专题8.1 基本立体图形重难点题型讲义（8个知识点+20题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

该高中数学讲义通过“知识点梳理+题型分类”系统构建基本立体图形知识体系，8个核心知识点（棱柱、棱锥等）按定义、分类、注意事项结构化呈现，20大题型覆盖结构特征、展开图、最短距离等重难点，结合即时训练形成知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础的“棱柱结构特征辨析”到拓展的“组合体切接问题”，如“圆锥展开图最短距离”题型培养空间观念与几何直观。经典例题配解题思路，自我检测助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题8.1 基本立体图形重难点题型专训 （8个知识点+20大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 棱柱的结构特征和分类 题型二 正棱柱及其有关计算 题型三 棱柱的展开图及最短距离问题 题型四 棱柱及其有关计算 题型五 棱锥的结构特征和分类 题型六 正棱锥及其有关计算 题型七 棱锥的展开图 题型八 棱锥中截面的有关计算 题型九 棱台中截面的有关计算 题型十 正棱台及其有关计算 题型十一 圆柱轴截面的有关计算 题型十二 圆柱的展开图及最短距离问题 题型十三 圆锥的结构特征辨析 题型十四 圆锥中截面的有关计算 题型十五 圆锥的展开图及最短距离问题 题型十六 圆台的展开图 题型十七 球的截面的性质及计算 题型十八 求球面距离 题型十九 组合体的构成 题型二十 组合体的切接问题 拓展训练一 立体图形的有关计算 拓展训练二 立体图形的展开图及最短距离问题 知识点一： 棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 【即时训练】 1．（24-25高一下·贵州·月考）下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 【答案】D 【分析】根据七棱柱共有14个顶点，21条棱，9个面判断即可. 【详解】 如图，可知七棱柱共有14个顶点，21条棱，9个面. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，，则的取值范围为______. 【答案】. 【分析】利用长方体对角线长度不能小于棱长的性质建立不等式组可得 【详解】如图5，设，则有， 所以 ，所以， 所以， 所以,即. 故答案为：. 知识点二： 棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 【即时训练】 1．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．三棱台 D．三棱锥 【答案】B 【分析】根据四棱锥的概念进行判断. 【详解】由图可知：三棱台中，截去三棱锥， 则剩余部分是以为顶点，以四边形为底面的四棱锥. 故选：B 2．（25-26高二上·上海·期中）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 【答案】 【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三棱锥的侧面积. 【详解】已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高， 侧面积. 故答案为： 知识点三： 棱台 1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 【即时训练】 1．（24-25高一下·北京大兴·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 【答案】C 【分析】根据三棱台的结构特点，选出答案. 【详解】 三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥， 故选：C. 2．（25-26高一下·全国·随堂练习）已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________． 【答案】4 【分析】根据几何图形，利用勾股定理求出下底面的边长. 【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则， 解得. 故答案为：4. 知识点四： 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面； （2）母线有无数条，都平行与轴； （3）轴截面为矩形。 【即时训练】 1．（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 2．（2025高一下·全国·专题练习）轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为______cm． 【答案】 【分析】由等边圆柱的轴截面面积可计算圆柱的底面半径，从而求出底面周长. 【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面， 由题意知，四边形为正方形，设圆柱的底面半径为r，则． 轴截面的面积，解得． 故该等边圆柱的底面周长． 故答案为： 知识点五： 圆锥 定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 【即时训练】 1．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）若一个圆锥的母线长为，且底面面积为，则此圆锥的高为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的特征及面积公式计算即可. 【详解】由底面面积为可得底面圆半径为，所以圆锥的高为. 故选：B 2．（2025高一下·全国·专题练习）已知圆锥的母线长为10，高为5，则圆锥的轴截面的面积为______. 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的半径，根据三角形面积求解即可. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，由题意得， 所以圆锥的轴截面的面积为. 故答案为： 知识点六： 圆台 1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 【即时训练】 1．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（ ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】利用扇形的弧长公式，结合已知条件，求出圆台上、下底面圆的半径和的长，再结合圆台的几何结构特征，即可求得圆台的高. 【详解】因为圆台的侧面展开图扇环的圆心角为， 所以在圆锥中，可得，所以， 又在圆锥中，可得，所以， 所以该圆台的高为 . 故选：A. 2．（24-25高三上·河北承德·期中）将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【详解】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为. 故答案为： 知识点七： 球 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 【即时训练】 1．（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 2．（24-25高二上·上海·期中）若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是__________. 【答案】3 【分析】求出小圆的半径，从而由勾股定理得到答案. 【详解】设小圆的半径为，则，解得， 又球的半径为5，故线段. 故答案为：3 知识点八： 组合体的定义 现实世界中物体表示的是几何体，除了柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成，这些几何体称作组合体。 组合体可以由几何体拼接、截去或挖去一部分形成。 【即时训练】 1．（24-25高三上·河北沧州·月考）太阳能发电是我国大力提倡的一种新能源发电形式.如图所示，某型号的矩形太阳能电池板用四根垂直于地面的立柱支撑，点，，，均在同一水平面内，且其中三根立柱，，的长度分别为100cm，200cm，300cm，则立柱的长度是（    ） A．100cm B．150cm C．200cm D．250cm 【答案】C 【分析】根据题意知四边形是平行四边形，故、、、在同一平面内，则和的差额与和的差额相等，代入数据求出值． 【详解】由题意知四边形是平行四边形，， 则和的差额 与和的差额相等， 设立柱的长度是． 故选：C． 2．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是____. ①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体； ②该几何体有12条棱、6个顶点； ③该几何体有8个面，并且各面均为三角形； ④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形． 【答案】④ 【分析】由图可知，平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的组合体，则四边形ABCD是它的一个截面，可得答案. 【详解】平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面，而不是一个面. 故答案为：④. 【经典例题一 棱柱的结构特征和分类】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列几何体中，柱体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用柱体的定义求解即可. 【详解】根据棱柱的定义知，这4个几何体都是柱体． 故选：D 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，    (1)与直线平行的平面有哪几个？ (2)与直线垂直的平面有哪几个？ (3)与平面平行的平面有哪几个？ (4)与平面垂直的平面有哪几个？ (5)点到平面的距离可以用哪些线段表示？ (6)线段到平面的距离可以用哪些线段表示？ (7)平面与平面间的距离可以用哪些线段来表示？ (8)线段在平面内的投影用哪个线段表示？ 【答案】(1)有平面和平面ABCD． (2)有平面和平面． (3)有平面． (4)有平面，平面，平面和平面ABCD． (5)线段，，，． (6)线段AB，，，DC． (7)可用线段，，，来表示． (8)线段BD． 【分析】根据长方体的性质结合平行以及垂直和距离的概念一一解答各小题，即可得答案. 【详解】（1）在长方体中，与直线平行的平面有平面和平面ABCD． （2）在长方体中，与直线垂直的平面有平面和平面． （3）在长方体中，与平面平行的平面有平面． （4）在长方体中， 与平面垂直的平面有平面，平面，平面和平面ABCD． （5）在长方体中，，，，均垂直于平面，且相等， 故点到平面的距离可以用线段，，，来表示． （6）在长方体中，线段AB，，，DC均垂直于平面, 且平面互相平行 , 平面，AB，，，DC均相等， 故线段到平面的距离可以用线段AB，，，DC表示 （7）在长方体中，平面平面， 线段，，，均与平面、平面垂直，且相等， 故平面与平面间的距离可以用线段，，，来表示． （8）在长方体中，平面， 故线段在平面内的投影用线段BD表示. 1．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在长方体中，，若点P在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】由长方体的结构特征知，关于平面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时取等号. 所以的最小值为. 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中为假命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【答案】AC 【分析】根据棱柱的几何特征和性质，结合选项逐一判断. 【详解】对于选项A，当直四棱柱的底面不是矩形的时候就不是长方体，A错误； 对于选项B，棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同，B正确： 对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误； 对于选项D，正四棱柱是平行六面体，D正确． 故选：AC． 3．（2025·上海·模拟预测）图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为__________.    【答案】41 【分析】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对，有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对，由最大可得答案． 【详解】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对， 有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对， 可得，， 要使能看见的13个正方形面上的数字和的最小， 最上面的一个正方体的有数字6的正方形面朝下，与中间的正方体面接触， 中间的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上下正方体接触， 最下面的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上面正方体和地面接触， 所以能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为. 故答案为：41. 4．（2025高三·全国·专题练习）若平行六面体的四条对角线长为定值且相交于点，以为球心的球的半径为，则球面上任意一点到该平行六面体的各顶点连线的距离的平方和为定值． 【答案】证明见解析 【详解】利用平行四边形中，对角线的平方和等于平行四边形四边的平方和即可得证. 【分析】如图5所示，设，，，． 在中可证． 同理可得，，， 所以（定值）． 【经典例题二 正棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高三上·北京海淀·期末）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解. 【详解】由于，所以, 连接,取其中点为，连接, 所以, 由，且多边形为正六边形，所以， 由于,所以， 故一个菱形的面积为， 因此上顶的面积为， 故选：D 【例2】（25-26高二·湖南·课后作业）已知高为5，底面边长为2的正四棱柱中，点O，分别为上下两底面的中心，求与之间的距离． 【答案】 【分析】连接，根据正四棱柱的几何性质可得、且5，进而求出；在中利用勾股定理求得，利用面积相等即可求出的距离. 【详解】连接，由正四棱柱的几何性质可知且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又分别为上、下底面的中心，即且， 所以四边形为平行四边形，所以， 且点C到的距离为5， 所以， 在中，， 设的距离为d， 则以为底边，以d为高的平行四边形的面积为， 解得，即的距离为.    1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）在正方体中，分别为棱上的点，与的夹角为与的夹角也为．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用勾股定理得到，然后利用余弦定理列方程，解方程得到，最后利用余弦定理求角即可. 【详解】 设，，则，，， 因为，所以， 解得， 同理可得， 连接，， ， . 故选：B. 2．（多选）（24-25高三上·安徽六安·期末）在棱长为1的正方体中，P为棱上一点，满足（d为定值），记P点的个数为n，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．n的最大值为18 【答案】AD 【分析】由点P的位置进行分类讨论判断求解即可. 【详解】当点P位于A或处时，d取到最小值. 当P在棱上由A到B移动时，d由增大到， 当P在，，，，等棱上移动时，d的变化也是由增大到. 当P在棱上由B到移动时，d由减少到，再由增大到； 当P在，，，，等棱上移动时，d也是由减少到，再由增大到. 故选：AD. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为________；对角面面积为________． 【答案】 【分析】由正方体的几何性质求解相应问题． 【详解】如图： 正方体的对角线长为：， 对角面面积为：， 故答案为： 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，棱长均为2的正三棱柱中，点D为棱的中点，点P是侧棱上的动点，求面积的最大值. 【答案】 【分析】利用正三棱柱的性质及勾股定理可证明，根据直角三角形面积公式转化为求最值即可. 【详解】正三棱柱中，为正三角形， ∵，，都是直角三角形，点D为棱的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴. ∴当点P与点重合时，的面积最大，最大值为. 【经典例题三 棱柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【分析】将正四棱柱的侧面展开，由直线段最短求解. 【详解】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形，求此六边形的周长的最小值． 【答案】 【分析】将正方体各面展开成平面，利用勾股定理求解最短距离即可. 【详解】如图，依次将正方体各面展开，从正方形出发， 依次为，，，，， 则截面六边形的周长， 所以六边形的周长的最小值为． 1．（24-25高一下·广西河池·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面、平面延展为同一个平面，分析可知当、、三点共线时，取最小值，结合勾股定理可求得结果. 【详解】将平面、平面延展为同一个平面，如下图所示： 由图可知，当、、三点共线时，取最小值， 且，，且， 延展后，、、共线，且，，， 由勾股定理可得. 故的最小值为. 故选：D. 2．（多选）（2025·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据点所在的特殊位置，分别求出，可得答案. 【详解】如图，当点在顶点处时，，故B选项正确； 当点在线段的中点时，，，，故C选项正确； 把三角形沿展开，使点与在同一平面， 当点为与的交点时，， 在中，，， 所以， 所以的最小值为，故D选项正确； 因为，故A选项不正确. 故选：BCD. 3．（25-26高二上·北京怀柔·期中）已知正三棱柱的底面边长为1,高为8,一质点自点出发，沿着棱柱侧面绕行一周到达点的最短路线的长为__________. 【答案】 【分析】将该正三棱柱的侧面展开，结合展开图矩形的对角线长，进而求得最短距离. 【详解】正三棱柱的侧面展开图如下图所示： 则质点自点出发，沿着棱柱侧面绕行一周到达点的最短距离为上图矩形的对角线的长度， . 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在单位正方体中，为中点，为棱上动点，为上的动点，求的最小值. 【答案】 【分析】作点关于的对称点，过点作于点，找到取得最小值时的点的位置，根据平面几何的计算，求得此时的值. 【详解】连接，因为四边形是正方形，所以点也是的中点， 过点作于点，点关于的对称点为，由对称知， 过点作于点，与交于点，由两点之间线端最短知，此时取得最小值， 作于点于点，如图， 在单位正方体中，， ，所以， 由射影定理知，所以， ，所以， 所以的最小值为. 【经典例题四 棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高一下·河南·月考）如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，P为棱的中点，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离 【详解】因为是等腰直角三角形，且， 又因为P为棱的中点， 所以， 所以，， 所以为等腰三角形. 设P到直线的距离为h， 因为， 可知． 故选：A． 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，，，分别交于三点M，N，Q.若为直角三角形，求该直角三角形斜边长的最小值. 【答案】. 【分析】依据题给条件构造不等式即可求得该直角三角形斜边长的最小值. 【详解】如图，不妨设点N在点B处，，， 则，，. 由，得，则，即. 所以该直角三角形斜边. 即该直角三角形斜边最小值为 1．（25-26高一·全国·暑假作业）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为（    ） A．1 B．2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设长为，作，，，在中，利用勾股定理建立等式求解即可. 【详解】如图，正三棱柱中， 为正三角形，边长为2，为等腰直角三角形，为斜边， 设长为，则， 作，，， 则，， ， 在中，，即，解得， 即该三角形的斜边长为. 故选：C 2．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求得正确答案. 【详解】在三角形中，由余弦定理得， 在三角形，由余弦定理得， 所以， 在三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以， 在三角形中，. 故选：B 3．（24-25高一下·浙江·期中）在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】将平面沿翻折，使其与平面共面，结合解三角形知识即可列式求解. 【详解】如图， 显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小．将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示， 由于，则，则， 得，同理，，而， 显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值， 此时，， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，三点位于单位立方体的表面上，求的面积的最大值．    【答案】 【分析】根据题目特点，利用逐步调整法，应用极端原理求解. 【详解】先考虑两点在同一平面上，则点距离越大越好，故应分别位于处． 再移动点，使得点到的距离最大． 由立方体的对称关系，当点在点处或处时距离最大， 故． 【经典例题五 棱锥的结构特征和分类】 【例1】（24-25高一下·广东佛山·月考）已知四棱锥有条棱，个顶点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由四棱锥的结构特征可得. 【详解】四棱锥有8条棱，5个顶点，所以. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·云南昆明·月考）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥，4个面 (2)为等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，. 【分析】（1）根据棱锥的定义判断该几何体的形状，再判断该几何体的面数， （2）根据各面的相关数据判断其形状特征，结合三角形面积公式求各面面积. 【详解】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥， 这个几何体共有4个面. （2）由已知，，，， 所以， ， 所以为等腰三角形，为等腰直角三角形， 和均为直角三角形. ， ， . 1．（2025高三·全国·专题练习）若沿各边中点连线翻折后恰为三棱锥，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】A 【分析】结合图形分析可知三角形折成的三棱锥一定是对棱相等的四面体，而对棱相等的四面体一定外接于长方体，由长方体对角线构成三角形的形状即可判断. 【详解】如图，三角形沿中点折成的三棱锥一定是对棱相等的四面体，而对棱相等的四面体一定外接于长方体，而长方体的面对角线一定构成锐角三角形，从而原是锐角三角形.    反之是锐角一定可折成四面体. 或从三面角的条件也可推出锐角三角形，三面角的任意两角和大于第三角. 2．（多选）（24-25高一下·广东中山·期末）从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（    ） A．每个面都是直角三角形的四面体； B．每个面都是等边三角形的四面体； C．每个面都是全等的直角三角形的四面体； D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体． 【答案】ABD 【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可 【详解】对于A，每个面都是直角三角形的四面体，如：E﹣ABC，所以A正确； 对于B，每个面都是等边三角形的四面体，如E﹣BGD，所以B正确； 对于C，若四面体的每个面都是全等的直角三角形，则必有直角边等于斜边，而这样的直角三角形不存在，所以C错误； 对于D，有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如：A﹣BDE，所以D正确； 故选：ABD． 3．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中，则t的一个取值可以为______． 【答案】25（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系即可求解范围，进而根据求解. 【详解】如图所示的三棱锥中，, 在中，三边关系符合三角形的边角关系， 设，则且， 因此，由于，故可取， 故答案为：25（答案不唯一） 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P. 问：(1)这个几何体是什么？ (2)这个几何体由几个面构成？每个面的三角形是什么三角形？ 【答案】(1)这个几何体是三棱锥． (2)这个几何体由四个面构成，分别为面DEF、面DFP、面DEP、面EFP.△DEF为等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP均为直角三角形． 【分析】（1）根据题意，分析可得这个几何体是三棱锥； （2）由三棱锥的几何结构分析可得答案. 【详解】（1）根据题意，得到的几何体为三棱锥； （2）这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP． 又由DE＝DF，∠DPE＝∠EPF＝∠DPF＝90°， 所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP为直角三角形； 【经典例题六 正棱锥及其有关计算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，正三棱锥的所有棱长都为4.点分别在棱上，满足，的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据立体几何图像问题可解. 【详解】1个是水平时，2个是倾斜时（条件对称）. 故选：C. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，求该正三棱锥的高及侧面上的斜高． 【答案】高为3，侧面上的斜高为. 【分析】根据正三棱锥的性质结合条件即得. 【详解】如图，正三棱锥，取的中心为，连接， 由正三棱锥的定义得面， 又为等边三角形，则， 所以正三棱锥的高, 作交于，又，， 则正三棱锥的斜高， 所以该正三棱锥的高为3，侧面上的斜高为． 1．（24-25高一下·江西·月考）已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，可求得P在以H为圆心，为半径的圆上，进而计算即可得答案. 【详解】如图1，取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，由， 知，所以，又， 所以，所以点P在以H为圆心，为半径的圆上. 如图2，由，得， 解得（结合图形舍去），所以四边形BGHF是菱形，， 所以点P的轨迹的长度为. 故选：C. 2．（24-25高二上·北京·期中）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（    ） A．16， B．16， C．8， D．8， 【答案】D 【分析】根据正四棱锥性质及其棱长等，利用侧面积公式和体积功公式计算可得结果. 【详解】如下图所示，在正四棱锥中，易知， 为的中点，所以可得，易知并利用勾股定理可得， 所以的面积为，可得该正四棱锥的侧面积为； 又可知，所以正四棱锥的高， 因此其体积为. 故选：D 3．（25-26高一下·全国·课后作业）一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是4，则该正三棱锥的高为________． 【答案】/ 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再利用侧棱、外接圆半径和高构成的直角三角形，通过勾股定理求出正三棱锥的高. 【详解】设底面正三角形的边长为，正三角形的外接圆半径（中心到顶点的距离）公式为 ，代入得：， 正三棱锥的高、侧棱长与底面外接圆半径构成直角三角形（侧棱为斜边），根据勾股定理：， 综上，该正三棱锥的高为. 4．（24-25高一下·重庆万州·月考）如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    (1)计算四棱锥的高； (2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的知识求得几何体的高. （2）根据等腰三角形的知识求得侧面三角形底边上的高. 【详解】（1）正方形的边长为， 由于四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 所以四棱锥是正四棱锥，设，连接， 则平面，由于平面， 所以，由于， 所以, 即四棱锥的高为. （2）由于正四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 侧面三角形底边上的高为.    【经典例题七 棱锥的展开图】 【例1】（24-25高三上·吉林长春·月考）如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将三棱锥的侧面沿着剪开，得到，即，即可得到答案. 【详解】将三棱锥的侧面沿着剪开，如图所示： 因为的周长的最小值为， 所以当四点共线时，的周长最小，即， 又因为，所以，即， 又因为三棱锥是正三棱锥， 所以，即侧棱SA，SC的夹角为. 故选：A 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，在侧棱长为的正三棱锥中，，过点A作截面，求截面周长的最小值． 【答案】6 【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，即可得出最小路径.根据已知，求出最小路径的长即可. 【详解】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图 则的长即为截面周长的最小值，且. 取的中点为，连结，则，且，， 在中，，所以， 故截面周长的最小值为6． 1．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，利用，根据勾股定理求出即可得出结论. 【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ， 故选：C. 2．（多选）（25-26高一下·吉林长春·月考）下列图形中是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于AB：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体； 对于C：该展开图仅包含3个三角形，少于正四面体所需的4个面，无法围成正四面体，不符合要求. 对于D：折叠后会出现面重叠，无法围成封闭的正四面体，不符合要求； 3．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 【答案】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．    【答案】见详解 【分析】展开三棱锥，利用两点之间线段最短结合三角形的全等与相似计算即可. 【详解】    如图所示展开三棱锥得五边形，连接分别交于点， 则此时的周长最小为， 由题意易知，则， 且， 所以， 由， 故在分别为线段上的靠近C、D的一个四等分点时， 截面周长最小，最小值为. 【经典例题八 棱锥中截面的有关计算】 【例1】（25-26高二·全国·课后作业）一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则所截得小棱锥与原棱锥的高之比是（    ） A．1：2 B．1：4 C． D． 【答案】C 【分析】利用面积之比是相似比的平方求解. 【详解】解：设截得小棱锥的高为h，原棱锥的高为H， 因为截面面积恰好是棱锥底面面积的一半， 所以，则， 故选：C 【例2】（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由侧棱两两垂直得直角三角形，用勾股定理分别表示，，，三等式相加即得证. 【详解】如图，因为，，均为直角三角形，所以， 故． 1．（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【详解】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 2．（24-25高二上·重庆沙坪坝·月考）若棱锥底面面积为cm，平行于底面的截面面积是cm，底面和这个截面的距离是cm，则棱锥的高为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】根据棱锥的平行于底面的截面的性质求解． 【详解】设棱锥的高为，则，解得（因为）． 故选：C． 3．（2026高三·全国·专题练习）在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝2，AC＝BD＝，AD＝BC＝，E，F分别是AD，BC的中点．若过EF的中点用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面的面积为________． 【答案】/ 【详解】解析：将四面体补形为长方体易得．    【考查意图】补形法研究空间几何体的截面问题． 4．（2025高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积. 【答案】作图见解析，. 【分析】设E是SC的中点，根据线面平行性质定理确定截面，然后在中利用余弦定理求，然后由三角形面积公式可得. 【详解】如图，设E是SC的中点，连DE，BD，    因为为平行四边形，所以是的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，的面积即为所求. 易知， 所以， 由，知， 又为正三角形，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以. 【经典例题九 棱台中截面的有关计算】 【例1】（2025·河南郑州·模拟预测）如果棱台的两底面积分别是，中截面的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设棱台的高为，棱台上底面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到，，进而可得结果. 【详解】棱台可以看成是由与棱锥底面平行的平面截棱锥之后所得几何体， 设棱台的高为，棱台上底面截去的棱锥的高为， 因为棱台的两底面积分别是，不放令为上底面积，为下底面积， 则，， 所以，因此； 故选：D 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如果平行于一个正棱锥底面的截面面积是底面面积的，那么截面截一条侧棱所得两条线段的比是多少？    【答案】 【分析】利用面积比可计算出的值，从而可计算出的值，由此可得出结果. 【详解】如图，，，， 即截面截一条侧棱所得两条线段的比为.    1．（2025·全国·高考真题）如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到. 【详解】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为， 则，， 所以，即． 故选：A． 2．（多选）（24-25高一下·浙江温州·期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（    ） A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 【答案】ACD 【分析】利用特例判断A、C，显然B错误，画出图形，根据正方体的性质判断D； 【详解】解：对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确； 对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误； 对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确； 对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中， 取的中点，的中点，取的中点，的中点， 依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确； 故选：ACD 3．（25-26高二·全国·课后作业）一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______. 【答案】 【分析】由正四棱台的几何特征知四边形为高为3的等腰梯形，进而结合梯形的面积公式即可求出结果. 【详解】 由正四棱台的几何特征知，,,且四边形为高为3的等腰梯形， 所以, 所以, 因此经过相对两侧棱的截面的面积为， 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）正四棱台的上、下底面边长分别为，高为，过下底面相邻两边的中点与两底面中心的连线的中点作截面，试导出截面形状与相关量之间的约制关系． 【答案】答案见解析 【分析】当截面与棱台的棱相交于点时，截面形状为五边形，当截面的一条边和棱台的上底面相交于一条边时，截面为六边形，由与的大小关系，得约制关系． 【详解】本题应有两种情况： （1）当截面与棱台的棱相交于点时，如图1截面形状为五边形，易知． ，，即，若，则与重合． 当时截面形状为五边形． （2）当截面的一条边和棱台的上底面相交于一条边时，如图2，截面为六边形，此时和相交于点， 则，又，所以，即． 当时，截面为六边形． 【经典例题十 正棱台及其有关计算】 【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正四棱台的体积公式，结合已知条件求出正四棱台的高.涉及的公式为正四棱台体积公式（其中为体积，为高，为下底面积，为上底面积）. 【详解】已知，，因为正四棱台的底面为正方形，可得下底面积，上底面积. 已知正四棱台体积，将，代入正四棱台体积公式，可得. 解得. 即正四棱台的高为. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·江西南昌·月考）正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，求该正三棱台的斜高． 【答案】. 【分析】分别取，的中点，，连接，，，在，分别取上下底的中心，，然后在直角梯形中可算出答案. 【详解】分别取，的中点，， 连接，，，在，分别取上下底的中心，， 连接， ∵，∴ 同理：， ∵，∴． 1．（24-25高一下·广东潮州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作平面，平面，侧棱. 【详解】连接，作平面，平面，， 因为为正四棱台，则在上， 因为上底面的边长为2，下底面的边长为4， ， 侧棱. 故选：B 2．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四掕台的体积为（    ） A．60 B．20 C．40 D．56 【答案】D 【分析】直接根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6， 所以该正四棱台的体积. 故选：D. 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________．       【答案】 【分析】连接，，由正四棱台的性质得和的长，过作，过作，得，，最后在直角三角形中，由勾股定理得到结果. 【详解】由为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高. 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知正四棱台侧棱长为5，上底面边长和下底面边长分别为2和5，求该四楼台的高和斜高． 【答案】高是，斜高是． 【分析】取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1，过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，过F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱台的斜高B1K，正四棱台的高OO1＝FN，由此能求出正四棱台的高和斜高． 【详解】解：取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1， 过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E， 过F作FN⊥OE，交OE于N， 正四棱台的斜高B1K＝EF＝＝＝． 则正四棱台的高OO1＝FN＝＝＝． ∴正四棱台的高是，斜高是． 【经典例题十一 圆柱轴截面的有关计算】 【例1】（25-26高二·全国·课后作业）用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱的轴截面的面积求法求解. 【详解】当圆柱的高时，， 所以圆柱的轴截面的面积为； 当圆柱的高，， 所以圆柱的轴截面的面积为， 故选：B 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是，求此圆柱的底面半径． 【答案】. 【分析】圆柱的底面直径，即为轴截面的边长，进而可得答案． 【详解】解：圆柱的轴截面是一个正方形，且此正方形的面积为， 故此正方形的边长为， 故此圆柱的底面直径为， 故此圆柱的底面半径为， 故答案为：． 1．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知一个圆柱底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆周上的一个动点，关于的面积大小下列说法正确的是（    ） A．的面积是定值 B．的面积没有最大值 C．的面积最大值是 D．的面积最大值是2 【答案】C 【分析】AB长度不变，分析C到直线AB距离的取值范围，得到三角形面积的取值范围. 【详解】 如图，过C作CD垂直于AB，过D作DE垂直于底面，连接CE， 因为长为2，则的面积为， ， 因为CD垂直于AB，DE垂直于圆柱底面，所以DE垂直于AB，所以AB垂直于平面CDE， 所以CE垂直于AB，C是底面圆周上动点，所以CE最大等于底面半径，等于1，所以CD最大为，即面积最大为. 故选：C. 2．（25-26高一·全国·课后作业）已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为，则它的一个底面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴截面面积计算出底面圆的直径，然后利用直径即可计算底面的面积. 【详解】圆柱的轴截面一边为高，另一边为底面的直径，由轴截面为正方形可知，高与底面直径均为，所以底面半径为，所以底面的面积为. 【点睛】本题考查圆柱的有关量的计算，难度较易. 3．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，当铁球的半径为时，的最小值为________． 【答案】9 【分析】要使的值最小，两个铁球必须分别与圆柱形容器的侧面与上下底面相切，再结合已知条件，根据图形即可算出的最小值. 【详解】∵铁球的半径为，圆柱形容器底面半径为, 圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，要使最小， ∴铁球的摆放方式如图所示， 其中，，，，， 由几何知识得，， ∴，，， ∴, ∴， 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·课后作业）用一张两边长分别为4 cm和8 cm的矩形硬纸卷成圆柱侧面，求圆柱轴截面的面积.（接头忽略不计） 【答案】（1）；（2）. 【解析】根据圆柱与侧面展开图的关系，对圆柱的母线分类讨论，即可求解. 【详解】分两种情况： （1）以矩形8 cm长的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面， 如图①，轴截面为矩形， 根据题意可知底面圆的周长为， 则，于是. 根据矩形的面积公式，得 （2）以矩形4 cm长的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面， 如图②，轴截面为矩形， 根据题意可知底面圆的周长为， 则， 于是. 根据矩形的面积公式，得. 综上所述，轴截面的面积为. ①         ② 【经典例题十二 圆柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆柱侧面展开图，确定，的位置，然后利用勾股定理求展开图中长即可. 【详解】圆柱的侧面展开图及，的位置（为的四等分点）如图所示， 底面周长为展开矩形的长，故，圆柱高为展开矩形的高，故， 所以，连接，则图中即为到的最短路径， . 故选: B. 【例2】（2026高二上·上海·专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 【答案】详见解析. 【分析】画出圆柱侧面展开图后得到矩形，计算展开图中的距离即可得. 【详解】如图，将圆柱的侧面沿母线展开即得矩形， 其中，分别为，的中点， 在矩形中，，， 连接，则； 可知蜘蛛沿着爬行时路程最短，最短路程为. 1．（25-26高一·全国·课后作业）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算圆柱的底面半径为，展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】如图（1）所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为， 设圆柱的底面半径为，则，底面周长为， 将圆柱沿母线剪开，展开图如图（2）所示， 则从到的最短路径长即线段的长， ∵，， ∴， 即从到的圆柱侧面上的最短距离为. 故选：B. 2．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可能是 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】根据题意分长和宽分别为底面圆周长两种情况进行求解即可. 【详解】设底面半径为,若矩形的长恰好为圆柱的底面周长,则,所以；同理,若矩形的宽恰好为圆柱的底面周长,则,所以.故圆柱的底面半径为或. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了圆柱中的基本计算,属于基础题. 3．（24-25高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是___________.    【答案】 【分析】画出侧面展开图，运用两点间线段最短.结合勾股定理计算长度即可. 【详解】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    4．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示,已知圆柱的高为80cm,底面半径为10cm,表面上有P､Q两点,若P点在B点处､Q点在点处,一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点(不直接走直线段),求蚂蚁爬行的最短路程. 【答案】 【分析】将圆柱侧面沿母线展开，再利用勾股定理计算可得. 【详解】将圆柱侧面沿母线展开,得到如图所示的矩形. 设圆柱的底面半径为r,则. ,.在中,, 即蚂蚁爬过的最短路径长是. 【经典例题十三 圆锥的结构特征辨析】 【例1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）底面圆半径为1，母线长为4的圆锥侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥侧面展开图的圆心角为，由圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出等式，即可求解. 【详解】设圆锥侧面展开图的圆心角为，且圆锥底面圆半径为1，母线长为4， 根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长，可得，解得. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【答案】 【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质求解． 【详解】∵用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16， ∴圆台的上、下底面半径之比是1：4． ∵截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm， ∴圆台的下底面半径为4cm．作大圆锥的轴截面如图， 设圆台的母线长为y，由，得，解得． ∴圆台的高． 1．（24-25高一下·天津河北·期末）用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（    ） A．12 B． C．9 D．3 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得、，再由勾股定理计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得，， 所以，则. 故选：D 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．曲面上不可以存在直线 B．平面上可存在曲线 C．曲线运动的轨迹可形成平面 D．直线运动的轨迹可形成曲面 【答案】BCD 【分析】根据空间中构成直线、曲线、平面的基本元素，结合简单几何体，逐项判断，即可得出结果. 【详解】曲面上可以存在直线，正确；如：圆锥顶点与底面圆周上的点的连线； 故A错； 平面上可存在曲线，B正确；如：圆、椭圆等； 曲线运动的轨迹可形成平面，C正确；如：一个平面直角坐标系中的任意一个曲线，沿该坐标系中的任意另一条线运动，所形成的轨迹是平面； 直线运动的轨迹可形成曲面，D正确；如圆柱的侧面即可看作一条直线运动的轨迹； 故选：BCD 3．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________. 【答案】 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 4．（24-25高二上·江西宜春·月考）如图，圆台的上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点.求：    （1）绳子的最短长度； （2）在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离. 【答案】（1）50cm；（2）4cm 【分析】（1）根据题意,将圆台展开成平面图形,由两点间距离最短可得绳子即为所求的线段长.由圆台上下底面的半径,结合相似即可求得的长.根据弧长、圆心角、半径关系,可在扇形中求得圆心角.进而由勾股定理求得最短距离的长度. （2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离.利用等面积法可求得,进而求得的长度. 【详解】（1）如图,绳子的最短长度为侧面展开图中的长度.    因为圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm 所以, 母线长,代入可得, 所以. 设,由, 解得. 所以. 即绳子的最短长度为50cm. （2）过点作于点,交于点,则的长度为所求最短距离. 因为, 所以. 故,即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm. 【经典例题十四 圆锥中截面的有关计算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若圆锥的母线与底面所成的角为45°，则该圆锥内接正方体的棱长与圆锥底面圆半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的截面性质结合相似三角形的性质列方程求解. 【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，所以，设圆锥的内接正方体棱长为a，则该正方体面对角线的一半为，则， 解得． 故选：B.      【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）设圆锥的母线长为1，高为，过圆锥的任意给定的两条母线作一个截面．求截面面积的最大值． 【答案】 【分析】首先判断轴截面顶角是否大于，进一步结合三角形面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的轴截面顶角为，则，而，所以， 解得， 由与截面等腰三角形顶角是连续变化的， 故当截面顶角三角形的顶角取，所求截面面积最大， 且最大面积为. 1．（25-26高二上·四川内江·月考）在底面直径为，高为6的圆锥中放一个可以任意转动的正方体，则正方体的最大棱长为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】可先求圆锥的内切球半径，正方体任意转动，就在其内切球内部，体对角线为球的直径即可求解． 【详解】根据题意，先求圆锥的内切球半径，其截面图如下，    底面直径，高，截面内切圆圆心为， 则，， ， 则， 为等边三角形， 则内切圆半径， 即圆锥的内切球半径为2， 设正方体边长为，则体对角线， 解得． 故选：C ． 2．（多选）（2025·山东济南·二模）已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，，为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是 A．圆锥的高为1 B．三角形为等边三角形 C．三角形面积的最大值为 D．直线与圆锥底面所成角的大小为 【答案】AD 【分析】根据圆锥的性质判断各选项． 【详解】由题意圆锥的高为，A正确； 中是母线长，是底面圆的一条弦，与不一定相等，B错； 当是轴截面时，，，则，当在底面圆上运动时，，当且仅当时取等号．即面积最大值为2．C错； 设底面圆圆心为，则为与底面所成的角，易知，D正确． 故选：AD． 【点睛】本题考查圆锥的性质，圆锥的轴截面是等腰三角形，腰即为圆锥的母线，底为底面直径，轴截面的高即为圆锥的高. 3．（24-25高一下·陕西渭南·月考）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为______． 【答案】 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】如图是圆锥的轴截面，设圆锥底面圆的半径为. 若，所得截面面积的最大值为， 则，故不合题意； 若，此时所得截面面积的最大值为 ，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为，求过两条母线的最大截面的面积． 【答案】答案见解析 【分析】过圆锥的顶点的截面为等腰三角形，选顶角为自变量，建立目标函数，再求最值. 【详解】如图，    轴截面中，，过母线的截面为等腰三角形，设它的顶角为， 则其面积为． 当时为增函数，当时为减函数， 注意到过两条母线的所有截面中以轴截面的顶角为最大． （1）当时，最大截面为轴截面，其最大面积为． （2）当，时，截面积最大，． 【经典例题十五 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先由底面面积求出底面半径，然后由底面周长等于侧面展开图的弧长列方程可求出母线长. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，所以，得， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以，得, 故选：D 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知圆锥的底面半径为1，高为，轴截面为平面，如图，从点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到点，求最短绳长. 【答案】 【分析】沿将圆锥侧面展开为平面扇形，则线段为最短距离，在三角形中计算可得. 【详解】解：沿将圆锥侧面展开为平面扇形，如图. ，，，. 作交于点D，则. ， ∴最短绳长为. 1．（2026·河南新乡·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的母线长为，可得到圆锥底面半径和侧面展开图的扇形弧长，根据两者关系可得，利用三角函数的单调性，结合选项验证即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径，侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长， 因此，即 又因为，故， 所以关于单调递增， 验证选项可知当时，符合题意． 故选：D 2．（24-25高一下·河北邢台·期中）已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】由扇形弧长公式求得，则，由勾股定理即可求解． 【详解】由题意可知圆锥的底面半径，母线， 侧面展开所得扇形的圆心角，则， 因为是的中点，所以， 则这只蚂蚁爬行的最短距离， 故选：C． 3．（2025·重庆·模拟预测）已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长为________． 【答案】 【分析】根据已知求出圆锥底面周长和母线长，进而得到侧面展开图的圆心角，即可求最小值. 【详解】由题设，圆锥底面周长为，母线长为，故侧面展开图圆心角为， 将圆锥沿过点的母线展开，得到如下图示半径为6的半圆，且为圆弧的中点， 从到有两种方式，一种方式从圆锥体侧面，一种方式从圆锥的底面， 若沿侧面，如上图，从点A出发到点B的最短路径长； 若沿底面，此时最短路径长为直径长度； 综上，从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A，已知该圆锥体的底面半径为，母线长为，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长. 【答案】沿线段爬行； . 【分析】把圆锥沿过点的母线展成扇形，由题意得到蚂蚁爬行的最短路径为线段；利用扇形的弦长与半径即可求出，过作于点，通过在中求出的长 即可求线段的长. 【详解】把圆锥沿过点的母线展成如图所示的扇形，则蚂蚁爬行的最短路径为线段， 由题意知，圆锥的底面周长为，， 设，则， 过作于点，则， 在中，，， 所以. 所以小蚂蚁沿线段爬行，才能最快到达点A，且该路径的长为. 【经典例题十六 圆台的展开图】 【例1】（2025·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的侧面展开图求得，再结合圆台的结构特征分析求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以该圆台的高为. 故选：C. 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知扇环的内弧长为，外弧长为，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，求该圆台的高.    【答案】 【分析】根据圆台的结构特征结合侧面展开图运算求解. 【详解】根据题意可知，圆台的母线长为3， 设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R， 则，，所以，， 设圆台的高为h，作出圆台的轴截面，如图所示：    则梯形的上底为2，下底为4，腰为3，高为h，所以， 故该圆台的高为. 1．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ）    A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形，根据题意即可求出两个扇形的半径以及圆心角，最后根据最短路径的意义求出即可. 【详解】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形如图， 分别设小扇形和大扇形的半径为，圆心角为， 则由题意可知，弧长为，弧长为，， 则，得，则， 因为该圆台某条母线的中点，则， 因为等腰直角三角形，且腰长为，则， 故该质点运动的最短路径长为. 故选：B    2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（    ） A．母线长是20 B．表面积是 C．高是 D．轴截面为等腰梯形 【答案】ABD 【分析】根据圆台的性质计算判断． 【详解】圆台的轴截面是等腰梯形，D正确； 设圆台母线长为，又圆台侧面展开图圆心角是，即， 所以，A正确； 表面积为，B正确； 高，C错误． 故选：ABD． 3．（25-26高三上·辽宁大连·月考）若圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线AB（点A在下底面圆周上，点B在上底面圆周上）长为20cm，从AB中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A，则绳子最短的长度___________． 【答案】50 cm 【分析】根据圆台的侧面展开图计算求解． 【详解】如图是圆台侧面展开图，是圆心，由已知得其中心角， 由得，，是中点，（）． 故答案为：50 cm. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm，10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B．    (1)求这条绳长的最小值； (2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离． 【答案】(1)50cm (2)4cm 【分析】（1）通过将圆台侧面展开并补成扇形，利用相似三角形求出相关线段长度，再根据弧长公式求出扇形圆心角，最后在直角三角形中求出绳长最小值； （2）在（1）的展开图基础上，通过三角形面积公式求出点到线段的距离，进而得到圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离. 【详解】（1）沿母线AB将圆台侧面展开并补成扇形，如图所示．    易知，与相似，得， 由，解得． 因为的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为． 又扇形的半径， 设扇形的圆心角为，，解得，则． 在中，，所以， 即所求绳长的最小值为50cm． （2）如图所示，过点O作，垂足为C，交于点，则所求最短距离即为的长． 因为，所以， 即绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm． 【经典例题十七 球的截面的性质及计算】 【例1】（25-26高二上·安徽·月考）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆之间的距离的关系进行求解. 【详解】解：设截面圆的圆心与球心之间的距离为d， 则由已知 故选：A 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知球的直径长为10，过直径上一点且垂直于直径的平面截球面得圆． (1)若，求圆的半径； (2)若圆的面积为，求球心到该截面的距离． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用勾股定理计算可得； （2）记圆的半径为，球心到该截面的距离为，由截面圆的面积求出，再由计算可得； 【详解】（1）解：因为球的半径，所以． （2）解：记圆的半径为，球心到该截面的距离为， 则，得， 因此． 1．（2025高三·全国·专题练习）球的半径是，距球心处有一光源，光源能照到的地方用平面截去，则截面的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，在直角三角形中利用射影定理得，根据勾股定理得，代入圆的面积公式求解即可. 【详解】如图，在中，于点， 则，即，所以. 又， 所以以为半径的圆的面积为. 故选：B 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的值不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】做出几何图，得出Q的位置，即可得到的最大值，即可选出答案. 【详解】由题意，如图所示， 设点 为正四面体 的外接球球心， 则 ， 且 ， 当与同向时， 的值最大， ，， ∴，， ∴， 故选：ABD. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______． 【答案】/ 【分析】确定球面与侧面的交线形状，然后根据相关几何关系求出交线对应的圆的半径，最后计算出交线弧长. 【详解】以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心， 1为半径的圆与正方形相交的一段弧（圆周的四分之一）， 其长度为． 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海·月考）设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，求：这两点所对的纬线劣弧长． 【答案】 【分析】先求出北纬圈的半径，再根据弧长公式结合两点的经度差求出两点在纬线圈上的劣弧长． 【详解】    如图所示，北纬圈半径， 两点的经度相差， 圆心角弧度， 由弧长公式得：． 两点在纬线圈上的劣弧长为． 【经典例题十八 求球面距离】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图示取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，即可得到，从而得到，利用勾股定理求出，从而得到为等边三角形，即可求出，从而得解. 【详解】如图示：取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，则⊥平面， 则，，所以， 因为在北纬圈上有两个点、，在西经，在东经， 所以，在中，， 所以为等边三角形，则，所以、两点的球面距离为. 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）把地球当作半径为的球，地球上、两点都在北纬的纬线上，、两点的球面距离是在东经，求点的位置． 【答案】点的位置位于北纬，东经或北纬，西经． 【分析】由球面几何的相关知识即可求解. 【详解】由题意知． 因为，所以， 所以点的位置位于北纬，东经或北纬，西经． 1．（2025·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解. 【详解】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为， 即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径， 则，所以甲、乙两地的球心角为， 故甲、乙两地的球面距离为. 故选：C. 2．（2026·全国·模拟预测）同纬度航行是指船在同一纬度航行，只向东或向西．如图所示，假设点D为地心，若一艘船用时8小时从A地同纬度航行至B地，其所在纬度为，A地与B地的经度差，取地球半径DA＝6400千米，1节≈千米/时，，，则该船的航行速度大约为（    ） A．16节 B．20节 C．32节 D．37节 【答案】B 【分析】首先算出的长度，然后可算出的长度，然后可得答案. 【详解】千米， 的长度为千米，航速约为≈千米/时≈20节， 故选：B． 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为________．    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知北京的位置约为东经，北纬；纽约的位置约为西经，北纬，试求北京和纽约之间的球面距离．（结果精确到1千米，地球半径约为6371km） 【答案】千米 【分析】记、分别代表北京和纽约，由题意两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出弦长，以及球心角，然后求出球面距离． 【详解】记、分别代表北京和纽约， 地球表面上从地（东经，北纬）到地（西经，北纬），如图， 则的纬圆半径是，经度差是， 则， 所以在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得, 所以球心角是， 所以、两地的球面距离是千米． 【经典例题十九 组合体的构成】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】A 【分析】结合正四面体的性质，根据几何图形判断即可. 【详解】正四面体各棱中点连线构成正八面体，如图18 在正四面体中，平面，共面， 故把正四面体和正八面体合成后只有7个面．    故选：A 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【答案】答案见解析 【分析】根据给定条件，利用旋转体的结构特征分别按分析即可. 【详解】当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由底面半径为的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3.    1．（24-25高二上·上海徐汇·期中）图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（    ）倍. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由图形分析出上下底面正方形的边长，即可求解 【详解】观察两个相邻的正五边形，它们的组成的图形是对称的， 由于它们的一侧可以夹一个正方形， 所以另一侧也可以加一个正方形， 因此，图中的三角形为等腰直角三角形， 不妨设正五边形的边长为， 则等腰直角三角形的斜边为， 所以下底面正方形的边长为1，上底面正方形的边长为， 所以上底面正方形的面积为2，下底面正方形的面积为1， 所以上正方形面积是下正方形面积的2倍， 故选：B 2．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块组合有（    ） A．①②⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③ 【答案】ABC 【分析】根据选项逐一放入判断可得结果. 【详解】将模块①和②组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故A正确； 将模块①和④组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故B正确； 将模块②放在模块⑥上的四个小方块上，模块③的中间凸出的一小块倒放入模块⑥最右侧，然后再将模块④竖放入模块⑥最前侧即可，故C正确； 无论如何放入模块①②③都无法满足要求，故D不正确． 故选：ABC． 3．（24-25高三上·陕西西安·月考）碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________. 【答案】 【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2求出棱数，设正五边形有个，正六边形有个，根据面数和棱数即可得关于的方程组，解得的值，即可求解. 【详解】根据题意， 碳（）由个顶点，有个面， 由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为， 设正五边形有个，正六边形有个， 则，解得：，所以六元环的个数为个， 故答案为： 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体. 【答案】见解析 【分析】确定旋转直线，根据其余各边与旋转直线的关系，结合圆柱、圆锥、圆台定义，即可求出结论. 【详解】以边AD所在直线为轴旋转，形成的几何体是一个圆台， 如图（1）所示. 以边AB所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由 一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体，如图（2）所示. 以边CD所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由 一个圆柱挖去一个同底圆锥而成的组合体，如图（3）所示. 以边BC所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由 一个圆台挖去一个同底（上底面）圆锥后再和一个同底（下底面） 圆锥拼接而成的组合体，如图（4）所示. 【经典例题二十 组合体的切接问题】 【例1】（2026·河南郑州·二模）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以四角攒尖为例，它的主要部分的轮席可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱长与底面外接圆的直径的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的底面为正方形，结合其外接圆的直径为正方形的对角线，计算可得结果． 【详解】解：正四棱锥的底面是正方形，其外接圆的半径为， 则正方形的边长为， 因为正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为， 设侧棱长为，则有， 解得， 所以侧棱长与底面外接圆的直径的比为． 故选：D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知点是球表面上的点，面，四边形是边长为的正方形.若，求的面积. 【答案】 【解析】如图所示：把四棱锥补形成一个长方体，根据体对角线计算半径等得到答案. 【详解】如图所示：把四棱锥补形成一个长方体， 则为的中点.此时，， 球半径， . 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）设圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得. 【详解】如图，由题意可知，所以， 所以圆锥的轴截面是边长为的正三角形， 圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径， 所以外接球半径， 所以该圆锥的内切球的表面积为. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏·期末）已知三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥扩展为正方体，体对角线为直径，根据表面积公式得到答案. 【详解】三棱锥中，两两垂直，则 答案为D 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，把三棱锥扩展为长方体是解题的关键. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）正方体的表面积为，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是________． 【答案】 【分析】根据正方体与其外接球的关系计算即可. 【详解】由正方体的顶点都在球面上，得该球为正方体的外接球. 设正方体棱长为，球半径为， 则，， ， ． 4．（24-25高一下·福建三明·月考）已知圆锥SO的底面半径，高． (1)求圆锥SO的母线长； (2)圆锥SO的内接圆柱的高为h，当h为何值时，内接圆柱的轴截面面积最大，并求出最大值． 【答案】(1)13 (2)；最大值为30 【详解】（1）∵圆锥SO的底面半径，高， ∴圆锥SO的母线长； （2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示， 其中，，． 设圆柱底面半径为r，则，即． 设圆柱的轴截面面积为． ∴当时，有最大值为30． 【拓展训练一 立体图形的有关计算】 【例1】（24-25高二下·浙江绍兴·期末）在棱长为的正方体中，是侧面内的点，到和的距离分别为和，过点且与平行的直线交正方体表面于另一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作交于点，连接并延长交直线于点，连接，过点作交线段于点，求出的值，计算出的长，由可得出，即可求得线段的长. 【详解】过点作交于点，连接并延长交直线于点，连接，如下图所示：    由题意可知，，，则， 所以，，故点在线段上， 过点作交线段于点，则点即为所求作的点， 因为，且，则， 易知正方体的体对角线长为， 因为，因此，，故. 故选：C. 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和. (1)求该棱台的侧棱长； (2)求直线与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，利用勾股定理计算出的长，即可得解； （2）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，利用勾股定理计算出的长，即可得解. 【详解】（1）解：过点、分别在平面内作，， 垂足分别为点、，如下图所示： 根据正四棱台的性质可知四边形为等腰梯形， 因为四边形为正方形，且，则，同理， 在等腰梯形内，因为，，， 所以，四边形为矩形，所以，，， ，，，所以，， 所以，， 所以，该正四棱台的侧棱长为. （2）解：过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、， 在等腰梯形中，，，， 则四边形为矩形，所以，，， ，，，所以，， 则，所以，. 因此，直线与的距离为. 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 【答案】C 【分析】由题可求圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时，顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则， 当截面过中心轴时，所以， 所以， 由三角形面积公式得当时，截面面积最大，最大为. 故选：C. 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）用一张长、宽分别为和的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四棱柱的对角线长可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别以和作为正四棱柱底面正方形周长，可求得底面正方形边长和正四棱柱的高，利用勾股定理可求得结果. 【详解】若为正四棱柱底面正方形的周长，则底面正方形边长为，正四棱柱高为，则此正四棱柱对角线长为； 若为正四棱柱底面正方形的周长，则底面正方形边长为，正四棱柱高为，则此正四棱柱对角线长为. 故选：BD. 3．（2025高三·全国·专题练习）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围________． 【答案】 【分析】根据题意，设上顶面圆心记为，下底面圆心记为，连接，过点作，垂足为点，由于为定值，则的大小随着的长短变化而变化，由图可知当点与点重合时以及当点与点重合，分别求解的最大值和最小值，即可得到的面积的范围． 【详解】解：如图1，设上底面圆心记为，下底面圆心记为，    连接，过点作，垂足为点， 则， 根据题意，为定值2，所以的大小随着的长短变化而变化， 如图2所示，当点与点重合时，， 此时取得最大值为； 如图3所示，当点与点重合，取最小值2， 此时取得最小值为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积. 【答案】108 【分析】根据题意，，分别是，的中点，，分别是下、上底面正方形的中心，可知，根据勾股定理可求出，通过求梯形面积即可求得正四棱台的侧面积. 【详解】解：如图，，分别是，的中点，，分别是下、上底面正方形的中心， 则为正四棱台的高，则， 连接，， 则，， 过作，垂足为， 则，， ， 在中，， 所以正四棱台的侧面积为： . 【拓展训练二 立体图形的展开图及最短距离问题】 【例1】（24-25高一下·浙江·期中）在长方体中，为线段的中点，是棱的中点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】连接，得出点、、在平面中，问题转化为在直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，求出点关于直线的对称点的坐标，则答案可求． 【详解】连接，则，点、、在平面中，    且，，， 在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，    则，，，； 设点关于直线的对称点为， 的方程为，① ，直线的方程为，② 由①②组成方程组，解得，， 直线与的交点,． 对称点， ． 则的最小值为2． 故选：C． 【例2】（24-25高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案. 【详解】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示， 连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离， 因为， 所以 ， 所以蚂蚁爬行的最短路线长为； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法， ①如图1，以DC为轴展开， 此时， ②如图2.以BC为轴展开， 此时，， ③如图3、以 BB1为轴展开， 此时， 综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 . 1．（2024·贵州贵阳·一模）如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值． 【详解】依题意，半径为，山高为，则母线， 底面圆周长，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角， 如图，是圆锥侧面展开图， 显然， 由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值， 即点为公路的最高点，段为上坡路段，段为下坡路段， 由直角三角形射影定理知，即，解得， 所以公路上坡路段长为． 故选：D 2．（多选）（24-25高一下·新疆·月考）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】从点沿长方体表面到达有三种展开方式，以，、为轴展开，分别求出，可得答案． 【详解】从点沿长方体表面到达有三种展开方式， 若以为轴展开，   则； 以为轴展开，       则， 以为轴展开，   ． 故选：ABC． 3．（24-25高一下·重庆万州·月考）已知圆台的上底半径为2cm，下底半径为4cm，圆台的高为cm，则侧面展开图所在扇形的圆心角为___________． 【答案】 【分析】把圆台补成圆锥，利用圆锥的轴截面进行求解即可. 【详解】把该圆台补成圆锥，圆锥的轴截面如下图所示：    过作，为垂足， 所以圆台的母线， 因为上底半径长为下底半径的一半， 所以圆锥的母线长为， 所以侧面展开图所在扇形的圆心角为， 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知正三棱柱，底面边长为1，高为8． (1)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达点的最短路线长； (2)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点的最短路线长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三棱柱的侧面展开图即可求解； （2）将三棱柱的侧面都沿剪开，再拼接一次即可求解 【详解】（1）将三棱柱侧面沿侧棱剪开，展成平面图形如图所示，则即为所求的最短路线． 在中，，， ∴． （2） 将三棱柱的侧面都沿剪开，然后展开并拼接成如图所示，则即为所求的最短路线． 在中，，， ∴． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【分析】用棱柱的特点判断AD，利用举例法判断BC. 【详解】对于A，不符合棱柱的侧棱平行的特点，故A错误； 对于B选项，如图（1），构造四棱柱，令四边形是梯形， 可知平面平面，但这两个面不能作为棱柱的底面，故B错误； 选项C中，如图（2），底面可以是平行四边形，故C错误； 对于D，说明了棱柱的特点，故D正确. 故选：D． 2．（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】展开可能走过的长方体平面，由两点之间线段最短求出各个最短距离比较即可求解. 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 3．（24-25高二上·北京·期中）一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】A 【分析】根据正棱锥性质分别求得正三棱锥、正四棱锥的侧棱长至少需是底面边长的倍数，即可得出结论. 【详解】设正三角形的边长为，由正三角形性质可得顶点到三角形中心的距离为， 因此正三棱锥的侧棱长要大于，即侧棱长大于底面边长的倍， 易知，因此可能是正三棱锥，即A正确； 设正方形的边长为，易知正方形对角线的一半为， 因此正四棱锥的侧棱长要大于，即侧棱长大于底面边长的倍， 易知，所以B错误； 以此类推可知正五棱锥、正六棱锥的侧棱长都大于底面边长的倍，即CD不合题意. 故选：A 4．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【详解】    如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 5．（24-25高一下·北京东城·期末）如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（    ） A．15 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】由题可知四棱台为正棱台，设上底边长为，在侧面中可得斜高，再由正四棱台的特性可知就是下底面所在平面与侧面所在平面夹角的平面角，得到，解方程即可得到上底边长. 【详解】根据题意，四棱台为正棱台，设中点为，上底边长为， 在侧面中，为斜高，又， 所以， 在正棱台中，， 所以就是下底面所在平面与侧面所在平面夹角的平面角， 在四边形中，，则， 过作交于， 所以， 解得，即上底边长为25. 故选：C. 6．（多选）（24-25高一下·广西·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 【答案】AC 【分析】根据棱柱、正棱锥和棱台的定义，可判定A正确，B错误，C正确，结合圆柱的几何结构特征，可得判定D错误. 【详解】对于A中，根据棱柱的定义，可得棱柱的侧面一定是平行四边形，所以A正确； 对于B中，底面是等边三角形，且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥是正三棱锥，所以B不正确； 对于C中，根据棱台的定义，可得棱台的所有侧棱所在直线必交于同一点，所以C正确； 对于D中，用一个平行于底面的平面去截圆柱，截面一定是圆，若不平行于底面的平面截圆柱，得到得截面可能是椭圆面，所以D不正确. 故选：AC. 7．（多选）（24-25高一下·江苏淮安·月考）下列说法错误的是（ ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 【答案】BD 【分析】根据棱柱、正棱锥、棱台和圆柱的结构特征判断各项的正误即可. 【详解】A：由棱柱的结构特征知，其侧面都是平行四边形，对； B：正三棱锥是底面为正三角形，侧棱长都相等的棱锥，错； C：根据棱台与棱锥的关系，知棱台所有侧棱延长后必交于同一点，对； D：用一个平面截圆柱，截面可能是圆、椭圆及长方形等，错. 故选：BD 8．（多选）（24-25高一下·河南濮阳·期中）下列说法不正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．过球上任意两点有且仅有一个大圆 D．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 【答案】ACD 【分析】A举反例，以矩形的一条对角线为轴旋转；B 由平行六面体的定义可判断；C由球的大圆定义可知；D圆锥的轴截面是等腰三角形，其截面三角形面积为，其中的大小决定面积的大小. 【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误； 由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故C错误； 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积S最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故D错误． 故选：ACD 9．（多选）（24-25高二上·湖北随州·月考）下列说法中不正确的是（    ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【分析】根据圆台，棱柱，正棱锥，棱台的定义判断. 【详解】对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错； 对于B，下面的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错； 对于C，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，C错； 对于D，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，D正确， 故选：ABC. 10．（多选）（2025高三·全国·专题练习）如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体．下列可能是该几何体的截面的为（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】截面中间是矩形，如果可能的话，那么一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此选项A不可能是截面；当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，如图①，此时截面形状如选项B，故B可能是该几何体的截面； 当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，如图②中截面PDGH位置，截面形状就会如选项C，故C可能是该几何体的截面； 如图③，按图中截面A1B1C1的位置去剖开正方体，截面就会如选项D，故D可能是该几何体的截面． 故选BCD. 11．（24-25高一下·北京·期中）在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点且．则满足条件的点的个数为______． 【答案】 【分析】分两种情况分析点的存在情况：①点在正方体中与无公共点的棱上，以在棱上为例，设，则，由，列出方程，求得方程无解；②点在正方体中与有公共点的棱上，以在棱上为例，设，则，由，列出方程，得方程有一个解.利用正方体的对称性可知满足条件的点的个数. 【详解】分两种情况分析点的存在情况： ①若点在正方体中与无公共点的棱上， 设在正方体的棱上，设，则， ∵，∴，即， 两边平方，整理得，再平方得，方程无解， 所以棱上不存在满足条件的点.    同理，并结合正方体的对称性，知棱、、、、上也不存在满足条件的点. ②若点在正方体中与有公共点的棱上， 设在正方体的棱上，设，则， ∵，∴，即， 两边平方，整理得，解得.所以棱上存在一个满足条件的点. 同理，并结合正方体的对称性，知棱、、、、上也分别存在一个满足条件的点；    故满足条件的点共有6个. 故答案为：. 12．（24-25高三上·上海·期中）日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 中，AB=3，BC=2，AA₁=1.店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中 的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）（图A中各棱的点是棱的三等分点）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为__________.（） 【答案】 【分析】计算出两种捆扎法中绳的长度后相减即得． 【详解】易知图中绳的长度是两个长方形的周长，即为， 图中，由于绳与长方体的棱的交点是各棱相应的三等分点，因此有： ，，，， 因此绳的长度为， 两者相差， 故答案为：4. 13．（25-26高二上·上海·期末）已知正四面体的棱长为3，则它的高为______． 【答案】 【分析】根据题意，由正四面体的棱长为3，可求出其底面正三角形的高和底面正三角形的外接圆的半径，即可求出正四面体的高. 【详解】一个正四面体的棱长为3， ∴正四面体的底面正三角形的高为：， ∴底面正三角形的外接圆的半径为：， 所以正四面体的高：. 故答案为：. 14．（24-25高三下·云南德宏·月考）《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为________尺． 【答案】 【分析】设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆，易知Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大，再根据已知求线段AM的长度. 【详解】如图，设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆， 当Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大， 由题意得，，， 因为圆所在平面，所以． 故答案为： 15．（24-25高二上·上海松江·期中）圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是___________________. 【答案】 【分析】据题意，设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，过作，垂足为，由于为定值，故面积的大小随的长度的变化而变化，由图可知，当点与点重合时以及当点与点重合时，分别求出的最大值和最小值，即可求出面积的范围. 【详解】如图1，设上底面圆心为，下底面圆心为， 连接，过作，垂足为， 则， 据题意，为底面直径，是定值，故面积的大小随的长度的变化而变化， 由图2可知，当点与点重合时，， 此时取得最大值为， 如图3所示，当点与点重合时，， 此时取得最小大值为， 综上所述，面积的范围为. 故答案为： 16．（25-26高二·全国·课后作业）一个圆锥的底面半径为R，高为． (1)用平行于底面的平面截圆锥得到一个圆台，其上下底面面积之比为，求圆台上下底面之间的距离； (2)求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆台的结构特征直接求出； （2）设正四棱柱的底面对角线的一半为x，作出圆台的直截面，利用三角形相似求出，建立四棱柱的表面积的表达式，利用二次函数求最值. 【详解】（1）由圆台的结构特征可知，圆台上底面的半径为，设截去的小圆锥的高为h，则，解得． 所以圆台上下底面之间的距离为． （2）如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，由于， 则，即，解得． 因为正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为，底面积为， 所以，四棱柱的表面积为． 当时，正四棱柱的表面积S有最大值，即． 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，半径为的小球放置在各棱长为的正三棱柱内任意运动，求小球无法接触到的三棱柱内壁的面积.    【答案】 【分析】小球在正三棱柱的侧面和底面接触到的部分，然后用三棱柱表面积减去将这两部分的面积. 【详解】由图知，，    阴影部分面积， 三棱柱表面积. 所以所求面积为. 18．（25-26高一上·吉林·月考）一个圆锥底面半径为，高为， （1）求圆锥的表面积. （2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的表面积公式计算即可； （2）设正四棱柱的底面对角线的一半为，根据轴截面上的两个三角形相似，列出比例式求出四棱柱的高，根据正四棱柱的表面积公式得出其表面积的表达式，然后利用二次函数的基本性质得出该正四棱柱表面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，圆锥的母线长为， 所以，该圆锥的表面积为； （2）如下图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为， ，，即，解得， 正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为，底面积为， 所以，四棱柱的底面积为， 由二次函数的基本性质可知，当时， 正四棱柱的表面积有最大值，即. 19．（25-26高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长为2，P是该正方体棱上一点. 若满足的点P的个数，求的表达式. 【答案】 【分析】由几何直观，点P所在的位置与的值一一对应，根据正方体的对称性，分别讨论点P在:（1）棱、、、；（2）棱、；(3) 棱、;（4）棱、、、时的可能取值，即可汇总得P的个数及对应m的范围. 【详解】由题，由几何直观可知，点P在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与的值是一一对应的，先讨论的可能取值： （1）当点P分别在棱、、、上运动时，如在棱，可得 ，其它同理，故此时m的取值范围是； （2）当点P分别棱、上运动时，如在棱，可得 ，其它同理，故此时m的取值范围是； （3）当点P分别在棱、上运动时，如在棱，可得 ，其它同理，故此时m的取值范围是； （4）当点P分别在棱、、、上运动时，如在棱，可得 ，其它同理，故此时m的取值范围是. 综上，点P的个数为可归结为：      20．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长. 【答案】 【分析】根据正三棱台的结构特征，用上下底面边长表示出正三棱台的斜高，进而得侧面积表达式即可得解. 【详解】依题意，，则， 设上底面的边长为，则， 如图所示，连接，过作于点H，则四边形为矩形，且， 于是得，在中，， 因四边形的面积为，则，即，解得， 所以上底面的边长为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 基本立体图形重难点题型专训 （8个知识点+20大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 棱柱的结构特征和分类 题型二 正棱柱及其有关计算 题型三 棱柱的展开图及最短距离问题 题型四 棱柱及其有关计算 题型五 棱锥的结构特征和分类 题型六 正棱锥及其有关计算 题型七 棱锥的展开图 题型八 棱锥中截面的有关计算 题型九 棱台中截面的有关计算 题型十 正棱台及其有关计算 题型十一 圆柱轴截面的有关计算 题型十二 圆柱的展开图及最短距离问题 题型十三 圆锥的结构特征辨析 题型十四 圆锥中截面的有关计算 题型十五 圆锥的展开图及最短距离问题 题型十六 圆台的展开图 题型十七 球的截面的性质及计算 题型十八 求球面距离 题型十九 组合体的构成 题型二十 组合体的切接问题 拓展训练一 立体图形的有关计算 拓展训练二 立体图形的展开图及最短距离问题 知识点一： 棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 【即时训练】 1．（24-25高一下·贵州·月考）下列关于七棱柱的判断正确的是（   ） A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面 C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面 2．（2025高三·全国·专题练习）已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，，则的取值范围为______. 知识点二： 棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 【即时训练】 1．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．三棱台 D．三棱锥 2．（25-26高二上·上海·期中）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 知识点三： 棱台 1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 【即时训练】 1．（24-25高一下·北京大兴·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 2．（25-26高一下·全国·随堂练习）已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________． 知识点四： 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面； （2）母线有无数条，都平行与轴； （3）轴截面为矩形。 【即时训练】 1．（25-26高二·上海·暑假作业）下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 2．（2025高一下·全国·专题练习）轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为______cm． 知识点五： 圆锥 定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 【即时训练】 1．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）若一个圆锥的母线长为，且底面面积为，则此圆锥的高为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（2025高一下·全国·专题练习）已知圆锥的母线长为10，高为5，则圆锥的轴截面的面积为______. 知识点六： 圆台 1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 【即时训练】 1．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（ ） A． B． C．1 D．4 2．（24-25高三上·河北承德·期中）将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为________. 知识点七： 球 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 【即时训练】 1．（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25高二上·上海·期中）若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是__________. 知识点八： 组合体的定义 现实世界中物体表示的是几何体，除了柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成，这些几何体称作组合体。 组合体可以由几何体拼接、截去或挖去一部分形成。 【即时训练】 1．（24-25高三上·河北沧州·月考）太阳能发电是我国大力提倡的一种新能源发电形式.如图所示，某型号的矩形太阳能电池板用四根垂直于地面的立柱支撑，点，，，均在同一水平面内，且其中三根立柱，，的长度分别为100cm，200cm，300cm，则立柱的长度是（    ） A．100cm B．150cm C．200cm D．250cm 2．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是____. ①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体； ②该几何体有12条棱、6个顶点； ③该几何体有8个面，并且各面均为三角形； ④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形． 【经典例题一 棱柱的结构特征和分类】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列几何体中，柱体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，    (1)与直线平行的平面有哪几个？ (2)与直线垂直的平面有哪几个？ (3)与平面平行的平面有哪几个？ (4)与平面垂直的平面有哪几个？ (5)点到平面的距离可以用哪些线段表示？ (6)线段到平面的距离可以用哪些线段表示？ (7)平面与平面间的距离可以用哪些线段来表示？ (8)线段在平面内的投影用哪个线段表示？ 1．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在长方体中，，若点P在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中为假命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 3．（2025·上海·模拟预测）图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为__________.    4．（2025高三·全国·专题练习）若平行六面体的四条对角线长为定值且相交于点，以为球心的球的半径为，则球面上任意一点到该平行六面体的各顶点连线的距离的平方和为定值． 【经典例题二 正棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高三上·北京海淀·期末）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二·湖南·课后作业）已知高为5，底面边长为2的正四棱柱中，点O，分别为上下两底面的中心，求与之间的距离． 1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）在正方体中，分别为棱上的点，与的夹角为与的夹角也为．则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·安徽六安·期末）在棱长为1的正方体中，P为棱上一点，满足（d为定值），记P点的个数为n，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．n的最大值为18 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若正方体的棱长为a，则正方体的对角线长为________；对角面面积为________． 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，棱长均为2的正三棱柱中，点D为棱的中点，点P是侧棱上的动点，求面积的最大值. 【经典例题三 棱柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（2025·安徽·一模）在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．14 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形，求此六边形的周长的最小值． 1．（24-25高一下·广西河池·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，求的最小值（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二上·北京怀柔·期中）已知正三棱柱的底面边长为1,高为8,一质点自点出发，沿着棱柱侧面绕行一周到达点的最短路线的长为__________. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在单位正方体中，为中点，为棱上动点，为上的动点，求的最小值. 【经典例题四 棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高一下·河南·月考）如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，P为棱的中点，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，，，分别交于三点M，N，Q.若为直角三角形，求该直角三角形斜边长的最小值. 1．（25-26高一·全国·暑假作业）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为（    ） A．1 B．2 C．2 D．3 2．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江·期中）在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为________. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，三点位于单位立方体的表面上，求的面积的最大值．    【经典例题五 棱锥的结构特征和分类】 【例1】（24-25高一下·广东佛山·月考）已知四棱锥有条棱，个顶点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25高一下·云南昆明·月考）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 1．（2025高三·全国·专题练习）若沿各边中点连线翻折后恰为三棱锥，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 2．（多选）（24-25高一下·广东中山·期末）从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（    ） A．每个面都是直角三角形的四面体； B．每个面都是等边三角形的四面体； C．每个面都是全等的直角三角形的四面体； D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体． 3．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中，则t的一个取值可以为______． 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P. 问：(1)这个几何体是什么？ (2)这个几何体由几个面构成？每个面的三角形是什么三角形？ 【经典例题六 正棱锥及其有关计算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，正三棱锥的所有棱长都为4.点分别在棱上，满足，的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，求该正三棱锥的高及侧面上的斜高． 1．（24-25高一下·江西·月考）已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 2．（24-25高二上·北京·期中）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（    ） A．16， B．16， C．8， D．8， 3．（25-26高一下·全国·课后作业）一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是4，则该正三棱锥的高为________． 4．（24-25高一下·重庆万州·月考）如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    (1)计算四棱锥的高； (2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 【经典例题七 棱锥的展开图】 【例1】（24-25高三上·吉林长春·月考）如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图，在侧棱长为的正三棱锥中，，过点A作截面，求截面周长的最小值． 1．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 2．（多选）（25-26高一下·吉林长春·月考）下列图形中是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．    【经典例题八 棱锥中截面的有关计算】 【例1】（25-26高二·全国·课后作业）一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则所截得小棱锥与原棱锥的高之比是（    ） A．1：2 B．1：4 C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，证明：. 1．（2025·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆沙坪坝·月考）若棱锥底面面积为cm，平行于底面的截面面积是cm，底面和这个截面的距离是cm，则棱锥的高为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 3．（2026高三·全国·专题练习）在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝2，AC＝BD＝，AD＝BC＝，E，F分别是AD，BC的中点．若过EF的中点用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面的面积为________． 4．（2025高三·全国·专题练习）四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积. 【经典例题九 棱台中截面的有关计算】 【例1】（2025·河南郑州·模拟预测）如果棱台的两底面积分别是，中截面的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如果平行于一个正棱锥底面的截面面积是底面面积的，那么截面截一条侧棱所得两条线段的比是多少？    1．（2025·全国·高考真题）如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·浙江温州·期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（    ） A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 3．（25-26高二·全国·课后作业）一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为______. 4．（2025高三·全国·专题练习）正四棱台的上、下底面边长分别为，高为，过下底面相邻两边的中点与两底面中心的连线的中点作截面，试导出截面形状与相关量之间的约制关系． 【经典例题十 正棱台及其有关计算】 【例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25高二上·江西南昌·月考）正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，求该正三棱台的斜高． 1．（24-25高一下·广东潮州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四掕台的体积为（    ） A．60 B．20 C．40 D．56 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________．       4．（25-26高一·全国·课后作业）已知正四棱台侧棱长为5，上底面边长和下底面边长分别为2和5，求该四楼台的高和斜高． 【经典例题十一 圆柱轴截面的有关计算】 【例1】（25-26高二·全国·课后作业）用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是，求此圆柱的底面半径． 1．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知一个圆柱底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆周上的一个动点，关于的面积大小下列说法正确的是（    ） A．的面积是定值 B．的面积没有最大值 C．的面积最大值是 D．的面积最大值是2 2．（25-26高一·全国·课后作业）已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为，则它的一个底面的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，当铁球的半径为时，的最小值为________． 4．（25-26高一·全国·课后作业）用一张两边长分别为4 cm和8 cm的矩形硬纸卷成圆柱侧面，求圆柱轴截面的面积.（接头忽略不计） 【经典例题十二 圆柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026高二上·上海·专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 1．（25-26高一·全国·课后作业）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可能是 A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是___________.    4．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示,已知圆柱的高为80cm,底面半径为10cm,表面上有P､Q两点,若P点在B点处､Q点在点处,一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点(不直接走直线段),求蚂蚁爬行的最短路程. 【经典例题十三 圆锥的结构特征辨析】 【例1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）底面圆半径为1，母线长为4的圆锥侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 1．（24-25高一下·天津河北·期末）用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（    ） A．12 B． C．9 D．3 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．曲面上不可以存在直线 B．平面上可存在曲线 C．曲线运动的轨迹可形成平面 D．直线运动的轨迹可形成曲面 3．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________. 4．（24-25高二上·江西宜春·月考）如图，圆台的上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面转到点.求：    （1）绳子的最短长度； （2）在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离. 【经典例题十四 圆锥中截面的有关计算】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若圆锥的母线与底面所成的角为45°，则该圆锥内接正方体的棱长与圆锥底面圆半径之比为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）设圆锥的母线长为1，高为，过圆锥的任意给定的两条母线作一个截面．求截面面积的最大值． 1．（25-26高二上·四川内江·月考）在底面直径为，高为6的圆锥中放一个可以任意转动的正方体，则正方体的最大棱长为（  ） A．2 B． C． D． 2．（多选）（2025·山东济南·二模）已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，，为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是 A．圆锥的高为1 B．三角形为等边三角形 C．三角形面积的最大值为 D．直线与圆锥底面所成角的大小为 3．（24-25高一下·陕西渭南·月考）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为______． 4．（2025高三·全国·专题练习）圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为，求过两条母线的最大截面的面积． 【经典例题十五 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（   ） A． B． C．1 D．2 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知圆锥的底面半径为1，高为，轴截面为平面，如图，从点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到点，求最短绳长. 1．（2026·河南新乡·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北邢台·期中）已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 3．（2025·重庆·模拟预测）已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长为________． 4．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A，已知该圆锥体的底面半径为，母线长为，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长. 【经典例题十六 圆台的展开图】 【例1】（2025·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知扇环的内弧长为，外弧长为，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，求该圆台的高.    1．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ）    A．16 B． C． D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（    ） A．母线长是20 B．表面积是 C．高是 D．轴截面为等腰梯形 3．（25-26高三上·辽宁大连·月考）若圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线AB（点A在下底面圆周上，点B在上底面圆周上）长为20cm，从AB中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A，则绳子最短的长度___________． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm，10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B．    (1)求这条绳长的最小值； (2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离． 【经典例题十七 球的截面的性质及计算】 【例1】（25-26高二上·安徽·月考）已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为（    ）. A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知球的直径长为10，过直径上一点且垂直于直径的平面截球面得圆． (1)若，求圆的半径； (2)若圆的面积为，求球心到该截面的距离． 1．（2025高三·全国·专题练习）球的半径是，距球心处有一光源，光源能照到的地方用平面截去，则截面的最大面积是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的值不可能为（ ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______． 4．（25-26高二上·上海·月考）设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，求：这两点所对的纬线劣弧长． 【经典例题十八 求球面距离】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）把地球当作半径为的球，地球上、两点都在北纬的纬线上，、两点的球面距离是在东经，求点的位置． 1．（2025·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·全国·模拟预测）同纬度航行是指船在同一纬度航行，只向东或向西．如图所示，假设点D为地心，若一艘船用时8小时从A地同纬度航行至B地，其所在纬度为，A地与B地的经度差，取地球半径DA＝6400千米，1节≈千米/时，，，则该船的航行速度大约为（    ） A．16节 B．20节 C．32节 D．37节 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为________．    4．（2025高三·全国·专题练习）已知北京的位置约为东经，北纬；纽约的位置约为西经，北纬，试求北京和纽约之间的球面距离．（结果精确到1千米，地球半径约为6371km） 【经典例题十九 组合体的构成】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    1．（24-25高二上·上海徐汇·期中）图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（    ）倍. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块组合有（    ） A．①②⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③ 3．（24-25高三上·陕西西安·月考）碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________. 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体. 【经典例题二十 组合体的切接问题】 【例1】（2026·河南郑州·二模）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以四角攒尖为例，它的主要部分的轮席可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱长与底面外接圆的直径的比为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知点是球表面上的点，面，四边形是边长为的正方形.若，求的面积. 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）设圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏·期末）已知三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为 A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）正方体的表面积为，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是________． 4．（24-25高一下·福建三明·月考）已知圆锥SO的底面半径，高． (1)求圆锥SO的母线长； (2)圆锥SO的内接圆柱的高为h，当h为何值时，内接圆柱的轴截面面积最大，并求出最大值． 【拓展训练一 立体图形的有关计算】 【例1】（24-25高二下·浙江绍兴·期末）在棱长为的正方体中，是侧面内的点，到和的距离分别为和，过点且与平行的直线交正方体表面于另一点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和. (1)求该棱台的侧棱长； (2)求直线与的距离. 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）用一张长、宽分别为和的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四棱柱的对角线长可以为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围________． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积. 【拓展训练二 立体图形的展开图及最短距离问题】 【例1】（24-25高一下·浙江·期中）在长方体中，为线段的中点，是棱的中点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 1．（2024·贵州贵阳·一模）如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·新疆·月考）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆万州·月考）已知圆台的上底半径为2cm，下底半径为4cm，圆台的高为cm，则侧面展开图所在扇形的圆心角为___________． 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知正三棱柱，底面边长为1，高为8． (1)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达点的最短路线长； (2)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点的最短路线长． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 2．（25-26高二上·上海嘉定·月考）如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 4．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京东城·期末）如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（    ） A．15 B． C．25 D． 6．（多选）（24-25高一下·广西·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 7．（多选）（24-25高一下·江苏淮安·月考）下列说法错误的是（ ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 8．（多选）（24-25高一下·河南濮阳·期中）下列说法不正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．过球上任意两点有且仅有一个大圆 D．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 9．（多选）（24-25高二上·湖北随州·月考）下列说法中不正确的是（    ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 10．（多选）（2025高三·全国·专题练习）如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体．下列可能是该几何体的截面的为（　　） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·北京·期中）在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点且．则满足条件的点的个数为______． 12．（24-25高三上·上海·期中）日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 中，AB=3，BC=2，AA₁=1.店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中 的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）（图A中各棱的点是棱的三等分点）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为__________.（） 13．（25-26高二上·上海·期末）已知正四面体的棱长为3，则它的高为______． 14．（24-25高三下·云南德宏·月考）《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为________尺． 15．（24-25高二上·上海松江·期中）圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是___________________. 16．（25-26高二·全国·课后作业）一个圆锥的底面半径为R，高为． (1)用平行于底面的平面截圆锥得到一个圆台，其上下底面面积之比为，求圆台上下底面之间的距离； (2)求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值． 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，半径为的小球放置在各棱长为的正三棱柱内任意运动，求小球无法接触到的三棱柱内壁的面积.    18．（25-26高一上·吉林·月考）一个圆锥底面半径为，高为， （1）求圆锥的表面积. （2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值． 19．（25-26高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长为2，P是该正方体棱上一点. 若满足的点P的个数，求的表达式. 20．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长. 学科网（北京）股份有限公司 $