精品解析：江苏扬州市广陵区红桥高级中学2025-2026学年高三第二学期考前预测数学试题

2025-2026学年高三第二学期第三次阶段性检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式的性质解不等式，判断选项即可. 【详解】集合，当时，， 当时，，故，A，C选项错误； 集合，对都成立， 故集合 ，D选项错误，B选项正确. 故选：B 2. 设复数的共轭复数为，为虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的坐标得出对应的复数，再由共轭复数的定义得出，由模长公式、复数的运算得出答案. 【详解】由题意可知 则 故选：B 3. 在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】由题可知 ， ，所以向量在向量上的投影向量为． 故选：B 4. 若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. 5. 在中，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得，再根据余弦定理求得的长. 【详解】因为，所以由正弦定理， 得，所以. 因为，所以. 所以，即. 又，所以， 整理得，，即 因为，所以，所以. 所以，所以. 由余弦定理， 得，解得. 因为，所以. 6. 已知函数在上有最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解. 【详解】由函数求导可得， . 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，. 故选：D. 7. 已知抛物线 的焦点为F，点是C上的动点，以PF为直径作圆M，再作圆M的与直线PF平行的两条切线，两条切线与y轴的交点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得，记直线PF的倾斜角为，根据几何性质与三角恒等变换可得，由，结合基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由题意知抛物线焦点坐标为，由拋物线的定义可知， 设两个切点分别为D，E，则， 记直线PF的倾斜角为，由题意可得， 则， 又，所以， 设，则，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8． 故选：D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】化简，得到， 利用换元法，设，得到，通过导数，讨论的单调性，可得的最小值. 【详解】 ， ，设，则 ，设， 得，令，得， 则在 时，是单调递增函数，且，则 ，，单调递减； ，，单调递增； 故，当 时，的最小值为8 故选：A 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为50 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用期望的性质计算判断A；由对称性求出，再由不等式的性质求出最小值判断B；利用正态分布的对称性判断CD. 【详解】随机变量， 对于A，，则，A选项错误； 对于B，，有，则， 当且仅当时等号成立，的最小值为50，B选项正确； 对于C，，所以，C选项正确； 对于D，因为随机变量，所以正态曲线的对称轴为直线 ， 因为，所以，故D选项错误. 故选：BC. 10. 如图，正方体的棱长为2，点E为棱的中点，点F在正方体表面及其内部运动，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 当时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当时，三棱锥的体积最小值为 D. 当点F与点D重合时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，在上取一个点，使得，通过线面平行性质定理得到，再通过必相交，推出矛盾，即可判断，对于B，取的中点，通过，得到即为直线与直线所成角，结合余弦定理即可判断，对于C，由，结合是在以为球心，半径为的球面上，即可判断，对于D，将三棱锥外接球转换成直三棱柱的外接球，即可判断. 【详解】在上取一个点，使得，再取的中点，连接， 则平面平面， 若平面， 因为平面， 由线面平行的性质定理可得， 而，可得，且，故必相交，矛盾，故A错误， 由，可得为的三等分点，且， 取的中点， ， 又为中点， 故在正方形中， 又，则为平行四边形， 故，所以， 则即为直线与直线所成角， 又， 由余弦定理可得，故B正确， 当时，易知在以为球心，半径为的球面上，（正方体内部）， 由， 四面体为正四面体， 由正弦定理得：底面 外接圆半径为， 所以点到平面 的距离为， 所以，故C正确， 当重合时，三棱锥即为， 其外接球就是直三棱柱的外接球， 由， 由余弦定理可得：， 所以， 所以 的外接圆半径为， 所以外接球的半径， 所以球的表面积为，故D正确. 11. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角C为钝角 B. C. D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可得A正确；由余弦定理结合A的结果可得B正确；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得C正确；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可得D正确； 【详解】对于A，∵， ∴，即， ∴，又，∴一定为钝角，故选项A正确； 对于B，由余弦定理知，，化简得，故选项B正确； 对于C，∵， ∴，故选项C正确； 对于D，∵ ， ∴， ∵为钝角，则， ， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正项等比数列中，已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，利用等比数列的性质先得出 ，再结合即可求解． 【详解】由，则，得， 由题意知，故 ， 所以． 故答案为： 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径作圆，若椭圆与圆有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程可得，以为直径的圆为：，联立圆与椭圆的方程，求出，结合矩形其中一个顶点为及矩形的面积为，列方程求解即可. 【详解】由椭圆，得 ，则， 以为直径的圆为：， 联立，则， 而矩形其中一个顶点为， 因为矩形的面积为，所以，即， 则，解得，则， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果. 【详解】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法，再从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判，注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有种选法，故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为， 第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法；再从名男生中选出一名担任第四裁判，有种选法；最后从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判，有种选法，故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为， 因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为， 故答案为： 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】（1）证明如下： 令，则，于是，结合已知有， 所以 ，即． 因为 ，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 即数列为等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）令，得，代入已知条件整理即可得证； （2）根据（1）中结论可得数列的通项，应用分组求和及等差等比的前n项和公式求，利用单调性及 能成立求参数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，则 ， 则 ， 令 ，整理得 ，而在上单调递增， 且， 所以 ，的最大值为 ． 16. 某工厂生产一批螺丝钉，长度均为整数，且在至之间，技术监督组为了解生产的螺丝钉质量，按照长度分为9组，每组抽取150个对其中的优质螺丝钉个数进行统计，数据如下： 长期区间 优质个数 81 81 84 88 84 83 83 70 66 （1）设每个长度区间的中点值为，优质个数为，求关于的回归直线方程．若该厂又生产了一批长度区间为的螺丝钉，并从中随机抽取50个，请根据回归直线方程预测这150个中的优质个数． （2）若在某一长度区间内有超过半数的螺丝钉是优质的，则认为从该长度区间内任选一个均为优质的，否则不是．现从这五个长度区间中各随机抽取一个，再从这5个螺丝钉中任选3个，记随机变量为其中的优质个数，求的分布列与数学期望． （参考公式和数据：） 【答案】（1）； （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）根据线性回归分别求出，，从而求解． （2）根据题意可知的所有可能取值为，，，然后求出相应的概率列出分布列，求出期望从而求解. 【小问1详解】 由题意得， 所以， 所以 又 所以， 故关于的回归直线方程为． 当时，，即预测长度区间为的个螺丝钉中的优质个数为． 【小问2详解】 根据题意，在，，，，这五个长度区间中，这三个长度区间中超过半数是优质的， 在，这两个长度区间中优质的不足一半，故随机抽取得到的个螺丝钉中有个是优质的． 所以的所有可能取值为，，， 则， 故随机变量的分布列为 ． 故期望为. 17. 如图，在直角梯形中，，，，为中点，将 沿折起，使到处． （1）求证： 平面 ； （2）若平面 平面 ， ，，，且二面角 的正弦值为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求四棱锥 外接球的表面积． 【答案】（1）因为，，，所以四边形 为矩形， 连接交 于点，连接，则点为中点， 又为中点，所以是 中位线，所以 ， 又平面 ， 平面 ，所以 平面 ． （2）（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理判定即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，结合二面角的向量求法，即可求出 值；判断外接球球心位置，设出球心坐标，列方程求解，进而得到外接球半径，求出表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （Ⅰ）因为 ， 平面 ，平面 平面 且交于． 所以 平面 ，而 平面 ，所以 ， 又 ， 故以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系如图． 则 ， ，， ， ， ， 设 ，则 ， 又 ， 所以，即，所以 ， 则 ， ， 设平面 的法向量为 . 则，即，令 ，则 ， ， 所以 . 又 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以 即为平面 的一个法向量. 设二面角 的平面角为，则， 所以， 即 ， 解得或（舍去，因为），故：． （Ⅱ）所求外接球球心在过点垂直于平面 的垂线上，则 . 设 ，又 ，则 ， ， 所以， 即，整理得，解得， 所以 ，所以， 故． 18. 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）求函数（其中 ）的单调区间； （3）定义：若一条直线同时是两条（或两条以上）曲线的切线，则这条直线叫做这两条（或两条以上）曲线的公切线.判断与是否存在公切线、如果不存在，请说明理由；如果存在，请指出公切线的条数. 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2）答案见解析 （3）存在两条公切线 【解析】 【分析】（1）由已知有，利用导数求极值即可； （2）求，根据的情况分类讨论即可； （3）假设存在公切线，设、切点的为，分别求出切线方程，则有，消去得等价于在有解，即，构造函数，利用导数即可求解. 【小问1详解】 由题意有，所以，令有， 由有，由有，所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由，的定义域为， 所以， ①当时，则有，所以，所以的单调增区间为； ②当时，令，， 则有两个不等的正实根，，， 由有或，有或， 所以的单调增区间为，减区间为； 【小问3详解】 假设存在公切线，与、分别相切于点，则， 所以公切线为：， 和， 所以，消去得， 存在公切线等价于方程在有解， 即，令， ，所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得，又， 所以，使得，所以方程只有两个解， 所以与存在两条公切线. 19. 已知两动直线，分别过椭圆的左焦点和中心，当过椭圆上顶点时，直线的距离为． （1）求椭圆C的方程； （2）设与椭圆C交于A，B两点，点A关于的对称点为，若经过点A，，B的圆的圆心为点M，求点M横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）圆的左焦点F1(-c、0)、上顶点B(0、b)、原点O、 在三角形OF1B中利用等面积法可得、在结合其它已知条件和a、b、c的平方关系，得到方程组，求解得到a、b的值，得到椭圆的标准方程； （2）联立与椭圆C的方程，消去y得到关于x的二次方程，检验判别式后，利用韦达定理求得线段AB的中点坐标，得到线段AB的中垂线的方程，与直线的方程联立，求得M的横坐标关于k的表达式，进而得到其取值范围. 【小问1详解】 设椭圆的左焦点F1(-c、0)、上顶点B(0、b)、原点O. ∵直线l1过左焦点，l2过坐标原点，且当l1过上顶点B时，直线l1、l2间的距离等于原点O到直线l1的距离，即O到F1B的距离为，|F1B|=a、|OB|=b、|OF1|=c、在三角形OF1B中利用等面积法可得，由直线l1:y=k(x+2)可知，l1与x轴的交点横坐标为，∴F1的横坐标为，∴. 由题意可得， 所以． 【小问2详解】 设点， ， ∵，∴，， ， 故线段中点为，线段中垂线方程， ， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以、 （当且仅当，即时取得“等号”）， 又∵，∴，且当趋近于正无穷时，趋近于0． ∴点的横坐标的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三第二学期第三次阶段性检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数的共轭复数为，为虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等边 中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 在 中，已知，则 的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上有最大值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线 的焦点为F，点是C上的动点，以PF为直径作圆M，再作圆M的与直线PF平行的两条切线，两条切线与y轴的交点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 8 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 6 D. 5 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为50 C. D. 若，则 10. 如图，正方体的棱长为2，点E为棱的中点，点F在正方体表面及其内部运动，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 当时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当时，三棱锥的体积最小值为 D. 当点F与点D重合时，三棱锥的外接球表面积为 11. 若 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角C为钝角 B. C. D. 的最小值为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正项等比数列中，已知，则_____． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径作圆，若椭圆与圆有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点，则椭圆的离心率为______． 14. 学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为______． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列的前 项和小于120，求 的最大值． 16. 某工厂生产一批螺丝钉，长度均为整数，且在至之间，技术监督组为了解生产的螺丝钉质量，按照长度分为9组，每组抽取150个对其中的优质螺丝钉个数进行统计，数据如下： 长期区间 优质个数 81 81 84 88 84 83 83 70 66 （1）设每个长度区间的中点值为，优质个数为，求关于的回归直线方程．若该厂又生产了一批长度区间为的螺丝钉，并从中随机抽取50个，请根据回归直线方程预测这150个中的优质个数． （2）若在某一长度区间内有超过半数的螺丝钉是优质的，则认为从该长度区间内任选一个均为优质的，否则不是．现从这五个长度区间中各随机抽取一个，再从这5个螺丝钉中任选3个，记随机变量为其中的优质个数，求的分布列与数学期望． （参考公式和数据：） 17. 如图，在直角梯形中，，，，为 中点，将 沿折起，使到处． （1）求证： 平面 ； （2）若平面 平面 ， ，，，且二面角 的正弦值为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求四棱锥 外接球的表面积． 18. 已知函数，. （1）求函数的极值； （2）求函数（其中 ）的单调区间； （3）定义：若一条直线同时是两条（或两条以上）曲线的切线，则这条直线叫做这两条（或两条以上）曲线的公切线.判断与是否存在公切线、如果不存在，请说明理由；如果存在，请指出公切线的条数. 19. 已知两动直线，分别过椭圆的左焦点和中心，当过椭圆上顶点时，直线的距离为． （1）求椭圆C的方程； （2）设与椭圆C交于A，B两点，点A关于的对称点为，若经过点A，，B的圆的圆心为点M，求点M横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $