精品解析：湖北武汉市第二中学2025-2026学年高一年级下学期期中考试数学试卷

2026年春季高一年级期中考试 数学试卷 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. （ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的除法求解. 【详解】. 故选：D 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 由零点存在性定理可知，函数在区间有唯一零点， 所以函数的零点所在区间是. 3. 平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的概念以及平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由题意可知在上的投影向量为. 4. 如图，在平行四边形中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在DN上，故存在实数，使得， 而，所以， 又已知，所以，解得． 5. 已知、均为锐角，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为、均为锐角，且，所以. 由； 由，所以. 所以. 6. 若函数的图象向右平移后图象关于对称，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将函数的图象向右平移后可得函数的图象. 因为其对称轴为，所以，. 所以，. 结合答案，. 7. 已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，即， 化简得， 令，当时，， 由题意可知，要使在区间上没有零点， 则函数在上的图象与直线无交点， 由余弦函数性质可知，，解得， 即的取值范围为. 8. 已知的内角、、的对边分别为、、，若，且的面积为4，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】使用正弦定理和三角形面积公式求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理得, 所以， 当且仅当时等号成立， 又因为， 所以，， 即是等腰直角三角形， 又因为， 所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中，角为锐角，已知角的对边，，则下列值能使存在且只有一个的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】作出图形，根据存在且只有一个求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 由题意可得， 若使存在且只有一个，则或，BD满足要求. 10. 在中，，且为边的中点，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由余弦定理、正弦定理及同角三角函数基本关系化简可得，判断A；由结合余弦定理计算判断B；由二倍角公式结合二次函数性质计算判断C，由向量数量积运算律计算判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得，， 所以， 由正弦定理可得， 而，所以， 因为在中，， 所以，即，故，故A正确； 对于B，由A可知，为等腰三角形，所以， 因为是边的中点， 所以， 由余弦定理可得， 即，解得，故,故为直角，这样题设矛盾，故B错误； 对于C，因为，，所以， 故， 因为，所以，令，， 由二次函数性质可知，当，即时，有最大值，即， 因为，所以不成立，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 11. 点为所在平面内一点，为中点，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若是的重心，则 C. 若为的外心，且，则为的垂心 D. 若，，，点在线段上运动时，最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理可判断A选项；利用重心的向量表示可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质推导出，，，可判断C选项；求出的长，利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示： 因为，则，所以， 所以，A错； 对于B选项，若是的重心，则，B对； 对于C选项，因为为的外心，则， 因为， 所以， 所以，故， 同理可得，，故为的垂心，C对； 对于D选项，因为，，， 由余弦定理可得， 所以，故， 易知，，， 由余弦定理可得，故， 因为为的中点，所以， 所以 ， 当且仅当点与点重合时，等号成立，即最大值为，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共1415分． 12. 设，若复数是纯虚数，则_____． 【答案】## 【解析】 【详解】复数， 由题意可得，解得. 13. 已知平面向量与夹角为，且对任意实数，的最小值为，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以当时，有最小值为， 即，解得. 14. 某同学在三角函数的学习过程中发现一个规律：如图，如果三个角的终边三等分了圆周，则这三个角的正弦值之和为0；类似的，这三个角的余弦值之和也为0，此结论还可以推广到个角．利用以上信息，求出关于的方程在内的所有解：_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由规律得，结合已知条件得，解该方程组即可． 【详解】 由题意，有， 对比两式可得， 则或，其中， 前者无解，后者解得，又， 解得或，当时，；当时，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面直角坐标系中，． （1）若点满足，求点坐标； （2）若点使得为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性坐标运算计算求解； （2）由题意可得且方向不相同，列式计算求解. 【小问1详解】 设，则，， 若，则， 即，解得，所以 【小问2详解】 ，， 由题意可得且方向不相同， 即，解得， 当时，方向相同，不符合题意， 所以实数的取值范围是 16. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用余弦函数性质列不等式计算求解； （2）由，得，结合余弦函数性质计算求解. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； 【小问2详解】 当时，， 所以，， 即函数的值域为. 17. 已知中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理化简计算求解； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换可得，结合题意可得，根据正切函数性质计算求解. 【小问1详解】 可化为， 由余弦定理可得， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，， 所以，即的取值范围为. 18. 某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． （1）选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； （2）当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） （3）记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 【答案】（1）选模型③， （2）至少需要小时 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的增长速度可选择模型③，再结合表格中的数据可求得模型的函数解析式； （2）解不等式，可得结论； （3）求得，且，，于是得出，构造函数，其中，由题意可知函数在上的最小值为，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值. 【小问1详解】 由表格中的数据可知，随着的增大，函数的值增长得越来越快， 模型①②中，随着的增大，的值增长的速度越来越慢，不符合要求， 模型③中，随着的增大，的值增长的速度越来越快，符合要求， 根据题意可得，解得，，则， 此时，，， 故符合题意. 【小问2详解】 由，可得，所以， 故， 所以此模型至少需要训练小时才能进入可用阶段. 【小问3详解】 由题意可得， 因为，即， 所以， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 故当时，， 设，其中，由题意可知函数在上的最小值为， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增， 所以，解得，符合题意； ②当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）. 综上所述. 19. 平面上非零向量，规定一种运算“”：，其中为向量与的夹角． （1）若，求的值； （2）在，有、、所对的边分别为、、，且已知，，，若点为的外心，求． （3）为坐标原点，已知点，其中为锐角，求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系及数量积定义可得，再根据数量积的坐标运算与模的坐标运算公式计算求解即可； （2）根据正弦定理及余弦定理可得，，取的中点为，连接，根据向量数量积的几何意义可得，，结合（1）计算即可求解； （3）设，根据“”的定义可知，结合进行求解即可． 【小问1详解】 若， 则，， 因为， 所以； 【小问2详解】 由和正弦定理，可得， 因， 代入得， 因，，则,故， 由余弦定理，可得，即， 取的中点为，连接，因为点为的外心，所以， 由正弦定理可得，所以， 由向量数量积的几何意义可知，，同理， 所以， 所以； 【小问3详解】 设， ， 又时，即， 解得，在四边形中， 与正半轴的夹角要大于与正半轴的夹角， ， ，又时，， ， 又，， ，， 则； 综上，四边形的面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季高一年级期中考试 数学试卷 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. （ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知、均为锐角，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象向右平移后图象关于对称，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角、、的对边分别为、、，若，且的面积为4，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中，角为锐角，已知角的对边，，则下列值能使存在且只有一个的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，且为边的中点，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 11. 点为所在平面内一点，为中点，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若是的重心，则 C. 若为的外心，且，则为的垂心 D. 若，，，点在线段上运动时，最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共1415分． 12. 设，若复数是纯虚数，则_____． 13. 已知平面向量与夹角为，且对任意实数，的最小值为，则_____． 14. 某同学在三角函数的学习过程中发现一个规律：如图，如果三个角的终边三等分了圆周，则这三个角的正弦值之和为0；类似的，这三个角的余弦值之和也为0，此结论还可以推广到个角．利用以上信息，求出关于的方程在内的所有解：_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面直角坐标系中，． （1）若点满足，求点坐标； （2）若点使得为锐角，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）若，求函数的值域． 17. 已知中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 18. 某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． （1）选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； （2）当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） （3）记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 19. 平面上非零向量，规定一种运算“”：，其中为向量与的夹角． （1）若，求的值； （2）在，有、、所对的边分别为、、，且已知，，，若点为的外心，求． （3）为坐标原点，已知点，其中为锐角，求四边形的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $