8.3 简单几何体的表面积与体积（思维导图+4大知识点+5大题型）（讲义）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8．3 简单几何体的表面积与体积 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 4 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 4 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 5 知识点四、球的表面积和体积 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积计算 7 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积求解 8 题型三：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算 10 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解 11 题型五：球的表面积与体积及切接球问题 11 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h． 综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 知识点四、球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积计算 【典例1-1】已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 【典例1-2】如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【方法技巧与总结】（求多面体表面积注意事项） 1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 【变式1-1】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【变式1-2】三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【变式1-3】直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，求底面各边之长． 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积求解 【典例2-1】（2026·高一·陕西西安·月考）如图，已知圆柱底面圆直径为2，高为1，将其截成一个四棱柱，用和圆柱底面平行的平面截这个四棱柱，得到的截面为矩形，设该矩形一条边长为，截面的面积为. (1)求截面的面积关于的函数解析式； (2)求截得棱柱的体积的最大值. 【典例2-2】（2026·高一·天津蓟州·月考）如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 【方法技巧与总结】（求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项） 1、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【变式2-1】（2026·高一·全国·单元测试）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 【变式2-2】（2026·高一·全国·单元测试）如图所示，已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，求四棱锥的体积． 【变式2-3】（2026·高二·四川达州·月考）如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 题型三：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算 【典例3-1】圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 【变式3-1】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【变式3-3】已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解 【典例4-1】若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 【典例4-2】已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 【方法技巧与总结】（求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【变式4-1】已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 【变式4-2】（2026·高一·安徽宿州·期末）已知一个圆锥的表面积为，则它的体积最大值为_______. 【变式4-3】（2026·高一·北京·期末）随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3m，圆柱的高为4m，底面直径为8m，该蒙古包的体积是___________. 题型五：球的表面积与体积及切接球问题 【典例5-1】（2026·高二·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·河北承德·月考）正四棱锥外接球的表面积为，内切球（与四棱锥的底面和侧面都相切的球）的表面积为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】（与球有关问题的注意事项） 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． 2、球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有，如图（2）． 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为，如图（3）． 4、正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为． 5、正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：． 6、有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【变式5-1】（2026·高三·江西·月考）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·福建南平·期末）在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·山东青岛·期中）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8．3 简单几何体的表面积与体积 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 4 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 4 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 5 知识点四、球的表面积和体积 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积计算 7 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积求解 10 题型三：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算 14 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解 15 题型五：球的表面积与体积及切接球问题 17 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h． 综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 知识点四、球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积计算 【典例1-1】已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． 【解析】（1）如图，在正四棱锥中，高， 侧棱， 则为直角三角形， 在中，， ， ∵四边形为正方形， ． 作交于，则为的中点，．连接，则即为正四棱锥的斜高． 在中，，， ，即正四棱锥的斜高为． 故正四棱锥的底面边长为，斜高为； （2）由（1）知，． 所以正四棱锥的侧面积为． 【典例1-2】如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【解析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为， 所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为， 棱台的侧面积为， 所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm， 因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm， 所以大棱锥的侧面积为， 所以棱台的侧面积为， 棱台的上，下底面的面积和为， 所以棱台的表面积为. 【方法技巧与总结】（求多面体表面积注意事项） 1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 【变式1-1】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求三棱柱的表面积． 【解析】因为侧棱底面， 所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为， 所以底面，均为直角三角形． 因为，， 所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 【变式1-2】三棱柱中，，，，，侧棱长为b，求其侧面积． 【解析】 由题意知为直角等腰三角形，，， 所以，侧棱长为b，则， ，侧棱长为b， 则从点A到距离为， 从点A到距离为距离为， 所以. . 【变式1-3】直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，求底面各边之长． 【解析】设底面三边长分别为， 则， 设长为的边所对的三角形内角为，则， 所以， 所有， 所有，即， 解得（舍去负值）， 所以底面三边长分别为. 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积求解 【典例2-1】（2026·高一·陕西西安·月考）如图，已知圆柱底面圆直径为2，高为1，将其截成一个四棱柱，用和圆柱底面平行的平面截这个四棱柱，得到的截面为矩形，设该矩形一条边长为，截面的面积为. (1)求截面的面积关于的函数解析式； (2)求截得棱柱的体积的最大值. 【解析】（1）横截面如图所示，由题意得. （2）截得棱柱的体积，因为， 所以当时，，即截得棱柱的体积的最大值为2. 【典例2-2】（2026·高一·天津蓟州·月考）如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. (1)求三棱柱的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求 . 【解析】（1）因为截面为正方形， 所以， 在中，， 即，解得， 所以三棱柱的表面积 （2）由题可得： （3）因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . 【方法技巧与总结】（求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项） 1、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【变式2-1】（2026·高一·全国·单元测试）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 【解析】（1）因为是正方体， 所以， 所以三棱锥的表面积为， 而正方体的表面积为， 故三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值． （2）三棱锥，，，是完全一样的． 因为三棱锥的体积为，正方体的体积为， 所以三棱锥的体积为 【变式2-2】（2026·高一·全国·单元测试）如图所示，已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，求四棱锥的体积． 【解析】连接，． 设到平面的距离为，到平面的距离为． ∵正方体的棱长为，，分别是，的中点， ． 又， ． 【变式2-3】（2026·高二·四川达州·月考）如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 【解析】（1）如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积． （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高． 故． 题型三：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算 【典例3-1】圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长，，解得， 所以圆锥的侧面积为. 【典例3-2】一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 【方法技巧与总结】（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 【变式3-1】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 【变式3-2】圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【解析】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为， 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得，所以， 又因为圆台的侧面积为，可得，解得. 故选：A. 【变式3-3】已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【解析】设圆台较小底面的半径为，则另一底面的半径，由该圆台母线长为7，侧面积为， 得，所以. 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解 【典例4-1】若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 【答案】/ 【解析】易知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为， 则，，则高． 则圆锥的体积， 故答案为：. 【典例4-2】已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 【答案】 【解析】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h， 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长， 大扇形弧长， 由知道 ， 则圆台的侧面积， 所以，所以 ， 所以高 ， 所以圆台的体积 【方法技巧与总结】（求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【变式4-1】已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 【答案】 【解析】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则，，，． 又，， ， ． 故答案为： 【变式4-2】（2026·高一·安徽宿州·期末）已知一个圆锥的表面积为，则它的体积最大值为_______. 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则， 因为圆锥的表面积为，所以 从而，且， 所以圆锥的体积为， 因此当时，体积取到最大值． 故答案为：. 【变式4-3】（2026·高一·北京·期末）随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3m，圆柱的高为4m，底面直径为8m，该蒙古包的体积是___________. 【答案】 【解析】根据题意该蒙古包由圆柱和圆锥构成， 则该几何体体积为. 故答案为：. 题型五：球的表面积与体积及切接球问题 【典例5-1】（2026·高二·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，内切球的半径为，体积为， 则，所以，所以， 由有，即， 所以，又， 化简整理得：，解得（舍）， 所以， 故选：A. 【典例5-2】（2026·高一·河北承德·月考）正四棱锥外接球的表面积为，内切球（与四棱锥的底面和侧面都相切的球）的表面积为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，底面的中心为，外接球的球心为， 外接球半径为，内切球半径为，则有， ，解得， 正四棱锥的体积和表面积分别为 ，， 则， 则，设， 则， 等号当且仅当，即时成立．所以， 故选：D． 【方法技巧与总结】（与球有关问题的注意事项） 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． 2、球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有，如图（2）． 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为，如图（3）． 4、正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为． 5、正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：． 6、有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【变式5-1】（2026·高三·江西·月考）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径， 则该球的表面积为． 故选：A． 【变式5-2】（2026·高一·福建南平·期末）在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：D 【变式5-3】（2026·高一·山东青岛·期中）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 【答案】A 【解析】设正方体棱长为， 因为球与正方体的各条棱相切，所以球的直径大小为正方体的面对角线长度， 即半径； 正方体内接于球，则球的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径； 所以球与球的表面积之比为. 故选：A. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $