第8讲 函数的奇偶性、对称性 课件-2027届高三数学一轮复习

第8讲 函数的奇偶性、对称性 1 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.能通过平移，了解奇偶性是特殊的对称性，分析得出一般的轴对称 和中心对称公式. 课 标 要 求 2 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数 的定 义域为，如果 ， 都有 ，且_________ ____，那么函数 就叫 作偶函数 一般地，设函数 的定义域 为，如果 ，都有 ，且 _______________，那么函数 就叫作奇函数 定义域 关于______对称 原点 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 3 偶函数 奇函数 图象 特征 关于_____对称 ____________________________________ 关于______对称 _________________________________ 轴 原点 续表 课 前 基 础 巩 固 4 常用结论 1.奇（偶）函数定义的等价形式： （1） 为偶函数； （2） 为奇函数. 2.若奇函数在0处有定义，则 . 3.为偶函数 . 4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即， ，其 中定义域 是关于原点对称的非空数集. 5.在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇×奇偶，偶×偶 偶，奇×偶 奇. 课 前 基 础 巩 固 5 6.关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论： （1）若函数满足关系，则函数 的图象 关于直线 对称； （2）若函数满足关系，则函数 的图象 关于直线 对称； （3）若函数满足关系，则函数 的图 象关于点 对称； （4）若函数满足关系，则函数 的 图象关于点 对称. 课 前 基 础 巩 固 6 题组一 常识题 1.［教材改编］函数, , , 中是偶函数的是______. （填序号） ①③ [解析] 根据偶函数的定义，可知①③是偶函数. ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 7 2.［教材改编］函数 的图象的对称中心为______. [解析] ，函数 的图象向上平移一个单位长度 得到的图象，又的图象关于点 对称，所以 的图象关于点 对称. 课 前 基 础 巩 固 8 3.［教材改编］设奇函数 的定义域为 ，若当时， 的图象如图所 示，则不等式 的解集是_____________. [解析] 由图象知， ， 当时，，当时，. 因为 是奇函数，所以， 当时， ，当时，. 综上，的解集是 . 课 前 基 础 巩 固 9 题组二 常错题 ◆ 索引：判断函数的奇偶性时,忽略函数的定义域导致出错;对函数 图象对称性的理解不透彻导致出错;利用函数的奇偶性求函数的解析 式时忽略定义域导致出错. 4.函数 是__________函数.（填“奇”“偶”或 “非奇非偶”） 非奇非偶 [解析] 由得即，故函数的定义域为 ， 因为函数的定义域不关于原点对称，所以 是非奇非偶函数. 课 前 基 础 巩 固 10 5.若函数是偶函数,则函数 的图象关于直线____ __对称;若函数是奇函数,则函数 的图象关于点 ______对称. [解析] 因为是偶函数,所以其图象关于 轴对称, 将的图象向左或向右平移 个单位长度, 得到函数的图象,则 图象的对称轴平移至直线 处,即函数的图象关于直线 对称. 同理,函数的图象关于点 对称. 课 前 基 础 巩 固 11 6.已知函数是定义在上的奇函数,且当时, , 则函数的解析式为 _ ______________. [解析] 当时, ,所以 . 由奇函数的定义可知,所以 课 前 基 础 巩 固 12 探究点一 函数奇偶性的判断 例1 下列函数在定义域上是偶函数的为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］首先确定各函数的定义域,判断定义域是否关于原点对 称,若对称,再根据奇、偶函数的定义判断函数的奇偶性；若不对称, 则函数为非奇非偶函数. √ 课 堂 考 点 探 究 13 [解析] 对于A，由，得，则 的定义域为 ，定义域不关于原点对称，故 为非奇非偶函 数，A不符合题意； 对于B，的定义域为 ，且， 故 为偶函数，B符合题意； 对于C，因为在上恒成立,所以 的定义域为 ， 又 , 所以 为奇函数，C不符合题意； 课 堂 考 点 探 究 14 对于D，的定义域为 ，且 ，所以 为奇函数，D不符合题意.故选B. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）函数具有奇偶性包括两个必备条件: ①定义域关于原点对称.这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以 首先考虑定义域. ②判断与 的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性 的等价关系式（奇函数）或 （偶函数）是否成立. 课 堂 考 点 探 究 16 （2）一些重要类型的奇偶函数模型 ①函数且 是偶函数.②函数 且 是奇函数.③函数 且是奇函数.④函数且 是奇函数.⑤函数且 是奇函数. 课 堂 考 点 探 究 17 变式题（1）（多选题）下列函数是奇函数的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，的定义域为，由 ， ，得且，则 既不是偶函 数也不是奇函数. 对于B，的定义域为 ，且 ，则 为偶函数. √ √ 课 堂 考 点 探 究 18 对于C， 由得的定义域为 ， 关于原点对称，，， . 又， 函数 为奇函数. 对于D，显然函数的定义域为 ，关于原点对称. 当时，，则 ； 当时，，则 . 综上可知，对于定义域内的任意，总有成立， 函数为奇函数.故选 . 课 堂 考 点 探 究 （2）（多选题）设函数，的定义域都为，且 是奇函 数，是偶函数，且， 均不恒为0，则下列结论中正确的 是( ) A.是偶函数 B. 是偶函数 C.是奇函数 D. 是奇函数 √ √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 对于A，设 ，则 ，故 为奇函数，故A错误； 对于B，设 ，则 ， 故为偶函数，故B正确； 对于C，设 ，则 ，故 为奇函数，故C正确； 对于D，设 ，则 ，得 且， 故为非奇非偶函数，故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 21 探究点二 函数奇偶性的应用 角度1 求解析式（参数或值） 例2（1）[2025·山西大同调研]若 是奇函数， 则( ) A.， B.， C.， D.， ［思路点拨］函数为奇函数，则定义域关于原点对称且函数图象过 原点，列方程求解即可； √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 若，则的定义域为 ，不关于原点对称， 所以. 若奇函数有意义，则 且， 所以且 . 因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得. 由，得 ，所以， 所以 ，经验证满足题意.故选B. 课 堂 考 点 探 究 23 （2）若是定义在上的奇函数，当 时， ，则当时， ______________. ［思路点拨］根据求得 ，再结合奇函数的定义求当 时 的解析式. [解析] 是定义在上的奇函数， ， 解得，故当时，. 当时， ， 故 . 课 堂 考 点 探 究 24 [总结反思] 利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助 奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程 思想求参数的值. 课 堂 考 点 探 究 25 变式题（1）[2025·江西十二校一联]已知函数 为偶函数，当 时，，则 ( ) A. B. C.6 D. [解析] 因为函数为偶函数，当时， ， 则 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 26 （2）已知,的定义域均为，且为奇函数， 为偶函 数，若，则 _ ______. [解析] 因为为奇函数，为偶函数，所以 , ，所以 即解得 . 课 堂 考 点 探 究 27 角度2 奇偶性与单调性 例3（1）[2026·重庆一中月考]设函数 ，若 ，，，则，， 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用偶函数的性质以及函数在 上单调递增 即可得出结论. √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 由题意知 为偶函数，所以 ， 当时， 在上单调递增， 因为， ， 所以，所以 ， 所以 ，故选A. 课 堂 考 点 探 究 29 （2）若定义在的奇函数在单调递减，且 ，则 满足的 的取值范围是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一:根据平移结合图象得到结果; 思路二:利用奇函数与函数的单调性求得结果. √ 课 堂 考 点 探 究 30 [解析] 方法一：由题意可得 的图象可如图①所示， 的图象可由 的图象向右平移一个单位得到 （如图②）， 满足即满足与 同号或二者至 少有一个为零，由图可得不等式 的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 31 方法二：由于在上为奇函数，所以， 由在 单调递减，且可得， 所以当 时，； 当时， . 则对于函数而言，当时， ； 当时， . 又， 所以满足的 的取值范围为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 32 [总结反思] 解决函数的奇偶性和单调性结合的问题要注意以下几点 （1）先判断函数的奇偶性、单调性； （2）注意函数定义域对变量取值范围的限定； （3）根据函数的单调性及定义域列出不等式组，解不等式组. 课 堂 考 点 探 究 33 变式题（1）已知是定义在上的奇函数，是定义在 上的 偶函数，且，均在 上单调递减，则( ) A.是偶函数 B. 是奇函数 C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 由 ，且定义域关于原点对称， 得是奇函数，由 ，且定义域关于原点对 称，得为偶函数，故A，B选项均错误. 由题易知函数在 上单调递减，则， 从而 ，故C选项错误. 由题易知函数在上单调递增，在 上单调递减， 由 ，得 ， 故D选项正确.故选D. 课 堂 考 点 探 究 35 （2）[2026·山东日照联考]已知是定义在上的奇函数，当 时，，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 因为是定义在上的奇函数，所以由 ， 可得，即. 当 时，由，解得； 当 时，由奇函数的性质可得,不满足； 当时， ，则 ， 由奇函数的性质，可得, 由 ，解得. 综上，不等式 的解集为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 37 角度3 函数的奇偶性与最值 例4 已知函数， 的最大值 为，最小值为，则 ____. 14 ［思路点拨］构造函数,由奇函数的定义得 为奇 函数,利用奇函数图象的对称性得 ,即可求解. 课 堂 考 点 探 究 38 [解析] 令，且 ， 则 ， 所以为奇函数且其图象在 上连续， 根据奇函数图象的对称性得在 上的最大值、 最小值满足， 故 ． 课 堂 考 点 探 究 39 [总结反思] 若奇函数的最大值为 ，则根据其图象关于原点对称，可得它的最 小值为 .若函数图象关于点成中心对称，则函数图象上的最大值 点与最小值点也成中心对称. 课 堂 考 点 探 究 40 变式题（1）如果奇函数在 上单调递增且最小值为5，那么 在区间 上( ) A.单调递增且最小值为 B.单调递减且最小值为 C.单调递增且最大值为 D.单调递减且最大值为 [解析] 因为是奇函数，所以在区间 上的单调性 与在上的单调性相同，故在上单调递增. 在上的最小值为5，即， 所以在区间 上的最大值为 . 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 41 （2）已知函数在区间 上的 最大值是，最小值是，则 的值为__. [解析] 设， ， 则 ， ，是奇函数， 的最大值和最小值互为相反数. 的最大值为，最小值为 ， ，即，则 . 课 堂 考 点 探 究 42 探究点三 函数图象的对称性 例5 [2024· 新课标Ⅰ卷节选] 已知函数 ，证明：的图象关于点 中心对称. ［思路点拨］设为图象上任意一点，可证 关 于点的对称点也在函数 的图象上， 从而可证对称性. 课 堂 考 点 探 究 43 证明：的定义域为 ， 设为图象上任意一点，关于点 的对称 点为 . 因为在 的图象上， 所以 ， 故 ， 所以也在 的图象上， 所以的图象关于点 中心对称. 课 堂 考 点 探 究 44 [总结反思] 1.函数的图象关于直线 对称 . 2.函数的图象关于点 对称 . 3.函数的图象与函数 的图象关于直线 对称. 课 堂 考 点 探 究 45 4.由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论: （1）若函数为奇函数（或偶函数）,则函数 的 图象关于点对称（或关于直线 对称）; （2）若函数为奇函数（或偶函数）,则函数 的 图象关于点对称（或关于直线 对称）. 课 堂 考 点 探 究 46 变式题（1）[2025·重庆八中月考]下列函数的图象不存在对称中心的 是( ) A. B. C. D. √ [解析] 对于A，为奇函数，故 的图象有对称中心； 对于B， 为奇函数，将其图象向右平移一个单位长度后得到 的图象，故函数 的图象有 对称中心； 对于C， 为奇函数，其图象有对称中心 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 47 （2）（多选题）对于定义在上的函数 ,下述结论正确的是 ( ) A.若是奇函数,则的图象关于点 对称 B.若,则的图象关于直线 对称 C.若函数的图象关于直线对称,则 为偶函数 D.函数的图象与函数的图象关于直线 对称 √ √ 课 堂 考 点 探 究 48 的图象关于点对称,故A正确. 对于B,由 ,得, 其图象不一定关于直线对称,若 的图象 如图所示,该函数满足, 但函数图象不关于直线 对称,故B不正确. 对于C,若的图象关于直线 对称, 则,即,即 为偶函数,故C正确. 对于D,函数的图象与函数的图象关于 轴对称,故D不正确.故选 . [解析] 对于A,是奇函数, 的图象关于原点对称, 而的图象是将 的图象向右平移1个单位长度得到的, 课 堂 考 点 探 究 49 例1 ［配例1使用］（多选题）已知定义在上的函数 满足 ,定义在上的函数 满足 ,则( ) A. 不是奇函数 B. 既是奇函数也是偶函数 C. 是奇函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 √ √ 【备选理由】例1考查抽象函数与具体函数奇偶性的判断; 教 师 备 用 习 题 50 [解析] 在中,令,得 , 令,得,则, 所以 既是奇函数也是偶函数,故A错误,B正确. 由 , 得,因为,所以 是奇函数, 故C正确,D错误.故选 . 教 师 备 用 习 题 51 例2 ［配例2使用］[2025·安徽蚌埠二检]“ ”是“函数 为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 【备选理由】例2考查求解析式中的参数的值，考查奇函数的性质 与充分、必要条件; 教 师 备 用 习 题 52 [解析] 若函数为奇函数，则 ， 即 ，整理得 ，即 ，解得. 当时，函数的定义域为，当 时， 函数的定义域为，都符合题意，所以“ ”是“函数 为奇函数”的充分不必要条件.故选A. 教 师 备 用 习 题 53 例3 ［配例3使用］已知是定义在 上的偶函数，且对任意 的，都有恒成立，则关于 的不等式 的解集为( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】例3考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，需将抽象 不等式转化为常规不等式求解; 教 师 备 用 习 题 54 [解析] 因为是定义在 上的偶函数，所以 ，则的图象关于直线 对称. 因为对任意的，都有 恒成立， 所以在上单调递减，所以在 上单调递增. 由得，所以 ， 解得，则不等式的解集为 .故选C. 教 师 备 用 习 题 55 例4 ［配例4使用］若存在实数，使得函数 的图象关于直线对称，则 的最小值为____. 16 [解析] . 的定义域为，若其图象关于直线对称， 则，即 是偶函数，因此，可得 ，故 ，当且仅当 时， 等号成立. 【备选理由】例4考查函数的奇偶性与最值相结合的问题； 教 师 备 用 习 题 56 例5 ［补充使用］已知奇函数 ，其中， . 【备选理由】例5考查已知函数奇偶性求参数，构造函数证明不等式 等问题，综合性较强. 教 师 备 用 习 题 57 （1）求 的值； 解：为奇函数， ， 即 ，化简得 ， 又且 ， ， 又 ， . 教 师 备 用 习 题 58 （2）若对任意恒成立，求 的取 值范围； 解：由（1）知 . 当时， ， 又在 上单调递增， 当时， ， 则 ， 对任意 恒成立. 教 师 备 用 习 题 59 当时，令，则 ，此时 ， ，不符合题意，舍去. 综上，的取值范围为 . 教 师 备 用 习 题 （3）记，证明：当 时， . 证明：由条件可知 ， 要证， 即证 ， 即证 ， 即证 ， 即证， 即证 . 教 师 备 用 习 题 61 令， ， 则，当且仅当 , 即 时，等号成立，在 上单调递增， ，即 ， 当时， . 教 师 备 用 习 题 作业手册 63 1.下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，的定义域为， ， 即函数不是奇函数，故A错误； 对于B， 的定义域为 ，关于原点对称， 但， 所以函数 不 是奇函数，故B错误； √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 对于C，函数的定义域为 ， 但， 所以函数 不是奇函数，故C错误； 对于D，的定义域为 ， 且，即函数 是奇函数， 且函数在上单调递增，所以在 上单调递增， 故D正确.故选D. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.设是定义在上的奇函数，且当时， ，则 ( ) A.1 B. C. D. [解析] 因为是定义在上的奇函数，且当 时， ，所以 .故选C. √ 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 3.[2025·大庆一模]已知函数的定义域为，则“ ”是“函数 为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 取，，则，但 , ，即，所以函数 不是奇函数， 故充分性不成立； 若函数为奇函数，则，即 ，故必要性成立. 所以“”是“函数 为奇函数”的必要不充分条件.故选B. √ 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 4.若函数是上的偶函数，则 ( ) A.1 B.2 C. D.0 √ 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 [解析] 若函数是上的偶函数，则有 即 解得 当时， ， 当时，，； 当 时，，. 所以函数是 上的偶函数，符合题意，则 ，故选A. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 5.[2023·全国乙卷]已知是偶函数，则 ( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 方法一：因为 是偶函数， 所以， 又因为 不恒为0，所以，即， 则 ，即，解得 .故选D. √ 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 方法二：因为是偶函数，所以 ， 即，解得 ，经检验符合题意.故选D. 方法三：由题设，可知，且 为奇函数， 则为奇函数，由,解得 . 故选D. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 6.（多选题）[2025·辽阳二模]已知函数 ，则下列结论正 确的是( ) A.的定义域为 B.的值域为 C.是奇函数 D.在 上单调递减 √ √ √ 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 [解析] 的定义域为，值域为 ，故A错误， B正确. , 是奇函数，故C正确. 当时，，因为函数在 上单调递减， 函数在上单调递增，所以在 上单调递减， 故D正确.故选 . 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 7.已知奇函数在 上的图象如图所示， 则不等式 的解集是________________. [解析] , 当时， ， 结合函数的图象可得； 当时，，根据奇函数 的图象关于原点对称 可得， 不等式的解集为 . 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 8.已知函数的定义域为,且,函数 的图象关 于直线对称,则 ___. 2 [解析] 因为的图象关于直线 对称,所以 ,又,所以 或 解得 . 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 9.判断下列函数的奇偶性与单调性. （1） ； 解：由题意可得，解得 ， 所以函数的定义域为 ， 又 ，所以函数 为奇函数. 又，所以函数 为减函数. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 （2） ； 解：由得，则，故函数 的定义域为 ，，关于原点对称，且 ， 所以，所以函数 既是奇函数又是偶函数. 是常函数，不具有单调性. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 （3） ； 解：由题可知，即 ，定义域不关于原点对称， 所以既不是奇函数，也不是偶函数. 显然 是增函数. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 （4） . 解：函数的定义域为 ， ，所以 为奇函数. ，所以 为增函数. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 10.[2025· 湖南邵阳二模]已知函数 ，则满足 的 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 的定义域为 ， ，故 为奇函数， 又，所以在 上单调递增， 所以等价于 ， 所以，可得，故的取值范围是 .故选C. √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 80 11.[2025·深圳二模]已知函数为常数 ，则下列命 题为真命题的是( ) A.,为奇函数 B., 为偶函数 C.,为增函数 D., 为减函数 [解析] 对于A，由题可知， 若 为奇函数，则恒成立， 即 恒成立， 因为恒成立，所以，解得 ， 所以若为奇函数，则 ，故选项A中命题是假命题. √ 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 81 对于B，，若 为偶函数， 则恒成立，即 恒成立. 因为不恒为0，所以，解得， 所以若 为偶函数，则，故选项B中命题是真命题. 对于C，D， .当时，，， 所以，则 为增函数. 当时，令，即，则 ， 即，解得. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 当时，， 在上单调递增； 当时，， 在 上单调递减， 故选项C，D中命题均为假命题.故选B. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.[2025·临汾三模]已知 ，则满足 的实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由，知其定义域为 ， 又 ， 所以函数 为偶函数， 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 84 ，由在上单调递增，在 上单调递减， 在上单调递增，得在 上单调递减， 在上单调递增，故函数在上单调递增， 在 上单调递减. 由，得 ，即， 整理可得，解得 .故选A. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 85 13.（多选题）已知函数的定义域为， 为奇函数， 为偶函数，则一定有( ) A.的图象关于直线对称 B.的图象关于点 对称 C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点 对称 [解析] 因为为奇函数，所以 ， 所以函数的图象关于点对称，故C错误，D正确. 因为 为偶函数，所以， 所以函数 的图象关于直线对称，故A正确，B错误. 故选 . √ √ 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 14.若函数的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 _ ___. [解析] 设点在函数的图象上，点 关于直线 的对称点为，则则 则，即的图象与 的 图象关于直线对称，则，解得 . 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 87 15.[2026·重庆南开中学月考] 已知函数 . （1）若函数为奇函数，求 的最小值； 解：函数的定义域为 ， 由于函数为奇函数，则 ， 即，即 ， 因为，所以，即 ， 所以， 当且仅当 时取等号，所以的最小值为 . 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 88 （2）若函数为偶函数，且在 上恒成立， 求实数 的取值范围. 解：由于函数 为偶函数，则在 上恒成立， 即，即 ， 因为不恒等于0，所以，即 . 因为在 上恒成立， 所以恒成立， 令 ，则有，当且仅当 时取等号， 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 89 则恒成立，等价于 , 恒成立，所以， 而在 上单调递增， 故，所以，所以 . 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.[2025·德州三模]已知函数是定义在 上的增函数，且 为奇函数，对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ ◆ 能力拓展 ◆ 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 91 [解析] 令，则 ， 由 ， 可得 ， 即，又因为 为奇函数， 所以. 因为是定义在 上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故 ，即恒成立. 因为 ，所以， 所以，即实数 的取值范围是 .故选A. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 92 17.[2025·湖北“新八校”协作体5月联考]已知 ，且 ，则 下列结论可能成立的是( ) A. B. C. D. √ [解析] 函数的定义域为 ， ， 所以函数 为奇函数. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 93 又，所以函数在 上单调递增， 又 ，所以可得， 画出 , 的图象，如图所示， 当，， 时，不成立， 当 时， 可能成立，故选D. 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【知识聚焦】 <m></m> <m></m> 原点 <m></m>轴 原点 【对点演练】 1.①③ 2.<m></m> 3.<m></m> 4.非奇非偶 5.<m></m> <m></m> 6.<m></m> 课堂考点探究 例1 B 变式题（1）CD （2）BC 例2（1）B （2）<m></m> 变式题（1）D （2）<m></m> 例3（1）A （2）D 变式题（1）D （2）D 例4 14 变式题（1）C （2）<m></m> 例5 略 变式题（1）D （2）AC 答 案 核 查 95 基础热身 1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.BCD 7.<m></m> 8.2 9.（1）奇函数 . 减函数.（2） 既是奇函数又是偶函数 . 不具有单调性. （3）既不是奇函数，也不是偶函数. 增函数. （4）奇函数. 增函数. 综合提升 10.C 11.B 12.A 13.AD 14.<m></m> 15.（1）<m></m>.（2）<m></m>. 能力拓展 16.A 17.D 答 案 核 查 96 $