专题9 一元一次不等式（组）中的含参问题复习训练 2025-2026学年七年级数学下册人教版

专题9 一元一次不等式（组）中的含参问题 类型一 已知解集情况求字母参数或取值范围 方法指导：利用不等式（组）的解集求参数值或范围的步骤：①解不等式（组）；②套口诀，比大小；③考虑界限取值，的结论。 1．（2024春•海淀区校级月考）关于x的不等式3x﹣2A≤﹣2的解集如图所示，则A的值是 　　 ． 【分析】根据所给数轴，得出不等式的解集，据此得出关于A的等式即可解决问题． 【解答】解：由所给数轴可知， 不等式的解集为x≤﹣1． 由不等式3x﹣2A≤﹣2得， x， 所以， 解得A． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 2．（2025春•济南校级月考）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是m≤3　 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【解答】解：解不等式x+1＞4得：x＞3， ∵不等式组的解集是x＞3， ∴m≤3． 故答案为：m≤3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．（2025春•市中区校级期中）已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是m＜3　 ． 【分析】先分别求出不等式①②的解，再根据不等式组有解进行解答即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜5﹣m， 解不等式②得：x≥2， ∵关于x的不等式组有解， ∴5﹣m＞2． 解得：m＜3， 即m的取值范围为m＜3， 故答案为：m＜3． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2024•济南模拟）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式组无解， ∴a≥2， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式组的无解问题，解答本题的关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解没了． 5．（2025春•宁阳县期末）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜3，求3k+h的值． 【分析】先解不等式组，再由不等式组的解集列出方程求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案． 【解答】解：， 由2x+9＞3k﹣1，得； 由x+h＜﹣2，得x＜﹣h﹣2； ∵不等式组的解集为﹣1＜x＜3， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，熟练掌握由不等式组解集求参数的方法是解决问题的关键． 类型二 已知整数解的个数求字母参数的值或取值范围 方法指导：解决整数解含参问题，数轴是个好帮手。①解不等式（组）；②根据整数解的个数，在数轴上确定参数的范围在那两个整数之间；③两个整数点特殊对待； ④写出参数范围。 6．（2025•齐河县模拟）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是　4≤m＜7　 ． 【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围． 【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x， ∵不等式有最小整数解2， ∴12， 解得：4≤m＜7， 故答案为4≤m＜7． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 7．（2024春•咸安区期末）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 　4＜a≤5　 ． 【分析】由3x﹣5≥1知x≥2，结合x＜a且不等式组只有3个整数解得不等式组的整数解为2、3、4，据此可得答案． 【解答】解：∵3x﹣5≥1， ∴x≥2， 又x＜a且不等式组只有3个整数解， ∴不等式组的整数解为2、3、4， 则4＜a≤5， 故答案为：4＜a≤5． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．（2024春•原阳县期中）已知关于x的不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，若m，n为整数，求m﹣n的值． 【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得． 【解答】解：解不等式2x﹣m≥0，得：xm， 解不等式x﹣n＜0，得：x＜n， ∵不等式组的整数解是﹣1，0，1，2， ∴﹣2m≤﹣1，2＜n≤3， 即﹣4＜m≤﹣2，2＜n≤3， ∵m，n为整数， ∴n＝3，m＝﹣3或m＝﹣2， 当m＝﹣3时，m﹣n＝﹣3﹣3＝﹣6； 当m＝﹣2时，m﹣n＝﹣2﹣3＝﹣5； 综上，m﹣n的值为﹣5或﹣6． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9．（2024春•交口县期末）已知关于x的不等式组 （1）当k＝﹣2时，求该不等式组的解集． （2）若该不等式组有且只有2个整数解，求k的所有整数解的和m． （3）在（2）的条件下，已知关于a，b的方程组的解满足不等式n（2a+b）＜2m+n+8，求n的取值范围． 【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可； （2）分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有2个，即可得到k的范围，进一步求得m的值； （3）解方程组求得a、b的值，即可求得2a+b＝6，由m＝6可知不等式n（2a+b）＜2m+n+8化为6n＜12+n+8，解关于n的不等式即可． 【解答】解：（1）当k＝﹣2时，则， 由①得：x＞﹣2， 由②得：x≤﹣1， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣1； （2）由①得：x＞﹣2， 由②解得：x， ∵不等式组的整数解有且只有2个， ∴整数解为﹣1，0， ∴0， ∴1≤k＜4， ∴k的整数解为1，2，3，其和m＝1+2+3＝6． （3）方程组整理得， ①×7﹣②得：34b＝﹣68， 解得b＝﹣2， 把b＝﹣2代入①得：a＝4， ∴2a+b＝8﹣2＝6， ∵m＝6， ∴不等式n（2a+b）＜2m+n+8化为6n＜12+n+8， 解得n＜4． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，二元一次方程组的解，解一元一次不等式（组），掌握解方程组和不等式组的方法是解本题的关键． 类型三 不等式（组）与方程（组）中的含参问题 10．（2025春•蚌山区校级月考）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≥0，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤﹣1 C．m≥﹣2 D．m≤﹣2 【分析】两方程相加后，再两边都除以2得出x+y＝2m+4，结合x+y≥0得出关于m的不等式，解之即可． 【解答】解：两方程相加可得2x+2y＝4m+8， ∴x+y＝2m+4， ∵x+y≥0， ∴2m+4≥0， 解得m≥﹣2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 11．（2025春•潮阳区期末）已知点P的坐标（x，y）满足方程组 （1）若a＝﹣1，求点P的坐标． （2）若点P在第二象限，试确定a的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由解方程组可得y＝a+3，x＝4a+9，再将a＝﹣1代入可得P的坐标； （2）依据题意，由（1）得，P（4a+9，a+3），结合点P在第二象限，从而可得4a+9＜0，且a+3＞0，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵， ∴①﹣②×2得，y＝a+3． 再将y＝a+3代入②得，x﹣3（a+3）＝a， ∴x＝4a+9． ∴当a＝﹣1时，x＝5，y＝2． ∴此时P（5，2）． （2）由（1）得，P（4a+9，a+3）， 又∵点P在第二象限， ∴4a+9＜0，且a+3＞0． ∴﹣3＜a． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 12．（2024春•虞城县期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于x的方程3x﹣2＝k的解是负数，求k的取值范围． 【拓展】 （2）若关于x，y的方程组的解满足x＞2，求m的最大整数值． 【分析】（1）根据关于k的不等式，可得结论； （2）解方程组求出x，构建不等式求解． 【解答】解：（1）3x﹣2＝k， ∴x， ∵解是负数， ∴0， ∴k＜﹣2； （2）， ②﹣2×①得，x， ∵x＞2， ∴2， ∴m＜﹣1， ∴m的最大整数为﹣2． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，二元一次方程组的解，解一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握基本知识，正确计算． 13．（2025春•巨野县期中）已知关于x的方程的解是非负数． （1）求a的取值范围； （2）若关于y的不等式组的解集为y≥1，求所有符合条件的整数a的和． 【分析】（1）先用含a的式子表示出该方程的解，再根据解是非负数列不等式，即可求解； （2）根据不等式组的解集为y≥1，得出关于a的不等式，结合（1）中结论得出关于a的不等式组，得出整数解，求和即可． 【解答】解：（1）， a﹣（1﹣x）＝3x﹣6， a﹣1+x＝3x﹣6， 解得， ∵该方程的解是非负数， ∴， 解得a≥﹣5； （2）， 解不等式①得：y≥a+4， 解不等式②得：y≥1， ∵该不等式组的解集为 y≥1， ∴a+4≤1， ∴a≤﹣3， 由（1）得a≥﹣5， ∴﹣5≤a≤﹣3， ∴整数a可能为﹣5，﹣4或﹣3， ﹣5+（﹣4）+（﹣3）＝﹣12， ∴所有符合条件的整数a的和为﹣12． 【点睛】本题考查解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，熟记解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的法则是解题的关键． 类型四 不等式（组）与新定义中的含参问题 14．（2024春•安溪县期末）对x，y定义一种新运算，规定：θ（x，y）＝2ax﹣by+1（其中a，b均为非零常数）．例如：θ（2，1）＝2a×2﹣b×1+1＝4a﹣b+1． （1）已知θ（﹣1，1）＝﹣2，θ（3，﹣1）＝12． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； （2）若不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值，请求出该定值． 【分析】（1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； ②把a与b的值代入确定出θ（x，y）＝4x+y+1，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个整数解确定出p的范围即可； （2）利用新定义θ（n﹣m，3m+2）+n＝2a（n﹣m）﹣b（3m+2）+1+n，变形后得出（2a+1）n﹣（2a+3b）m﹣2b+1，由不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值，即可得出，解得，代入﹣2b+1，即可求得θ（n﹣m，3m+2）+n． 【解答】解：（1）①∵θ（﹣1，1）＝﹣2，θ（3，﹣1）＝12， ∴， 解得：a＝2，b＝﹣1； ②由①得：θ（x，y）＝4x+y+1， ∵， ∴， 解得：， ∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解， ∴2026＜2p﹣3≤2027， ∴1014.5＜p≤1015； （2）θ（n﹣m，3m+2）+n＝2a（n﹣m）﹣b（3m+2）+1+n＝（2a+1）n﹣（2a+3b）m﹣2b+1， ∵不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值， ∴， 解得， ∴θ（n﹣m，3m+2）+n＝﹣2， ∴该定值为． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组，掌握新运算，找出关于a，b的二元一次方程组是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9 一元一次不等式（组）中的含参问题 类型一 已知解集情况求字母参数或取值范围 方法指导：利用不等式（组）的解集求参数值或范围的步骤：①解不等式（组）；②套口诀，比大小；③考虑界限取值，的结论。 1．（2024春•海淀区校级月考）关于x的不等式3x﹣2A≤﹣2的解集如图所示，则A的值是 　 ． 2．（2025春•济南校级月考）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 ． 3．（2025春•市中区校级期中）已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 ． 4．（2024•济南模拟）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 5．（2025春•宁阳县期末）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜3，求3k+h的值． 类型二 已知整数解的个数求字母参数的值或取值范围 方法指导：解决整数解含参问题，数轴是个好帮手。①解不等式（组）；②根据整数解的个数，在数轴上确定参数的范围在那两个整数之间；③两个整数点特殊对待； ④写出参数范围。 6．（2025•齐河县模拟）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是　 　 ． 7．（2024春•咸安区期末）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 　 　 ． 8．（2024春•原阳县期中）已知关于x的不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，若m，n为整数，求m﹣n的值． 9．（2024春•交口县期末）已知关于x的不等式组 （1）当k＝﹣2时，求该不等式组的解集． （2）若该不等式组有且只有2个整数解，求k的所有整数解的和m． （3）在（2）的条件下，已知关于a，b的方程组的解满足不等式n（2a+b）＜2m+n+8，求n的取值范围． 类型三 不等式（组）与方程（组）中的含参问题 10．（2025春•蚌山区校级月考）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≥0，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤﹣1 C．m≥﹣2 D．m≤﹣2 11．（2025春•潮阳区期末）已知点P的坐标（x，y）满足方程组 （1）若a＝﹣1，求点P的坐标． （2）若点P在第二象限，试确定a的取值范围． 12．（2024春•虞城县期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于x的方程3x﹣2＝k的解是负数，求k的取值范围． 【拓展】 （2）若关于x，y的方程组的解满足x＞2，求m的最大整数值． 13．（2025春•巨野县期中）已知关于x的方程的解是非负数． （1）求a的取值范围； （2）若关于y的不等式组的解集为y≥1，求所有符合条件的整数a的和． 类型四 不等式（组）与新定义中的含参问题 14．（2024春•安溪县期末）对x，y定义一种新运算，规定：θ（x，y）＝2ax﹣by+1（其中a，b均为非零常数）．例如：θ（2，1）＝2a×2﹣b×1+1＝4a﹣b+1． （1）已知θ（﹣1，1）＝﹣2，θ（3，﹣1）＝12． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； （2）若不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值，请求出该定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $