. （1）求证：，，，四点共面. （2）若，，且与所成角为，且为的中点，求四边形面积. 1．（24-25高三上·上海浦东新·月考）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·河北保定·月考）已知正四棱柱中，，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，若正四棱柱被过点，，的平面所截，则所得截面多边形的周长不能为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则点到线段的距离为______.    4．（24-25高一下·河南洛阳·月考）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【拓展训练一 空间中点、线相关问题】 【例1】（2025·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【例2】（24-25高三上·宁夏·月考）如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 1．（24-25高一下·江苏·月考）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·云南昆明·期末）如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（    ） A．点A在平面内 B． C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交 3．（25-26高二上·上海松江·月考）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    4．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【拓展训练二 平面的基本性质相关求解】 【例1】（25-26高二上·上海·月考）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）已知AC的长为定值，点B是直线AC外一点，平面ABC，点M､N分别是和的重心，则当点B和D的位置变化时，线段MN的长是否为定值？请说明理由. 1．（2025·陕西·一模）已知正方体的棱长为常数，点P在线段上（端点除外），过点P且垂直于的平面截正方体所得截面的周长为y，若，则y关于x的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·辽宁大连·期末）用一个平面截正方体，所得的截面不可能是（    ） A．锐角三角形 B．直角梯形 C．有一个内角为的菱形 D．正五边形 3．（24-25高一下·河南郑州·月考）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则____ 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，若点，，分别在，，上，且，，，，那么平面与正方体的交线组成的多边形的面积是多少？ 1．（25-26高二上·广东汕头·月考）四面体各面所在平面将空间分成几部分?（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．（24-25高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知E，F是四面体的棱，的中点，过的平面与棱，分别相交于G，H，则（    ） A．平分， B．平分， C．平分， D．平分， 4．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平面的说法正确的是（   ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 7．（多选）（2025高一下·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．空间中不同的三点确定一个平面 B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C．空间中有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一个平面内 8．（多选）（2025·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 9．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）(多选)下列四个命题中，正确的是（    ） A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 10．（多选）（2025高一下·全国·专题练习）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 11．（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成______部分． 12．（2025高三·全国·专题练习）若四面体的各个顶点到平面距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是______. 13．（25-26高二上·上海·月考）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 14．（24-25高一下·上海·期末）在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 15．（24-25高三下·江西·月考）如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为_______________，记此时的面积为，则_______________．    16．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 17．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由. 18．（24-25高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 19．（2025高一·全国·专题练习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，M为中点，过C，D，M的平面截四棱锥所得的截面为．若与棱交于点F，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置； 20．（25-26高三·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 学科网（北京）股份有限公司 $