专题8.3 简单几何体的表面积与体积重难点题型讲义（5个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

该高中数学讲义通过表格系统归纳简单几何体表面积与体积公式，以思维导图梳理多面体、旋转体及球的知识脉络，覆盖5个核心知识点，明确表面积计算、体积求解、内切外接等重难点的内在联系。 讲义亮点在于14大题型分层设计，从基础计算到综合应用，如组合体体积结合3D打印模型，内切外接问题培养空间观念，发展数学思维与应用意识。配套即时训练和自我检测，助力教师精准教学，学生分层提升。

专题8.3 简单几何体的表面积与体积重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 棱柱表面积的有关计算 题型二 棱锥表面积的有关计算 题型三 棱台表面积的有关计算 题型四 柱体体积的有关计算 题型五 锥体体积的有关计算 题型六 台体体积的有关计算 题型七 圆柱表面积的有关计算 题型八 圆锥表面积的有关计算 题型九 圆台表面积的有关计算 题型十 球的体积的有关计算 题型十一 球的表面积的有关计算 题型十二 多面体与球体内切外接问题 题型十三 求组合体的体积 题型十四 求旋转体的体积 拓展训练一 简单几何体表面积的有关计算 拓展训练二 简单几何体体积的有关计算 知识点一： 多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和， 表面积是侧面积与底面面积之和． 1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 （1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长； （2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成； （3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。 2、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的表面积：； （2）棱锥的表面积：； （3）棱台的表面积： 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川巴中·月考）在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西宝鸡·月考）已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的表面积为______. 知识点二： 棱柱、棱锥、棱台的体积 1、棱锥、棱锥、棱台的高 （1）棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离； （2）棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离； （3）棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。 2、棱锥、棱锥、棱台的体积公式 几何体 体积公式 说明 棱柱 为棱柱的底面积，为棱柱的高 棱锥 为棱锥的底面积，为棱锥的高 棱台 ，分别为棱台的上、下底面，为棱台的高 3、对棱柱、棱锥、棱台体积公式的理解 （1）等底、等高的两个棱柱的体积相同； （2）等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系； （3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 （4）求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积. 【即时训练】 1．（25-26高二上·四川·月考）已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________． 知识点三： 圆柱、圆锥、圆台的表面积 1、侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤; 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图． （2）依次求出各个平面图形的面积． （3）将各平面图形的面积相加． 【即时训练】 1．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D．3：1 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）圆台的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台的侧面面积是______． 知识点四： 圆柱、圆锥、圆台的体积 1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式 几何体 体积公式 说明 圆柱 为圆柱的底面积，为圆柱的高 圆锥 为圆锥的底面积，为圆锥的高 圆台 ，分别为圆台的上、下底面，为圆台的高 2、对圆柱、圆锥、圆台体积公式的认识 （1）等底、等高的两个圆柱的体积相同； （2）等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍； （3）圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系 （4）求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积. 【即时训练】 1．（24-25高一下·河南商丘·期末）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·吉林长春·专题练习）一圆台的上、下底面半径分别为、，体积为，则该圆台的侧面积为______． 知识点五： 球的表面积和体积 1、球的体积公式： 2、球的表面积公式： 【即时训练】 1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）若两个球的表面积之比为：，则它们的体积之比为（   ） A．1：9 B．1：3 C．1：27 D．1：729 2．（25-26高二上·上海·期末）若一个球的表面积是，则这个球的体积为______. 【经典例题一 棱柱表面积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·北京·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【例2】（2025高二上·上海·专题练习）现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求：该直四棱柱的侧面积、表面积；【注：体对角线是连接棱柱上下底面、不在同一侧面的两顶点的连线】 1．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏·月考）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________ 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【经典例题二 棱锥表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·湖南株洲·期中）已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积. 1．（24-25高一下·重庆·月考）正三棱锥的表面积是底面积的5倍，则（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·陕西榆林·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 3．（24-25高一下·河北衡水·期末）有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为_______． 4．（25-26高二·全国·课后作业）胶囊酒店是一种极高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤维制成的细小空间，仅够睡眠使用．空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手间及淋浴设施需要共享，其特点是便捷、价格便宜，多适用于旅客．如图为一胶囊模型，它由一个边长为2的等边圆柱（其轴截面为正方形）和一个半球组成，求它的内接正四棱锥的表面积． 【经典例题三 棱台表面积的有关计算】 【例1】（24-25高二下·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【例2】（2025高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 1．（24-25高一下·安徽·月考）乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（    ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 3．（24-25高三上·福建龙岩·月考）在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为____． 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知正三棱台上底面边长为1，下底面边长为2，高为1．求该三棱台表面积． 【经典例题四 柱体体积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·内蒙古兴安·期中）直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知直平行六面体的各条棱长均为3，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，求的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积． 1．（25-26高三上·山东日照·月考）如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点，则（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）用一张长为、宽为的矩形铁皮围成圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·上海·二轮复习）如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点，则三棱锥的体积__________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成的角为，求此三棱柱的体积． 【经典例题五 锥体体积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·北京西城·期末）某圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥的相对的两条棱都相等，的棱长分别为，，，求三棱锥的体积． 1．（25-26高二上·山东青岛·月考）四边形是边长为4的正方形，分别为的中点，点为中点，将点沿折至点处，使得平面，则五棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，平面平面CDF，，，，，且．记三棱锥，，的体积分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.则三棱锥的体积为_____； 4．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，求四棱锥的体积． 【经典例题六 台体体积的有关计算】 【例1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（24-25高一下·江西赣州·期末）（1）已知圆锥的母线长是，侧面积是，求该圆锥的高？ （2）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，求它的体积？ 1．（2026·辽宁朝阳·一模）欧式建筑的风格充满美感，部分教堂建筑的顶部可视为一个圆台，记该圆台的上底面面积约为平方米，下底面面积约为平方米，轴截面的面积约为48平方米，则该圆台的体积约为（    ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 2．（多选）（24-25高一下·广东·期中）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 3．（25-26高三上·四川绵阳·月考）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 4．（24-25高二上·河南·月考）如图，在正三棱台中， ，.    (1)求的长度； (2)求三棱台的体积. 【经典例题七 圆柱表面积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·北京怀柔·期中）面积为2的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）要给一批共10000根相同规格的空心钢管镀锌，钢管的长度为1m，内外直径分别为8cm与10cm．若电镀这批钢管每平方米要用锌0.11kg，求需要用锌的总量．（结果精确到0.01kg） 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·重庆万州·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为 C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为 3．（25-26高二上·上海·期末）将边长为1的正方形绕一条边旋转一周后，所得几何体的侧面积为______. 4．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，. (1)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积； (2)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积. 【经典例题八 圆锥表面积的有关计算】 【例1】（2026·广东惠州·一模）已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·安徽·月考）已知底面半径为，高为4的圆柱内有一个圆锥，圆锥的底面半径为圆柱底面半径的，圆锥的高为圆柱高的一半，求圆锥的侧面积. 1．（2026·江西南昌·一模）某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·山东潍坊·期末）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·期中）若一个圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面积为___________． 4．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，在中，，，，将绕BC轴旋转一周形成了一个旋转体. (1)求这个旋转体的体积； (2)求这个旋转体的表面积. 【经典例题九 圆台表面积的有关计算】 【例1】（25-26高三上·河北·月考）已知某圆台的高为6，上底面半径为2，下底面半径为10，则此圆台的表面积为（   ） A．100 B．104 C．120 D．224 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留） 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止它们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，高为分米，则该伊丽莎白圈的侧面积为（   ） A．平方分米 B．平方分米 C．平方分米 D．平方分米 2．（25-26高二上·云南·月考）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 3．（2026高三上·广东·学业考试）已知圆台上底面积为，下底面积为，高为1，则圆台的侧面积为______． 4．（24-25高一下·山西吕梁·期中）一个圆台的母线长为，母线与轴的夹角是两底面的半径之比是． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【经典例题十 球的体积的有关计算】 【例1】（25-26高三上·重庆·开学考试）将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积． 1．（2026·重庆·二模）球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·四川绵阳·二模）已知表面积为的圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________． 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在直三棱柱中，. (1)若外接圆的半径是1，求直三棱柱的表面积； (2)若直三棱柱外接球的体积是，求此直三棱柱的高. 【经典例题十一 球的表面积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·安徽·月考）已知球的表面积为，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点在球的表面上，且，，．若球心与中点的连线长为4，求球的表面积． 1．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）已知正方体的外接球表面积为，点在线段上（含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·浙江·开学考试）体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期末）若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，半径为的球中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的表面积的比值． 【经典例题十二 多面体与球体内切外接问题】 【例1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知两两垂直且侧棱长分别为的四面体，求外接球半径. 1．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·黑龙江·模拟预测）圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（    ） A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 3．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 4．（2025高二上·上海·专题练习）棱长为的正四面体的内切球半径为，若，求正四面体体积． 【经典例题十三 求组合体的体积】 【例1】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成.已知球的半径为3cm，长方体的长､宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上､下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm，试计算这个奖杯的体积（精确到）.      1．（24-25高一下·重庆·期中）如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江苏南京·期末）3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已知某球的表面上有四个点A、B、C、D，满足BA，BC，BD两两垂直且，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由该球的内部挖去由组成的四面体后剩余的部分，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（    ）（参考数据：取，，计算结果精确到0.1） A．17.7g B．18.4g C．19.1g D．20.4g 3．（24-25高二上·四川南充·月考）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为______.    4．（2025高一·全国·专题练习）祖暅是我国南北朝时期的伟大数学家，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异.”并用它推导出了球的体积公式．我们可以将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积公式．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图2所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面，正视图和侧视图中的曲线均是半径为1的半圆．模仿球的体积计算方法，利用祖暅原理求该几何体的体积． 【经典例题十四 求旋转体的体积】 【例1】（2026·山东·二模）17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为O，ABCD是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆，圆心在边上，半圆与分别相切于点，与交于另一点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体. (1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小； (2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积. 1．（2025·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面半径为2，该圆台内切球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·湖北·月考）如图，点分别是直角三角形ABC的边上的点，斜边AC与扇形的弧相切，已知，则关于阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是（    ） A．该几何体是圆锥 B．该几何体的底面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 3．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，正方形的边长为2，分别以边和的中点为圆心画弧和，以直线为轴旋转，弧和线段分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是________． 4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如左图所示，在中，，，.    (1)将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； (2)如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 【拓展训练一 简单几何体表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·河南·期中）（1）某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球．现有两种设计方案，一种是正方体礼盒（如图（1）），另一种是圆柱形礼盒（如图（2）），在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠？    （2）设某长方体礼盒的长，宽，高分别为． （ⅰ）若用十字捆扎法（如图（3）），且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；（不考虑接口处的彩带长度） （ⅱ）若用对角捆扎法（如图（4）），且2cm，不考虑接口处的彩带，结合（ⅰ），比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米？（结果保留到整数） 参考数据：． 1．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 3．（24-25高二下·四川成都·月考）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为_________. 4．（25-26高一·全国·课后作业）圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π) 【拓展训练二 简单几何体体积的有关计算】 【例1】（2026·河北张家口·二模）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 1．（2025·海南海口·模拟预测）石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 2．（多选）（24-25高一下·山东潍坊·期末）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期中）正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，高为，该四棱台的体积为__________． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，三棱台上底面积和下底面积比为，E为棱的中点，求截面分棱台的体积比． 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）    A． B． C．8 D．9 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广东汕头·月考）如图所示，将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中，此时盖子恰好能够盖上.已知该杯状容器的深度为h，则当冰球完全融化为水时的深度约为（    ） 参考数据：；；；；. A．0.48h B．0.54h C．0.67h D．0.75h 6．（多选）（24-25高一下·内蒙古兴安·期中）关于球的下列说法正确的有（    ） A．若球的体积为，则球表面积也为 B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍 C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为 D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为 7．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（   ） A．该水杯侧面积为 B．该水杯里牛奶的体积为 C．放入的椰果半径为 D．该水杯外接球的表面积为 8．（多选）（2025·江西·模拟预测）一个三棱锥和一个正三棱柱的所有棱长与一个表面积为的正方体的棱长相等，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的表面积为 B．三棱柱的表面积为 C．三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为 D．三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为 9．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高三上·广西·月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（    ） A．在四面体中，点的曲率为 B．在四面体中，点的曲率大于 C．四面体外接球的表面积为 D．四面体内切球半径的倒数为 11．（25-26高一上·上海黄浦·月考）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为___________． 12．（24-25高一下·辽宁·月考）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为____________． 13．（2026高一·全国·专题练习）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为_______. 14．（25-26高二上·上海·月考）已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则该圆柱的体积为__________. 15．（25-26高二上·上海·期末）体积为的球的表面积是________． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）某个实心零部件的直观图如图所示，其下部是上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知，，，，每平方厘米的加工处理费为0.2元，则需加工处理费多少元？    17．（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 18．（25-26高二上·上海·月考）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 19．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形．    (1)求该圆锥的体积与表面积，侧面展开图的扇形面积； (2)该圆锥内切球半径为，内接正方体棱长为，分别求出的值． 20．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 简单几何体的表面积与体积重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 棱柱表面积的有关计算 题型二 棱锥表面积的有关计算 题型三 棱台表面积的有关计算 题型四 柱体体积的有关计算 题型五 锥体体积的有关计算 题型六 台体体积的有关计算 题型七 圆柱表面积的有关计算 题型八 圆锥表面积的有关计算 题型九 圆台表面积的有关计算 题型十 球的体积的有关计算 题型十一 球的表面积的有关计算 题型十二 多面体与球体内切外接问题 题型十三 求组合体的体积 题型十四 求旋转体的体积 拓展训练一 简单几何体表面积的有关计算 拓展训练二 简单几何体体积的有关计算 知识点一： 多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和， 表面积是侧面积与底面面积之和． 1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 （1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长； （2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成； （3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。 2、棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）棱柱的表面积：； （2）棱锥的表面积：； （3）棱台的表面积： 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川巴中·月考）在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，由正四面体的表面积求出，从而求出正方体的表面积. 【详解】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以， 所以， 所以. 故选：B 2．（24-25高一下·陕西宝鸡·月考）已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的表面积为______. 【答案】 【分析】求出棱台侧面上的高，根据棱台的表面积的计算方法即可得答案. 【详解】由题意知正四棱台的侧面为上、下底分别是和，腰为的等腰梯形，    故梯形的高为， 则正四棱台的表面积为， 故答案为： 知识点二： 棱柱、棱锥、棱台的体积 1、棱锥、棱锥、棱台的高 （1）棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离； （2）棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离； （3）棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。 2、棱锥、棱锥、棱台的体积公式 几何体 体积公式 说明 棱柱 为棱柱的底面积，为棱柱的高 棱锥 为棱锥的底面积，为棱锥的高 棱台 ，分别为棱台的上、下底面，为棱台的高 3、对棱柱、棱锥、棱台体积公式的理解 （1）等底、等高的两个棱柱的体积相同； （2）等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系； （3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 （4）求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积. 【即时训练】 1．（25-26高二上·四川·月考）已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆锥和圆柱的高和底面半径，然后根据体积比可求出高之比. 【详解】设圆柱和圆锥的高分别为，底面半径分别为， 因为圆柱和圆锥的体积之比为，则，所以， 故选：A. 2．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________． 【答案】 【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求解即可． 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为3和8，母线为13， 所以圆台的高为：， 由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：． 故答案为： 知识点三： 圆柱、圆锥、圆台的表面积 1、侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤; 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图． （2）依次求出各个平面图形的面积． （3）将各平面图形的面积相加． 【即时训练】 1．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D．3：1 【答案】C 【分析】设它们底面圆半径为，母线长为，计算其表面积后可得比例关系. 【详解】设它们底面圆半径为，母线长为， 记圆柱的表面积为，则， 记圆锥的表面积为，则， 所以圆柱与圆锥表面积之比. 故选：C 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）圆台的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台的侧面面积是______． 【答案】 【分析】利用圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】圆台的上底面半径，下底面半径，母线长， 则圆台的侧面面积． 故答案为： 知识点四： 圆柱、圆锥、圆台的体积 1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式 几何体 体积公式 说明 圆柱 为圆柱的底面积，为圆柱的高 圆锥 为圆锥的底面积，为圆锥的高 圆台 ，分别为圆台的上、下底面，为圆台的高 2、对圆柱、圆锥、圆台体积公式的认识 （1）等底、等高的两个圆柱的体积相同； （2）等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍； （3）圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系 （4）求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积. 【即时训练】 1．（24-25高一下·河南商丘·期末）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的底面半径为r，分别求出圆锥和圆柱的高（用表示），代入体积公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥的高为，设圆柱的高为，又圆锥和圆柱的侧面积相等， 所以，解得，所以这个圆锥和圆柱的体积之比为. 故选：C． 2．（2025高三上·吉林长春·专题练习）一圆台的上、下底面半径分别为、，体积为，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【分析】先用圆台体积公式求得高，再求出母线长，利用圆台侧面积公式可求得侧面积. 【详解】由题可知，圆台上底面面积，下底面面积， 设高为，则体积， 解得.而圆台母线长为， 所以圆台的侧面积为. 故答案为：. 知识点五： 球的表面积和体积 1、球的体积公式： 2、球的表面积公式： 【即时训练】 1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）若两个球的表面积之比为：，则它们的体积之比为（   ） A．1：9 B．1：3 C．1：27 D．1：729 【答案】C 【分析】根据题意和球的表面积公式可得两球半径之比，结合球的体积公式计算即可. 【详解】设表面积较小的球的半径为，半径较大的球的半径为， 两球的表面积之比为，则， 所以两球的体积之比为. 故选：C. 2．（25-26高二上·上海·期末）若一个球的表面积是，则这个球的体积为______. 【答案】 【分析】根据表面积可得半径，即可根据体积公式求解. 【详解】设球的半径为，则，则， 故球的体积为， 故答案为： 【经典例题一 棱柱表面积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·北京·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】直接根据底面边长和侧棱长即可求解. 【详解】解：因为长方体中，底面是边长为1的正方形，， 所以该长方体的表面积为： 故选：A 【例2】（2025高二上·上海·专题练习）现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求：该直四棱柱的侧面积、表面积；【注：体对角线是连接棱柱上下底面、不在同一侧面的两顶点的连线】 【答案】侧面积为，表面积为 【分析】根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合棱柱的侧面积和表面积公式进行求解即可. 【详解】如图，设底面对角线，交点为O， 体对角线， 所以， ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴， 因此直四棱柱的侧面积为， 底面积为， 因此直四棱柱的表面积为：. 1．（24-25高一下·安徽滁州·期中）如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 3．（24-25高三上·江苏·月考）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________ 【答案】 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体表面积的计算公式可求表面积. 【详解】如图所示，该几何体可视为两个直三柱挖去一个四棱锥， 且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为. 由题设有，故， 故两个直三棱柱的表面积和为， 两者有公共侧面，其面积为， 而四棱锥的侧面积为， 故几何体的表面积为， 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【答案】 【分析】分别求三棱柱每个面的面积相加即可. 【详解】因为侧棱底面， 所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为， 所以底面，均为直角三角形． 因为，， 所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 【经典例题二 棱锥表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥结构特征可求得侧面的高，由此可计算得到结果. 【详解】正四棱锥的底面边长为，高为，正四棱锥侧面的高为， 正四棱锥的侧面积. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·湖南株洲·期中）已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积. 【答案】 【分析】易知四面体为正四面体，求出一个三角形面积即可得四面体的表面积. 【详解】 因为四面体的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍， 不妨求的面积，取的中点为，连接； 因为是边长为2的正三角形，易知， 所以. 可得四面体的表面积为. 1．（24-25高一下·重庆·月考）正三棱锥的表面积是底面积的5倍，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，再根据题意列出方程，即可求得，从而得到结果. 【详解】设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为， 则底面面积为， 侧面积为， 且表面积是底面积的5倍， 则侧面积是底面积的4倍，即， 化简可得，即. 所以. 故选：A 2．（24-25高二下·陕西榆林·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据侧面积之和为底面积的2倍得到斜高和底面边长的关系，由勾股定理得到方程，求出斜高，进而求出底面积和侧面积，相加得到表面积. 【详解】如图，是正四棱锥的高，所以，是斜高，    由各侧面的面积之和是底面积的2倍可得，所以， 在中，，，所以， 所以， 底面积，侧面积为， 表面积． 故选：D． 3．（24-25高一下·河北衡水·期末）有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为_______． 【答案】 【分析】由截面是边长为2正方形，可得正四面体的棱长为4，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图正四面体，截面正方形由4条边的中点构成， 由于正四面体的对称性，这4个中点共面且形成正方形， 即四边形是边长为2的正方形， 所以正四面体的棱长为4. 又因为正四面体每个面都是等边三角形， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高二·全国·课后作业）胶囊酒店是一种极高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤维制成的细小空间，仅够睡眠使用．空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手间及淋浴设施需要共享，其特点是便捷、价格便宜，多适用于旅客．如图为一胶囊模型，它由一个边长为2的等边圆柱（其轴截面为正方形）和一个半球组成，求它的内接正四棱锥的表面积． 【答案】表面积为． 【分析】画出图形，利用图形求出正四棱锥得表面积即可 【详解】由题意可知几何体的直观图如图所示． 则正四棱锥的底面边长为，棱锥的高为．侧棱为， 从而底面面积为， 侧面积为． 所以正四棱锥的表面积为． 【经典例题三 棱台表面积的有关计算】 【例1】（24-25高二下·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【分析】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 【例2】（2025高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 【答案】 【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解. 【详解】如图所示，画出正三棱台， 其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点， 则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形， ,, 所以, 所以此三棱台的表面积,    1．（24-25高一下·安徽·月考）乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（    ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据台体的几何性质求出台体的表面积结合每平方厘米需要涂料计算求解. 【详解】如图，盘子侧面等腰梯形的高为，底面面积为， 侧面六个等腰梯形的面积之和为， 所以每个盘子需要刷涂料的面积， 所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料. 故选:B. 2．（多选）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【分析】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 3．（24-25高三上·福建龙岩·月考）在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为____． 【答案】 【分析】过作，由已知，求出，进而求出四棱台的侧面面积. 【详解】 如图，过作，垂足为， 所以为正四棱台的侧面的高， 因为， 则，， ， 所以正四棱台的侧面积为. 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知正三棱台上底面边长为1，下底面边长为2，高为1．求该三棱台表面积． 【答案】 【分析】由题意画出图形，求出三棱台的斜高，再代入表面积公式求解即可． 【详解】如图，正三棱台，分别为上下底面的中心， 连接并延长交于，连接CO并延长交AB于D，连接。 ∵等边三角形的边长为1，∴, ∵等边三角形ABC的边长为2，∴ ， 所以该三棱台表面积为： 【经典例题四 柱体体积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·内蒙古兴安·期中）直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式计算得解. 【详解】在直三棱柱中，， ，， 所以该棱柱的体积. 故选：C 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知直平行六面体的各条棱长均为3，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，求的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积． 【答案】 【分析】确定P的轨迹以点D为球心，半径的球，求出球的体积，说明P的轨迹（曲面）与共一个顶点D的三个面所围成的几何体的形状，求出它的体积． 【详解】由题可知为直角三角形，且， 又，， 所以点的轨迹以点为球心，半径为1的球面， 所以其与顶点以及三个面围成的几何体的体积为． 1．（25-26高三上·山东日照·月考）如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点，则（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出水的体积，再得到四边形的面积，根据水的体积得到方程，求出答案. 【详解】水的体积， 又分别为，的中点， 故四边形的面积为， 故， 又，所以，解得. 故选：C 2．（多选）（25-26高一·全国·课后作业）用一张长为、宽为的矩形铁皮围成圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，结合圆的周长和圆柱的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意，设卷成圆柱的底面圆的半径为， 若将硬纸板沿宽围成圆柱，可得，解得，所以体积为； 若将硬纸板沿长围成圆柱，可得，解得，所以体积为. 故选：CD. 3．（25-26高三·上海·二轮复习）如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点，则三棱锥的体积__________． 【答案】 【分析】由棱柱的体积公式求解即可. 【详解】因为为直三棱柱，所以平面， 又因为为边长为的正三角形，所以， 又. 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成的角为，求此三棱柱的体积． 【答案】 【分析】利用三棱柱的体积公式求解即可. 【详解】如图所示，由条件知此三棱柱为正三棱柱． ∵正三棱柱的面对角线，． ． ． 【经典例题五 锥体体积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·北京西城·期末）某圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径并求出圆锥的高，进而求出体积. 【详解】设该圆锥的底面半径为，由圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形， 得，且该圆锥的母线，则，圆锥的高， 所以该圆锥的体积. 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥的相对的两条棱都相等，的棱长分别为，，，求三棱锥的体积． 【答案】 【分析】将三棱锥补形为长方体，使三棱锥的棱为长方体的面对角线，根据三棱锥的棱长求出长方体的长宽高，最后利用割补法求体积即可. 【详解】如图，因三棱锥的相对的两条棱都相等，故其可以补形为长方体， 设补成的长方体长、宽、高度分别为， 由题意，可得，解得， 则长方体的体积为，， 所以， 即三棱锥的体积为． 1．（25-26高二上·山东青岛·月考）四边形是边长为4的正方形，分别为的中点，点为中点，将点沿折至点处，使得平面，则五棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用锥体体积公式计算得解. 【详解】，点为的中点，得， 且，底面的面积为， 所以五棱锥的体积为. 故选：A. 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，平面平面CDF，，，，，且．记三棱锥，，的体积分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意几何体补形为正方体，再计算相关体积得出关系即可. 【详解】由已知，将几何体补形为正方体，如图，设该正方体的棱长为1， 则， ， ， 所以，．    故选：AC. 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.则三棱锥的体积为_____； 【答案】 【详解】取中点，连接， ，分别是，的中点，， 正方形的边长为2，，， 底面，底面 ∴. 4．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，求四棱锥的体积． 【答案】． 【分析】设到平面的距离为，到平面的距离为，结合正方体性质可得，求出的面积，再根据关系结合锥体体积公式求结论. 【详解】连接，． 设到平面的距离为，到平面的距离为． ∵正方体的棱长为，，分别是，的中点， ． 又， ． 【经典例题六 台体体积的有关计算】 【例1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据正四棱台的体积公式与下底边长的范围求得正四棱台体积的范围即可判断. 【详解】设正四棱台的下底面边长为，高为，则上底面边长近似为，，； 所以正四棱台的体积，解得. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·江西赣州·期末）（1）已知圆锥的母线长是，侧面积是，求该圆锥的高？ （2）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，求它的体积？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理可求得该圆锥的高； （2）求出圆台的高，利用圆台的体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】（1）设圆锥的母线长为，高为，底面半径为， 则该圆锥的侧面积为，解得， 故该圆锥的高为； （2）如图是圆台的轴截面，圆台上、下底面半径分别为、，母线长为，设圆台的高为， 则，解得， 故该圆台的体积为. 1．（2026·辽宁朝阳·一模）欧式建筑的风格充满美感，部分教堂建筑的顶部可视为一个圆台，记该圆台的上底面面积约为平方米，下底面面积约为平方米，轴截面的面积约为48平方米，则该圆台的体积约为（    ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】D 【分析】先根据圆台的底面积及轴截面面积列式得出上下底面半径及高，最后应用圆台体积公式计算求解. 【详解】记圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，可得， 而，解得. 故圆台的体积. 2．（多选）（24-25高一下·广东·期中）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 【答案】AC 【分析】运用台体体积公式,结合正三角形面积计算即可. 【详解】因为正三棱台的下底面的面积为， 所以正三棱台的体积 则A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 3．（25-26高三上·四川绵阳·月考）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 【答案】7 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 4．（24-25高二上·河南·月考）如图，在正三棱台中， ，.    (1)求的长度； (2)求三棱台的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点构造与有关的平行四边形，并计算出边长，由转化后解出长度，再在等腰梯形内作垂线，利用勾股定理解出线段长. （2）过点作面的垂线，并解出垂线段长，利用台体体积公式求得结果. 【详解】（1）延长到点，使，连接，， 由题意知，， 则平行且相等，四边形为平行四边形， 可知平行且相等， 则在中，，，， 由余弦定理，得， ∵，， ∴， 易得， 则，得. 过点作交于点， 则，，， 故， 故.    （2）作平面交平面于点，连接，， ∵平面，故， 又，，且两直线在平面内， 则平面， 又平面，故， 即， 易得， 故， ∴， 故， 得. 故 【经典例题七 圆柱表面积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·北京怀柔·期中）面积为2的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方形绕其一边旋转一周所得的几何体是圆柱，即求圆柱侧面积. 【详解】正方形的面积为2，则其边长为. 正方形绕其一边旋转一周所得的几何体是以为底面半径及母线长的圆柱， 其侧面积. 故选： 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）要给一批共10000根相同规格的空心钢管镀锌，钢管的长度为1m，内外直径分别为8cm与10cm．若电镀这批钢管每平方米要用锌0.11kg，求需要用锌的总量．（结果精确到0.01kg） 【答案】 【分析】利用圆柱的表面积公式求解即可得. 【详解】圆柱上下两底面圆环面积， 圆柱外侧面积， 圆柱内侧面积， 所以每根空心钢管的表面积， 所以需要锌的总量约为. 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的圆锥和圆柱的表面积的比值可得答案. 【详解】设圆锥的表面积为，圆柱的表面积为，由圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为， 则圆锥的母线，圆柱的母线为， 则，. 由，得， 化简得，即， 所以或（舍去），所以，即. 故选：C. 2．（多选）（24-25高二上·重庆万州·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为 C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为 【答案】BC 【解析】根据，，由，求得底面半径，再根据母线，利用圆柱的侧面积公式和表面积公式求解. 【详解】因为，， 所以，即， 又因为， 所以圆柱的侧面积是， 圆柱的表面积是， 故选：BC 3．（25-26高二上·上海·期末）将边长为1的正方形绕一条边旋转一周后，所得几何体的侧面积为______. 【答案】 【分析】边长为1的正方形绕其一边旋转一周，得到的几何体为圆柱，计算圆柱侧面积即可. 【详解】边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱， 其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，. (1)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积； (2)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）绕边旋转，再根据圆柱的表面积公式即可得解； （2）绕边旋转，先将四边形绕直线旋转一周得出的几何体体积转化为圆柱与圆锥的差再加两个圆锥的体积计算即可. 【详解】（1）若将矩形绕直线旋转一周，则可得到以为底面半径以为高的圆柱， 因为，所以, 该圆柱体的体积为； （2） 过B作的垂线，垂足为M,,延长使交于, 过D作的垂线，垂足为N,延长使交于, 因为,以为斜边的直角三角形， 斜边上的高，, 若将矩形绕直线旋转一周，旋转一周， 所得几何体为相同的两个圆锥，几何体的底面半径为，两个圆锥的高为， 四边形绕直线旋转一周得出的几何体体积为四边形绕直线旋转一周得出的圆柱体积减去三角形绕直线旋转一周得出的圆锥体积， 四边形绕直线旋转一周得出以为底面半径，高为的圆柱, 在中，, 绕直线旋转一周得出为底面半径，高为的圆锥， 所得几何体体积为. 【经典例题八 圆锥表面积的有关计算】 【例1】（2026·广东惠州·一模）已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆锥的高为，底面半径为， 则圆锥的母线长， 可得圆锥的侧面积为. 【例2】（25-26高二上·安徽·月考）已知底面半径为，高为4的圆柱内有一个圆锥，圆锥的底面半径为圆柱底面半径的，圆锥的高为圆柱高的一半，求圆锥的侧面积. 【答案】 【分析】由题求得圆锥的底面半径以及高，进而结合勾股定理求得母线长，最后利用圆锥的侧面积公式求解结论即可. 【详解】由题意得圆柱的底面半径为，高为4， 且圆锥的底面半径为圆柱底面半径的，圆锥的高为圆柱高的一半， 则圆锥的底面半径，高为， 由勾股定理得圆锥的母线长， 由圆锥的侧面积公式得圆锥的侧面积为 1．（2026·江西南昌·一模）某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理和圆锥的侧面积公式求解. 【详解】圆锥的轴截面为，，， 则，， 圆锥的侧面积为. 故选：A. 2．（多选）（24-25高三上·山东潍坊·期末）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边， 所以所形成的几何体的表面积是. 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1， 所以写成的几何体的表面积. 综上可知形成几何体的表面积是或. 故选：AB. 3．（25-26高三上·上海·期中）若一个圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面积为___________． 【答案】 【分析】由题意，先求出圆锥的母线长，然后利用侧面积公式求解即可． 【详解】因为圆锥的底面半径为，高为， 所以圆锥的母线长， 则该圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 4．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，在中，，，，将绕BC轴旋转一周形成了一个旋转体. (1)求这个旋转体的体积； (2)求这个旋转体的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转体是两个圆锥的组合体，利用圆锥的体积计算旋转体的体积； （2）利用圆锥的表面积计算旋转体的表面积. 【详解】（1）如图所示. 在中，，， ∴，， ∴， 设旋转体的底面面积为S，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为和，则旋转体的体积 . （2）由（1）得旋转体的表面积 . 【经典例题九 圆台表面积的有关计算】 【例1】（25-26高三上·河北·月考）已知某圆台的高为6，上底面半径为2，下底面半径为10，则此圆台的表面积为（   ） A．100 B．104 C．120 D．224 【答案】D 【分析】首先求圆台的母线，再代入圆台的表面积公式，即可求解. 【详解】圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， ， 所以圆台的表面积. 故选：D 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留） 【答案】 【分析】作出圆台的侧面展开图的示意图，可求得圆台的母线长，从而可求圆台的侧面积. 【详解】如图，设圆台上底面周长为． 因为圆环的圆心角是180°，所以． 又因为，所以．同理． 所以， ． 因此，圆台的侧面积为． 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止它们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，高为分米，则该伊丽莎白圈的侧面积为（   ） A．平方分米 B．平方分米 C．平方分米 D．平方分米 【答案】C 【分析】先求出圆台的母线长，由圆台的侧面积公式计算侧面积即可. 【详解】圆台上底面直径为4分米，则上底面半径分米， 下底面直径为2分米，则下底面半径分米， 圆台高为分米， 圆台母线长， 代入得：分米， 圆台侧面积， 将分米，分米，分米，代入： 平方分米. 故选：C 2．（25-26高二上·云南·月考）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆台侧面积公式列式求解. 【详解】设圆台较小底面的半径为， 由圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，得该圆台较大底面的半径为， 由母线长为7，圆台的侧面积为，得，解得，经验证符合题意， 所以圆台较小底面的半径为3. 故选：D 3．（2026高三上·广东·学业考试）已知圆台上底面积为，下底面积为，高为1，则圆台的侧面积为______． 【答案】 【分析】根据圆台的侧面积公式求值. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为. 因为圆台上底面积为，则， 下底面积为，则， 高为1，则， 则圆台的侧面积为． 故答案为： 4．（24-25高一下·山西吕梁·期中）一个圆台的母线长为，母线与轴的夹角是两底面的半径之比是． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据圆台的轴截面图形求出圆台的高； （2）作出圆台及圆锥的轴截面，根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】（1）过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形，设O，分别为的中点，连接，作于点M． 由已知可得腰长． 在中，，所以， 所以圆台的高为． （2）延长交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，可得 即， ∴，即截得此圆台的圆锥的母线长为． 【经典例题十 球的体积的有关计算】 【例1】（25-26高三上·重庆·开学考试）将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球及圆柱的体积公式求解即可. 【详解】设底面半径为，由题意挖去球的半径最大为， 所以，. 故选：B 【例2】（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积． 【答案】，． 【分析】由题意求出球的半径，再求其表面积与体积即可． 【详解】由题意，球的一个截面圆的面积是． 则， 则， 在中，， 则， 解得， 所以球的表面积为， ． 1．（2026·重庆·二模）球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果. 【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为. 由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为. 到的距离，则球缺的高. 所以． 2．（2026·四川绵阳·二模）已知表面积为的圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的表面积公式以及条件，即可求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】令圆柱的底面半径和高分别为和，球的半径为， 则，又， 所以， 则球的体积为. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________． 【答案】 【分析】先根据正方体的表面积求出棱长，再分析球与每条棱相切时球的直径等于正方体的面对角线，从而求出球的半径和体积. 【详解】设正方体的棱长为，则，解得． 又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长即为球的直径长， 所以球的半径长是， 所以此球的体积为． 故答案为：. 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）在直三棱柱中，. (1)若外接圆的半径是1，求直三棱柱的表面积； (2)若直三棱柱外接球的体积是，求此直三棱柱的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出，的长，从而求得直三棱柱的表面积； （2）设，由正弦定理求出底面三角形外接圆半径，设、分别为和的外接圆圆心，则直棱柱的性质可知的中点为三棱柱的外接球球心，利用勾股定理即可求出外接球半径，由球的体积公式即可求出答案. 【详解】（1）因为，所以，. 故直三棱柱的表面积为 . （2）设.因为，所以. 于是是外接圆的半径. 如图，设、分别为和的外接圆圆心，由直棱柱的性质可知的中点为三棱柱的外接球球心， 所以 则球的半径为.. 所以球的体积为，解得. 故直三棱柱的高是. 【经典例题十一 球的表面积的有关计算】 【例1】（25-26高二上·安徽·月考）已知球的表面积为，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的表面积可得球的半径，从而得到球的体积. 【详解】设球的半径为R，则，解得， 所以球的体积为 故选：C 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点在球的表面上，且，，．若球心与中点的连线长为4，求球的表面积． 【答案】 【分析】计算出外接圆的半径，然后利用勾股定理计算出球的半径，最后利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】解：，，， ，即是以为斜边的直角三角形． 平面被球所截得的图形是以线段为直径的圆． 设截面圆的圆心为，则为线段的中点，且，则， 由已知，球心与平面的距离即为球心与中点的连线长， 球的半径． 球的表面积． 1．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）已知正方体的外接球表面积为，点在线段上（含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性得到，将问题转化为平面中点到直线的距离问题，垂线段最短，两边端点处最长，即可求解. 【详解】 依题意，，解得， 根据对称性得， 在中，因为，所以是等腰三角形， 当为的中点时，取得最小值， 当点与点或点重合时，取得最大值， 所以的取值范围是. 2．（25-26高三下·浙江·开学考试）体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助球的体积公式可求出半径，再利用表面积公式计算即可得. 【详解】设该球半径为，则，解得， 则该球的表面积为. 3．（25-26高二上·上海·期末）若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【分析】由球的表面积和圆柱的表面积相等得出圆柱的底面半径，再计算圆柱的侧面积即可. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为. 由题， 故，即 故（负根舍去）， 所以. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，半径为的球中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的表面积的比值． 【答案】． 【分析】解法1：设圆柱的上底面半径为，球的半径为，球的半径与上底面半径夹角为，则，圆柱的高，计算圆柱的侧面积，进而得，计算圆柱的表面积和球的表面积即可； 解法2：设圆柱的上底面半径为，球的半径为，圆柱的高，圆柱的侧面积为，利用基本不等式即可得，计算圆柱的表面积和球的表面积即可. 【详解】解法1：如图，设圆柱的上底面半径为，球的半径为，球的半径与上底面半径夹角为， 则，圆柱的高， 圆柱的侧面积，当且仅当时，最大，即， 圆柱的表面积， 球的表面积， 所以球的表面积与该圆柱的表面积之比是． 解法2：设圆柱的上底面半径为，球的半径为，圆柱的高． 圆柱的侧面积为，当且仅当，即时，最大， 圆柱的表面积，球的表面积，所以球的表面积与该圆柱的表面积之比是． 【经典例题十二 多面体与球体内切外接问题】 【例1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据几何体特征确定球心位置，结合勾股定理可得答案. 【详解】设三棱柱上底面和下底面的中心分别为,连接，则其外接球的球心在的中点处， 记球心为,连接，则由正三棱柱的性质可知为直角三角形； 因为正三棱柱的高为2，， 所以，，所以. 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知两两垂直且侧棱长分别为的四面体，求外接球半径. 【答案】 【分析】把四面体补成长方体，长方体体对角线即为外接球直径. 【详解】∵三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴可看作长方体的一角，其外接球直径即为长方体的体对角线长， 为，所以外接球的半径为. 1．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆锥的轴截面是等腰直角三角形，设出底面圆半径，然后分别求出圆锥和其外接球的体积. 【详解】由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形，那么圆锥的外接球的球心和底面圆心重合， 不妨设底面直径为，则圆锥的高为，外接球的半径为， 外接球的体积是，圆锥的体积为， 于是圆锥的体积与其外接球的体积之比为. 故选：D． 2．（多选）（2025·黑龙江·模拟预测）圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（    ） A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 【答案】ABD 【分析】圆柱内切球半径等于圆柱底面半径，再利用即可得到ABD，圆柱内接圆锥半径圆柱底面半径，高等于圆柱的高即可得到C. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，所以内切球的半径为，A正确； 圆柱的表面积为，内切球的表面积为，所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为，B正确； 圆柱内接圆锥的表面积为，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为错误； 圆柱内切球的体积，圆柱的体积，所以，D正确. 故选：. 3．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 【答案】 【分析】设四面体的棱长为，求出正四面体的高，可得其体积，设正四面体的内切球半径为利用等体积法可得则,从而得到内切球的半径即可求解. 【详解】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段， 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为， 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则， 所以内切球表面积，又正四面体的表面积， 所以 4．（2025高二上·上海·专题练习）棱长为的正四面体的内切球半径为，若，求正四面体体积． 【答案】 【分析】根据正四面体体积，表面积，内切球半径的关系式求解即可. 【详解】如图所示：设正四面体的边长为，在底面的射影为，连接，    则，， ， 则正四面体的体积，表面积为. 如图所示，设为正四面体内切球的球心，半径，    因为正四面体的体积 ， 所以，解得，即. 【经典例题十三 求组合体的体积】 【例1】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】B 【分析】分析可知，圆柱的底面半径和高均为米，利用柱体和球体的体积公式计算即可得解. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径和高均为米，且半球的半径为米， 因此，此鼎的容积为立方米. 故选：B. 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成.已知球的半径为3cm，长方体的长､宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上､下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm，试计算这个奖杯的体积（精确到）.      【答案】 【分析】根据球、柱体、台体体积公式求得正确答案. 【详解】因为， ，， 所以这个奖杯的体积为. 答：这个奖杯的体积约为. 1．（24-25高一下·重庆·期中）如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得几何体体积为一个圆锥加一个圆柱体积再减去一个球的体积，据此可得答案. 【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到. 由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB， 又，则， 三角形为等腰直角三角形，则， 又由题可得圆柱，圆锥的高均为2， 则圆柱，圆锥体积之和为：， 又注意到球体半径为，则球体体积为：， 则几何体体积为. 故选：A 2．（24-25高三下·江苏南京·期末）3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已知某球的表面上有四个点A、B、C、D，满足BA，BC，BD两两垂直且，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由该球的内部挖去由组成的四面体后剩余的部分，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（    ）（参考数据：取，，计算结果精确到0.1） A．17.7g B．18.4g C．19.1g D．20.4g 【答案】D 【分析】用球体积减去四面体体积得模型的体积,再乘以密度即可得. 【详解】由题意题设中的球可以看作是以为棱的正方体的外接球，因此球半径为， 模型所占体积为， 质量为(). 故选：D． 3．（24-25高二上·四川南充·月考）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为______.    【答案】 【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果. 【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示：    半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为30米. 则，， ， 所以. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）祖暅是我国南北朝时期的伟大数学家，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异.”并用它推导出了球的体积公式．我们可以将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积公式．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图2所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面，正视图和侧视图中的曲线均是半径为1的半圆．模仿球的体积计算方法，利用祖暅原理求该几何体的体积． 【答案】 【分析】根据题意“祖暅原理”为两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等,则可将该四角帐篷的体积等价于一个棱柱减去一个棱锥的体积，根据三视图的数据即可求解. 【详解】如图，构造一个几何体“M”，将与帐篷同底等高的正四棱柱挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥， 用平行于底面的平面截帐篷和该几何体． 设截面到帐篷底面的距离为，易得其截面的对角线长为，所以其面积为， 截几何体“M”得“回字形”截面面积也是， 因此，由祖暅原理知帐篷与几何体“M”的体积相等， 体积． 【经典例题十四 求旋转体的体积】 【例1】（2026·山东·二模）17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为O，ABCD是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】、阴影部分、半圆旋转所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去半球、半球，依次计算其体积即可. 【详解】由旋转体的概念可得：、阴影部分、半圆所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去半球、半球，易知OE=DE， 设DE=OE=r，故，，， 显然，且. 故选：D. 【例2】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆，圆心在边上，半圆与分别相切于点，与交于另一点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体. (1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小； (2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，设，由可求得，代入球的表面积公式可得结果； （2）根据旋转体特征可知所得旋转体为一个圆锥里面挖去一个内切球，由圆锥和球的体积公式可计算得到结果. 【详解】（1）连接，为半圆的切线，， 设，则， ，解得：，. （2），，，， 将阴影部分绕直线旋转一周得到一个圆锥，里面挖去一个内切球， 所求体积. 1．（2025·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面半径为2，该圆台内切球的表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出圆台内切球的半径，即可得圆台的高，然后设出下底面半径，即可表示出母线长，再结合勾股定理即可得下底面半径，最终由圆台体积公式即可得解. 【详解】 设该圆台内切球的半径为R，则，． 设圆台的下底面半径为r，易知圆台的轴截面与球的轴截面内切， 圆台的高为，母线长为， ，解得， 圆台的体积为. 故选：A． 2．（多选）（24-25高一下·湖北·月考）如图，点分别是直角三角形ABC的边上的点，斜边AC与扇形的弧相切，已知，则关于阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是（    ） A．该几何体是圆锥 B．该几何体的底面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，求出斜边上的高，再求出圆锥与半球表面积体积，即可组合得解几何体的表面积体积. 【详解】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球，A选项错误； 几何体底面积为，B选项正确； 几何体的表面积为，C选项错误； 所以所求体积为，D选项正确； 故选：BD. 3．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，正方形的边长为2，分别以边和的中点为圆心画弧和，以直线为轴旋转，弧和线段分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是________． 【答案】/ 【分析】根据曲线形状可得出旋转一周形成的曲面所围成的几何体，再由体积公式计算即可. 【详解】易知旋转所形成的几何体是以底面半径为1，高为2的圆柱被挖去了上下两个半球，且半球的半径为1， 因此围成的几何体的体积是. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如左图所示，在中，，，.    (1)将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； (2)如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出直角的各个边长，再用公式求旋转体圆锥的表面积即可； （2）几何体是图中阴影部分绕直线 旋转半周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，最后除以2可得几何体的体积． 【详解】（1）由题知：在中，，，. 可得：，. 该几何体是绕直线旋转一周所得旋转体, 是一个以为底面半径，为高的圆锥， 设圆锥的侧面积为：，底面积为：. 旋转体的表面积为+ （2）该几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球， 由图知，则， 所以圆锥的底面半径，高为， 球的半径为，， 所以圆锥的体积：， 球的体积：， 阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 故阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体的体积为：. 【拓展训练一 简单几何体表面积的有关计算】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 【例2】（24-25高一下·河南·期中）（1）某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球．现有两种设计方案，一种是正方体礼盒（如图（1）），另一种是圆柱形礼盒（如图（2）），在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠？    （2）设某长方体礼盒的长，宽，高分别为． （ⅰ）若用十字捆扎法（如图（3）），且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；（不考虑接口处的彩带长度） （ⅱ）若用对角捆扎法（如图（4）），且2cm，不考虑接口处的彩带，结合（ⅰ），比较两种捆扎方法中哪一种所用彩带较短，较短的约为多少厘米？（结果保留到整数） 参考数据：． 【答案】（1）工厂选择正方体礼盒更经济实惠； （2）（ⅰ）48cm；（ⅱ）35cm． 【分析】（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元，正方体礼盒，圆柱形礼盒的总造价分别为，结合，得到，即可得到答案； （2）（ⅰ）根据题意，求得彩带的总长度，即可得到答案； （ⅱ）在平面内作，求得，求得需彩带的总长度为，进而得到答案. 【详解】解：（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元， 则圆柱形礼盒的造价为元， 记正方体礼盒，圆柱形礼盒的总造价分别为， 显然都是正数，所以， 则，所以工厂选择正方体礼盒更经济实惠． （2）（ⅰ）所需彩带的总长度为． （ⅱ）如图所示，在平面内作，则， 同理可得，则， 所以所需彩带的总长度为， 因为，所以用对角捆扎法所用的彩带短，较短的约为35cm．    1．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 2．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断. 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 3．（24-25高二下·四川成都·月考）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为_________. 【答案】 【分析】根据棱台表面积公式，结合正方形的面积公式、等腰梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】如下图所示：，，， 所以， 所以该四棱台的表面积为：， 故答案为：． 4．（25-26高一·全国·课后作业）圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π) 【答案】表面积为1100πcm2. 【分析】计算得到，，，再利用圆台的表面积公式计算得到答案. 【详解】如图，设圆台的上底面周长为c. 因为扇环的圆心角是180°，所以c＝π·SA＝2π×10，故SA＝20. 同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20， 因此S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋＋＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1100π(cm2). 故圆台的表面积为1100πcm2. 【拓展训练二 简单几何体体积的有关计算】 【例1】（2026·河北张家口·二模）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径． 【详解】设圆柱的上底面圆周与分别交于点中点为交于点， 因为四边形是边长为2的正方形，所以， 由，得. 由题意，圆柱的底面圆与正方形的四边都相切，故其半径. 又， 所以，圆柱的高， 所以圆柱的体积为. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 【答案】 【分析】截面将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台，另一部分是一个不规则几何体，故可以用棱柱的体积减去棱台的体积求得． 【详解】设棱柱的底面积为，高为，则的面积为， 令， 剩余的不规则几何体的体积为， 所以两部分的体积之比为． 1．（2025·海南海口·模拟预测）石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 【答案】C 【分析】根据球的几何性质确定求缺的高以及圆台的高，再根据球缺与圆台的体积公式即可得组合体石墩的体积. 【详解】如图，为整个几何体的高度，设为球心，分别为圆台上下底面圆心， 则，，， 所以，则球缺的高， 则圆台的高， 故石墩的体积为 . 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·山东潍坊·期末）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】从截面图可得R与的关系，由球和圆柱的体积公式计算和，判断选项. 【详解】由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得， 圆柱的高等于球形巧克力的直径，即， ，，则有. 故选：AD 3．（25-26高二上·上海·期中）正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，高为，该四棱台的体积为__________． 【答案】 【分析】利用正棱台的体积公式计算即得. 【详解】依题意，正四棱台的体积. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，三棱台上底面积和下底面积比为，E为棱的中点，求截面分棱台的体积比． 【答案】 【分析】注意到题设中有上、下底面面积比这个条件，我们当然要想办法用上，但注意到下面一块，若以为底时，无法计算其体积（因它不是锥体），这时可想到“补体”将其补成锥体，关键是求出底面的面积即可求解. 【详解】将其补成锥体，如图15， 由于为的中点，故延长交延长线于点，再连接， 则下面一块已成三棱锥， 补上的又是一个小棱锥， 因为为中点，故只要作， 易知， 设上底面面积为，则下底面面积（已知上、下底面积比为， 再设三棱台高为，则三棱锥的高为， 从而，，，，． 所以截面分三棱台的体积比为． 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）    A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】几何体被截面截完后，分为两个部分，其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成，下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的,逐个计算即可求解. 【详解】该几何体被截面截完后，分为两个部分， 其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成， 下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的. 为了便于计算，设，，， 中，边上的高， 则上部分几何体的面积， 下部分几何体的面积， 故上下两部分表面积之比为. 故选：A 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 【答案】B 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可． 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积． 故选：B． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示． 因为为棱的中点，所以，又， 所以四边形是平行四边形.所以. 由，且，得是的中位线，所以分别为的中点， 故，与的面积比为. 所以三棱锥是正四面体. 取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以． 因为为正三角形，，． 在中，． 所以正四面体的体积为. 所以． 4．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积是，，得，解得; 圆台的母线， 圆台侧面积为． 5．（25-26高一下·广东汕头·月考）如图所示，将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中，此时盖子恰好能够盖上.已知该杯状容器的深度为h，则当冰球完全融化为水时的深度约为（    ） 参考数据：；；；；. A．0.48h B．0.54h C．0.67h D．0.75h 【答案】C 【详解】依题意得，冰球是正四面体的内切球，如图所示： 设正四面体的高为、棱长为，冰球（内切球）的半径为，则； ,解得； ,解得； ，即融化后水的体积为； 由正四面体的高为、棱长为，，得正四面体的体积； 由水在正四面体容器中形成的形状是一个小的正四面体，设冰球完全融化为水时的深度为, 则，即，； ，. 6．（多选）（24-25高一下·内蒙古兴安·期中）关于球的下列说法正确的有（    ） A．若球的体积为，则球表面积也为 B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍 C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为 D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为 【答案】ACD 【分析】利用球的体积公式、球的表面积公式、球的截面性质、正方体外接球特性逐项判断即可. 【详解】对于A，设球的半径为，则，解得，球表面积，A正确； 对于B，球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的8倍，B错误； 对于C，依题意，球的半径，球的表面积为，C正确； 对于D，令正方体的棱长为2，则球的半径为，则球的体积与正方体的体积之比： ，D正确. 故选：ACD 7．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（   ） A．该水杯侧面积为 B．该水杯里牛奶的体积为 C．放入的椰果半径为 D．该水杯外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】根据圆台的侧面积公式即可求解A，根据圆台的体积公式即可求解B，结合球的体积即可求解C,利用勾股定理求解半径，即可根据表面积公式求解D. 【详解】由题意可知圆台的上底面圆半径为，下底面圆半径，圆台的高， 设圆台的母线为，则， 故圆台的侧面积为，故A错误， 牛奶面所在的圆的半径为， 故水杯中牛奶的体积为，故B正确， 水杯的体积为, 故37个小球的体积为， 设小球的半径为，进而,解得，故C正确， 设水杯的外接球的球心到上底面的距离为,则，解得， 故外接球的半径为，故其表面积为，故D正确， 故选：BCD 8．（多选）（2025·江西·模拟预测）一个三棱锥和一个正三棱柱的所有棱长与一个表面积为的正方体的棱长相等，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的表面积为 B．三棱柱的表面积为 C．三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为 D．三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为 【答案】ACD 【分析】设棱长为，分别表示出表面积、高和体积，逐一判断选项即可. 【详解】对于A项，设正方体的棱长为，则，解得， 则三棱锥的表面积为，故A正确； 对于B项，三棱柱的表面积为，故B错误； 对于C项，易知该三棱锥为正四面体，如图， 高，    则三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为，故C正确； 对于D项， ， 所以三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由球的表面积公式与正方体的表面积公式，结合表面积相同的条件，可得，再由球的体积公式与正方体的体积公式，结合，可得. 【详解】球直径为，则半径为，则球的表面积为， 正方体棱长为，则表面积为． 由，因为，所以，即，故A正确，C错误； 又，， 因为，所以，即．故B错误，D正确； 故选：AD. 10．（多选）（24-25高三上·广西·月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（    ） A．在四面体中，点的曲率为 B．在四面体中，点的曲率大于 C．四面体外接球的表面积为 D．四面体内切球半径的倒数为 【答案】ABD 【分析】根据正方体的性质及四面体的内切球与外切球的半径算法，结合曲率的定义分别计算各选项. 【详解】在正方体中，易证为正三角形，，， 在四面体中，点的曲率为，A选项正确； 在正方体中，，，，在四面体中，点的曲率为，B选项正确； 四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径为， 四面体外接球的表面积为，C选项错误； 四面体的体积， 四面体的表面积， 四面体内切球的半径， 即，D选项正确； 故选：ABD. 11．（25-26高一上·上海黄浦·月考）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为___________． 【答案】 【分析】根据正方体表面积公式计算求解. 【详解】因为两个棱长分别为1和2正方体叠起来得到的几何体， 该几何体的表面积为． 故答案为： 12．（24-25高一下·辽宁·月考）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为____________． 【答案】 【分析】根据题设求出截取的小三棱锥的侧面等边三角形的面积后可求该平面在木料上的截面面积. 【详解】正四面体表面积为，故截取的小三棱锥的侧面积为， 故小三棱锥的侧面等边三角形的面积为，设该平面在木料上的截面面积为， 而底面面积为，则即， 故答案为：. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为_______. 【答案】1 【分析】利用分别表示出棱柱的表面积和体积，由已知等量关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：棱柱的体积， 表面积， 因为， 所以，解得. 14．（25-26高二上·上海·月考）已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则该圆柱的体积为__________. 【答案】 【分析】根据侧面积公式求出圆柱的高，再利用体积公式计算即可. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 则，，则， 故该圆柱的体积为. 故答案为： 15．（25-26高二上·上海·期末）体积为的球的表面积是________． 【答案】 【分析】根据球的体积求出球的半径，继而根据球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】设球的半径为R，则， 故球的表面积是. 故答案为：. 16．（25-26高一下·全国·课后作业）某个实心零部件的直观图如图所示，其下部是上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知，，，，每平方厘米的加工处理费为0.2元，则需加工处理费多少元？    【答案】484元 【分析】需计算上面四棱柱的表面积（除去下底面的面积），四棱台的表面积（除去下底面的面积）即可． 【详解】因为四棱柱的底面是正方形，侧面是全等的矩形， 所以该零部件上部的表面积. 又四棱台的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 所以该零部件下部的表面积. 于是该实心零部件的表面积， 又（元）， 故所需加工处理费为484元. 17．（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用柱体的体积公式以及边长求解即可； （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）正三棱柱的各棱长均为2， 所以； （2）设点到平面的距离为，由， 又， 所以，即得， 即， 解得. 18．（25-26高二上·上海·月考）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)元 (3)时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是 【分析】（1）根据条件，可得，根据体积公式，分别求得正四棱锥的体积和正四棱柱的体积，相加即可得答案. （2）根据条件，求得各个长度，进而可得正四棱锥的侧面积和正四棱柱的侧面积，根据单价，即可得答案. （3）设，可表示出各个长度，进而可得下部分的侧面积为的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积. 所以仓库的容积. （2）如图，连接，取的中点，连接. 在正四棱锥中，， 所以. 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为：. 正四棱柱的侧面积为： 则粉刷总费用为： 元. （3）设，下部分的侧面积为，连接， 则， 则， 设， 当，即时，， 故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是. 19．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形．    (1)求该圆锥的体积与表面积，侧面展开图的扇形面积； (2)该圆锥内切球半径为，内接正方体棱长为，分别求出的值． 【答案】(1)，侧面积 (2)， 【分析】（1）由题意可得圆锥的几何元素，利用其体积公式以及表面积、侧面积公式，可得答案； （2）由题意作图，结合直角三角形，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由轴截面为边长为4的等边三角形， 可得底面半径，高为，母线长， 于是， . （2）如图1，易知，可得在中，，解得， 如图2，易知，可得在中，，解得，    20．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    学科网（北京）股份有限公司 $